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Ecuaciones de Estructura de Cartan
1. Formas asociadas a referenciales
Sea M una superficie orientada con forma de área d a. Notaremos por Ωk (M ) al conjunto de las k-formas diferenciales de M , y por X (M ) al conjunto de los campos vectoriales suaves en M .
Definición 1.1. Dados dos campos vectoriales V, X ∈ X (M ), definimos los mapas V : C ∞ (M , R) → R y ∇ X : X (M ) →
X (M ) por
V ( f )(p) := d f p (V (p))
¡
¢
∇ X Y (p) := P Tp M d Y p (X (p))
donde f ∈ C ∞ (M , R), Y ∈ X (M ) y P Tp M es la proyección ortogonal sobre T p M .
Observación 1.2. Es una consecuencia de la definición de ∇ que cumple la regla de Leibniz:
∇ X ( f Y ) = X ( f )Y + f ∇ X Y
y además satisface la ecuación:
X (⟨Y , Z ⟩) = ⟨∇ X Y , Z ⟩ + ⟨Y , ∇ X Z ⟩
­
®
(donde se considera la función real ⟨Y , Z ⟩ que en cada punto p vale Y (p), Z (p) ).
Sea U ⊂ M abierto. Un referencial en U es un par de campos (e 1 , e 2 ) en U de modo que sean linealmente independientes en cada punto de U .
Definición 1.3. Dado un referencial (e 1 , e 2 ) definido en U , la forma de conexión, o conexión de Cartan ω, asociada al
referencial, es la matriz de 1-formas ωi j en U que verifican
∇ X e i :=
X
ωi j (X )e j
(1)
j
para cualquier campo X .
µ
¶
e1
Si escribimos e =
, llamaremos ∇e al mapa X → ∇ X e. Notaremos ∇e = ωe. Si e, e 0 son dos referenciales de
e2
P
forma que e i = j a i j e j escribiremos e 0 = Ae, donde A = (a i j ).
Ejemplo 1.4. En el caso e 1 = φu , e 2 = φv :
∇e i e j =
X
i,j
Γkij e k =
X
ω j k (e i )e k
(2)
y por tanto, en este caso, ω j k (e i ) = Γkij .
Veamos ahora cómo cambia la forma de conexión al cambiar de referencial.
Proposición 1.5. Si e y e 0 son dos referenciales de modo que e 0 = Ae y ω, ω0 son las formas de conexión asociadas,
entonces:
ω0 A = d A + Aω
1
(3)
Demostración.
ω0 e 0 = ∇e 0 = ∇(Ae) = d Ae + A∇e = d Ae + Aωe
(4)
de donde se deduce la igualdad.
Definición 1.6. La forma de curvatura Ω se define como
dω = ω ∧ ω + Ω
(5)
Proposición 1.7. Si e y e 0 son dos referenciales de modo que e 0 = Ae y Ω, Ω0 son las formas de curvatura asociadas,
entonces:
Ω0 A = AΩ
(6)
Demostración.
ω0 A
=
d A + Aω
⇒ dω A − ω ∧ d A
¡ 0
¢
ω ∧ ω0 + Ω0 A − ω0 ∧ d A
=
=
d A ∧ ω + A ∧ dω
¡ 0
¢
ω A − Aω ∧ ω + A (ω ∧ ω + Ω)
ω ∧ω A +Ω A −ω ∧d A
=
ω0 A ∧ ω + AΩ
Ω0 A + ω0 ∧ Aω
=
ω0 A ∧ ω + AΩ
0
0
0
0
0
0
Probemos que ω0 ∧ Aω = ω0 A ∧ ω, con lo cual quedará probada la proposición.
(ω0 ∧ Aω)i j
ω0i k ∧ A kl ωl j
=
X
=
X
=
(ω0 A ∧ ω)i j
k,l
k,l
ω0i k A kl ∧ ωl j
Proposición 1.8. Si e es un referencial ortonormal, entonces
µ
¶
0
ω12
ω=
,
−ω12
0
Ω=
µ
0
−Ω12
Ω12
0
¶
Demostración.
