Enunciados con soluciones.

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
PROFESOR: ANTONIO PIZARRO.
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Observación: Para resolver correctamente los ejercicios, hay que responder a todos sus apartados sobre lo que
se pregunta. No obstante, hay soluciones a apartados que no se han dado y que se deja al alumno por hacer, y
otras en las que se han dado una parte de la solución.
ANDALUCIA-MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSSII:
1º) (Andalucía, Junio 01) Para fabricar dos tipos de cables, A y B, que se venderán a 150 y 100 ptas. el metro,
respectivamente, se emplean 16 kg. de plástico y 4 kg. de cobre para cada hm. (hectómetro) del tipo A y 6 kg.
y 12 kg. de cobre paca cada hm. del tipo B. Sabiendo que la longitud del cable fabricado del tipo B no puede
ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252 kg. de plástico ni más
de 168 kg. de cobre, determine la longitud, en hm., de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la
cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima.
Solución: Los ingresos máximos se obtienen fabricando 12 hm de cable de tipo A y 10 hm del tipo B.
2º) (Andalucía, Junio 03) Sea el siguiente sistema de inecuaciones
− 5 x + 3 y ≤ 2

− x + 2 y ≥ 6
2 x + 3 y ≤ 37

a) Represente el conjunto solución y determine sus vértices.
b) Halle el punto del recinto anterior en el cual la función F ( x, y ) = −2 x + 5 y alcanza su valor máximo.
Solución:
a) Se debe representar el conjunto solución y los vértices son (2,4), (5,9) y (8,7).
b) El máximo de F(x, y) vale 35 y se obtiene en el vértice (5, 9).
3º) (Andalucía, Junio 00)
La región factible de un problema de programación lineal es la intersección del
primer cuadrante con los tres semiplanos definidos por las siguientes inecuaciones.
x y
+ ≤1
10 8
x y
+ ≥1
5 8
x y
+ ≥1
10 4
a) Dibuja dicha región y determina sus vértices.
b) Calcula el mínimo de la función objetivo, F(x, y) = 4x + 5y, en el recinto anterior.
Solución:
 10 8 
, .
 3 3
a) Se debe representar el conjunto solución y los vértices son (0,8), (10,0) y 
b) El mínimo de F(x, y) vale
80
 10 8 
, .
y se obtiene en el vértice 
3
 3 3
4º) (Andalucía, Junio, 99)
a) Dibuja el recinto limitado por las siguientes inecuaciones:
x + y ≤ 27
x ≥ 12
y≥ 6
b) Determina los vértices de este recinto.
c) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = 90x + 60y en
el recinto anterior y en qué puntos alcanza dichos valores?
Solución:
a) Se debe representar el conjunto solución.
b) Los vértices son: A = (12, 6) B = (12, 15) C = (21, 6).
c) El valor mínimo de f es 1440 y se alcanza en el punto A; el valor máximo de f es 2250 y se alcanza en C.
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x + y ≤ 6
3x − 2 y ≤ 13

5º) (Andalucía, Junio 04) Sea el siguiente sistema de inecuaciones 
 x + 3 y ≥ −3
 x ≥ 0
a) Dibuje el recinto cuyos puntos son las soluciones del sistema y
obtenga sus vértices.
b) Halle los puntos del recinto anterior en los que la función F ( x, y ) = x − 2 y
toma los valores máximo y mínimo, y determine estos.
Solución:
a) Se debe representar el conjunto solución y los vértices son (0,6), (5,1), (3,-2) y (0,-1).
b) El máximo de F(x, y) vale 7 y se obtiene en el vértice (3, -2). El mínimo,
que vale -12, se obtiene en el punto P = (0, 6).
ANDALUCIA-MATEMÁTICAS II-COU:
6º) (Andalucía, Junio, 99)
a) El siguiente sistema de ecuaciones lineales determina un recinto. Represéntelo gráficamente y calcule sus
vértices.
2 x − 1 ≤ y
y ≤ x +1


x + y ≥ 1
 x ≥ 0, y ≥ 0
b) Calcule los puntos del recinto anterior, donde la función F(x, y) = x + 2y –10
alcanza su máximo y su mínimo, y obtenga dichos valores.
Solución:
a) Se debe representar el conjunto solución. Los vértices son: P = (0, 1), Q = (2, 3), R = (2/3, 1/3).
b) El máximo de F(x, y) vale –2 y se obtiene en el vértice (2,3). El mínimo,
que vale –26/3, se obtiene en el punto (2/3, 1/3).
