Momento de inercia de un prisma recto de masa M, y lados a, b y c respecto a su centro de gravedad Consideramos un sistema de referencia cuyo origen Z es el vértice inferior izquierdo, y los ejes son paralelos a las aristas. El volumen del prisma es V = abc y su masa M = ρ abc c El momento de inercia respecto al centro de Y a gravedad es la suma de los momentos de inercia b respecto a tres planos paralelos entre sí que se corten en el, por tanto I G = I XGY + I XGZ + I YGZ X Calculamos los momentos de inercia respecto a los Z tres planos que se cortan en O, y por aplicación del teorema de Steiner se calculan respecto a los planos que pasan por G. El momento de inercia respecto al plano que pasa por c su base es I base = I XOY = ∫∫∫ z 2 dm . a Y V b Consideramos un elemento diferencial de volumen, a una distancia z (0≤ z ≤c)del plano XOY, cuya masa X es dm = ρdV = ρabdz , por lo que c I base = I XOY = ∫∫∫ z ρabdz = ρab ∫ z 2 dz = ρab 2 0 V c3 c 2 Mc 2 y el momento de inercia = ( ρabc ) = 3 3 3 respecto al plano paralelo a la base, que pasa por el centro de gravedad es 2 I XGY = Mc 2 Mc 2 ⎛c⎞ − M⎜ ⎟ = 3 12 ⎝ 2⎠ El momento de inercia respecto al plano lateral Z XOZ es I XOZ = ∫∫∫ y 2 dm . y V Consideramos un elemento diferencial de volumen, a una distancia y (0≤ y ≤b) del plano XOZ, cuya c Y a b X masa es dm = ρdV = ρacdy , por lo que el momento de inercia es b I XOZ = ∫∫∫ y 2 ρacdy = ρac ∫ y 2 dy = ρac V 0 b3 b 2 Mb 2 = (ρabc ) = 3 3 3 y el momento de inercia respecto al plano perpendicular que pasa por el centro de gravedad es 2 I XGZ = Mb 2 Mb 2 ⎛b⎞ − M⎜ ⎟ = 3 12 ⎝ 2⎠ El momento de inercia respecto al plano YOZ es Z I YOZ = ∫∫∫ x 2 dm . V Consideramos un elemento diferencial de volumen, a una distancia x (0≤ x ≤a)del plano XOZ, cuya masa c Y a es dm = ρdV = ρbcdx , por lo que el momento de inercia es b a I YOZ = ∫∫∫ x 2 ρbcdx = ρbc ∫ x 2 dx = ρbc X V 0 a3 a 2 Ma 2 = ( ρabc ) = 3 3 3 y el momento de inercia respecto al plano paralelo, que pasa por el centro de gravedad es 2 I YGZ Ma 2 Ma 2 ⎛a⎞ = − M⎜ ⎟ = 3 12 ⎝ 2⎠ El momento de inercia respecto al centro de gravedad es I G = ( M a2 + b2 + c2 12 ) 1