Guıa espacios vectoriales

Guı́a espacios vectoriales
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
c 2007-2010
MathCon 1. Listar todas las propiedades que debe de cumplir un conjunto no vacı́o para ser
espacio vectorial.
2. Poner al vector (1, 2, 3) como combinación lineal de i, 2j, 3k.
3. Dar dos vectores que generen el plano 2x − 3y + 4z = 0 en R3 .
4. Dar dos vectores que generen el plano z = x + y en R3 .
5. Escribir al vector (1, 2, 3) como combinación lineal de (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0),
sı́ es posible, si no, diga la razón.
3 −1
6. Escriba, si es posible, la matriz E =
, como combinación lineal de
1 −2
1
1
1 1
1 −1
las matrices: A =
,B =
,C =
,D =
0 −1
−1 0
0
0
−1 1
.
0 1
7. Mostrar que el espacio U generado por los vectores (1, 2, −1, 3), (2, 4, 1, −2), (3, 6, 3, −7)
y el espacio V generado por los vectores (1, 2, −4, 11), (2, 4, −5, 14), son el mismo.
8. Demostrar que los vectores ortogonales al vector v = (1, 1, 1) forman un subespacio vectorial de R3 .
9. Verificar si los vectores siguientes generan a R4 . (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0).
10. Para que valores de c, son los vectores (−1, 0, −1), (2, 1, 2), (1, 1, c) en R3 linealmente dependientes.
11. Determinar si los siguientes vectores forman una base para R4 ,
(1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1). En tal caso, escribir al vector (1, 2, 3, 4)
como combinación lineal de la base.
12. Verificar si los vectores son una base: u = (−1, −1, −1), v = (−1, −1, 0), w =
(−1, 0, 0) de R3 .
13. Dar dos bases diferentes de R3 .
14. Encuentre
y una base para el espacio solución de Ax = 0, donde
 la dimensión 
2 −1 −2
2
4 . Además obtener el rango de A.
A =  −4
−8
4
8
15. Mostrar que los vectores x ∈ R3 tales que x = (a, b, 2a + b) forman un subespacio
vectorial de R3 .
16. Aplica el método de Gram Schmidt para ortonormalizar la base: u = (−1, −1, −1), v =
(−1, −1, 0), w = (−1, 0, 0).
17. Aplica el método de Gram Schmidt para ortonormalizar la base: u = (1, 1, 1), v =
(0, 1, 1), w = (1, 2, 3).
18. Determine una base ortonormal para el subespacio de R3 de los vectores (a, b, c)
tales que a + b + c = 0.
19. Una matriz A es ortogonal si A−1 = AT (equivalentemente silas filas y columnas
cos θ − sin θ
forman un conjunto ortonormal). Mostrar que la matriz A =
sin θ
cos θ
es ortogonal.
20. Describir con una base el complemento ortogonal del subespacio vectorial de R3
generado por el vector (1, 1, 1).