ARAGÓN-MATAPLICCSSII:
7º) (Aragón, Junio, 01) El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos
vitamínicos, C1 y C2. Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C1 y 200 mg de C2. Estos
complejos se presentan en dos comprimidos diferentes. El comprimido de color rojo que cuesta 25 pesetas la
unidad y que contiene 15 mg de C1 y 25 mg de C2 y el comprimido de color azul que también cuesta 25
pesetas la unidad y que contiene 28 mg de C1 y 10 mg de C2. ¿Cuántos comprimidos de cada color debe
tomar un individuo en una semana para que el coste del tratamiento sea mínimo? Explicar los pasos seguidos
para obtener la respuesta.
Solución: Por supuesto se debe explicar los pasos que das. Además, debe comprar 2 comprimidos de color
rojo y 15 comprimidos de color azul. El coste será de 425 ptas.
8º) (Aragón, Junio, 02) Se considera la función f ( x, y ) = x + 3 y , se pide:
a) Razonar si f(x, y) alcanza un valor máximo y uno mínimo en el conjunto
{
}
S = ( x, y ) ∈ IR 2 2 x + y ≤ 4, x + 3 y ≤ 7, x ≥ 0, y ≥ 0
En caso afirmativo, calcular dichos valores y los puntos en los que se alcanzan.
b) Razonar si f(x, y) alcanza un valor máximo y uno mínimo en el conjunto
{
}
T = ( x, y ) ∈ IR 2 2 x + y ≥ 4, x + 3 y ≥ 7, x ≥ 0, y ≥ 0
En caso afirmativo, calcular dichos valores y los puntos en los que se alcanzan.
Solución:
a) La función alcanza un mínimo en el punto (0, 0), y vale 0. La función f alcanza el mismo valor máximo en
dos vértices, luego, la función alcanza el valor máximo en infinitos puntos: en todos los puntos del segmento
PQ, incluidos los dos vértices. El máximo es 7.
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b) La recta de nivel mínimo toca, a la vez, el segmento de extremos QR, siendo Q = (1, 2) y R = (7,0). Por
tanto, la función alcanza el mínimo en infinitos puntos: en todos los puntos de ese segmento. El valor mínimo
es 7.
La función no alcanza máximo pues las rectas de nivel pueden desplazarse indefinidamente, hacia la derecha,
aumentando su nivel.
9º) (Aragón, Junio, 03) Una empresa edita un libro en dos tipos de formato “normal” y de “bolsillo”, de un
ejemplar del primer formato se obtiene un beneficio de 5 unidades monetarias y de un ejemplar del segundo 3.
La producción de un ejemplar normal requiere 8 unidades de materia prima y 4 unidades de tiempo y la de
bolsillo 4 unidades de materia prima y 3 de tiempo, disponiendo para ello de 800 unidades de materia prima y
480 unidades de tiempo.
a) ¿Cuántos ejemplares de cada formato se han de editar para que el beneficio total sea
máximo?
b) Si el beneficio de producir un ejemplar normal fuera de 4 unidades monetarias,
¿podría cambiar la solución del apartado anterior?
Solución:
a) El beneficio total máximo se alcanza fabricando 60 libros de formato
normal y 80 de bolsillo.
b) El beneficio máximo es menor, de 480 unidades monetarias. Sigue valiendo la solución del
apartado anterior, pero se amplia a cualquier punto del segmento PQ, siendo P=(0,160), y Q=(60,80). Esto es,
también vale la solución (0, 160) y todas las posibles enterasdel segmento PQ.
10º) (Aragón, Junio, 99) Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de colonia a
partir de tres factores productivos: F1 , F2 y F3. Las unidades de dichos factores utilizadas en la producción de
cada tipo de frasco se detallan en la
siguiente tabla:
Perfume
Agua de colonia
F1
1
2
F2
2
0
F3
0
4
Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de 5000 pta, de uno de
agua de colonia es de 2000 pta y que la empresa dispone de 240 unidades de F1, de
360 de F2 y de 440 de F3:
a) Calcula el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para
maximizar sus beneficios. Explica los pasos seguidos para obtener la
respuesta.
b) ¿Se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3 en la producción de los
frascos que maximiza los beneficios?
Solución:
a) Son 180 frascos de perfume y 30 de agua de colonia.
b) Se consumen todas las existencias de F1 y de F2, pero no las de F3.
11º) (Aragón, Sept., 02) Una empresa se dedica a la producción de dos tipos de tejidos A y B utilizando como
materias primas, algodón, poliéster y seda. Si dispone de 60 unidades de algodón, de 35 de seda y de 80 de
poliéster y se sabe que las unidades de cada materia prima necesarias para la producción de 1 rollo de cada
tipo de tejido vienen dadas en la siguiente tabla:
Algodón
Poliéster
Seda
A
1
2
0
B
3
2
1
a) Calcular el beneficio total máximo, sabiendo que el beneficio obtenido de un rollo de tejido A es de 50
euros y del B es de 70. Explicar los pasos obtenidos para obtener la solución.
b) ¿Se obtendrá excedente de alguna materia prima? En caso afirmativo, decir cuántas unidades.
c) ¿Cambiaría la solución del apartado a) si al menos hubiera que producir 15 rollos de tejido A? Razonar la
respuesta.
