EXAMEN DE CURVAS ALGEBRAICAS (Grupos B, C y D) 13 de septiembre de 2005 (3 horas) 1) (2 puntos) Demuestra que una curva algebraica plana compleja tiene un numero innito de puntos. 2) (2 puntos) Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Sea C una curva algebraica de grado 5, irreducible. >Puede C tener dos puntos singulares de multiplicidad 3? >Puede C tener cinco puntos singulares, uno de ellos de multiplicidad 3? b) Da la ecuacion de una curva irreducible de grado 4 que tenga un punto singular de multiplicidad 3 con dos tangentes distintas. c) Demuestra que una cuartica irreducible con un punto singular de multiplicidad 3 no tiene mas puntos singulares. 3) (6 puntos) Sean las curvas polinomios F 3 = X0 X1 y G = C = V (F ) y D = V (G) de P2C denidas por los + X14 + 4X13 X2 + 6X12 X22 + 4X1 X23 + X24 2 X0 X1 + X13 + 3X12 X2 + 3X1 X22 + X23 : Se pide: a) Demostrar que (1 : 0 : 0) es un punto triple de C y un punto doble de D, y que C y D son irreducibles. b) Calcular todos los puntos singulares de C y D, calculando sus rectas tangentes en ellos, y demostrar que C y D poseen una parametrizacion racional. c) Demostrar que la recta X0 = 0 es tangente de inexion para ambas curvas y calcular todos los puntos de inexion de D. d) Demostrar que C y D se cortan con multiplicidad 8 en (1 : 0 : 0) y multiplicidad 3 en (0 : 1 : 1). Calcular con que multiplicidad se cortan C y D en los demas puntos de interseccion. e) Encontrar los puntos de D cuya recta tangente pasa por (1 : 0 : 0). f) Demostrar que hay innitas cuarticas que cortan a C con multiplicidad al menos 8 en (1 : 0 : 0), con multiplicidad al menos 6 en (0 : 1 : 1) y pasan ademas por el punto (1 : 1 : 0).