⟨e 1 , e 1 ⟩
=
1
⇒ ∇ X ⟨e 1 , e 1 ⟩
=
0
⇒ 2 ⟨∇ X e 1 , e 1 ⟩
=
0
⇒ ∇X e 1
=
ω12 (X )e 2
de igual manera, ∇ X e 2 = ω21 (X )e 1 .
Por otro lado,
⟨e 1 , e 2 ⟩
=
0
⇒ ∇ X ⟨e 1 , e 2 ⟩
=
0
⇒ ⟨∇ X e 1 , e 2 ⟩ + ⟨e 1 , ∇ X e 2 ⟩
=
0
⇒ ω12 (X ) + ω21 (X )
=
0
queda entonces probada la primera de las igualdades.
Para la curvatura, simplemente calculamos Ω = d ω − ω ∧ ω:
(ω ∧ ω)i j
=
X
ωi k ∧ ωk j
k
⇒
⇒ ω∧ω
=
P

(ω ∧ ω)11 = k ω1k ∧ ωk1 = ω12 ∧ ω21 = 0


P

(ω ∧ ω)12 = k ω1k ∧ ωk2 = 0
P

(ω ∧ ω)21 = k ω2k ∧ ωk1 = 0

P

(ω ∧ ω)22 = k ω2k ∧ ωk2 = ω21 ∧ ω12 = 0
0
2
(7)
µ
(d ω)i j
=
0
−d ω12
d ω12
0
¶
Proposición 1.9. Si Ω, Ω0 corresponden a dos referenciales ortonormales, entonces Ω = Ω0 .
Demostración. Sea A la matriz de rotación entre los dos referenciales. Por las proposiciones anteriores:
µ
0
−1
Ω012
¶
µ
1
0
A=A
0
−1
¶
1
Ω
0 12
Entonces, para algún θ:
Ω012
µ
0
−1
1
0
¶µ
cos θ
sen θ
− sen θ
cos θ
¶µ
0
1
¶ µ
−1
cos θ
=
0
sen θ
¶
− sen θ
Ω12
cos θ
de donde Ω012 = Ω12 .
Es conveniente notar que alrededor de cualquier punto p existe una parametrización de forma que, sus coeficientes E , F,G satisfacen F = 0, E = 1. Para ver que esto es posible tomamos w ∈ T p M de forma que |w| = 1 y β la
geodésica con condiciones iniciales (p, i w). Sea W el campo paralelo a lo largo de β de modo que W (0) = w. Sea
γW (v) la geodésica de condiciones iniciales (β(v),W (v)). Dfinimos la parametrización φ por
φ(u, v) = γW (v) (u)
2
2
Notar que E (u, v) = |γ̇W (v) (u)| = |γ̇W (v) (0)| = |W (v)|2 = |w|2 = 1. Para ver que F = 0 observamos que por consttrucción vale F (0, v) = 0 para todo v. Por otra parte ∂u F = 0 obteniéndose que F = 0. Esto permite, en particular,
φ
φ
obtener un referencial ortonormal e 1 = pu , e 2 = p v .
G
E
µ
¶
µ
¶
e1
w1
Dado un referencial e =
definimos el correferencial τ =
siendo w i (X ) = ⟨X , e i ⟩,
e2
w2
Proposición 1.10. Para cualquier referencial, se tiene que
dτ
=
ω∧τ
Ω12
=
−K d a
donde d a es la forma de área de la superficie y K es la curvatura Gaussiana.
Demostración. Probaremos que
d w 1 = ω12 ∧ w 2
d w 2 = −ω12 ∧ w 1

d ω12 = −K d a = −K w 1 ∧ w 2


Recordamos que si α ∈ Ω1 (S), entonces
d α(φu , φv ) =
∂
∂
α(φv ) −
α(φu ).