Solución:
a) El beneficio máximo se obtiene produciendo 30 rollos de A y 10 de B. Se explica, por supuesto, los pasos.
b) Se gastan todas las unidades de algodón y de poliéster. Hay un excedente de 35 10 = 25 unidades de seda.
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c) En este caso se añade una restricción más: x 15. La región factible cambia, pero la solución óptima no
varía.
12º) (Aragón, Sept. 00)Una empresa produce dos tipos de bolsos A y B. La producción de un bolso de tipo A
requiere 3 unidades de materia prima y 5 horas de trabajo. Por otra parte, la producción de un bolso de tipo B
requiere 2 unidades de materia prima y 4 horas de trabajo. La empresa en cuestión dispone cada día de 180
unidades de materia prima y 320 horas de trabajo. Sabiendo que cada bolso de tipo A produce un beneficio de
4 unidades monetarias, cada bolso de tipo B 3 unidades monetarias y que se vende todo lo que se produce, se
pide:
a) ¿Cuántos bolsos de cada tipo se han de producir diariamente para que el beneficio
sea máximo? Explicar los pasos seguidos para obtener la solución.
b) Suponer que cambian los beneficios producidos por cada tipos de bolso, siendo el que produce uno de tipo
A de 3 unidades monetarias y uno de tipo B de 2, ¿varía la
solución del apartado a)? En caso de que varíe, calcular la nueva solución del
problema.
Solución:
a) Hay que hacer 40 bolsos del tipo A y 30 del tipo B.
b) La solución óptima es cualquiera de los puntos, cuyas coordenadas sean enteros, del segmento QR, siendo
Q(40,30) y R(60,0). (No obstante, puestos a elegir, elegiríamos la solución 60 del tipo A y 0 del tipo B, pues
es la que menos tiempo requiere.)
13º) (Aragón, Sept., 04) Un industrial comercializa botijos decorados y botijos sin decorar. El tiempo
necesario para fabricar un botijo es de una hora y para decorarlo se necesita otra hora. El beneficio por botijo
es de 10 euros si está decorado y de 6 euros si no lo está y se trabaja un máximo de 500 horas mensuales.
a) Plantear y resolver un problema de programación lineal que permita calcular
cuántos botijos de cada tipo se han de fabricar al mes para que el beneficio total
sea máximo.
b) ¿Cambiaría la solución del apartado anterior si no se desean fabricar más de 300
botijos sin decorar? En caso afirmativo, calcularla.
c) Calcular la solución del apartado a) y decir en qué puntos se alcanza, si el beneficio
por botijo no decorado es de 5 euros.
Solución:
a)Llamando x al número de botijos decorados e y al nº de botijos sin decorar. El planteamiento del problema
de prog. Lineal es:
El objetivo del problema es maximizar B(x, y) = 10x + 6y
restringido por: 2x + y = 500
x = 0; y = 0.
El máximo de B(x, y) es 3000, y se alcanza haciendo 500 botijos sin decorar y ninguno
decorado.
b) El máximo de B(x, y) es 2800, y se consigue haciendo 100 botijos decorados y 300 sin
decorar.
c) El máximo de B(x, y) es 2500, y se alcanza en cualquier punto del segmento de extremos P(0,500) y
Q(250,0). Por tanto, vale P, Q o cualquier otro punto del segmento.
14º) (Aragón, Junio, 00) Un empresario prepara una excursión para los 60 trabajadores de su empresa. Para
ello dispone de 7 vehículos de 6 plazas cada uno y otros 7 de 10 plazas, pero para el día de la excursión sólo
dispone de 8 conductores. El viaje de ida y vuelta con un vehículo de 6 plazas cuesta 900 pesetas y con uno de
10 plazas 1600 pesetas. Calcular cuántos vehículos de cada tipo se deben utilizar para que el coste de
transporte sea mínimo. Explicar los pasos seguidos para obtener la solución.
Solución: Para que el coste de transporte sea mínimo debe utilizar 5 vehículos de 6 plazas y 3 de 10 plazas.
15º) (Aragón, Junio, 99) Un agricultor posee una finca de 100 hectáreas para cultivar maíz y avena. El capital
disponible por el agricultor para la siembra es de 9600 unidades monetarias, siendo el coste por la siembra de
una hectárea de avena de 80 unidades monetarias y el doble por una hectárea de maíz. El agricultor necesita
sembrar al menos 10 hectáreas de maíz para alimentar a su ganado. Sabiendo que los beneficios que obtiene el
agricultor por cada hectárea sembrada de maíz son de 1400 unidades monetarias y por cada hectárea de avena
de 1200 unidades monetarias, se pide:
a) Formular un problema de programación lineal que permita determinar el número
de hectáreas que se debe dedicar a cada cultivo para que el agricultor maximice
sus beneficios.
