introducción al análisis de encuestas complejas

263
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE
ENCUESTAS COMPLEJAS1
MARCELA PIZARRO BRIONES
INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA (INE)2
CHILE
1
Para presentarse en el 10° Taller Regional del MECOVI: La Práctica del Muestreo para el Diseño de las Encuestas de Hogares, 27 al 29 de
noviembre, Buenos Aires, Argentina.
2
Dirección: INE: Estadístico del Departamento de Metodología Estadística, Paseo Bulnes 418, Santiago, Chile, Fono 562 3667777, e-mail:
m.pizarro@ine.cl
264
Introducción al análisis de encuestas...
ÍNDICE
Página
1.
Las limitaciones que Hacen Necesaria la Implementación de Muestras Complejas............ 265
1.1 Reducir el costo del estudio ........................................................................................ 265
1.2 Aumentar la eficiencia estadística del diseño complejo ............................................. 265
1.3 Reducir el sesgo de no – respuesta ............................................................................. 266
2.
Efecto de los Diseños Complejos......................................................................................... 268
2.1 Utilizar en muestras complejas un supuesto de diseño autoponderado
o aproximadamente autoponderado ............................................................................ 268
2.2 Como ajustar muestras de diseños complejos para investigadores que
asumen son autoponderados y diseñan tablas de contingencia................................... 270
3.
Efecto del Diseño en Algunas Técnicas Estadísticas Clásicas............................................. 271
3.1 La prueba de independencia de χ-cuadrado................................................................. 271
3.2 Correcciones de las pruebas de χ-cuadrado ................................................................. 272
4.
Bibliografía .......................................................................................................................... 274
Introducción al análisis de encuestas...
265
Una encuesta compleja resulta cuando se abandona el muestreo aleatorio simple y es necesario considerar
nuevas formas de estratificación, aumentar el número de etapas de selección de conglomerados unietápico
a multietápico, utilizando muestreo con probabilidades desiguales, lo que implica que las muestras
pierden su condición de autoponderadas.
En la mayoría de los estudios las limitaciones que surgen al optar por un diseño más eficiente para la
selección de una muestra de hogares, hacen necesario recurrir a la implementación de muestras
complejas, que incorporan en sus diseños una combinación de los distintos métodos aplicados en la teoría
del muestreo y a su vez producen efectos en el diseño. Entre estas limitaciones se pueden indicar algunas.
1.
Las Limitaciones que Hacen Necesaria la Implementación de Muestras Complejas
1.1 Reducir el costo del estudio
El muestreo aleatorio simple exige construir un marco adecuado con un listado muy detallado de las
unidades de análisis y difícil de actualizar. Por lo general este tipo de marcos rara vez se dispone y están
sujetos a registros muy controlados como, directorio de hospitales, supermercados, etc. En cambio cuando
se refiere a un directorio de viviendas y personas pertenecientes a una determinada población objetivo,
por ejemplo personas de 15 a 64 años, el acceso a un marco muestral que cumpla esta condición, no es
inmediato, sería muy costoso elaborarlo y la selección de las unidades muy dispersa. Para reducir los
costo se definen muestras más complejas aumentando el número de etapas en el diseño, lo que conlleva a
su vez un efecto sobre la disminución de la precisión pero una ganancia en el acceso y demora en la
recogida de los datos.
1.2 Aumentar la eficiencia estadística del diseño complejo
Una vez que se decide introducir etapas en el diseño, se trata de reducir la ineficiencia estadística que
ellas suponen, haciendo una medición del efecto del diseño sobre la varianza del estudio en etapas y
según el valor del coeficiente de homogeneidad interna ( ρ ), determinar el número de unidades últimas a
seleccionar para aumentar la precisión.
Es más fácil seleccionar todas las personas mayores de 18 años en una vivienda pero se opta por
seleccionar al azar sólo una, si el coeficiente de homogeneidad es cercano a 1 (alto contagio). Esto
generalmente se observa a partir de la medición de estudios anteriores con los datos obtenidos en las
unidades de muestreo.
Un ejemplo de esta medición se presento al determinar el tamaño requerido de muestra en las distintas
etapas de muestreo para la medición del empleo. M , indica el tamaño de medio de la Unidad de Primera
Etapa (Sección) de acuerdo al número de viviendas particulares ocupadas; m , indica el tamaño medio de
las unidades de segunda Etapa (Viviendas); ρ , el coeficiente de homogeneidad y CV, el coeficiente de
variación de la variable en estudio y n, el tamaño de muestra a escoger en las unidades de primera etapa o
secciones.