∂u
∂v
Probemos la primera de las ecuaciones:
∂
w 1 (φv )
∂u
∂
w 1 (φu )
∂v
⇒ d w 1 (φu , φv )
=
® ­
® ­
®
∂ ­
φv , e 1 = ∇φu φv , e 1 + φv , ∇φu e 1
∂u
® ­
® ­
®
∂ ­
φu , e 1 = ∇φv φu , e 1 + φu , ∇φv e 1
­∂v
® ­
® ­
®
∇φu φv − ∇φv φu , e 1 + φv , ∇φu e 1 − φu , ∇φv e 1
­
® ­
®
φv , ω12 (φu )e 2 − φu , ω12 (φv )e 2
­
®
­
®
φv , e 2 ω12 (φu ) − φu , e 2 ω12 (φv )
=
w 2 (φv )ω12 (φu ) − w 2 (φu )ω12 (φv )
=
(ω12 ∧ w 2 ) (φu , φv )
=
=
=
=
⇒ d w 1 = ω12 ∧ w 2
La segunda de las ecuaciones se demuestra de manera análoga.
3
Veremos ahora que d ω12 = −K d a. Es p
suficiente probar que coinciden en una base (por el carácter tensorial de las
formas diferenciales): d ω12 (φu , φv ) = −K EG y por tanto es suficiente probar que
p
∂
∂
ω12 (φv ) −
ω12 (φu ) = −K EG.
∂u
∂v
(8)
Por definición:
∇φu e 2 = ω21 (φu )e 2 = −ω12 (φu )e 2
µ
µ
µ
¶
¶
¶
¢
1
1
φv
∂
1
1 ¡
∂
∇φu p
=
p φv + p ∇φu φv =
p φv + p Γ112 φu + Γ212 φv .
∂u
∂u
G
G
G
G
G
Como F = 0, las ecuaciones de los símbolos de Christoffel (ver [1]) establecen que Γ212 = G2Gu . Como
¶
µ
−1 G u
∂
1
=
p ,
p
∂u
2 G G
G
entonces los términos en φv se cancelan y resulta
µ
¶
φu
φv
1
−ω12 (φu ) p ∇φu p
= p Γ112 φu .
G
G
E
Finalmente:
s
ω12 (φu ) = −Γ112
E
Ev
=−
G
2E
s
E
Ev
=− p
.
G
2 EG
(9)
De manera análoga, ω12 (φv ) = pG u .
2 EG
Recordando el ejercicio 16 del práctico 3, vemos que se cumple la ecuación 8.
Proposición 1.11. Si e 1 , e 2 es un referencial ortonormal arbitrario, entonces

 d w 1 = ω12 ∧ w 2
d w 2 = −ω12 ∧ w 1

d ω12 = −K d a
Demostración. Las primeras dos ecuaciones se demuestran en la demostración de la proposición anterior. Para la
tercera, es inmediata utilizando la proposición 1.9.
4
2. Algunas propiedades del fibrado tangente
Definición 2.1. Dada una superficie M , definimos el fibrado tangente T M como el conjunto de los pares (p, v) tales que
p ∈ M y v ∈ Tp M .
La proyección canónica es la función π : T M → M dada por π(p, v) = p.
Observación 2.2. Veremos que el fibrado tangente T M tiene estructura de 4−variedad, y como tal admite la noción de
espacio tangente en un punto, que notaremos T(p,v) (T M ).
Para ver que es una variedad¡ tomamos alrededor
de cada punto de M una parametrización φ : U → M . Sea φ̃ :
¢
U ×R2 → T M dada por φ̃(u, v) = φ(u), d u φ(v) . Mostraremos que el diferencial en cada punto es inyectivo y por tanto
φ̃ es un difeomorfismo local sobre su imagen.
De la definición tenemos que
d φ̃(u,v) (X , Y ) = (d u φ(X ), ∂u G(X ) + d φu (Y ))
siendo G(u, v) = d φu (v). Si d φ̃(u,v) (X , Y ) = 0 tenemos que d u φ(X ) = 0 y por tanto X = 0. Luego también debe ser
Y = 0.
