CAPÍTULO 7. INTEGRAL DEFINIDA 7.1. Introducción 7.2. Teorema de integrabilidad 7.3. El área como una integral definida 7.4. Propiedades 7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integral 7.6. Cambios de variable para integrales definidas Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es Capítulo 7 Integral definida b ⌠ ⌡ f(x) dx a b ⌠ ⌡ f(x) dx a Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es Capítulo 7 Integral definida Volver al Índice 7.1. Introducción Si y = f(x) es una función definida en el intervalo [a,b] y el límite de la suma de Riemann existe, entonces decimos que f(x) es una función integrable en [a,b] y denotamos ese límite mediante: n lim ∆xi →0 ∑ i =1 b f (c i ) ∆x i = ∫ f ( x ) dx a Llamamos integral definida de la función y = f(x) entre a y b a este límite. Al número a se le llama límite inferior de integración y al número b, límite superior de integración. 7.2. Teorema de integrabilidad Volver al Índice Si y = f(x) es una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b] ⇒ f(x) es integrable en [a,b]. Además, el valor de la integral definida es un número real. 7.3. El área como una integral definida Si y = f(x) es una función continua y no negativa en el intervalo cerrado y acotado [a,b] ⇒ el área de la región limitada por la función y = f(x), el eje OX, y las rectas verticales x = a , x = b viene dada por el número real: b Área = ∫ f ( x ) dx a 7.4. Propiedades Volver al Índice a 1) Si y = f(x) está definida en x = a ⇒ ∫ f ( x ) dx = 0 a Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es Integral definida 133 b ∫ 2) Si y = f(x) es integrable en [a,b] ⇒ a a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx b 3) Si y = f(x) es integrable en [a,b] y c ∈ (a,b) con y = f(x) integrable en [a,c] y [c,b] ⇒ b c b a a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 4) Si y = f(x), y = g(x) son integrables en [a,b] y k es una constante real ⇒ b b ∫ k f (x ) dx = k ∫ f ( x ) dx a a b b b a a a ∫ [ f (x ) ± g (x )] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx 5) Propiedad de monotonía de la integral: Si y = f(x), y = g(x) son funciones integrables en [a,b] tales que cumplen que f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a,b] ⇒ b b a a ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g (x ) dx Volver al Índice 7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integral Hay una estrecha relación entre el cálculo diferencial y el cálculo integral. Esta relación fue descubierta, independientemente, por Newton y Leibniz, y por esta razón se les atribuye a ambos el descubrimiento del cálculo integral. Teorema Si una función y = f(x) es continua en el intervalo cerrado y acotado [a,b] b ⇒ ∫ f ( x ) dx = F (b) − F (a ) , donde F(x) es cualquier función tal que a F '(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b]. Este resultado se conoce también como Regla de Barrow. Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es 134 Introducción al cálculo integral Ejemplos 2 x3 8 1 2 1) ∫ (x − 3) dx = − 3 x = − 6 − + 3 = − 3 3 3 3 1 1 2 2 1 (4 x + 1)3 1 125 1 1 124 31 2) ∫ (4 x + 1) dx = − = = = 4 3 3 4 3 3 4 3 0 0 1 1 2 π8 3) ∫ sec 2 2 x dx = 0 1 [tg 2 x ] 0π 8 = 1 (1 − 0 ) = 1 2 2 2 2 4) Evaluar: ∫| 2 x − 1 | dx 0 Hay que tener en cuenta que 2 12 0 0 ∫| 2 x − 1 | dx = 2 x − 1 si 2x −1 = 1 − 2 x si x ≥1 2 x <1 2 2 ∫ (1 − 2 x ) dx + ∫ (2 x − 1) dx = [ = −x + x 2 ] 12 12 0 [ + x −x 2 ] 2 12 = 1 + 1 + (4 − 2) − 1 − 1 = 1 + 2 = 5 2 2 4 2 4 2 = − 5) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de ecuación y = 2 x 2 − 3 x + 2 , el eje OX y las rectas verticales x = 0, x = 2. 2 2x3 3x2 16 12 10 Área = ∫ 2 x − 3 x + 2 dx = − + 2x = − +4= 2 3 2 3 3 0 0 2 Volver al Índice ( 2 ) 7.6. Cambios de variable para integrales definidas Si la función u = g(x) tiene derivada continua en [a,b] y existe la integral indefinida sobre el recorrido de g(x), entonces: Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es Integral definida 135 b g( b) a g a ∫ f ( g ( x )) g´( x ) dx = ∫( )f (u ) du donde el cambio de variable afecta también a los límites de integración, que tomarán ahora valores en la nueva variable de integración. Ejemplos ∫ x (x ) 1 1) Calcular: I = 2 3 + 1 dx 0 Si realizamos el cambio de variable u = x 2 +1 ⇒ du = 2x dx Esto nos lleva a cambiar también los valores de los límites de integración de la siguiente manera: si si x=1 ⇒ u=2 x=0 ⇒ u=1 Por tanto, al realizar este cambio de variable, llegamos a: 2 12 3 1 u 4 1 1 15 I= u du = = 4 − = ∫ 2 4 1 2 21 4 8 5 x 2) Evaluar: I = ∫ dx 2 x − 1 1 Realizamos el cambio de variable: u 2 = 2 x − 1 ⇒ 2u du = 2 dx u 2 +1 Despejando, x = 2 Cambiamos los índices de integración: si si x= 5⇒ u=3 x=1 ⇒ u=1 Por tanto, 3 I= ∫ 1 (u 2 + 1) 2 13 2 u du = ∫ u + 1 du = u 21 ( ) Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es 136 Introducción al cálculo integral 1 = 2 3 u3 1 3 + u = 2 1 9 + 3 − 1 − 1 = 16 3 3 r 3) Calcular: I = ∫ r 2 − x 2 dx 0 Cambio de variable: x = rsent ⇒ dx = r cost dt Cambio de límites de integración: π 2 si x=r ⇒ t = si x=0 ⇒ t=0 Así, π/2 I= ∫ 0 r2 = 2 π/2 r 2 − r 2 sent cos t dt = r 2 ∫ cos 2 t dt = 0 r2 2 π/2 ∫ (1 + cos 2t ) dt = 0 π 2 r2 π π r2 sen 2t t + = = 2 0 2 2 4 Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es