Tema 2 Transmisión digital banda base

TEMA 2
TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE
Inmaculada Hernáez Rioja
TEMA 2
Transmision digital banda base .............................................................................................................. 2-1
2.1
Diagrama de bloques .................................................................................................................................... 2-1
2.2
Interferencia entre símbolos........................................................................................................................ 2-2
2.3
Filtro adaptado .............................................................................................................................................. 2-6
2.4
Sincronismo ................................................................................................................................................... 2-8
2.4.1
Sincronizadores en lazo abierto.............................................................................................................. 2-9
2.4.2
Sincronizadores en lazo cerrado...........................................................................................................2-11
2.5
Scramblers ....................................................................................................................................................2-13
2.5.1
Introducción............................................................................................................................................2-13
2.5.2
Secuencias pseudo-aleatorias ................................................................................................................2-13
2.5.3
Registros de desplazamiento con realimentación lineal de máxima longitud ...............................2-15
2.5.4
Scrambler sincronizado por tramas .....................................................................................................2-20
2.5.5
Scrambler autosincronizable .................................................................................................................2-21
2.6
Ejercicios ......................................................................................................................................................2-23
2.6.1
Problema 1...............................................................................................................................................2-23
2.6.2
Problema 2...............................................................................................................................................2-24
2.6.3
Problema 3...............................................................................................................................................2-24
2.6.4
Problema 4...............................................................................................................................................2-25
2.7
Bibliografía ...................................................................................................................................................2-25
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
TEMA 2
2.1
TRANSMISION DIGITAL BANDA BASE
DIAGRAMA DE BLOQUES
di
Mapeo de
palabras J.bit
a 2J niveles
Serie/
Paralelo
J
an
Mod.
Impulsos
v(t )
Filtro
Transmisor
Canal
C(ω)
GT(ω)
r (t )
Filtro
x(t )
x(nTo − τ )
Muestreo
Receptor
A/D
Ecualizador
y (nT )
adaptativo
Gr(ω)
Recuperación
Reloj de símbolo
â n
Cuantificador
Mapeo de
j
nudos
2 niveles
2j
Paralelo/
d̂ i
Serie
A pal. J-bit
di → datos serie con bit rate Rd bits/sec., se mapean en palabras de J-bits, formando símbolos an elegidos de
un alfabeto de M=2J símbolos ó niveles a velocidad f s =
Rd
1
(baudios); T =
periodo de símbolo.
J
fs
Los M niveles se suelen elegir equi-espaciados con media aritmética cero. Por ejemplo: el valor de un nivel
li = d ⋅ (2 ⋅ i − 1) ; i = −
M
M
+ 1,K0,K
de forma que tendremos niveles espaciados 2d, con valores
2
2
desde –(M-1)d hasta (M-1)d.
2-1
La salida del filtro receptor se muestrea típicamente a una velocidad de N ⋅ f s , ( N = 3,4 ) es decir con
T0 =
Ts
, tomándose N muestras por cada símbolo.
N
Transmisor y receptor no están perfectamente sincronizados necesariamente, en frecuencia o fase, indicado en
la figura por la variable τ. Las muestras se utilizan por el sistema de recuperación del reloj para recuperar y
enganchar los relojes de transmisión y recepción.
En muchos casos el canal C (ω ) no es conocido exactamente o incluso puede variar lentamente. El
ecualizador adaptativo trata de compensar esas variaciones junto con la distorsión introducida.
A la salida del modulador de impulsos obtenemos la señal s (t ) =
∑a
k
⋅ δ [t − kT ] . Tras el filtro transmisor:
k
s (t ) = ∑ ak ⋅ gT (t − kT ). Llamamos G (ω ) = GT (ω ) ⋅ C (ω ) ⋅ G R (ω ) a la respuesta global que incluye el
k
canal y los filtros de transmisión y recepción. A la salida del filtro receptor tenemos la señal:
x(t ) = a k ⋅ g (t − kT ) + v(t ) ∗ g R (t ) en donde v(t ) es el ruido a la entrada del receptor. Sin ruido y sin
∑
k
⎧1 n = 0
, entonces x(nT ) = a n .
⎩0 n ≠ 0
interferencia entre símbolos, es decir, cuando g (nT ) = δ n , 0 ⎨
2.2
INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS
Si no consideramos el ruido, la señal de salida del filtro receptor es: x(t ) =
∑a
k
⋅ g ⋅ (t − kT )
k
Si g (nT ) = 0 para n ≠ 0 , los símbolos transmitidos pueden recuperarse muestreando x(t) en t=nT y entonces
x(nT ) = an ⋅ g (0 ) . El “primer criterio de NYQUIST” establece las condiciones que deben darse en el
dominio de la frecuencia para no tener interferencia entre símbolos:
Si g (nT ) = 0 para n ≠ 0, y g (0 ) = 1 ⇒ g (t ) ⋅ ∑ δ (t − nT ) = δ (t )
1
2π
⋅ G (ω ) ∗
T
2π
⎛
∑ δ ⎜⎝ ω − k
2π ⎞
⎟ =1 y
T ⎠
⎛
∑ G⎜⎝ ω − k
2π ⎞
⎟ =T
T ⎠
Un conjunto de filtros que se utilizan y cumplen esta condición son los que tienen una respuesta en frecuencia
en COSENO ALZADO, cuya expresión es:
⎛π
⎞
G (ω ) = Tb para ω < ⎜ − 2π ⋅ β ⎟
⎝T
⎠
⎧1 1
⎡π ⎛
1 ⎞⎤ ⎫
⎛π
⎞
⎛π
⎞
G (ω ) = Tb ⎨ + cos ⎢
⎜f +β −
⎟⎥ ⎬ para ⎜ − 2π ⋅ β ⎟ ≤ ω ≤ ⎜ + 2π ⋅ β ⎟
2T ⎠⎦ ⎭
⎝T
⎠
⎝T
⎠
⎣ 2β ⎝
⎩2 2
G (ω ) = 0
ω >
π
T
+ 2π ⋅ β
2-2
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
y g (t ) =
1
1 − (4 β ·t )
2
⎡ πt ⎤
⎢ sin T ⎥
⋅⎢
⎥ cos 2πβt
⎢ π t ⎥
⎣⎢ T ⎦⎥
En la gráfica: r = 2 βT ⇒ factor de roll - off ( ρ )
fo =
2-3
1
2T
Vemos que a medida que aumenta ρ, el valor de la “sinc” disminuye en los instantes de tiempo distintos al
actual. Este hecho hace que se reduzcan los requerimientos de precisión en el sincronismo (si se produce un
pequeño error, la IIS generada será menor). Al mismo tiempo, el ancho de banda aumenta desde
1
hasta
2T
1
cuando ρ varía desde 0 hasta 1.