Proposición 2.3. Hay una biyección entre T(p 0 ,v 0 ) (T M ) y T p 0 M × T p 0 M , dada por
µ
¶
D
α̇(0) → ṗ(0),
V (0)
dt
donde α : I → T M es una curva diferenciable que cumple α(0) = (p 0 , v 0 ) y α(t ) = (p(t ), v(t )).
Demostración. Componiendo φ̃−1 con α, obtenemos una curva en U × R2 dada por φ̃−1 (α(t )) = (p̄(t ), v̄(t )), con
p̄(t )
=
(x 1 (t ), x 2 (t ))
v̄(t )
=
(v 1 (t ), v 2 (t ))
Luego, d φ̃(u,v) establece un isomorfismo lineal entre R2 × R2 y T(p,v) (T M ):
¢
p̄˙ (0), v̄˙ (0) → α̇(0)
¢
¡
¢ ¡
Veamos ahora que el mapa p̄˙ (0), v̄˙ (0) → ṗ(0), dDt v(0) es un isomorfismo.
La ecuación de la derivada covariante en coordenadas es
!
Ã
X X k
D
0
Γi j ẋ i (0)v j (0) + v k (0) E k
v(0) =
dt
k i,j
¡
con E 1 = φu , E 2 = φv . Como φ̃(p̄(0), v̄(0)) =¡ (p, v), entonces
v̄(0) está fijo. Esto implica que el mapa indicado es
¢
lineal. Para ver la inyectividad notamos que si ṗ(0), dDt v(0) = (0, 0) entonces ẋ i (0) = 0 para i = 1, 2. Como también
tenemos dDt v(0) = 0 resulta v k0 (0) = 0, con k = 1, 2.
D
dt
Utilizando la identificación dada por la proposición anterior diremos que α̇(0) es vertical si ṗ(0) = 0 y horizontal si
v(0) = 0.
2.1. Fibrado unitario
Definición 2.4. Definimos el fibrado unitario de una 2-variedad M como el conjunto de pares (p, v) ∈ T M con |v| = 1.
Denotaremos dicho fibrado unitario por T1 M .
Sea (p, v) ∈ T1 M . Denotamos por ve i ϕ el vector obtenido al rotar v un ángulo ϕ en sentido positivo. En lo que
sigue escribiremos (p, v)e i ϕ = (p, ve i ϕ ),
Sea π : T1 M → M la proyección π(p, v) = p. Frecuentemente identificaremos (p, v) con v y el campo unitario X ,
definido en U ⊂ M con el mapa X̄ : U → T1 M tal que X̄ (p) = (p, X (p)). Esto implica que podremos tomar pullbacks de
formas en Ωk (T1 M ) mediante campos unitarios en U .
Ahora construiremos parametrizaciones para T1 M . Sea φ : V → M una parametrización con E = 1. Entonces el
mapa φ̂ : V × R → T1 M dado por
³
´
φ̂(u, θ) = φ(u), d φu (1, 0)e i θ
es diferenciable y el diferencial es inyectivo. Por lo tanto restricciones adecuadas de φ̂ son difeomorfismos sobre
sus imágenes. Observar que φ̂(V × R) = π−1 (φ(V )).
5
Proposición 2.5. Para todo q ∈ M existe un entrno U de q de forma si p ∈ U , ξ ∈ T(p,v) (T1 M ) es un vector no vertical,
existe X : U → T1 M , con π ◦ X = i dU , de forma tal que d X p (z) = ξ, para algún z ∈ T p M .
Demostración. Sea φ̂ : V × R → T1 M como en el parágrafo anterior con φ̂(u o , θ0 ) = (p, v). Sea α : I → V × R una curva
tal que α(t ) = (u(t ), θ(t )), que en t = 0 pasa por (u 0 , θ0 ) y tal que
d φ̂(u0 ,θ0 ) (u̇(0), θ̇(0)) = ξ.