Se calculó la varianza del MAS con efecto del Diseño (Deff) y el tamaño de muestra n.
VAR (τˆ) = (1 − f ) ⋅
n=
S 2 ⋅ Deff
m ⋅ (cv 100 ) ⋅τ
σ
⋅ (1 + ( M − 1) ρ )
( M n)
2
2
266
Introducción al análisis de encuestas...
Tabla 1
Tamaño de unidades
M
m
344
150
200
15
10
8
Variable: Ocupados
CV
n
0,0926
1,77
209
0,1273
2,10
293
0,1178
2,17
311
ρ
Variable: Desocupados
CV
n
0,0814
9,16
209
0,1136
10,90
296
0,1013
11,21
313
ρ
De acuerdo con la tabla anterior, se optó por que la sección con tamaño medio de 200 viviendas, con 8
viviendas a encuestar , el cual presenta un coeficiente de variación que no varía significativamente al de
secciones de tamaño medio de 150 viviendas con 10 viviendas a encuestar.
Otra manera de aumentar la eficiencia de la incorporación de etapas es la estrategia de definir unidades de
inclusión forzosa, técnica utilizada de manera frecuente en las encuestas de establecimientos o empresas.
En encuestas a hogares se aplica en las áreas geográficas mayores como son en el caso de Chile las
Comunas, áreas en que se divide cada provincia perteneciente a la DPA (División Político
Administrativa).
Un ejemplo de esta condición se puede dar cuando se quiere medir una variable muy poco frecuente,
personas que realizan trabajo a domicilio o niños que realizan trabajo infantil, donde se autorepresentan o
se incluyen de manera forzosa (censando) aquellas áreas de la muestra donde se sabe que esta presente
esta variable, con alta frecuencia, y del resto de las áreas se hace una selección.
Esto permite aumentar el nivel de precisión del estudio asumiendo que el error estándar esta sujeto a las
unidades seleccionadas, y el coeficiente de variación se determina por el cociente entre el error estándar y
la suma de la variable estimada y la parte censada.
ERROR ESTANDAR = V (τˆ)
CV =
V (τˆ )
τˆ + τ
if
1.3 Reducir el sesgo de no – respuesta
Una técnica frecuente para tratar los efectos de la no-respuesta es introducir ponderadores determinados
con algunas características de la población como sexo, edad, nivel de educación, que también son
consultadas en la muestra, las que serán utilizadas como elementos de post-estratificación.
En Muestreo Aleatorio Simple los ponderadores se obtienen directamente con los datos de la muestra, si
el estimador corresponde a la media. Si el estimador corresponde al total, es necesario conocer, Nhs, que
corresponde al valor de la característica que va a permitir ajustar la variable en estudio “y”.
Yˆ = ∑ N hs ⋅ y hs
hs
siendo s, la subpoblación en la que se divide el estrato h, y el ponderador de cada subpoblación s, en el
sj
estrato h es:
w hs
N
= hs
Nh
y y hs =
∑
y hsj
j
n hs
267
Introducción al análisis de encuestas...
En cambio en muestras complejas donde el diseño considera probabilidad de selección desigual, es decir
con probabilidad proporcional al tamaño, es necesario estimar la variable N hs , dejando la estimación
final en un valor sesgado, producto del componente de una razón, de tal forma que la suma de los pesos
de cada subpoblación “ s”, estime las cifras totales de la población.
Siendo cada unidad de la muestra ponderada por el factor compuesto por un componente del diseño en
etapas y un componente de ajuste por subpoblación.
Mh Mhi' Nhs
whsij =
⋅
⋅
Mhi ⋅ nh mhi Nˆ hs
donde
Mh, total de unidades del estrato h en el momento t
Mhi, total de unidades en la Unidad de Primera Etapa (UPE) al momento t,
M’hi, total de unidades en la UPE actualizada
nh,
total de UPE en la muestra
mhi, total de Unidades de Segunda Etapa (USE) en la UPE seleccionada
Nhs
total de unidades de la variable en estudio en el tiempo t
N̂
total de unidades de la variable en estudio estimada
hs
de tal forma que el valor de Y , y la razón se estiman a partir de los siguientes indicadores.