T
D IAGRAMA DE OJO.
Se forma superponiendo los trazos de la salida del filtro receptor en un osciloscopio. El disparo se produce
dentro del intervalo de símbolo y dura un número entero de ellos. La siguiente figura muestra un ejemplo.
El diagrama de ojo resume algunas propiedades de la señal, como muestra la siguiente figura:
En presencia de ISI, cuando el pulso no satisface el criterio de Nyquist, el diagrama tenderá a cerrarse
verticalmente. Para una transmisión sin errores en ausencia de ruido, el ojo debe mantener cierta apertura
vertical (a), o en caso contrario existirán señales de interferencia entre símbolos que provocarán errores.
Cuando el ojo no esté totalmente cerrado, la interferencia entre símbolos reducirá el valor del ruido aditivo
2-4
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
admisible. Por tanto, cuanto mayor apertura vertical, mayor inmunidad frente al ruido. El instante óptimo de
muestreo será el punto de máxima apertura vertical del ojo, pero esto nunca puede ser logrado de forma
precisa por un sistema práctico de recuperación de sincronismo. Por eso, la apertura horizontal del ojo (b) es
también importante desde el punto de vista práctico: cuanto mayor sea la pendiente (c), mayor sensibilidad
tendrá el sistema a errores cometidos en la recuperación del sincronismo (errores en el cálculo del instante de
muestreo).
La forma del ojo queda determinada por la forma del pulso. En particular, la apertura vertical se determina
por la amplitud del pulso en los instantes múltiplos de T, y la apertura horizontal por la amplitud de las colas
del pulso. La siguiente figura muestra el diagrama para pulsos en coseno alzado con excesos de ancho de
banda de 25% y 100%. Nótese el beneficio obtenido en términos de apertura horizontal al incrementar el
ancho de banda.
Sin embargo, cuanto mayor sea el ancho de banda, mayor cantidad de ruido podrá alcanzar el receptor. Existe
por tanto un compromiso entre el exceso de ancho de banda, la inmunidad al ruido y la complejidad del
circuito de recuperación del sincronismo.
La siguiente figura muestra el diagrama de ojo en el caso de recibir una señal con ISI:
La siguiente figura muestra el diagrama que obtendríamos para una señal PAM de 4 niveles.
2-5
El valor de la ISI se puede calcular como:
⎡
g (nT − kT ) ⎤
x(nT ) = an ⋅ g (0 ) + ∑ ak ⋅ g (nT − kT ) = g (0 ) ⋅ ⎢an + ∑ ak ⋅
g (0) ⎥⎦
k ≠n
k ≠n
⎣
Llamamos D =
∑a
k ≠n
k
⋅
g (nT − kT )
g (0)
El valor máximo de D se dará cuando todos los bits anteriores tengan el mismo signo y tomen el máximo
valor, por ejemplo: (M − 1)d (para el caso unipolar y con separación entre símbolos de d.
ISI máximo = D MAX = (M − 1) ⋅ d ⋅ ∑
k ≠n
2.3
g (nT − kT )
g (0)
. Se define γ =
g (kT )
D MAX
= (M − 1) ⋅ ∑
d
k ≠ 0 g (0 )
FILTRO ADAPTADO
Consideremos un canal ruidoso y sin interferencia entre símbolos, y el siguiente esquema para la recepción:
n(t)
t=T
p(t)
h(t)
Decisión
Supongamos que se transmite un único pulso por dicho canal, y que en recepción debemos decidir si ha
habido o no pulso transmitido. El objetivo del filtro receptor h(t) es maximizar la relación A/σ, en donde A
es la amplitud del pulso recibido en el instante de la detección, y σ es el valor eficaz del ruido. Puede
demostrarse que h(t) debe de ser tal que:
2-6
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
2
2
∞ P( f )
P ∗ ( f )e − j 2πfT
⎛ A⎞
df
, y se obtiene para este caso γ max = ⎜ ⎟ = ∫
H( f ) = K
−∞ G ( f )
Gn ( f )
⎝σ ⎠
n
Para el caso de ruido blanco, con G n ( f ) =
2E p
N0
, h(t ) = K ⋅ p (T − t ) , y γ max =
.
N0
2
Si consideramos ahora una transmisión digital binaria c on velocidad r=1/T en la que se asigna un pulso p(t)
al bit 1 y 0v. al bit 0, y tomando la decisión en base a una detección de umbral, con umbral en A/2,
⎛ Ep
⎛ A/ 2 ⎞
⎟ = Q⎜
⎜ 2N 0
⎝ σ ⎠
⎝
obtenemos una probabilidad de error Pe = Q⎜
⎞
⎛
⎞
⎟ = Q⎜ Eb ⎟ en donde Eb es la
⎜ N ⎟
⎟
0 ⎠
⎝
⎠
energía media por bit. La siguiente tabla muestra las probabilidades de error para diferentes codificaciones de
línea.