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b) Resolver el problema planteado en el apartado a) explicando los pasos seguidos.
c) Suponer que, por satisfacer a su clientela habitual, el agricultor tiene que cultivar,
al menos, tantas hectáreas de avena como de maíz. ¿Varía el resultado del
apartado b)? Razonar la respuesta.
Solución:
a)
ha Coste Beneficios
Maíz
x 160x 1400x
Avena
y 80y 1200y
Disponibilidades 100 9600
Maximizar
Restringido por:
B(x, y) = 1400x + 1200y
x + y ≤ 100
160x + 80y ≤ 9600
x ≥ 10; y ≥ 0
b) Con 20 de maíz y 80 de avena se obtienen el beneficio máximo de 124 000 unidades monetarias.
c) La solución óptima sigue siendo la misma.
16º) (Aragón, Sept., 00) Considerar la región del plano, S, definida por las cinco inecuaciones siguientes:
2x + 2y ≥ 28 x ≥ 0 y ≥ 0 x ≤ 20
2x + 3y – 36 ≥ 0
y la función f(x, y) = 3x + 4y. Se pide:
a) Representar gráficamente la región S.
b) Determinar razonadamente el punto (x, y) en el que f(x, y) alcanza su valor mínimo
en la región S.
c) Razonar que no existe ningún punto en el que f(x, y) alcanza su valor máximo en la
región S.
d) Añadir una inecuación a las cinco dadas de manera que en la nueva región definida
por las seis inecuaciones exista algún punto en el que f(x, y) alcance su valor
máximo. Razonar la respuesta.
Solución:
b) El valor mínimo en la región S se alcanza en el punto (6,8).
c) Como las rectas de nivel pueden trasladarse hacia la derecha de manera indefinida estando en contacto con
la región factible, no puede existir un punto máximo.
d) Si se añade la restricción x – 2y ≥ 0. El valor máximo de f(x, y) se alcanza en el punto (20, 10).
17º) (Aragón, Junio, 98) a) Representar el conjunto S definido por las siguientes desigualdades y calcular
sus vértices:
x + y ≤4
-x + 2y ≥ -1
-x + y ≤ 2
b) Calcular el valor máximo y el valor mínimo que alcanza la función
f(x, y) = 3x+ 2y en el conjunto S. Determinar razonadamente en qué puntos alcanza
dichos valores.
c) Considerar la función g(x, y) = ax + by, con a y b parámetros reales.
Determinar razonadamente un valor de a y un valor de b de manera que
existan infinitos puntos de S en los que g(x, y) alcance sus valor máximo.
Solución:
a) Los vértices son los puntos P = (-5, -3), Q = (1, 3), R = (3, 1).
b) Los valores máximo y mínimo se dan en la frontera del triángulo PQR; en particular,
en alguno de sus vértices.
f(P) = f(-5, -3) = -21 (mínimo)
f(Q) = f(1, 3) = 9
f(R) = f(3, 1) = 11 (máximo).
c) a = -1 y b = 1 ( g(x, y) = - x + y alcanza el máximo en todos los puntos del segmento
PQ) , a = 1 y b = 1(g(x, y)= x + y alcanza el máximo en todos los puntos del segmento QR .
Nota: g(x, y) = - x + 2y tiene infinitos mínimos, pero sólo un máximo. Esta solución no valdría.
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ASTURIAS-MATAPLICCCSSII:
18º) (Asturias, Junio, 98) Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la
tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un
precio de venta de 1.200 pesetas. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de
venta de 1.500 pesetas. Debido a una mala previsión, se encuentra con la imposibilidad de realizar
pedidos de huevos y azúcar, y elaborados ya todos los demás productos que
ofertan, les quedan en el almacén 10 kilos de azúcar y 120 huevos para la
preparación de las citadas tartas.
a) ¿Qué combinaciones de especialidades puede hacer? Plantear el problema y
representar gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el
mayor ingreso por ventas? ¿A cuánto asciende dicho ingreso?
Solución:
a) Las combinaciones posibles son las soluciones del sistema de inecuaciones:
0,5x + y ≤ 10
8x + 8y ≤ 120
x ≥ 0; y ≥ 0.
Se representa el conjunto de soluciones factibles.
Más concretamente las combinaciones posibles son todos los puntos de coordenadas enteras, interiores o de
frontera del cuadrilátero de vértices: O=(0, 0), P=(0, 10), Q=(10, 5) y R=(15, 0).
b) El óptimo se da con 10 tartas imperiales y 5 tartas de Lima, y supone un ingreso de 19.500 pesetas.
