Estimación adaptativa y las cotas inferiores sobre la clase de Hölder

Estimación adaptativa y las cotas inferiores sobre la
clase de Hölder anisotrópica bajo los supuestos
“single-” y “multi-index”.
En la estimación no paramétrica de una función multivariante consideramos la adaptación
estructural. Supongamos que la función que se trata de estimar tiene una estructura de
ı́ndice único (single-index), F (x) = f (◊€ x), donde la función de enlace f : R æ R y el
vector ◊ œ Sd≠1 ambos son desconosidos. Se propone un nuevo procedimiento que se adapta
simultaneamente a la dirección de ◊ y la regularidad de f . Se presenta una desigualdad de
“oráculo” para el procedimiento propuesto que se utiliza a continuación para obtener la cota
superior para el riesgo máximo bajo la hipótesis de regularidad de la función de enlace. A
partir de la cota inferior obtenida para el riesgo mı́nimax, nuestro estimador es un estimador
óptimo adaptativo sobre el conjunto de los espacios funcionales considerados.
Finalmente, se trata de estudiar el mejor orden de convergencia obtenible para la estimación bajo el supuesto multi-index que viene dado por
1
€
F (x) = f ◊1€ x, . . . , ◊m
x
donde f : Rm æ R, m Æ d, ◊k œ Sd≠1 , k = 1, . . . , m.
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Referencias
Lepski, O. and Serdyukova, N. (2014). Adaptive estimation under single-index constraint
in a regression model. Ann. Statist. 42:1 1–28.
Serdyukova, N. (2015). On the best obtainable rates of convergence for estimation at a
point under multi-index constraint. Sometido.
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