Código de Línea
Unipolar NRZ, Unipolar RZ
Polar NRZ, Polar RZ
Bipolar NRZ, Bipolar RZ
Manchester NRZ, Manchester RZ
Probabilidad de error
⎛ Eb ⎞
⎟
Q⎜⎜
⎟
N
0
⎠
⎝
⎛ 2 Eb ⎞
⎟
Q⎜⎜
⎟
N
0
⎝
⎠
3 ⎛⎜ Eb ⎞⎟
, Eb N 0 > 2 ,
Q
2 ⎜⎝ N 0 ⎟⎠
⎛ 2 Eb ⎞
⎟
Q⎜⎜
⎟
N
0 ⎠
⎝
2-7
2.4
SINCRONISMO
Todos los receptores digitales necesitan tener su demodulador sincronizado a las transiciones de los símbolos
recibidos. Las señales de sincronización son señales de tipo reloj que son necesarias en el receptor (o
repetidor) para la detección (o regeneración) de la señal a partir de la señal recibida.
Las comunicaciones digitales generalmente necesitan al menos tres tipos de señales de sincronismo:
•
Sincronismo de símbolo o bit : se trata de encontrar dentro de la señal recibida los instantes
óptimos de detección de cada símbolo. Permitirá distinguir el intervalo de un bit del de otro.
•
Sincronismo de trama: hay que localizar dentro de una secuencia de bits el comienzo y final de
una trama. Se hace buscando patrones de bits.
•
Sincronismo de portadora: hay que generar una portadora en fase con la portadora de la señal
que llega modulada. Es por tanto necesario para sincronizarse o engancharse con la portadora. Se
usa en la detección coherente de señales paso banda.
Los sistemas se diseñan para que el sincronismo pueda transmitirse directamente con la señal o por un canal
separado que se utiliza únicamente para transmitir la información de sincronismo. Nosotros nos vamos a
concentrar en los sistemas que derivan el sincronismo directamente de la señal recibida. En este apartado nos
referiremos exclusivamente al sincronismo de bit o de símbolo.
Los sincronizadores de símbolo se pueden clasificar en dos grupos básicos:
•
Sincronizadores en lazo abierto, que recuperan una réplica del reloj del transmisor directamente a
partir de operaciones sobre la señal recibida.
2-8
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
•
Sincronizadores en lazo cerrado, que tratan de enganchar un reloj local a la señal recibida
mediante medidas comparativas entre ambas.
Los sincronizadores en lazo cerrado tienden a ser más exactos, pero son más complejos y costosos que los de
lazo abierto.
2.4.1
SINCRONIZADORES EN LAZO ABIERTO
También se denominan sincronizadores de filtro no lineal. Están basados en la generación de una
componente a la frecuencia de transmisión de símbolos operando sobre la señal recibida mediante una
combinación de filtrado y no linealidad.
La complejidad del circuito de sincronismo de bit depende en gran parte del código de línea utilizado. Por
ejemplo, el sincronizador para el código unipolar RZ con el suficiente número de alternancias de 1´s y 0´s es
sencillo, debido a que la densidad espectral de potencia de este código contiene deltas en frecuencias iguales al
bit-rate f=R. Por lo tanto, la señal de sincronismo de bit puede ser obtenida pasando la señal unipolar RZ
recibida por un filtro paso banda estrecho centrado en la frecuencia f0=R=1/Tb.
Para un código polar NRZ, un circuito sencillo se obtiene utilizando un elemento cuadrático. La señal polar
NRZ filtrada es convertida a unipolar RZ mediante un circuito de ley cuadrática o un rectificador de onda
completa. El proceso que sigue la señal puede verse en la siguiente figura:
2-9
Otro ejemplo de sincronizador en lazo abierto responde al diagrama de bloques de la figura:
2-10
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
Aquí se produce una componente a la frecuencia de reloj multiplicando la señal recibida consigo misma, pero
retardada. Para producir un componente armónico más alto, el retardo debe ser de la mitad del periodo de bit
Tb/2. La señal m(t) va a ser siempre positiva en la segunda mitad de cada periodo de bit, pero tendrá una
primera mitad negativa si ha habido cambio de estado en la señal recibida. De esta manera se produce una
señal cuadrada con componentes a la frecuencia de reloj y sus armónicos. La componente espectral deseada se
separa con el filtro paso banda y se conforma con el amplificador de saturación.
Un tercer tipo de sincronizador en lazo abierto responde al diagrama de bloques de la figura que implementa
un detector de pendiente.
Las operaciones importantes son las de diferenciación y rectificación, esta última usando un dispositivo de ley
cuadrática. Una señal rectangular de entrada dará a la salida del diferenciador impulsos positivos y negativos
en todas las transiciones. A la salida del rectificador los impulsos positivos tendrán armónicos a la frecuencia
de reloj. Ésta se separa con el filtro paso banda y se conforma con el amplificador de saturación.
Un problema es que los diferenciadores son muy sensibles al ruido de banda ancha. Es por ello que se incluye
el filtro paso bajo. Sin embargo, este filtro también hace que los pulsos tengan mucha menos pendiente y que
los pulsos del diferenciador no sean tan abruptos.
2.4.2
SINCRONIZADORES EN LAZO CERRADO
El principal inconveniente de los sincronizadores en lazo abierto es que hay un error de seguimiento del
instante óptimo, que no puede hacerse nulo. Los sincronizadores de lazo cerrado comparan la señal de
entrada con una señal de reloj generada localmente para sincronizar el reloj local con las transiciones de la
señal recibida.
El más utilizado es el sincronizador adelanto-retardo, basado en la simetría del propio código de línea
respecto al instante óptimo de detección. Si esta simetría se da para un pulso aislado también se dará para
secuencias alternadas de 1´s y 0´s. Si esta simetría no se cumpliera, el método no funcionaría. Por tanto, el
principal inconveniente que presenta este método es que tiene que haber alternancias de 1´s y 0´s en la señal.
2-11
En la figura, sea w1(t) la señal polar NRZ recibida y w1(τ0+nTb) el valor máximo de la señal muestreada,
donde R=1/Tb es el bit- rate. La señal alcanza su máximo en el instante óptimo de muestreo τ0. El módulo de
S/H muestrea la señal en el instante τ indicado por el reloj, sumando y restando un retardo ∆. Así
muestreamos la señal en dos instantes de tiempo diferentes, uno retardado (τ+∆) y otro adelantado (τ-∆).