19º) (Asturias, Junio, 02) Un distribuidor de software informático que realiza también funciones de servicio
técnico, tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. En base a los objetivos marcados
por el fabricante, al finalizar este año ha de conseguir al menos 20 empresas como clientes en su cartera, y el
número de clientes particulares que consiga deben ser como mínimo el doble que de empresas. Además, por
razones de eficiencia del servicio post-venta tiene estipulado un límite global de 90 clientes anuales.
Finalmente, cada empresa produce 286 euros de ingresos anuales y cada particular 179 euros.
(a) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su cartera? Plantea
el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
(b) ¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el
año? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?
Solución:
a) Se trata de un problema de programación lineal.
Llamando x al número de empresas e y al de particulares, se tiene:
Restricciones:
x ≥ 20
y ≥ 2x
x + y ≤ 90
Las soluciones buscadas deben satisfacer las inecuaciones anteriores.
b) Los ingresos máximos son de 19320 euros y se consigue asegurando a 30 empresas y a 60 particulares.
20º) (Asturias, Junio, 00) Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, “clásico” (C) y “funcional”
(F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble
clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos
unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar
más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura.
a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Qué combinaciones de muebles puede fabricar?
c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de
acuerdo con la relación B = 3C + 2F, ¿cuántas unidades de cada línea deben
fabricarse para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?
Solución:
a) Con los datos anteriores se obtiene:
Cantidad Construcción Pintura
Clásico
x
x
3x
Funcional
y
2y
y
Disponibilidades
10
15
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Las restricciones son:
x + 2 y ≤ 10
3x + y ≤ 15
x ≥ 0; y ≥ 0
b) La región factible está formada por todos los puntos interiores y de frontera del
cuadrilátero de vértices O, P, Q y R. Estos vértices son:
O = (0, 0), P = (0, 5), Q = (4, 3) y R = (5, 0).
c) Deberá fabricar 4 muebles clásicos y 3 muebles funcionales. El beneficio máximo es de 18.
21º) (Asturias, Junio, 01) La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior
y de exterior. El precio que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 100 pta y de 200 por
cada una de exterior. Al día de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya
le ha hecho, de 20 unidades de interior y 30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la
floristería lo realiza una empresa especializada y le supone unos costes, que son de
60 pta por cada planta de interior y de 80 pta por cada planta de exterior, y la
floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen las 4800 pta
por pedido semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 60 pta por cada
planta de interior que venda y 50 pta por cada una de exterior, y quiere que las
primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 3.000 pta.
(a) ¿Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los
requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el
conjunto de soluciones.
(b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor
por el pedido, ¿cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir?, ¿cuánto deberá
pagar al proveedor?, ¿cuáles serán los costes de transporte?
Solución:
a) El planteamiento puede ser el siguiente:
Llamando x al número de plantas de interior e y al de exterior, se tiene:
Objetivo:
Minimizar f(x, y) = 100x + 200y, precio a pagar.
Restricciones:
x ≥ 20; y ≥ 30
60x + 80y ≤ 4800 (costes de transporte)
60x + 50y ≥ 3000 (primas)
b) Se han de adquirir 25 plantas de interior y 30 de exterior. El precio mínimo a pagar será de 8500 ptas. Los
costes de transporte son de 60 · 25 + 80 · 30 = 3900 ptas.
22º) (Asturias, Junio, 99) Un grupo musical va a lanzar un nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica
considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando dos posibilidades: anuncios en
televisión, con un coste estimado de 1 millón de pesetas por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste
estimado de 100.000 ptas. por cuña. No obstante no pueden gastar más de 100 millones de ptas. para dicha
campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado
cifra en 10.000 el número de copias que se venderán por anuncio de televisión emitido, y en 2.000 copias por
cada cuña radiofónica emitida.
(a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear
el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
(b) ¿Qué combinación de ambos se deberá realizar para vender el mayor número de
copias posible? ¿se llegan a gastar los 100 millones?
Solución:
a) El planteamiento: Si se hacen x anuncios en televisión e y cuñas en radio, se tendrá:
Función objetivo: maximizar f(x, y) = 10.000x + 2.000y
Restricciones: (de presupuesto en millones) x + 0,1y ≤ 100
(de cuñas) 50 ≤ y ≤ 100
x ≥ 0; y ≥ 0
b) La solución óptima es hacer 90 cuñas y 100 anuncios televisivos, gastando
íntegramente los 100 millones.
