Problemas Análisis de Varias Variables Tarea 13 Problema 1. Sean ω, η 1-formas en Rn . Muestra que, para cada p ∈ Rn , v, u ∈ Rnp , ω(p)(v) ω(p)(u) ω ∧ η(p)(v, u) = det . η(p)(v) η(p)(u) Es decir, el producto exterior de 1-formas coincide con el producto de transformaciones en (Rnp )∗ . Problema 2. Calcula ω ∧ η, para las siguientes formas en R3 . 1. ω = xdx − ydy, η = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz; 2. ω = dx + dy + dz, η = dx ∧ dy + dx ∧ dz + dy ∧ dz; 3. ω = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, η = ω. Problema 3. Sea ω la 2-forma en R2n dada por w = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + . . . + dx2n−1 ∧ dx2n . Calcula n veces z }| { ω ∧ ω ∧ ... ∧ ω. Problema 4 (Operación estrella de Hodge). Para ω una k-forma en Rn , definimos la (n − k)-forma ∗ω a través de ∗(dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxik ) = sgn(I, J)dxj1 ∧ dxj2 ∧ . . . ∧ dxj(n−k) , donde (I, J) = (i1 , i2 , . . . , ik , j1 , j2 , . . . , j(n−k) ) es la permutación en Sn tal que i1 < i 2 < · · · < i k y j1 < j2 < · · · < j(n−k) . Calcula ∗ω para las siguientes formas. 1. La 2-forma en R3 dada por ω = ω12 dx ∧ dy + ω13 dx ∧ dz + ω23 dy ∧ dz. 2. La 1-forma en R2 dada por ω = ω1 dx + ω2 dy. Problema 5. Muestra que ∗ ∗ ω = (−1)k(n−k) ω.