Debido a la simetría del pulso alrededor del instante óptimo de muestreo se cumple que:
|w1(τ0+nTb-∆)|≅|w1(τ0+nTb+∆)|
donde 0<∆<Tb/2.
w3(t) es la tensión de control del VCC (reloj controlado por tensión, formado por un VCO y un limitador) y
se cumple que w3(t)=<w2(t)>, en donde w2(t)= |w1(τ+nTb-∆)|-|w1(τ+nTb+∆)|, es decir, es la diferencia
entre la muestra adelantada y la muestra retardada. Un valor positivo de w3(t) hará que la frecuencia de salida
del VCC aumente, y a la inversa, un valor negativo de w3(t) hará que la frecuencia del VCC disminuya.
Si el VCC está produciendo los pulsos de reloj en los instantes óptimos τ=τ0, las muestras se están
obteniendo en el punto de máxima apertura del diagrama de ojo y por tanto la señal de control w3(t) será nula.
Si τ no se corresponde con el valor óptimo τ0, w3(t) no será nula. Si τ es mayor que τ0 (muestreo con retraso)
la tensión de control w3(t) será positiva y la frecuencia del reloj aumentará (tendiendo así a corregir el retraso);
si τ es inferior a τ0 (muestreo adelantado) w3(t) será negativa y la frecuencia del reloj disminuirá. Estas
correcciones se producirán hasta que hasta que se cumpla que τ=τ0, lo que hará que la muestra adelantada y
la retardada sean iguales y la tensión de control w3(t) se haga nula.
El filtro paso bajo (LPF) situado antes del VCC ayuda a generar una frecuencia de reloj estable. Promedia las
posibles variaciones rápidas de la frecuencia y fase de la señal de entrada al LPF y va a hacer que el sistema
tenga una cierta inercia, eliminado así el jitter presente en la señal de entrada.
Este sincronizador de bit basado en la técnica de retardo- adelanto tiene la misma forma que el Lazo de
Costas.
2-12
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
Como hemos indicado anteriormente, el sincronizador de bit unipolar, polar y bipolar sólo funcionará
correctamente cuando los datos tengan un número suficiente de alternancias de 1´s y 0´s.
Las pérdidas de sincronización debido a flujo de bits de todo 1´s o 0´s pueden preverse adoptando alguna de
las dos siguientes alternativas:
•
Usar un código de línea que no requiera alternancia de bits para realizar la sincronización, como
por ejemplo el código Manchester NRZ. Este código requeriría un canal con el doble de ancho
de banda necesario para el código polar NRZ.
•
Utilización de aleatorizadores (scramblers)
A continuación estudiaremos el empleo de aleatorizadores o scramblers.
2.5
SCRAMBLERS
2.5.1
INTRODUCCIÓN
En la práctica, los sistemas de transmisión de datos no tienen control sobre las secuencias de bits que el
usuario va a transmitir. Hay secuencias de bits particulares, tales como largas secuencias de ceros o de unos,
que suceden muy a menudo en la práctica y que pueden causar problemas. A nivel teórico, estas secuencias
quebrantan fuertemente la hipótesis de que la secuencia de entrada es aleatoria e independiente del tiempo. A
un nivel más práctico, pueden causar problemas como una excesiva interferencia de radiofrecuencia,
íntermodulación, diafonía y dificultad en la recuperación de la temporización y la ecualización adaptativa.
El scrambling es un método para lograr un balance de la componente continua y eliminar largas secuencias de
ceros para asegurar una correcta recuperación del sincronismo sin codificación de línea redundante. Los
scramblers aleatorizadores aplican registros de desplazamiento de máxima longitud (MLSR - Maximum Length
Shift Registers) a la secuencia de bits de entrada para aleatorizar o blanquear los estadísticos de los datos,
haciéndola parecer más aleatoria.
Cualquier técnica sin redundancia, como la aleatorización, debe realizar un mapeo unívoco entre las
secuencias de bits de datos de entrada y las secuencias de bits codificadas. El objetivo es mapear secuencias
que sean problemáticas y bastante probables de suceder (tales como la todo ceros) en una secuencia
codificada que parezca más aleatoria y sea menos problemática. Sin embargo, dado que el mapeo es unívoco,
debe haber también una secuencia de entrada cuyo resultado tras el mapeo sea una secuencia problemática.
Suponemos que dicha secuencia de entrada es muy improbable. Por tanto, en general, la codificación de línea
redundante es un método más seguro para lograr los objetivos deseados, pero el scrambling es atractivo y
frecuentemente empleado en canales con extremadas restricciones de ancho de banda precisamente porque
no requiere redundancia. Por ejemplo, todos los módems de datos de la banda de voz estandarizados por la
UIT-T incorporan scramblers.
2.5.2
SECUENCIAS PSEUDO-ALEATORIAS
Una secuencia pseudo-aleatoria es una secuencia de bits periódica con propiedades tales que la harán parecer
aleatoria. Las secuencias pseudo-aleatorias son generadas por un registro de desplazamiento con
realimentación lineal tal y como se ilustra en el esquema de la figura:
2-13
y (n )
x(n )
⊕
D
D
⊕
D
⊕
⊕
Podemos representarlo también:
x (n )
y (n )
⊕
D
⊕
h1
⊕
⊕
h2
y (n − 1)
D
y (n − 2 )
hm −1
D
hm
y (n − m )
que como vemos tiene la forma de un IIR, en donde x(n) es una secuencia binaria de entrada e y(n) es la
secuencia binaria de salida, y cuyos requisitos Soft y Hard son las posiciones de memoria y los registros de
desplazamiento respectivamente.