Como ξ no es vertical sabemos que u̇(0) 6= 0 y por tanto existe A : R2 → R, lineal de modo que A u̇(0) = θ̇(0). Definamos X (φ(u)) := φ̂(u, A(u − u 0 ) + θ0 ) = (φ(u), X̄ (φ(u))). Entonces
¯
d ¯¯
d X p (d φu (u̇(0))) =
φ̂(u, A(u − u 0 ) + θ0 ) = ξ.
d t ¯t =0
La demostración se completa tomando U = φ(V ) .
Corolario 2.6. Para todo q ∈ M existe un entorno U de q de forma que si ω ∈ Ω1 (T1 M ) verifica X ∗ (ω) = 0 para todo
campo unitario X definido en U entonces ω|π−1 (U ) = 0.
Demostración. Sea ξ ∈ T(p,v) (T1 M ) no vertical. Sean X y z de acuerdo con 2.5. Entonces ω(p,v) (ξ) = ω X (p) (d p X (z)) =
X ∗ (ω)p (z) = 0. Los vectores verticales se otienen como límites de los no verticales y esto termina la prueba.
La demostración de la Porposición 2.5 permite probar la siguiente
Proposición 2.7. Para todo q ∈ M existe un entorno U de q de forma que si p ∈ U y si ξ1 , ξ2 es la base de un espacio
transeversal a T(p,v) (π−1 (p)), entonces existe X : U → T1 M , con π◦X = i dU , de forma tal que d X p (z i ) = ξi , con z i ∈ T p M .
Observación 2.8. Mediante la Proposición 2.7 se extiende el Corolario 2.6 para el caso de las 2- formas.
3. Ecuaciones de Estructura
Definición 3.1. Definimos tres 1-formas ω̃1 , ω̃2 , θ en Ω(T1 M ) de la siguiente manera:
(ω̃1 )v (X ) = ⟨d πv (X ), v⟩
(ω̃2 )v (X ) = ⟨d πv (X ), i v⟩
À
¿
D
θv (α̇(0)) =
v(0), i v
dt
siendo α(t ) = (p(t ), v(t )) una curva que a tiempo t = 0 pasa por (p, v). Llamaremos a θ la 1-forma de conexión.
Proposición 3.2. Sea (e 1 , e 2 ) un referencial ortonormal definido en un entorno U . Al ser campos unitarios, los podemos
pensar como funciones de U en T1 M , como mencionamos antes. Entonces e 1∗ θ = ω12 ∈ Ω1 (U ) y e 2∗ θ = −ω21 ∈ Ω1 (U ).
Demostración. Sea p ∈ U . Sea X = ṗ(0) ∈ T p M . Entonces
¡
e 1∗ θ
¢
p (X )
e 1∗ θ
=
¡
=
¡
¢
θe 1 (p) d e 1 (ṗ(0))
¯
¶
µ
d ¯¯
e
(p(t
))
θe 1 (p)
1
d t ¯t =0
¿
À
D
i e 1 (p(0)),
e 1 (p(t ))
dt
­
®
e 2 (p), ∇ṗ(0) e 1 (p)
­
®
e 2 (p), ∇ X e 1 (p)
­
®
e 2 (p), (ω12 )p (X )e 2 (p) + (ω11 )p (X )e 1 (p)
­
®
e 2 (p), (ω12 )p (X )e 2 (p) = (ω12 )p (X )
=
=
=
=
=
=
¢
p (ṗ(0))
(donde se usó que ω11 = 0 para referenciales ortonormales). Análogo es para e 2∗ θ = −ω21 .
Observación 3.3. Tenemos que π ◦ e 1 = π ◦ e 2 = i dU . Por tanto e 1∗ ◦ π∗ = i d Ω(U ) .
Proposición 3.4. Sea (e 1 , e 2 ) un referencial ortonormal. Entonces e 1∗ ω˜1 = w 1 ∈ Ω(U ) y e 1∗ ω̃2 = w 2 ∈ Ω(U ).
