Cálculo Integral para primeros cursos universitarios

Anuncio
CAPÍTULO 7. INTEGRAL DEFINIDA
7.1. Introducción
7.2. Teorema de integrabilidad
7.3. El área como una integral definida
7.4. Propiedades
7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integral
7.6. Cambios de variable para integrales definidas
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Capítulo 7
Integral definida
b
⌠
⌡
f(x) dx
a
b
⌠
⌡
f(x) dx
a
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Capítulo 7
Integral definida
Volver al Índice
7.1. Introducción
Si y = f(x) es una función definida en el intervalo [a,b] y el límite de la
suma de Riemann existe, entonces decimos que f(x) es una función integrable en
[a,b] y denotamos ese límite mediante:
n
lim
∆xi →0
∑
i =1
b
f (c i ) ∆x i = ∫ f ( x ) dx
a
Llamamos integral definida de la función y = f(x) entre a y b a este límite.
Al número a se le llama límite inferior de integración y al número b, límite
superior de integración.
7.2. Teorema de integrabilidad
Volver al Índice
Si y = f(x) es una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b]
⇒ f(x) es integrable en [a,b]. Además, el valor de la integral definida es un
número real.
7.3. El área como una integral definida
Si y = f(x) es una función continua y no negativa en el intervalo cerrado y
acotado [a,b] ⇒ el área de la región limitada por la función y = f(x), el eje OX,
y las rectas verticales x = a , x = b viene dada por el número real:
b
Área =
∫ f ( x ) dx
a
7.4. Propiedades
Volver al Índice
a
1) Si y = f(x) está definida en x = a
⇒
∫ f ( x ) dx = 0
a
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Integral definida
133
b
∫
2) Si y = f(x) es integrable en [a,b] ⇒
a
a
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
b
3) Si y = f(x) es integrable en [a,b] y c ∈ (a,b) con y = f(x) integrable en
[a,c] y [c,b] ⇒
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
4) Si y = f(x), y = g(x) son integrables en [a,b] y k es una constante real ⇒
b
b
∫ k f (x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
a
b
b
b
a
a
a
∫ [ f (x ) ± g (x )] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
5) Propiedad de monotonía de la integral:
Si y = f(x), y = g(x) son funciones integrables en [a,b] tales que cumplen
que f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a,b] ⇒
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g (x ) dx
Volver al Índice
7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Hay una estrecha relación entre el cálculo diferencial y el cálculo integral.
Esta relación fue descubierta, independientemente, por Newton y Leibniz, y por
esta razón se les atribuye a ambos el descubrimiento del cálculo integral.
Teorema
Si una función y = f(x) es continua en el intervalo cerrado y acotado [a,b]
b
⇒
∫ f ( x ) dx = F (b) − F (a ) ,
donde F(x) es cualquier función tal que
a
F '(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b].
Este resultado se conoce también como Regla de Barrow.
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
134
Introducción al cálculo integral
Ejemplos
2
 x3

8
1
2
1) ∫ (x − 3) dx =  − 3 x  = − 6 − + 3 = −
3
3
3
3
1
1
2
2
1  (4 x + 1)3  1  125 1  1 124 31
2) ∫ (4 x + 1) dx =
− =
=

 = 
4
3
3
4
3
3
4
3


0

0
1
1
2
π8
3)
∫ sec
2
2 x dx =
0
1
[tg 2 x ] 0π 8 = 1 (1 − 0 ) = 1
2
2
2
2
4) Evaluar:
∫| 2 x − 1 | dx
0
Hay que tener en cuenta que
2
12
0
0
∫| 2 x − 1 | dx =
2 x − 1 si
2x −1 = 
1 − 2 x si
x ≥1 2
x <1 2
2
∫ (1 − 2 x ) dx + ∫ (2 x − 1) dx =
[
= −x + x
2
]
12
12
0
[
+ x −x
2
]
2
12
=
 1 + 1  + (4 − 2) −  1 − 1  = 1 + 2 = 5



2
2
 4 2
 4 2
= −
5) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de ecuación
y = 2 x 2 − 3 x + 2 , el eje OX y las rectas verticales x = 0, x = 2.
2
 2x3 3x2

16 12
10
Área = ∫ 2 x − 3 x + 2 dx = 
−
+ 2x =
−
+4=
2
3
2
3
 3
0
0
2
Volver al Índice
(
2
)
7.6. Cambios de variable para integrales definidas
Si la función u = g(x) tiene derivada continua en [a,b] y existe la integral
indefinida sobre el recorrido de g(x), entonces:
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Integral definida
135
b
g( b)
a
g a
∫ f ( g ( x )) g´( x ) dx = ∫( )f (u ) du
donde el cambio de variable afecta también a los límites de integración, que
tomarán ahora valores en la nueva variable de integración.
Ejemplos
∫ x (x
)
1
1) Calcular: I =
2
3
+ 1 dx
0
Si realizamos el cambio de variable u = x 2 +1 ⇒ du = 2x dx
Esto nos lleva a cambiar también los valores de los límites de integración de
la siguiente manera:
si
si
x=1 ⇒ u=2
x=0 ⇒ u=1
Por tanto, al realizar este cambio de variable, llegamos a:
2
12 3
1 u 4 
1
1  15
I=
u
du
=
= 4 −  =


∫
2  4 1 2 
21
4 8
5
x
2) Evaluar: I = ∫
dx
2
x
−
1
1
Realizamos el cambio de variable: u 2 = 2 x − 1 ⇒ 2u du = 2 dx
u 2 +1
Despejando, x =
2
Cambiamos los índices de integración:
si
si
x= 5⇒ u=3
x=1 ⇒ u=1
Por tanto,
3
I=
∫
1
(u
2
+ 1) 2
13 2
u du = ∫ u + 1 du =
u
21
(
)
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
136
Introducción al cálculo integral
1
=
2
3
u3

1
 3 + u = 2

1
9 + 3 − 1 − 1 = 16

3  3
r
3) Calcular: I =
∫
r 2 − x 2 dx
0
Cambio de variable: x = rsent ⇒ dx = r cost dt
Cambio de límites de integración:
π
2
si
x=r ⇒ t =
si
x=0 ⇒ t=0
Así,
π/2
I=
∫
0
r2
=
2
π/2
r 2 − r 2 sent cos t dt = r 2 ∫ cos 2 t dt =
0
r2
2
π/2
∫ (1 + cos 2t ) dt =
0
π 2
r2 π π r2
 sen 2t 
t
+
=
=

2  0
2 2
4
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Descargar