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23º) (Asturias, Sept., 02) Un representante comercial del sector de las telecomunicaciones se plantea
maximizar la comisión total que obtenga este mes por la venta de dos productos: teléfono móvil con contrato
de alta y teléfono móvil con tarjeta. La comisión es de 15 euros por cada móvil con alta y 10 euros por cada
uno con tarjeta. La política comercial de la empresa exige que el número de teléfonos vendidos con
alta cada mes no pueda ser superior al número de teléfonos vendidos con tarjeta. Así mismo, la venta de cada
teléfono lleva asociados unos costes administrativos de 1 euro, y la empresa también obliga a cada
representante a que el coste total por venta no supere los 100 euros al mes. Finalmente, la empresa obtiene
unos beneficios de 6 euros por cada venta de teléfono con alta y de 2 euros por cada venta de teléfono con
tarjeta, y pide a cada representante que los beneficios totales obtenidos por la venta de teléfonos con alta cada
mes supere en al menos 120 euros a los beneficios totales obtenidos por la venta de teléfonos con tarjeta.
(a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que puede vender este mes aunque no maximice la
comisión total. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría vender 60
unidades de cada producto?
(b) Calcula las unidades de cada producto que ha de vender para maximizar la
comisión. ¿A cuánto asciende dicha comisión?
Solución:
a) El planteamiento del problema puede ser:
Llamando x al número de teléfonos con alta e y al de teléfonos con tarjeta, se tiene:
Restricciones:
x ≤ y
x + y ≤ 100 (el coste total por venta no supere los 100 euros)
6x ≥ 2y +120 (los beneficios por la venta de teléfonos con alta
supere en al menos 120 euros a los beneficios por la venta de teléfonos con tarjeta).
Las soluciones buscadas deben satisfacer las inecuaciones anteriores.
No puede vender 60 unidades de cada producto pues el punto (60, 60) cae fuera de la región factible.
b) La comisión máxima se obtiene vendiendo 50 teléfonos de cada tipo; esta comisión asciende a 1250 euros.
24º) (Asturias, Sept., 00) Una fábrica de confección de ropa especializada en faldas y pantalones recibe una
partida de tela de 5.000 metros. Para la confección de los pantalones se precisan dos metros de tela y uno,
para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de confeccionar al menos el doble de pantalones que de
faldas.
a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Cuántas faldas y pantalones puede ofertar?
c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 5.000 pesetas y cada falda a 3.000
pesetas, ¿cuántas faldas y pantalones debe vender para maximizar sus ingresos;
cuál es el ingreso máximo que puede obtener?
Solución:
a) El planteamiento es: Designamos por x el número de pantalones y por y el número de faldas.
Las restricciones son:
2x + y ≤ 5000
x – 2y ≥ 0
x ≥ 0; y ≥ 0
b) Se pueden ofertar ningún pantalón ni falda, 2000 pantalones y 1000 faldas, o 2500 pantalones y ninguna
falda.
c) Debe fabricar 2000 pantalones y 1000 faldas, siendo el ingreso máximo de 13.000.000 pts.
25º) (Asturias, Sept., 01) Una gestoría financiera que ofrecía hasta ahora tan solo préstamos personales
pretende añadir a su cartera de productos los préstamos hipotecarios y se ve en la necesidad de rediseñar su
política de firmas mensuales en base a los siguientes requerimientos:
Debe firmar mensualmente al menos 2 préstamos hipotecarios, pero por las dificultades que genera la
introducción de ese producto no puede superar las 8 firmas mensuales de dichos préstamos. Por la misma
razón, el número de firmas mensuales de préstamos hipotecarios ha de ser como máximo la mitad de las
firmas mensuales de préstamos personales. Por otro lado, los costes de gestión son de 15.000 pta para
cada firma de préstamo personal y de 30.000 pta para cada una de hipotecarios, no pudiéndose superar las
60.000 pta de gastos mensuales totales de gestión. Si la comisión a percibir por la firma de cada préstamo
personal es de 40.000 pta y de 100.000 para cada hipotecario:
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(a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que puede firmar mensualmente cumpliendo los
requerimientos de su nueva política de firmas. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de
soluciones. Si un mes firma 10 personales y 8 hipotecarios, ¿cumple esos requerimientos?
(b) Calcula las unidades de cada producto que ha de firmar un mes para maximizar la
comisión total y cumplir todos los requerimientos de su política. ¿A cuánto asciende dicha comisión?
Solución:
a) El punto (8, 10) no cumple los requerimientos dados, pues cae fuera de la región factible.
b) La comisión máxima se obtiene firmando 8 créditos hipotecarios y 24 personales. Asciende a 1.760.000
ptas.
26º) (Asturias, Sept., 03) Un equipo de fútbol quiere poner a disposición de sus socios al menos 450 plazas
entre autobuses y microbuses, con el fin de facilitar los desplazamientos para el próximo encuentro. El equipo
contratará los vehículos a una empresa que le ofrece un máximo de 16 autobuses y de 10 microbuses, y que le
exige que el número de microbuses que puede contratar sea al menos un 20 % del total de vehículos que
contrate. Cada autobús tiene una capacidad de 50 plazas y cada microbús de 25.