6
Demostración. Sea p ∈ U . Sea X = ṗ(0) ∈ T p M . Entonces
¡ ∗ ¢
e 1 ω̃1 p (X )
e 1∗ ω̃1
=
¡
=
=
¡
¢
(ω̃1 )e 1 (p) d e 1 (ṗ(0))
­
¡
¢
®
d πe 1 (p) d e 1 (ṗ(0)) , e 1 (p)
­
®
d (π ◦ e 1 )p (ṗ(0)), e 1 (p)
­
®
d (i d M )p (X ), e 1 (p)
=
(w 1 )p (X )
=
=
¢
p (ṗ(0))
La otra igualdad se demuestra de forma análoga.
Teorema 3.5. Ecuaciones de Estructura de Cartan:
d ω̃1
=
θ ∧ ω̃2
d ω̃2
=
−θ ∧ ω̃1
dθ
=
−K ◦ πω̃1 ∧ ω̃2
Demostración.
e 1∗ (d ω̃1 )
=
d (e 1∗ ω̃1 )
=
d w1
=
ω12 ∧ w 2
=
e 1∗ θ ∧ e 1∗ ω̃2
=
e 1∗ (θ ∧ ω̃2 )
Como e 1 es arbitrario obtenemos la primera de las ecuaciones de estructura, por la Observación 2.8.
La demostración de la segunda ecuación es análoga.
Por último:
e 1∗ d θ
=
d (e 1∗ θ)
=
d ω12
=
−K w 1 ∧ w 2
=
−K e 1∗ (ω̃1 ) ∧ e 1∗ (ω̃2 )
=
−K e 1∗ (ω̃1 ∧ ω̃2 )
=
e 1∗ (−(K ◦ π)ω̃1 ∧ ω̃2 )
Como e 1 es arbitrario, se deduce la tercera ecuación de estructura.
Lema 3.6. Manteniendo la notación de las secciones anteriores:
π∗ d a = ω̃1 ∧ ω̃2
Demostración. Primero se observa de forma directa que la igualdad igualdad ω̃1 ∧ ω̃2 (X , Y ) = π∗ d a(X , Y ) = 0 es válida
si X o Y es vertical. La demostración se completa mostrando la igualdad para pares de vectores que se proyectan sobre
una base.
Sea e 1 , e 2 ∈ T p M una base ortonormal, y tomemos a, b tales que
v
=
ae 1 + be 2
iv
=
−be 1 + ae 2
a2 + b2
=
1
Sean X , Y tales que d πv X = e 1 y d πv Y = e 2 . Entonces:
7
ω̃1 ∧ ω̃2 (X , Y )
=
ω̃1 (X )ω̃2 (Y ) − ω̃1 (Y )ω̃2 (X )
=
⟨d πv X , v⟩ ⟨d πv Y , i v⟩ − ⟨d πv Y , v⟩ ⟨d πv X , i v⟩
=
⟨e 1 , v⟩ ⟨e 2 , i v⟩ − ⟨e 2 , v⟩ ⟨e 1 , i v⟩
=
a 2 + b 2 = 1.
Por otro lado, como d a es la forma de área, d a(e 1 , e 2 ) = 1. Entonces:
π∗ d a(X , Y )
=
d a(d πv X , d πv Y )
=
d a(e 1 , e 2 ) = 1
4. Interpretación geométrica de θ
Sean p ∈ M y v ∈ T p M . Sea α(t ) = (p(t ), w(t )) = (p(t ), e i (φ(t ))v(t ) ) ∈ T M una curva cualquiera en T M , tal que v(t ) es
el transportado paralelo de v sobre la curva p(t ), con p(0) = p, v(0) = v.
³
´ ¡
¢
α̇(0) = ṗ(0), i φ̇(0)e i φ(0) v(0) = ṗ(0), i φ̇(0)w(0) .
Luego
­
®
θα(t ) (α̇(t )) = i φ̇(t )w(t ), i w ( t ) = φ̇(t ).
Por tanto, la forma de conexión mide por cuánto el transporte paralelo sobre la curva p(t ) se aparta del transporte
paralelo en el plano.
5. Bibliografía
1. Differential geometry of curves and surfaces, M. DO C ARMO
2. Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, I.M. S INGER & J.A. T HORPE
8