τˆ
τˆ = ∑
⋅N
ˆ
N
HS
y hs
hs
y
hs
hs
τˆ
ˆ
R =
Nˆ
'
'
hs
hs
hs
donde
Yˆhs1 :
estimación del total en el estrato h en el grupo s
N̂ hs :
total de unidades de la variable en estudio estimada
N hs :
total de unidades de la variable en estudio en el tiempo t (variable exógena)
Un caso frecuente de esto se presenta en las encuestas de hogares donde se ajusta las no-respuesta con
datos provenientes de variables exógenas, por ejemplo: proyección de población de 15 años y más por
sexo, que también debe ser estimada a partir de la muestra.
Al post-estratificar con pocas observaciones en la muestra es conveniente integrar estos nuevos estratos
con otros hasta obtener una cantidad razonable de observaciones. Un número razonable según las
experiencias recogidas significa que cada estrato posterior debe tener al menos 20 observaciones y la tasa
de respuesta sea al menos de un 50%.
El método indicado anteriormente permite mejorar las estimaciones, reduce pero no elimina el sesgo que
se produce por las no-respuestas.
268
2.
Introducción al análisis de encuestas...
Efecto de los Diseños Complejos
El diseño complejo hace más dificultosa la estimación de parámetros con estimadores con buenas
propiedades estadísticas. Por ejemplo para obtener un estimador insesgado del total τ y = U y k . De la
forma τˆ y =
∑w ⋅ y
i
∑
i
(1) es necesario que los factores de expansión
wi
difieran según la unidad en la
i
muestra. Por lo general, el incorporar más etapas a un diseño y ajustes que permitan acercarse a las
poblaciones de estudio cuando los marcos tiene falencias de actualización, requiere de utilizar
estimadores sesgados que garantizan aumentos en la precisión alcanzando niveles de error aceptables.
Como se menciono anteriormente este es el caso de los estimadores de razón que pueden tomar dos
formas, estimador de razón Combinado o Separado, Por ejemplo, dependiendo de, si el número de
estratos es pequeño se recomienda usar el Combinado.
El diseño complejo dificulta el análisis de la encuesta con los métodos estadísticos tradicionales. Por
ejemplo, recordemos que en el MAS, tiene como estimador insesgado del total a:
N
τˆ = ∑ yi
i n
y su varianza es,
N −n σ 2
Var(τˆ) = N
⋅
N −1 n
2
Un estimador insesgado de la varianza anterior es,
2
2 N −n S
ˆ
Var (τˆ) = N
⋅
N −1 n
Si aplicamos las fórmulas anteriores a datos obtenidos de una encuesta compleja, los resultados serán
sesgados y carecerán del significado habitual. Por lo general la estimación de razón es parte del análisis y
no del diseño, siendo utilizado en cualquier nivel de la encuesta.
En el caso de un muestreo de más etapas bajo un diseño complejo, el estimador de razón ajusta a
estimación de totales. La fórmula será un estimador sesgado del total.
HS
τˆ = ∑
hs
′
τˆhs
⋅ θ hs
θˆhs
La fórmula de la varianza del total no será un estimador insesgado.
Vˆ (τ ) = ∑
hs
[
1
θ hi′ − Rˆ hs ⋅ θˆhs
nhs ( nhs − 1)
]
2
2.1 Utilizar en muestras complejas un supuesto de diseño autoponderado o aproximadamente
autoponderado
Desafortunadamente no siempre es posible trabajar con diseños autoponderados y de hecho aun en ese
caso es necesario incorporar ponderadores para ajustar la muestra.
La estratificación se utiliza para reducir las varianzas y obtener estimaciones individuales para los estratos
de interés; la formación de conglomerados, con probabilidad de selección proporcional al tamaño, se
emplea para reducir los costos, y la autoponderación ayuda a simplificar la forma de expansión de los
diseños.
269
Introducción al análisis de encuestas...
Existen software estadísticos que proporcionan estimaciones muy cercanas de a media, percentiles en
encuestas complejas donde asumen son autoponderadas pero los errores e intervalos de confianza no son
correctos, considerando que la estructura de los datos no es la adecuada.
