Obtener la función polinomial conociendo sus ceros (raíces) de un

Obtener la función polinomial
conociendo sus ceros (raíces) de un
polinomio dadas sus raíces.
Ejemplo:
Deducír un polinomio, f(x), en forma factorizada, que tenga grado
3, ceros 2, − 1 y 3, y que satisfaga f(1) = 5.
Solución
De acuerdo con el teorema del factor, f(x) tiene tos factores
x − 2, x + 1 y x − 3. No existen más factores de grado 1, ya que
según el teorema del factor, otro factor lineal, x − c, produciría un
cuarto cero de f(x), contradiciendo al teorema anterior. Por
consiguiente, f(x) tiene la forma
f(x) = a(x − 2)(x + 1)(x − 3)
para algún número a. Como f(1) = 5, entonces
5 = a(1 − 2)(1 + 1)(1 − 3)
sea.x = 1 en f(x)
5 = 4a
a se simplifica
a = 5/4
se despeja a
En consecuencia,
Si se multiplican los factores, se obtiene el polinomio
Los números, c1, c2, . . , cn, en el teorema de factorización
completa, no necesariamente han de ser distintos. Por ejemplo,
f(x) = x3 + x2 − 5x + 3 tiene como factorización
f(x) = (x + 3)(x − 1)(x − 1 ).
Si se repite m veces un factor x − c en la factorización, entonces c
es cero de multiplicidad m de f(x), o raíz de multiplicidad m de
la ecuación f(x) = 0. En el ejemplo anterior, 1 es cero de
multiplicidad 2, y − 3, de multiplicidad 1.
Si c es un cero real de f(x) de multiplicidad m, entonces f(x) tiene
el factor (x − c)m, y la gráfica de f, una abscisa c en el origen. La
forma general de la gráfica en (c, 0) depende de si m es entero
impar o par. Si m es impar, entonces (x − c)m cambia de signo al
aumentar x hasta c y, por consiguiente, la gráfica de f cruza el eje
x en (c, 0), como se ve en el primer renglón de la tabla siguiente.
Las figuras de esta tabla no indican la gráfica completa de f, sino
sólo su forma general cerca de (c, 0). Si m es par, entonces
(x − c)m no cambia de signo en c, y la gráfica de f cerca de (c, 0)
tiene la apariencia de una de las dos figuras del segundo renglón.
Factor de f(x) Forma general de la gráfica de f cerca de (c, 0)
(x - c)m, con m
impar y m ≠ 1
(x - c)m, con m
par