Vemos que este elemento está gobernado por la relación:
m
y (n ) = x(n) + ∑ hk · y (n − k ) .
k =1
Para la generación de secuencias pseudo aleatorias hacemos x(n ) = 0 , y (n ) =
m
∑ h y(n − k ) donde la suma
k =1
k⋅
es módulo-2 y equivale a realizar un XOR, la salida y(n) es binaria (tomando los valores "0" y "1") y, de forma
similar, los coeficientes del registro de desplazamiento son binarios. Los coeficientes nulos corresponden a
etapas no realimentadas, mientras que los coeficientes de valor "1" corresponden a conexiones directas de la
salida del registro de desplazamiento a la suma módulo-2.
Sumando y(n) a ambos lados de la relación anterior, y recordando que y(n)⊕y(n)=0 (el símbolo ⊕ denota
suma módulo-2), llegamos a:
y(n) ⊕ h1 y(n-1) ⊕ ... ⊕ hm y(n-m )= 0
En otros términos: y(n) ∗ hn = 0
si definimos h0=1 y hn=0 para n<0 y n>m, y si por supuesto interpretamos que la suma en la convolución se
realiza en módulo-2.
2-14
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
Definimos el estado del sistema en un instante como:
s (n ) = [ y (n − 1), y (n − 2),K y (n − m )] = [s1 (n ), s 2 (n ),K s m (n )]
El estado del sistema es un vector con las salidas de los registros de desplazamiento en este instante. Podemos
poner y (n ) =
m
∑ h ·s (n) en donde vemos que la salida en el instante n depende de las conexiones y del
k =1
k
k
estado del sistema.
Dada cualquier secuencia binaria bk (determinística o aleatoria), la transformada HUFFMAN en módulo-2 es:
b(D) = . . . ⊕ b-1 D-1 ⊕ b0 ⊕ b1 D ⊕ b2 D2. . .
Esta expresión tiene la forma de una transformada Z excepto por el hecho de que la suma se realiza en
módulo-2 y el símbolo D es usado en lugar de z-1. Además, no se utilizan mayúsculas para esta transformada.
Por ello, los circuitos secuenciales binarios pueden analizarse con los mismos métodos que las secuencias
discretas. Así, la convolución de dos secuencias:
c(n) = g(n) ∗ bn
puede escribirse en el dominio D de la forma:
c(D) = g(D) b(D)
La transformada Huffman de la relación y(n)∗hn=0 es:
h(D) y(D) = 0
en donde:
h(D) = 1 ⊕ h1 D ⊕ . . . ⊕ hm Dm
es la función de transferencia del registro de desplazamiento. Como vemos se trata de un polinomio en D en
general de grado m, con coeficientes binarios, y recibe el nombre de “polinomio generador”.
2.5.3
REGISTROS DE DESPLAZAMIENTO CON REALIMENTACIÓN LINEAL DE MÁXIMA
LONGITUD
En este apartado vamos a considerar las propiedades de una secuencia periódica generada por el registro de
desplazamiento del apartado anterior con el polinomio generador h(D). Aunque un tratamiento completo de
este problema requiere avanzados cálculos matemáticos, se pueden entender la mayoría de las propiedades de
este generador basándonos sólo en conceptos elementales.
Matemáticamente, los coeficientes binarios del polinomio generador junto con las reglas de multiplicación y
suma en módulo-2 constituyen un campo algebraico similar al de los números reales y complejos. Debido a
que ese campo tiene sólo dos elementos, también es llamado campo finito o campo de GALOIS de dos
elementos GF(2). El número de elementos de un campo de Galois es siempre un número primo, o un
número primo elevado a una potencia. Aquí nos vamos a limitar a campos finitos de dos elementos, que es
justo la aritmética en módulo-2 considerada en este tema.
2-15
Ilustramos la aritmética sobre GF(2) multiplicando los polinomios (1 ⊕ D) y (1 ⊕ D ⊕ D2):
(1 ⊕ D)(1 ⊕ D ⊕ D2) = 1 ⊕ D ⊕ D ⊕ D2 ⊕ D2 ⊕ D3 = 1 ⊕ D3
Hemos usado la siguiente propiedad:
D ⊕ D = (1 ⊕ 1)D = 0 D = 0
Sabemos que los polinomios de orden n con coeficientes reales siempre tienen n raíces, que pueden ser de
valor complejo. En general, un polinomio de coeficientes reales no siempre puede ser factorizado en producto
de polinomios de menor orden con coeficientes reales. Igualmente, un polinomio GF(2) no siempre puede ser
factorizado en dos o más polinomios con coeficientes GF(2).
Así, por ejemplo, el polinomio (1 ⊕ D ⊕ D2) no puede ser factorizado en producto de otros dos polinomios
de primer orden sobre GF(2). De hecho, los únicos polinomios de primer orden sobre GF(2) son D y (1 ⊕
D), y se puede deducir inmediatamente que no son factores de (1 ⊕ D ⊕ D2).
Aquel polinomio que no tiene más factores que él mismo y la unidad se conoce como “polinomio
irreductible” sobre GF(2).
Volviendo al registro de desplazamiento con realimentación lineal, el estado del sistema puede tomar como
máximo 2m valores diferentes. Podemos deducir las siguientes propiedades:
•
Si el estado del registro de desplazamiento es cero (0 0 ... 0) en un momento determinado,
entonces será siempre todo ceros. Por tanto, debemos asegurarnos de que este estado no se
alcance nunca.
•
Si el vector de estado del sistema se repite para dos instantes de tiempo consecutivos, entonces
permanecerá siempre igual. Por tanto debemos asegurarnos de que el estado siempre cambie en
cada incremento de tiempo.
•
Dado que sólo hay 2m posibles estados diferentes, la secuencia de estados debe volver siempre a
un estado inicial, tras el cual la secuencia de estados se repetirá. Debido a que la salida y(n) es
función del estado, también será periódica.
•
Combinando las tres propiedades anteriores, el periodo máximo de las secuencias de estados y
por tanto de la secuencia de salida obtenida y(n) es de r=2m-1 incrementos de tiempo. Este
periodo máximo correspondería a una secuencia periódica de estados que variara en cada
incremento de tiempo y cuyo ciclo comprendiera todos los estados excepto el cero (0 0 ... 0).