Las encuestas complejas no cumplen por lo general en el diseño con la condición de ser autoponderadas,
aunque tratan de acercarse en lo posible, esto causa una cierta desconfianza al analizar los datos
provenientes de éstas.
Una muestra autoponderada puede en ausencia de errores no debidos al muestreo, considerarse como
representativa de la población, ya que cada unidad observada representa la misma cantidad de unidades
no observadas. Pero situaciones ajenas al muestreo quiebran esta teoría, esto quiere decir que es necesario
para conservar la autoponderación , no perder ninguna unidad seleccionada, ya que se asume que la
muestra es proporcional a la población.
Si como ejemplo de muestra compleja se propone el diseño en dos etapas donde las UPE’s son
seleccionadas con:
•
Probabilidad desigual: Para que esta muestra sea autoponderada, se requiere asumir
comportamientos constantes de los elementos que determinan las probabilidades en cada etapa. Esto
se determina con el factor de expansión.
Siendo el factor de expansión
Mh Mhi'
⋅
Whsi =
Mhi ⋅ nh mhi
donde
Mh, total de unidades del estrato h en el momento t,
Mhi, total de unidades en la Unidad de Primera Etapa (UPE) al momento t,
M’hi, total de unidades en la UPE actualizada
nh,
total de UPE en la muestra
mhi, total de Unidades de Segunda Etapa (USE) en la UPE seleccionada
- Mhi = M’hi, esto implica que se descarta un cambio de tamaño por actualización. Pero es posible
corregir este efecto aplicando a Mh , un factor de ajuste producto del cuociente de la suma de
UPE’s de la muestra nh .
-
mhi = m
Mˆ h
∑M
=
∑M
'
hi
i
⋅ M h con lo cual el factor de expansión se expresa como constante en el estrato h.
hi
i
Wh =
•
ˆ
M
h
nh ⋅ mh
Probabilidad igual, para que esta muestra sea autoponderada, se requiere asumir que
270
Introducción al análisis de encuestas...
Whi =
Siendo el factor de expansión
Nh Mhi
⋅
nh mhi
donde
Mh,
Mhi,
nh,
mhi,
total de unidades del estrato h en el momento t,
total de unidades en la Unidad de Primera Etapa (UPE) al momento t,
total de UPE en la muestra
total de Unidades de Segunda Etapa (USE) en la UPE seleccionada
mhi
= Constante = f 2 ,
M hi
N 1
convierte en Wh = h ⋅
nh f2
es proporcional, entonces el factor de expansión
Si se asume que
se
2.2 Como ajustar muestras de diseños complejos para investigadores que asumen son
autoponderadas y diseñan tablas de contingencia
En muestras autoponderadas, el investigador genera una matriz de datos obtenidos de la muestra
combinando variables y calcula la proporción de unidades de observación que caen en la celda (i,j).
Tabla 2
1
2
.
R
Total
1
P11
P21
2
P12
P22
.
.
.
c
P1c
P2c
Total
P1+
P2+
Pr1
P+1
Pr2
P+2
.
Prc
P+c
Pr+
1
En muestras complejas no autoponderadas, el investigador genera una matriz de datos obtenidos de la
muestra similar a la anterior pero cada unidad deberá ser ponderada previamente por su peso de muestreo
wk , para posteriormente estimar la proporción de unidades de observación que caen en la celda (i,j)
P̂ij
∑w ⋅ y
=
∑w
k∈S
k
k∈S
kij
donde y kij = 
1 si cumple
0 en otro caso
k
Suma de pesos para las unidades de observación en la celda (i, j )
Pˆij =
Suma de pesos para todas las unidades de observación en la muestra
Tabla 3
1
2
1
.
.
P̂11
P̂12
2
P̂21
P̂22
.
R
Pˆr1
Pˆr 2
.
Total
Pˆ+1
Pˆ+ 2
c
Total
Pˆ1c
Pˆ2 c
P̂1+
P̂2 +
P̂rc
P̂3+
Pˆ+ c
1
271
Introducción al análisis de encuestas...
Este método permite además obtener información real sobre errores muestrales e intervalos de confianza.
El software SUDAAN (programa inserto en el SAS) es utilizado para estos fines.
