La elección del consumidor 27 de octubre de 2011 3.1 Una elección óptima (x1 , x2 ) debe cumplir la condición RM S(x1 , x2 ) = − pp12 . La RM S es el cociente de las derivadas de la función de utilidad, entonces tenemos que: − ∂u(x1 , x2 )/∂x1 p1 ∂u(x1 , x2 )/∂x1 p1 =− ⇒ = ∂u(x1 , x2 )/∂x2 p2 ∂u(x1 , x2 )/∂x2 p2 Si la función de utilidad es u(x1 , x2 ) = x1 x2 + x1 , entonces : x2 + 1 p1 = x1 p2 Sustituyendo la combinación de consumo (6, 2) tenemos: p1 p1 1 2+1 = ⇒ = =⇒ p2 = 2p1 6 p2 2 p2 Sustituimos en la restricción presupuestaria que también debe cumplir la elección óptima: 6p1 + 2(2p1 ) = 100 ⇒ 10p1 = 100 ( p1 = 10 p2 = 20 1 3.2 1. Conjunto presupuestario: 2x1 + 3x2 5 10 Recta presupuestaria: 2x1 + 3x2 = 10 2. La utilidad del consumidor es u(x1 , x2 ) = x1 + x2 , ja-os que le aporta la misma utilidad el bien 1 que el bien 2 es decir que los dos bienes son sustitutos perfectos (la relación marginal de sustitución es −1). No obstante el precio de los bienes 1 y 2 no son los mismos, el bien 1 cuesta 2 unidades monetarias mientras que el precio del bien 2 es de 3 unidades monetarias. Eso explica porqué en términos de sus preferencias la elección óptima sea (5, 0). La cesta(5, 3) no puede ser óptima por qué se encuentra fuera del conjunto presupuestario, el consumidor no tiene suciente dinero para acceder a esta cesta de consumo. La cesta (2, 2) no es óptima ya que la utilidad del consumidor con esta cesta (u(x1 , x2 ) = 2 + 2 = 4) es inferior a la cesta óptima (5, 0) donde la utilidad es de 5. 2 3. Si los precios fueran (5, 5), la pendiente de la recta presupuestaria y la RMS serian las mismas (−1), entonces cualquier punto de la recta presupuestaria sería un punto óptimo. 3.3 1. Si sólo está disponible el sistema de tarjetas, nuestro conjunto presupuestario será : 80 x1 + x2 ≤ 50000. 3 4 2. Si el único sistema disponible es el de cuotas, nuestro conjunto presupuestario será: 40x1 + x2 = 48000. 5 3. Con la primera opción; 80 x1 + x2 ≤ 50000, por cada unidad de x1 se podría comprar 80 unidades de x2 . Entonces: Si α < 80 ⇒ x∗1 = 0 y x∗2 = 50000 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 50000 Si α = 80 , el consumo óptimo será cualquier punto de la recta presupuestaria ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 50000 Si α > 80 ⇒ x∗1 = 625 y x∗2 = 0 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 625α Con la primera opción; 40 x1 + x2 ≤ 48000, por cada unidad de x1 se podría comprar 40 unidades de x2 . Entonces: Si α < 40 ⇒ x∗1 = 0 y x∗2 = 48000 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 48000 Si α = 40 , el consumo óptimo será cualquier punto de la recta presupuestaria ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 48000 Si α > 40 ⇒ x∗1 = 1200 y x∗2 = 0 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 1200α Entonces: Si α ≤ 40: Elige 1º opción: x∗1 = 0, x∗2 = 50000 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 50000 Si 40 < α ≤ 50000 1200 : Elige 1º opción: x∗1 = 0, x∗2 = 50000 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 50000 Si α < 50000 1200 : Elige 2º opción: x∗1 = 1200, x∗2 = 0 ⇒ u(x∗1 , x∗2 ) = 1200α 3.4 1.Conjunto presupuestario Plan A: ( 20x1 + 20x2 ≤ 8000, si x1 ≤ 200 ⇒ (20 · 200) + 10(x1 − 200) + 20x2 ≤ 8000, si x1 > 200 6 ( 20x1 + 20x2 ≤ 8000, 10x1 + 20x2 ≤ 6000, si x1 ≤ 200 si x1 > 200 Conjunto presupuestario Plan B: 20x2 ≤ 2000. 