Se dice que se produce bloqueo cuando no se genera el efecto de aleatorización deseado. Ocurrirá, por
ejemplo si, estando inicializado a cero, la secuencia de entrada es todo-ceros.
Un registro de desplazamiento de m bits realimentado se denomina de máxima longitud si el periodo de la
secuencia generada vale N = 2 m − 1 . Dicha secuencia tiene las propiedades de las secuencias aleatorias:
•
Frecuencia de los ceros y de los unos: En un periodo de longitud 2 m − 1 siempre hay un uno
más que ceros. Si N = 2 m − 1 es grande, los unos y los ceros serán prácticamente equiprobables.
2-16
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
•
Frecuencia de las secuencias de bits iguales: Llamamos “carrera” o “run” a una cadena de
símbolos consecutivos idénticos:
0111001...
run de 3 unos
En cualquier segmento de longitud 2 m − 1 la mitad de las carreras de unos tienen longitud “1”, la cuarta
parte longitud “2”, la octava parte longitud “3”... y el número de carreras de ceros es igual al número de
carreras de unos en cada caso.
•
En una secuencia aleatoria, la probabilidad de tener una carrera de longitud k es:
1
2k +2
•
k
0 1L L1 0
Así, en un periodo de una secuencia de máxima longitud:
−
Hay una carrera de m unos.
−
No hay carreras de m-1 unos.
−
Para 1 ≤ k ≤ m − 2 hay 2 m −k − 2 carreras de k unos.
Ejemplo:
El polinomio generador h(D) = 1 ⊕ D ⊕ D2 es irreducible, y se puede demostrar que además es de máxima
longitud de periodo 22-1=3. Comenzando por el estado (0 1), la siguiente tabla muestra el estado y la salida en
cuatro ciclos consecutivos de tiempo:
y(n)
Y(n-1)
y(n-2)
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
Comprobamos que el estado vuelve a su valor inicial tras el cuarto incremento de tiempo, y por tanto el
registro de desplazamiento continuará con la misma secuencia de estados. También podemos comprobar que
si inicializáramos el estado con cualquiera de los otros dos valores, resultaría la misma secuencia de estados,
sólo que comenzaríamos en un punto diferente de la secuencia.
El periodo de la secuencia de un registro de desplazamiento podría ser menor que 2m-1. Para generar
secuencias con apariencia aleatoria, interesan aquellos polinomios capaces de generar secuencias de máxima
2-17
longitud, es decir, con periodo N=2m-1. Estos polinomios se conocen como polinomios primitivos.
Interesa por tanto tener algún criterio para establecer cuándo un polinomio generador producirá una
secuencia de máxima longitud (2m-1). Para que un polinomio sea primitivo debe ser irreductible (pero no al
revés).
El periodo de una secuencia con h(D) irreductible de grado m es el menor entero N distinto de cero tal que 1
⊕ DN es divisible por h(D). El polinomio es primitivo cuando N toma su valor máximo 2m-1.
Cuando un polinomio irreducible h(D) de grado m no es divisor de ningún polinomio (1 ⊕ DN) para N<2m1 se dice que es primitivo. La secuencia de un registro de desplazamiento es de máxima longitud si y sólo si el
polinomio generador es primitivo. El periodo es el entero N mas pequeño tal que (1 ⊕ DN) es divisible por
h(D).
Ejemplo:
Comprobar que h(D) = 1 ⊕ D ⊕ D2 es primitivo.
En este ejemplo, m=2. 2m-1=3. Debemos probar los polinomios 1 ⊕ DN, con 2≤N<3. Será primitivo si no es
divisor de ninguno de ellos.
Se puede comprobar que el polinomio generador h(D) = 1 ⊕ D ⊕ D2 es primitivo, porque es obvio que no
es divisor de (1 ⊕ D2), aunque sí es divisor de (1 ⊕ D3):
(1 ⊕ D ⊕ D2) (1 ⊕ D) = (1 ⊕ D3)
Afortunadamente, existen polinomios generadores de todos los órdenes. Los polinomios de menor peso, que
son los de menor número de etapas en el registro de desplazamiento (aquéllos que tienen mayor número de
conexiones nulas) de todos los órdenes hasta m=34 están listados en la siguiente tabla:
2-18
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
Tabla: Polinomios primitivos de menor peso de órdenes del 2 al 34. Cada entrada en la tabla es un número
octal que, una vez convertido a binario, especifica los coeficientes del polinomio h(D). El bit más significativo
(izquierda) es hm=1, y el menos significativo (derecha) es h0=1.
13
001011
1+D+0*D2+1D3=1+D+D3
Una propiedad interesante de las secuencias de máxima longitud es que si miramos segmentos de n bits de la
secuencia, veremos todas las palabras de n bits posibles, con la excepción de la palabra todo-ceros. Esto se
deduce del hecho de que el estado del registro de desplazamiento pasa a través de todas las posibilidades
excepto la secuencia todo-ceros, y el estado es igual a los n bits pasados de la salida. La secuencia de máxima
longitud satisface por tanto una mínima condición de aleatoriedad, dado que esperaríamos ver todas las
combinaciones de bits (excepto la todo-ceros) en tal secuencia.
La salida de un registro de desplazamiento de máxima longitud es llamada habitualmente secuencia
pseudoaleatoria (PN), a pesar de que la secuencia es determinística y periódica, ya que como se ha visto
presenta muchas de las propiedades de una secuencia aleatoria. Podemos ver dichas propiedades reflejadas en
la función de autocorrelación de la señal digital binaria asociada a una secuencia pseudo aleatoria como las
estudiadas. Consideremos:
s(t ) = ∑ (2c k − 1) ⋅ g (t − kTc ) = ∑ a k ⋅ g (t − kTc ) en donde los 0s y los 1s de la secuencia
k
k
pseudoaleatoria ck están representados por –1 y +1 {ak} respectivamente, y para g(t) tomamos un pulso
rectangular. La función de autocorrelación de la secuencia {ak}, definida como Ra (k ) =
⎧⎪ 1,
Ra ( k ) = ⎨ 1
−
⎪⎩ N
k = lN
k ≠ lN
y Rs (τ ) =
∑R
k
a
⎛ τ − kTc
(k )∆⎜⎜
⎝ Tc
2-19
⎞
⎟⎟ .