(a) ¿Qué combinaciones de vehículos de cada tipo se pueden contratar cumpliendo
los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el
conjunto de soluciones.
(b) Si quiere contratar el menor número posible de vehículos en total ¿cuántos de
cada tipo ha de contratar? ¿cuál será el número máximo de socios que se podrán
desplazar en ese caso?
Solución:
a) El planteamiento puede ser: Llamando x al número de autobuses e y al de microbuses, debe cumplirse que:
x ≤ 16
y ≤ 10
y ≥ 0 ; x ≥ 0 ; 20(x + y) ⇒ 0,2 x − 0,8 y ≤ 0 (el número de microbuses que puede contratar
sea al menos un 20 % del total de vehículos que contrate)
50x + 25y ≥ 450 (al menos 450 plazas entre autobuses y microbuses)
b) El mínimo se da con 8 autobuses y 2 microbuses, con un total de 10 vehículos. En este caso se podrán
desplazar 450 socios.
27º) (Asturias, Sept., 99) Por motivos de ampliación de plantilla, una empresa de servicios de traducción
quiere contratar, a lo sumo, 50 nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada traductor de una lengua
es de 200.000 ptas., y de 300.000 a los que son de más de una lengua. Como poco, y por motivos de demanda,
dicha empresa tiene que contratar a la fuerza a un traductor de más de una lengua. La política de
selección de personal de la compañía obliga también a contratar al menos tantos traductores de una lengua
como de más de una. Sabiendo que el objetivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de 12 millones
de pesetas, y que los beneficios que aportan los traductores de una lengua son de 400.000 ptas./traductor, y de
800.000 ptas./traductor los de más de una lengua:
(a) ¿Cuántos traductores de cada tipo puede contratar? Plantear el problema y
representar gráficamente el conjunto de soluciones.
(b) ¿Cuántos contratará para minimizar el gasto de salarios? ¿Qué beneficios
totales tendrá la empresa en este caso?
Solución:
a) El planteamiento:
Sean x e y los traductores de una lengua y de mas de una lengua, respectivamente.
Las restricciones del problema son:
x + y ≤ 50
y ≥1
x ≥ y
0,4x + 0,8y ≥ 12
b) El gasto mínimo se consigue contratando 10 traductores de cada tipo. En este caso, los beneficios totales
serán 12 millones de pesetas.
28º) (Asturias, Junio, 04) El jefe de seguridad de un museo estudia combinar dos nuevos sistemas antirrobo:
cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo
de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y un máximo de 15 cámaras, con las que
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quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más
importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto máximo de 36.000 euros, y
cada cámara cuesta 1.000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros.
(a) ¿Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos
anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría instalar 7
cámaras y 59 alarmas?
(b) Si el objetivo es colocar el mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas, ¿cuántos ha de colocar
de cada modalidad? En ese caso, ¿cuál será el coste total?
Solución:
a) El planteamiento:
Si se instalan x cámaras e y alarmas se tendrá:
Coste: 1000x + 500y ≤ 36000
Cámaras: 6 ≤ x ≤ 15
Alarmas: y ≥ 6
No pueden instalarse 7 cámaras y 59 alarmas, pues el punto (7, 59) cae fuera de la
región factible: no cumple la restricción 1000x + 500y ≤ 36000.
b) Se obtienen instalando 6 cámaras y 60 alarmas. En ese caso, se gastan los 36000 euros disponibles.
ASTURIAS-MATII COU:
29º) (Asturias, Junio, 00) Una copistería de reciente apertura ofrece al público dos tipos de fotocopias: en
blanco y negro y en color. Cada fotocopia le supone un cierto coste: 1 ptas. por copia para las de blanco y
negro, y 3 ptas. por copia para las de color. Asimismo, cada copia en blanco y negro produce un beneficio de
2 ptas. y cada una en color un beneficio de 10. El número de copias en blanco y negro por día es como
mínimo igual al número de copias en color, y la copistería tiene que servir a una empresa diariamente al
menos 100 en color. Además, por razones técnicas no puede
incurrir en unos costes mayores de 6000 ptas. por día.
a) ¿Cuántas copias de cada clase se pueden hacer al día? Plantea el problema y
representa gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Cuántas unidades de cada tipo han de hacer para maximizar los beneficios
diarios? ¿Cuál es el máximo beneficio diario?
Solución:
a) El planteamiento:
Sean x e y el número de fotocopias en blanco y negro y en color, respectivamente.
