6. Pequeño teorema de Fermat. Teorema de Wilson.

TEORíA DE NÚMEROS. HOJA 6.
PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT. TEOREMA DE WILSON.
1. Pequeño teorema de Fermat (Euler). Sea p un primo que no divide a a. Entonces
ap−1 ≡ 1 (mod p).
Indicación: observar que a, 2a, 3a, ..., (p − 1)a, junto con el cero, forman un sistema completo de residuos
módulo p, y por tanto su producto (excluyendo el cero) es congruente con (p − 1)! módulo p.
2. Corolario. Si p es un primo, entonces ap ≡ a (mod p) para todo a ∈ Z.
3. Probar que 538 ≡ 4 (mod 11).
4. Probar que si p, q son primos distintos tales que ap ≡ a (mod q) y aq ≡ a (mod p) entonces
apq ≡ a (mod pq).
5. Probar que el recíproco del pequeño teorema de Fermat es falso en general: 2340 ≡ 1 (mod
341), pero 341 = 11 · 31 no es primo.
Indicación: usar el ejercicio anterior.
6. Comprobar que 17 divide a 11104 + 1.
7. Si mcd(a, 35) = 1, probar que a12 ≡ 1 (mod 35)
8. Hallar la última cifra de 3100 .
9. Probar que a5 y a acaban en la misma cifra para todo a ∈ Z.
10. Si a no es múltiplo de 7, comprobar que o bien a3 + 1 o bien a3 − 1 es divisible por 7.
11. Sea p un primo que no divide a a. Comprobar que x = ap−2 b es una solución de la congruencia lineal ax ≡ b (mod p).
12. Resolver 2x ≡ 1 (mod 31).
13. Si a, b no son divisibles por un primo p, probar que:
1. ap ≡ bp ( mod p) =⇒ a ≡ b( mod p)
2. ap ≡ bp ( mod p) =⇒ ap ≡ bp ( mod p2 )
Indicación: para la segunda parte, por la primera, a = b + pk, luego ap − bp = (b + pk)p − bp .
14. Si p ≥ 3 es primo, probar que 1p + 2p + 3p + ... + (p − 1)p es divisible por p.
15. Si p, q son primos distintos, probar que pq−1 + q p−1 ≡ 1 (mod pq).
16. Teorema de Wilson (Leibnitz, Lagrange). Si p es un primo, entonces
(p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Indicación: Supongamos p > 3. Sea a ∈ {1, 2, ..., p − 1} y sea a0 ∈ {1, 2, ..., p − 1} la única solución de la
congruencia lineal ax ≡ 1 (mod p). Observar que a = a0 si y sólo si a = 1 o a = p − 1. Por tanto los números
2, 3, ..., p − 2 pueden agruparse en pares a, a0 (con a 6= a0 ) de modo que aa0 ≡ 1 (mod p). Multiplicar ahora estas
(p − 3)/2 congruencias para obtener (p − 2)! ≡ 1 (mod p).
17. Demostrar el recíproco del teorema de Wilson.
18. Teorema. Sea p un primo impar. La congruencia cuadrática x2 + 1 ≡ 0 (mod p) tiene
solución si y sólo si p ≡ 1 (mod 4).
Indicación: Si a es una solución, aplicar el teorema de Fermat para probar que (−1)(p−1)/2 ≡ 1 (mod p, y
descartar que p pueda tener la forma p = 4k + 3. Para el recíproco, observar que
2
p−1
(p − 1)! ≡ (−1)(p−1)/2 1 · 2 · · ·
,
2
y concluir que
(p−1)
2 !
es solución de la congruencia x2 + 1 ≡ 0 (mod p).
19. Probar que hay infinitos números compuestos de la forma n! + 1 (es una cuestión abierta
saber si también hay infinitos primos de esta forma).
20. Hallar el resto de dividir 15! por 17, y probar también que 18! ≡ −1 (mod 437).
21. Probar que n > 1 es primo si y sólo si (n − 2)! ≡ 1 (mod n).
22. Si n es un número compuesto, probar que (n − 1)! ≡ 0 (mod n), excepto para n = 4.
23. Si p es primo, probar que (p − 1)! ≡ p − 1 (mod 1 + 2 + 3 + ... + (p − 1)).
24. Probar que, si p es un primo impar, 2 · 4 · 6 · · · (p − 1) ≡ (−1)(p−1)/2 1 · 3 · 5 · · · (p − 2) (mod
p), y concluir que 12 · 32 · 52 · · · (p − 2)2 ≡ (−1)(p+1)/2 (mod p).
25. Hallar dos soluciones de la ecuación x2 ≡ −1 (mod 37).
26. Si p es primo y 0 ≤ k ≤ p − 1, probar que k!(p − k − 1)! ≡ (−1)k+1 (mod p).
27. Si p, q son primos distintos, probar que para cualquier a ∈ Z se tiene pq | apq − ap − aq + a.
28. Comprobar que 4(29!) + 5! es divisible por 31.
29. Probar que si p y p + 2 son un par de primos gemelos, entonces 4((p − 1)! + 1) + p ≡ 0
(mod p(p + 2)).