⎠
1
N
N −1
∑a a
n =0
n
n+ k
, vale:
Esta función y su TF (la DEP) se encuentran representadas en la siguiente figura:
Esta densidad espectral de potencia puede compararse con la que se obtendría para una secuencia de
símbolos ak incorrelados: en lugar de obtener una función contínua, obtenemos una DEP compuesta de
armónicos, equiespaciados 1/NTc. Por tanto, ambas funciones se parecerán más, cuanto mayor sea el periodo
N de la secuencia pseudo-aleatoria.
2.5.4
SCRAMBLER SINCRONIZADO POR TRAMAS
Un scrambler sincronizado por tramas, también llamado scrambler criptográfico, ilustrado en la figura:
x(n)
⊕
y(n)
c(n)
Generador
de máxima
longitud
y(n)
x(n)
⊕
c(n)
Generador
de máxima
longitud
realiza una suma en módulo-2 de la cadena de bits del usuario x(n) con la salida c(n) de un registro de
desplazamiento con realimentación lineal de máxima longitud en el transmisor para generar la cadena de bits
aleatorizada y(n):
y (n ) = x(n) ⊕ c(n)
La cadena de bits aleatorizada es transmitida al receptor mediante algún método de codificación de línea, y allí
es desaleatorizada mediante otra suma en módulo-2 con la salida de otro generador idéntico para recuperar la
cadena de bits de usuario original. Esta recuperación sigue la relación:
2-20
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
y(n) ⊕ c(n) = x(n) ⊕ c(n) ⊕ c(n) = x(n)
dado que c(n) ⊕ c(n) = 0.
Con señalización binaria bipolar, x(n)=1 sería transmitido como 1 y sería transmitido como –1 (llamemos a
esta secuencia x’(n). De forma similar, podemos definir una versión binaria bipolar de la secuencia c(n),
llamémosla c’(n), que tome los valores ±1. En este caso se cumple que s’(n)·s’(n)=1. Así, la generación de la
secuencia aleatorizada se realizará mediante el producto: x’(n)·c’(n), que da lugar a la secuencia –y’(n).
El funcionamiento correcto de este esquema depende de la alineación en el tiempo de las secuencias de
máxima longitud del aleatorizador y del desaleatorizador: es decir, requiere sincronismo de trama. Este
sincronismo debe de ser llevado a cabo por un mecanismo adicional.
Un problema que presenta este esquema es que si el usuario pasara al scrambler la propia secuencia de
máxima longitud, la secuencia aleatorizada sería todo ceros. No obstante, esta eventualidad sería muy
improbable. De manera más general, la secuencia aleatorizada será periódica siempre que la cadena de entrada
lo sea debido a la periodicidad de la salida del generador. El periodo de la secuencia aleatorizada será el
mínimo común múltiplo de los periodos de ambas secuencias. Por ello, conviene generar secuencias
pseudoaleatorias de periodo un número primo, de forma que el mínimo común múltiplo ocurra para un
periodo de la secuencia de entrada M=1 , es decir, cuando la secuencia de entrada sea todo ceros o todo unos.
2.5.5
SCRAMBLER AUTOSINCRONIZABLE
Podemos eludir la necesidad de la sincronización por tramas del scrambler utilizando el scrambler
autosincronizado de la siguiente figura:
c(n)
b(n)
⊕
D
c(n)
D
h1
⊕
hm-1
⊕
D
hm
D
h1
⊕
⊕
b(n)
hm-1
⊕
hm
⊕
En este caso utilizamos un generador de registro de desplazamiento en el transmisor, excepto por el hecho de
que se añade la cadena de entrada directamente a la entrada del registro de desplazamiento. La entrada del
registro c(n) es también la secuencia aleatorizada, y se aplica a la entrada de un registro de desplazamiento
idéntico en el descrambler. Dado que ambos registros de desplazamiento, el del scrambler y el del
descrambler, tienen las mismas entradas (en ausencia de errores de transmisión), y la salida del registro de
desplazamiento se suma en módulo-2 en el scrambler y en el descrambler, se deduce que la secuencia de
entrada b(n) es recuperada por el descrambler.
Matemáticamente, el scrambler se representa mediante la relación:
c(n) = b(n) ⊕ h1 c(n-1) ⊕ . . . ⊕ hm c(n-m)
y, calculando la transformada D de ambas partes, se obtiene:
h(D) c(D) = b(D)
donde h(D) es el mismo polinomio generador que en el caso del generador de máxima longitud. Podemos
escribir:
2-21
c(D) = b(D) / h(D)
y podemos ver la salida del scrambler como el cociente de dividir el polinomio correspondiente a la entrada
por el polinomio de conexiones o generador h(D), mientras que el descrambler multiplica el polinomio de la
cadena aleatorizada por h(D).
Debido a la linealidad del circuito del scrambler, y a pesar de la aritmética en módulo-2, podemos ver el
procesado de la siguiente forma: El scrambler consiste en un filtro todo-polos de función de transferencia
1/h(D); el descrambler consiste en un filtro todo-ceros de función de transferencia h(D). El producto de las
dos funciones de transferencia es la unidad, recuperándose así la secuencia de bits original. La salida del filtro
todo-polos puede descomponerse en la superposición (suma en módulo-2 en este caso) de dos soluciones: la
solución a la entrada cero (respuesta transitoria) y la solución al estado cero (respuesta estacionaria). La
solución a la entrada cero es precisamente la secuencia de máxima longitud utilizada en el scrambler
sincronizado por tramas, donde esta solución persiste siempre y no desaparece como lo haría en un filtro
normal. Según esta forma de ver el scrambler, la salida es la versión filtrada con el filtro todo-polos de la
cadena de entrada sumada a la secuencia de máxima longitud. Por último, nos proporciona la operación de
aleatorización que pretendemos conseguir con el scrambler.