7 2. Si sus preferencias fuesen del tipo u(x1 , x2 ) = x1 x2 , el consumidor escogería el plan B ya que no tiene ninguna limitación en el consumo del bien 1 y por lo tanto podría obtener una utilidad innita. 3. 1 u(x1 , x2 ) = min x1 , x2 2 En el óptimo ya sabemos que: x1 = 1 x2 ⇒ x∗2 = 2x∗1 2 Bajo el plan A: 1er tramo: 20x1 + 20x2 = 8000 400 ∗ 800 , x2 = 3 3 400 800 400 800 400 u( , ) = min , = 3 3 3 3 3 x∗1 = 2ndo tramo: 10x1 + 20x2 = 6000 x1 = 120 x2 = 240 ⇒ pero 120 | < {z 240!} contradicción! Bajo el plan B: 6000 + 20x2 = 8000 ⇒ x∗2 = 100 x2 = 2x1 ⇒ x∗1 = 50 u(50, 100) = min {50, 100} = 50 Entonces: Como 400 > 50, eligirá el plan A! 3 8 3.5 1. 1/4 3/4 x1 x2 M ax x1 ,x2 s.a. 100x1 + 2500x2 ≤ 40000 1/4 3/4 L(x1 , x2 , λ) = x1 x2 − λ(100x1 + 2500x2 − 40000) −3/4 3/4 ∂L = 0 ⇒ 41 x1 x2 − 100λ = 0 ∂x1 ∂L ∂x2 ∂L ∂λ 1/4 −1/4 = 0 ⇒ 43 x1 x2 − 2500λ = 0 = 0 ⇒ 100x1 + 2500x2 − 40000 = 0 Dividimos la primera ecuación por la segunda: 3 3 1/4x− /4 x /4 1 2 1 −1 3/4x /4 x /4 1 2 = 100λ 2500λ x2 100 = 3x1 2500 x2 300 = x1 2500 x1 = 25 x2 3 Sustituimos x1 en le restricción presupuestaria y encontramos x2 : 100( 100( 25 x2 ) + 2500x2 − 40000 = 0 3 7500 120000 25 x2 ) + x2 − =0 3 3 3 2500x2 + 7500x2 = 120000 x2 = 12 9 El consumo óptimo será: ( xopt 1 = 100 xopt 2 = 12 Representación gráca: 2. 1/4 M ax 3/4 x1 x2 x1 ,x2 s.a. 100x1 + 2250x2 ≤ 39900 1/4 3/4 L(x1 , x2 , λ) = x1 x2 − λ(100x1 + 2250x2 − 39900) 10 1 −3/4 3/4 ∂L ∂x1 = 0 ⇒ 4 x1 x2 − 100λ = 0 ∂L ∂x2 ∂L ∂λ −1/4 1/4 = 0 ⇒ 43 x1 x2 − 2250λ = 0 = 0 ⇒ 100x1 + 2250x2 − 39900 = 0 Dividimos la primera ecuación por la segunda: 3 3 1/4x− /4 x /4 1 2 1 −1 3/4x /4 x /4 1 2 = 100λ 2250λ x2 100 = 3x1 2250 x2 300 2 = = x1 2250 15 x1 = 15 x2 2 Sustituimos x1 en le restricción presupuestaria y encontramos x2 : 100( 15 x2 ) + 2250x2 − 39900 = 0 2 750x2 + 2250x2 − 39900 = 0 x2 = 39900 3000 x2 = 13,3 El consumo óptimo será: ( 0 xopt = 99,75 1 opt0 x2 = 13,3 11 Representación gráca: 3.Tenemos que analizar donde el consumo óptimo produce más utilidad. opt /4 · 12 /4 ' 20,38 u(xopt 1 , x2 ) = 100 3 1 0 0 opt /4 u(xopt · 13,3 /4 ' 22 1 , x2 ) = 99,75 0 1 0 3 opt opt opt u(xopt 1 , x2 ) > u(x1 , x2 ) Sí, se hará socia de la cooperativa. 12 3.6 1. La recta presupuestaria es: 2x1 + 5x2 = 40. En este caso la RMS es − 38 mientras que la pendiente de la restricción presupuestaria es − 25 . La cesta óptima será (20, 0) y está en la recta presupuestaria: 2(20) + 5(0) = 40. 2. RM S(x1 , x2 ) = − − −1/2 1 2 x1 x2 −1/2 1 2 x1 x2 · x2 · x1 =− 2x1 = 5x2 x1 = 5 x2 2 13 p1 p2 2 5 Sustituimos en la restricción presupuestaria: 5 2( x2 ) + 5x2 = 40 2 x2 = 4 La cesta óptima es (10, 4) y está en la restricción presupuestaria: 2(10) + 5(4) = 40 3. La condición de óptimo son: ( ( x1 = 3x2 2x1 + 5x2 = 40 x1 = 3x2 2(3x2 ) + 5x2 = 40 ( x1 = 120/11 x2 = 40/11 La cesta óptima es (120/11, 40/11) y está en la restricción presupuestaria: 2(120/11) + 5(40/11) = 40 14 4. 5. 15