Momento de inercia de un cono de radio R, altura H masa M respecto a su centro de gravedad 1 1 El volumen del cono es V = πR2 H y su masa M = ρπR 2 H 3 3 Consideramos un sistema de referencia tal que su eje de revolución es el eje OZ, y la base es el plano XOY. El momento de inercia respecto al centro de gravedad es la suma del momento de inercia respecto al eje GZ y el momento de inercia respecto al plano perpendicular (XGY) que pasa por él. El momento de inercia respecto al eje GZ es I GZ = ∫∫∫ r 2 d m ; consideramos un elemento diferencial de volumen dV = 2πrdzdr , situado a una distancia r del eje GZ. Es un cilindro hueco de radio interior r, radio exterior r+dr y altura dz, por lo que la masa es dm = ρ 2πrdzdr . La distancia z varia entre 0 (en la base) y H (en el vértice) y la distancia r varía entre 0 (en el eje) y R. El momento de inercia respecto a GZ es I GZ = ∫∫∫ r 2 dm = ∫∫∫ r 2 ρ 2πrdrdz = ρ 2π ∫∫ zr 3dr donde el valor de z es r⎞ ⎛ variable, dependiendo de r, z = ⎜ 1 − ⎟ H , por tanto R⎠ ⎝ ⎡ R4 R5 ⎤ ⎛ r4 ⎞ R 4 ⎛ ρπHR 2 ⎞ 3 2 3 ⎟⎟ R = MR 2 I GZ = ρ 2πH ∫ ⎜⎜ r 3 − ⎟⎟dr = 2πρH ⎢ − ρπ H = = ⎜⎜ ⎥ R 4 5 R 10 3 10 ⎠ 10 ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ Aplicando el teorema de Steiner, el momento de inercia respecto al plano que pasa por el centro de gravedad (XGY) es igual al momento de inercia respecto a un plano paralelo a él, que pasa por la base, menos la masa por el cuadrado de la distancia que separa ambos planos (el centro de gravedad se encuentra a H/4 de la base). El momento de inercia respecto al plano que pasa por la base del cono es I base = ∫∫∫ z 2 d m Elegimos un elemento diferencial de volumen, que es un cilindro de radio r, situado a una distancia z de Su masa es dm = ρπr 2 dz , siendo la base. r= R R2 ( H − z ) . Por tanto r 2 = 2 ( H 2 + z 2 − 2 zH ) H H r z dz Por tanto el momento de inercia respecto a la base es I base = ρπ R2 H2 ∫ (H H 2 ) z 2 + z 4 − 2 Hz 3 dz = 0 ρπR 2 ⎡ H 2 H 3 ⎢ H2 ⎣ 3 + H5 H4⎤ 1 − 2H ρπR 2 H 3 = ⎥= 5 4 ⎦ 30 1 ⎛1 ⎞1 = ⎜ ρπR 2 H ⎟ H 2 = MH 2 = I XOY 10 ⎠ 10 ⎝3 El momento de inercia respecto al plano paralelo que pasa por el centro de gravedad es, aplicando el teorema de Steiner I XGY = IG = 3 MH 2 80 3 3 MH 2 + MR 2 80 10 1