Debe cumplirse (restricciones):
x≥ y
y ≥ 100
x + 3 y ≤ 6000
Estas inecuaciones generan la región factible cuya figura hay que dibujar. Las coordenadas x, y de los puntos
de esa región son las soluciones posibles.
b) El máximo se da cuando se hacen 1500 fotocopias de cada tipo. Se obtienen 18000
ptas. de beneficio.
30º) (Asturias, Setp., 00) Una empresa fabricante de aviones comerciales producirá este año dos tipos de
modelos. El modelo D–12, cuya venta le proporcionaría unos ingresos de 100 millones de ptas. por unidad, y
el C–15, que le proporcionaría 120 millones por unidad. Dicha compañía puede hacer frente, como mucho, a
una producción total de 100 unidades pero sabe que del modelo D–12 habrá una demanda de al menos
20 unidades y debe ser cubierta, y que no puede producir más unidades del C–15 que del D–12.
a) ¿Qué cantidad de cada modelo se puede fabricar? Plantea el problema y representa gráficamente el
conjunto de soluciones.
b) ¿Qué combinación de unidades de cada modelo debe fabricar para obtener los mayores ingresos posibles
caso de vender toda la producción? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?
Solución:
a) Sean x e y el número de aviones de los tipos D–12 y C–15, respectivamente.
Debe cumplirse (restricciones):
x + y ≤ 100
x ≥ 20
y≤x
x≥0
y≥0
Las coordenadas x, y de los puntos sombreados de la región factible, la cual se debe dibujar gráficamente, son
las soluciones posibles.
b) El máximo se da fabricando 50 aviones de cada tipo. Se obtienen 11.000 millones de pts. de ingresos.
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MADRID. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC.SS.II:
31º) (Madrid, Junio, 00) Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas,
produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 2000 pta y 3000 pta por unidad, respectivamente. Desea
saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos,
teniéndose las siguientes restricciones: El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por
día y operario. Cada mesa requiere 2 horas para su fabricación; cada silla, 3 horas. La jornada laboral máxima
es de 10 horas. El material utilizado en cada mesa cuesta 400 pta. El utilizado en cada silla cuesta 200 pta.
Cada operario dispone de1200 pta diarias para material.
(a) Exprésense la función objetivo y las restricciones del problema.
(b) Represéntese gráficamente la región factible y calcúlense los vértices de la misma.
(c) Razónese si con estas restricciones un operario puede fabricar diariamente una mesa y una silla, y si esto
le conviene a la empresa.
(d) Resuélvase el problema.
Solución:
a) Maximizar I(x, y) = 2000x + 3000y
sujeto a las restricciones:
x + y≤ 4
2x + 3y ≤ 10
400x + 200y ≤ 1200
x ≥ 0; y ≥ 0
b) Los vértices son: O = (0, 0), P = (0, 10/3), Q = (2, 2) y R = (3, 0).
c) Como el punto (1, 1) es de la región factible, puede fabricarse una mesa y una silla. Esto no conviene a la
empresa pues también podrían fabricarse, por ejemplo, 2 mesas y 2 sillas, mejorando los ingresos.
d) La solución sería cualquier punto del segmento PQ, pero la naturaleza del problema sugiere elegir el punto
Q(2, 2): hacer 2 mesas y 2 sillas. (Si observamos que el coste es menor en el punto P(0, 10/3) deberíamos
elegir ese punto, dejando sillas sin terminar.)
32º) (Madrid, Junio, 01) En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la
demanda se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre debe
haber más bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones
comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de
petróleo es de 20 pesetas y el de uno de gasolina es de 30 pesetas. Se desea saber cuántos bidones de cada
clase han de almacenarse para que el gasto de almacenaje sea mínimo.
(a) Exprésense la función objetivo y las restricciones del problema.
(b) Represéntese gráficamente la región factible y calcúlense los vértices de la
misma.
(c) Resuélvase el problema.
Solución:
a) Sean x e y el número de bidones de petróleo y gasolina, respectivamente.
Función objetivo: G(x, y) = 20x + 30y mínimo.
Restricciones: x ≥ 10 ; y ≥ 20 ; y ≥ x ; x + y ≥ 50 ; x + y ≤ 200 .
b) Los vértices son:
A = (10, 40), B = (10, 190), C = (100, 100) y D = (25, 25).
c) En G(25, 25) = 1.250 ptas. Es la solución buscada.
33º) (Madrid, Junio, 04) Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 Kg. de A y
500 Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para satisfacer la
demanda, la producción debe ser mayor o igual que 600 Kg. Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 euros y que
cada kg de B cuesta 4 euros,
calcular los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste
mínimo, que cumpla los requisitos anteriores. Obtener dicho coste mínimo.
Solución: El coste mínimo es de 2640 euros, y se consigue mezclando 240 Kg. del producto A y 360Kg. del
producto B.
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