En cada uno de los casos a continuación, encuentra una base ortonormal para el subespacio de R4 generado por los vectores dados: (a) x1 = (1; 1; 0; 0) x2 = (0; 1; 1; 0) x3 = (0; 0; 1; 1) x4 = (1; 0; 0; 1) (b) x1 = (1; 1; 0; 1) x2 = (1; 0; 2; 1) x3 = (1; 2; 2; 1) Solución: (a) x1 = (1; 1; 0; 0) x2 = (0; 1; 1; 0) x3 = (0; 0; 1; 1) x4 = (1; 0; 0; 1) ¿Cuál es el caracter de dependencia del conjunto de vectores? Calculemos el determinante de la matriz formada con los vectores como columnas (el determinante0del sistema de1ecuaciones); tenemos 1 0 0 1 B 1 1 0 0 C C det B @ 0 1 1 0 A=0 0 0 1 1 es decir, los vectores son linealmente dependientes. Tomemos ahora los tres primeros y veamos si son linealmente independientes. Hacemos ax1 + bx2 + cx3 = 0 es decir 1 0 1 0 0 1 a 1 0 0 a C B B 1 1 0 C C@ b A = B a + b C = 0 B @ b+c A @ 0 1 1 A c c 0 0 1 La primera ecuación nos da a = 0, la cuarta c = 0 y cualquiera de las otros dos b = 0. Los tres primeros vectores son linealmente independientes y generan un subespacio de tres dimensiones Para encontrar una base ortogonal utilizamos el procedimiento de GramSchmidt, que es Pr (xr+1 ; yi ) y1 = x1 yr+1 = xr+1 yi r = 1; 2; 3; :::; k 1 i=1 (yi ; yi ) Apliquemos estas formulas y1 = x1 = (1; 1; 0; 0) (x2 ; y1 ) y2 = x2 y1 (y1 ; y1 ) (0; 1; 1; 0) (1; 1; 0; 0) 1 1 y2 = (0; 1; 1; 0) (1; 1; 0; 0) = 1 0 (1; 1; 0; 0) (1; 1; 0; 0) 2 2 (x3 ; y1 ) (x3 ; y2 ) y3 = x3 y1 y2 (y1 ; y1 ) (y2 ; y2 ) 1 1 (0; 0; 1; 1) 1 0 (0; 0; 1; 1) (1; 1; 0; 0) 2 2 y3 = (0; 0; 1; 1) (1; 1; 0; 0) (1; 1; 0; 0) (1; 1; 0; 0) 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 2 1 0 1 2 1 2 1 = 1 3 1 3 1 1 3 (x4 ; y1 ) (x4 ; y2 ) (x4 ; y3 ) y4 = x4 y1 y2 y3 (y1 ; y1 ) (y2 ; y2 ) (y3 ; y3 ) En caso de seguir aplicando la formula al cuarto vector tenemos (1; 0; 0; 1) (1; 1; 0; 0) (1; 1; 0; 0) y3 = (1; 0; 0; 1) (1; 1; 0; 0) (1; 1; 0; 0) (1; 0; 0; 1) 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 (1; 0; 0; 1) 1 2 1 2 1 0 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 = 0 0 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 3 3 3 3 3 como era de esperarse. Normalizando p p 2 jy1 j = j(1; 1; 0; 0)j = 2 =) y^1 = (1; 1; 0; 0) 2 p 6 1p p 1 1 ( 1; 1; 2; 0) jy2 j = = 2 3 =) y^2 = 1 0 2 2 2 p 6 2p 3 1 1 1 jy3 j = = 3 =) y^2 = (1; 1; 1; 3) 1 3 6 3 3 3 Resumiendo la base ortonormal para el subespacio generado está formada por los vectores p 2 y^1 = (1; 1; 0; 0) 2 y p 3 y^2 = (1; 1; 1; 3) 6 (b) x1 = (1; 1; 0; 1) x2 = (1; 0; 2; 1) x3 = (1; 2; 2; 1) Es claro que 2x1 x2 = x3 y los tres vectores son linealmente dependientes. Veamos como son los dos primeros; tomamos a (1; 1; 0; 1) + b (1; 0; 2; 1) = a + b a 2b a + b = 0 de donde claramente a=0 y b=0 es decir, estos dos vectores son linealmente independientes. El subespacio generado es de dos dimensiones. Para encontrar una base ortogonal utilizamos el procedimiento de GramSchmidt, que es Pr (xr+1 ; yi ) y1 = x1 yr+1 = xr+1 yi r = 1; 2; 3; :::; k 1 i=1 (yi ; yi ) Apliquemos estas formulas y1 = x1 = (1; 1; 0; 1) (x2 ; y1 ) y2 = x2 y1 (y1 ; y1 ) 2 0 0 0 1 2 1 2 1 (1; 0; 2; 1) (1; 1; 0; 1) 1 2 1 (1; 1; 0; 1) = 2 (1; 1; 0; 1) (1; 1; 0; 1) 3 3 3 Si se lo aplicamos al vector linealmente dependiente encontramos (x3 ; y1 ) (x3 ; y2 ) y3 = x3 y1 y2 (y1 ; y1 ) (y2 ; y2 ) y2 = (1; 0; 2; 1) (1; 2; 2; 1) (1; 1; 0; 1) (1; 1; 0; 1) y3 = (1; 2; 2; 1) (1; 1; 0; 1) (1; 1; 0; 1) 0 0 0 0 como era de esperarse. Normalizando p p 3 jy1 j = j(1; 1; 0; 1)j = 3 =) y^1 = (1; 1; 0; 1) 3 p p 1 1 2 1 1 = jy2 j = 3 14 =) y^2 = p 2 3 3 3 3 42 1 3 (1; 2; 2; 1) 1 3 2 3 1 1 3 2 2 6 1 Resumiendo la base ortonormal para el subespacio generado está formada por los vectores p 3 (1; 1; 0; 1) y^1 = 3 y 1 1 2 6 1 y^2 = p 42 3 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 3 1 3 2 3