Por ejemplo, este método se aplico en la Encuesta Encuesta sobre el Consumo de Drogas CONACE
(Control Nacional para el Control de Estupefacientes), estudio 2000, además de entregar las estimaciones
puntuales a nivel nacional de la prevalencia del consumo de cualquier droga ilícita. Se computaron los
errores estándares de las estimaciones a partir del diseño muestral utilizado ( diseño complejo) , lo que
permite construir intervalos de confianza para las características de interés. Así, para la prevalencia de
último año del consumo de cualquier droga, el intervalo de confianza del 95% da valores entre 5,91% a
6,65%. Para la misma seguridad, pero ahora para la prevalencia de consumo en el último mes, los valores
son 2,82% a 3,33%.
Tabla 4. Prevalencia en el Consumo de Drogas: Errores Estándar e Intervalos de Confianza
Marihuana Año
Pasta Base Año
Cocaína Año
Cualquier Año
5,69
0,70
1,46
6,28
Error
Estándar
0,17
0,06
0,09
0,19
Marihuana Mes
Pasta Base Mes
Cocaína Mes
Cualquier Año
2,76
0,33
0,57
3,08
0,12
0,04
0,05
0,13
Variable
3.
Estimación
Intervalo de
Confianza 95%
5,36 - 6,02
0,58 - 0,82
1,28 - 1,64
5,91 - 6,65
2,52
0,25
0,47
2,82
-
2,99
0,41
0,67
3,33
Efecto del Diseño en Algunas Técnicas Estadísticas Clásicas
3.1 La prueba de independencia de χ-cuadrado
Una técnica tradicional para el análisis de datos categóricos es la prueba de independencia de χCuadrado: Dada una muestra aleatoria simple, los individuos se clasifican según dos variables
categóricas, una con “r” clases y la otra con “c”, de modo que el cruce de ambas da lugar a una tabla de
contingencia de r x c clases.
El estadístico de Pearson es:
χ = ∑i =1 ∑ j =1
2
r
c
( f ij − npˆ i . pˆ . j ) 2
npˆ i . pˆ . j
Bajo la hipótesis de independencia,
H 0 : pij = pi. ⋅ p. j , el estadístico anterior tiene una distribución de
χ-cuadrado con (r-1)(c-1) grados de libertad.
Consideremos el efecto de dos diseños de muestreo sobre la estadística anterior:
•
Muestreo Estratificado: En este caso el estadístico de Pearson estará sesgado a no rechazar la
hipótesis de independencia. Es decir, a pesar que exista dependencia entre las variables categóricas
la prueba no la detectará.
•
Muestreo de Conglomerados: Aquí el efecto es inverso el estadístico de Pearson estará sesgado a
rechazar la independencia a favor de la existencia de una dependencia entre las variables categóricas.
En general es más peligroso ignorar los conglomerados que la estratificación, dado que los primeros
producen una tendencia a acusar relaciones de dependencia que no existen y inducirían a adoptar un
modelo innecesariamente complicado para los datos.
272
Introducción al análisis de encuestas...
3.2 Correcciones de las pruebas de χ- cuadrado
Transformado la hipótesis de independencia H 0 : pij = pi . ⋅ p. j a la forma H 0 : θ ij = pij − pi. ⋅ p. j = 0 .
Entonces, algunas pruebas de independencia corregidas por el efecto del diseño son:
a) Prueba de Wald.
Bajo Ho se tiene:
χ W2 = θˆ t ⋅ Vˆ (θˆ) ⋅ θˆ ∼ χ (2r −1) x ( c −1)
donde:
θˆ t = (⋅θˆ11 ,θˆ12 ,....., θˆr −1,c −1 ) t
( “t” designa la transpuesta de una matriz)
Vˆ (θˆ) Matriz de varianzas-covarianzas de θˆ .
La prueba de WALD no se recomienda dado su pobre desempeño en la práctica.
b) Prueba de Bonferroni
Se rechaza Ho, si para cualquier i y j se tiene:
θˆ
ij
Vˆ (θˆ )
ij
> t − Student
k ; ( α / 2 ( r −1 )( c −1 )
Si las varianzas son estimadas con el método de los “grupos aleatorios”, entonces, k es el número de
Grupos - 1. Si se usa otro método, entonces, k es el número de unidades primarias - número de estratos.
c)
Corrección de Primer Orden
Aquí se trata de corregir el estadístico de Pearson por un factor:
χ F2 =
( r − 1)(c − 1) 2
⋅ χ ∼ χ (2r −1)( c−1)
2
E(χ )
donde:
Eχ 2 = ∑i=1 ∑ j =1 (1 − pij )d ij − ∑i =1 (1 − pi . )d iR − ∑ j =1 (1 − p. j )d Cj
r
y, por ejemplo,
c
d ij
r
c
es el efecto del diseño3 de la estimación de
d) Modelos Lineales en Poblaciones Finitas
Consideremos un modelo lineal con una variable explicativa:
3
Es decir,
d ij
VarDiseño ( pˆ ij ) / VarMAS ( pˆ ij )
pij .