Ejemplos:
El módem V.22bis utiliza un scrambler autosincronizado de polinomio generador:
h(D) = 1 ⊕ D14 ⊕ D17.
El módem V.26ter utiliza dos polinomios, h(D) = 1 ⊕ D18 ⊕ D23 en un sentido de transmisión y h(D) = 1 ⊕
D5 ⊕ D23 en el otro sentido. El motivo para utilizar dos generadores es que el modemV.26ter emplea
cancelación de eco para separar los dos sentidos de transmisión, y es importante asegurar que las secuencias
aleatorizadas en ambos sentidos estén incorreladas.
El módem V32 también utiliza dos polinomios: el módem que llama utiliza h(D) = 1 ⊕ D18 ⊕ D23 y el
módem llamado V32bis utiliza h(D) = 1 ⊕ D5 ⊕ D23.
Por último, el módem G3RUH (muy empleado en radioafición) emplea el polinomio generador h(D) = 1 ⊕
D12 ⊕ D17.
El scrambler autosincronizado tiene un inconveniente: la propagación de errores. Cuando la entrada al
registro de desplazamiento del descrambler es diferente a la del registro de desplazamiento del scrambler
debido a un error de transmisión, se generan errores adicionales. Concretamente, hay un error directo y un
error secundario que se propagará en tantos bits como coeficientes no nulos. Es por ello que interesa que
haya muchos coeficientes nulos en el polinomio de conexiones.
El scrambler autosincronizado también tiene más problemas con cadenas de entrada periódicas que el
scrambler sincronizado por tramas. En general, ocurrirá también que el periodo de la secuencia de salida será
el mínimo común múltiplo de los periodos de ambas secuencias. Pero para un estado en particular, el periodo
de la secuencia de salida será el de la secuencia de entrada. Sin embargo, esta probabilidad es muy baja (la
probabilidad asociada a dicho estado).
2-22
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
Ejercicio:
Utilizar la tabla de los polinomios primitivos de menor orden para designar un registro de desplazamiento de
máxima longitud de orden n=3. Calcular la secuencia de estados y salidas para verificar que el periodo es 231=7.
El polinomio primitivo para n=3 en octal es 13, que en binario es 1 ⊕ D ⊕ D3.
El registro de desplazamiento generador correspondiente a dicho polinomio es:
y(n)
D
y(n-1)
D
y(n-2)
y(n-3)
D
⊕
Y la secuencia de estados y salidas es la de la siguiente tabla, donde comprobamos que el estado vuelve a su
valor inicial tras el octavo incremento de tiempo, y por tanto el registro de desplazamiento continuará con la
misma secuencia de estados:
2.6
EJERCICIOS
2.6.1
PROBLEMA 1
y(n)
Y(n-1)
y(n-2)
y(n-3)
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
En el sistema de transmisión digital telefónico conocido como MIC-32 se transmiten como sabe 32 canales
multiplexados en el tiempo, en el cual 30 canales son de voz muestreada a 8KHz y con 8 bits por cada
muestra (los 2 canales restantes son de datos y son también de 8 bits).
¿Qué ancho de banda mínimo se requiere para la transmisión binaria en banda base sin interferencia entre
símbolos? ¿Y si se utiliza un pulso en coseno alzado con factor de roll-off de ρ=1? ¿Y si se utiliza un sistema
de 16 niveles?
2-23
2.6.2
PROBLEMA 2
Parte a)
Considere el siguiente polinomio irreductible: h(D)=D4+D+1
¿Cuál es la longitud o periodo de la secuencia de máxima longitud generada?
¿Cuál es la longitud de la secuencia de estado?
¿Porqué se llama estado catastrófico a la secuencia de estado todo ceros?
Dibuje el esquema del aleatorizador/desaleatorizador autosincronizable que utilice el polinomio generador
citado.
Parte b)
Considere ahora el siguiente polinomio generador:
h(D)=1+D2
¿Es un polinomio primitivo? Demuéstrelo comprobando el funcionamiento del generador.
2.6.3
PROBLEMA 3
La parte a) de la siguiente figura muestra la señal transmitida cuando el filtro de transmisión es un filtro RC.
a) Qué representa la parte b) de la figura?
b) Qué representa la parte c) de la figura? Describa los parámetros más relevantes en esta figura.
c) ¿Bajo qué condiciones utilizaría un sistema de transmisión como el mostrado?
2-24
P ROCESADO DE SEÑAL EN COMUNICACIONES
2.6.4
PROBLEMA 4
Dos sistemas de transmisión digital en banda base, son idénticos, excepto en el hecho de que uno utiliza el
pulso básico para la transmisión de la figura a) y el segundo el de la figura b).
En la transmisión por un canal plano ideal de dicha señal a velocidad 1/T, y recepción con filtro adaptado,
Cuál presentará un probabilidad de error menor? Justifique su respuesta.
p1(t)
p2(t)
A
A
T
t
T
a)
2.7
b)
BIBLIOGRAFÍA
Para los apartados 2.1, 2.2 y 2.3, nos servirá cualquier libro de introducción a las comunicaciones:
−
Bruce Carlson
Communicactions Systems: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communications
McGraw-Hill, 3ªEd. 1986
− Ferrel G. Stremler
Introduction to Communications Systems
Addison-Wesley, 3ª Ed. 1990
− Simon Haykin
Digital Communications
Wiley, 1988
Para el apartado de sincronismo:
−
−
John G. Proakis
Digital Communications
McGraw-Hill, 3º Ed. 1995
Michel C. Jeruchim, Philip Balaban, K.Sam Shanmugan (Cap. 4.13)
Simulation of Communication Systems
SystemsPlenum, 2nd. Ed. 1994
Para Scramblers:
−
Stephen G. Wilson (Cap.5)
2-25
t
−
Digital Modulation an Coding
Prentice Hall, 1996
Eduard A. Lee, David G. Messerschmitt (Cap.13)
Digital Communication
KAP, 2nd Ed. 1994
2-26