273
Introducción al análisis de encuestas...
Yi = β 0 + β1 ⋅ xi + ε i
Los supuestos clásicos del modelo anterior:
A1) E (ε i ) = 0 , para toda i = 1, . . . , n.
A2)
Var (ε i ) = σ 2 ,
A3)
Cov (ε i , ε j ) = 0
A4)
ε i ∼ N (0, σ 2 ) .
para toda i = 1, . . . , n.
para
i ≠ j.
Los estimadores de Mínimos Cuadrado Ordinarios (EMCO) de los parámetros son los valores
β 0 y β1 que minimizan la suma residual:
∑
n
i =1
de
( yi − β 0 − β1 xi ) 2
Los estimadores son:
n∑i =1 yi xi − ∑i =1 xi ∑i =1 yi
n
β̂1 =
βˆ 0
n
n
n∑i =1 xi − (∑i =1 xi ) 2
2
n
∑
=
n
i =1
n
n
yi − βˆ1 ∑i =1 xi
(1)
(2)
n
Si se cumplen las hipótesis A1) a A3), entonces, βˆ 0 y βˆ1 son los estimadores lineales insesgados de
menor varianza entre todos los estimadores lineales e insesgados de los parámetros.
Si se cumple el supuesto A4), entonces, se puede utilizar la distribución t-student para probar hipótesis
sobre los parámetros β 0 y β1 .
e) Modelos Lineales en Poblaciones Finitas: Efecto del Diseño
Consideremos el modelo lineal en una población finita:
Yi = B0 + B1 ⋅ xi + ε i
Los parámetros resultan iguales a:
N ∑k =1 yk xk − ∑k =1 xk ∑k =1 yk
N
B1 =
B0
∑
=
N
N
N ∑k =1 xk − (∑i =1 xk ) 2
2
N
N
k =1
N
yk − β̂1 ∑k =1 xk
N
N
Para estimar los parámetros anteriores con los datos de un diseño probabilístico no autoponderado,
hacemos uso de los factores de expansión del diseño, entonces:
274
Introducción al análisis de encuestas...
B1 =
n
n
n
Nˆ ∑i=1 wi yi xi − ∑i =1 wi xi ∑i =1 wi yi
n
n
2
Nˆ ∑i=1 wi xi − (∑i =1 wi xi ) 2
y
Bˆ 0
∑
=
donde
w y − Bˆ1 ∑i =1 wi xi
i =1 i i
Nˆ
n
n
n
Nˆ = ∑i =1 wi
En la práctica conviene calcular las estimaciones anteriores utilizando un programa estadístico para
análisis de encuestas complejas.
También se puede utilizar un programa convencional que utilice MCO ponderados. Los ponderadores
en este caso serán los factores de expansión, sin embargo, los errores estándar serán incorrectos y deben
ser ignorados.
Programas para Análisis de Encuestas Complejas: entre los conocidos y más utilizados están: SUDAAN,
PC-CARP, OSIRIS , WesVar PC.
4.
Bibliografía
Azorín F. y Sánchez Crespo J.L. (1969) Métodos y Aplicaciones de Muestreo
Carl-Erik Sarndal, Bengt Swensson, Jan Wretman (1992) Model Assisted Survey Sampling
Carol Cassel (2001) Steps Towards a Framework for Assessing Data Quality
Claes Cassel (2001) Measuring Customer Satisfaction
Cochran W. G. (1963) Técnicas de Muestreo
Donal Murphy (2001) On Circulation of Information necessary but not sufficient
Kish L. (1968) Muestreo de Encuestas
Miras J. (1985) Elementos de Muestreo para Poblaciones Finitas
Sharon L. Lohr (2000) Muestreo: Diseño y Análisis