2.4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE

Métodos Estadísticos
2.4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
Saber: Definir el concepto de distribución continua de
probabilidad, Explica el método de cálculo de varianza y
valor esperado de una probabilidad con variables continuas.
Describir las propiedades de:
- Distribución normal
- Chi cuadrada
- t de Student.
- Distribución F.
Hacer: Calcular la probabilidad
y varianza de una
distribución continua utilizando tablas.
Distribución normal
La distribución normal de probabilidad es una distribución continua y su
mayor aplicación se relaciona en investigaciones, donde se utilizan
muestras que se interesa analizar probabilidades, referentes al peso,
estatura, ingresos, gastos… Algunas observaciones o puntos a considerar
en esta distribución pudieran ser las siguientes:
1. Hay diferentes formas y tamaños de las distribuciones pero todas
se distinguen por tener media y desviación estándar.
2. El punto más alto de la campana o curva normal es la media.
3. La media puede tomar cualquier valor positivo, cero o negativo.
4. La distribución es simétrica, esto quiere decir que lo que hay a la
derecha de la media es una imagen de lo que hay a la izquierda.
5. La desviación estándar determina el ancho de la curva. Cuando la
desviación es mayor se tienen curvas más amplias y achaparradas,
y cuando la desviación es menor son más altas y delgadas.
6. El área bajo la curva es igual a la probabilidad y siempre es igual a
1.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2.4. Distribuciones continuas de probabilidad
La distribución normal es continua en vez de discreta. La media de una
variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza
cualquier valor positivo. La función de densidad de probabilidad de una
variable aleatoria normal con media µ y varianza σ2 está dada por
Donde:
x = Variable aleatoria continua que se desea investigar.
µ = Promedio poblacional que toma la variable aleatoria continua.
σ = Desviación estándar poblacional.
La relación de la campana de gauss con la media y la desviación estándar
está indicada en la siguiente gráfica:
Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con
media µ y varianza σ2.
El eje horizontal se conoce con la variable “z” y es una variable
normalizada o estandarizada.
1
Métodos Estadísticos
Ejemplo 1. El gerente de producción de una fábrica de telas tiene como
estándar que la merma de la tela sea en promedio 300 metros y se sabe que
la desviación estándar normalmente se encuentra en 50 metros.
2.4. Distribuciones continuas de probabilidad
Ejercicios de distribución normal.
1.
En caso de que la merma de la fábrica llegara a 362 metros ese valor sería
inaceptable para los dueños del negocio, determine que tan probable es que
esto llegue a ocurrir.
a)
b)
c)
d)
Determine el área bajo la curva normal
A la derecha de z = − 0.85.
Entre z = 0.40 y z = 1.30.
Entre z = − 0.30 y z = 0.90.
Desde z = − 1.50 hasta z = − 0.45.
a)
b)
c)
d)
Determine el área bajo la curva normal
A la izquierda de z = 0.56.
Entre z = − 2.93 y z = − 2.06.
Entre z = − 1.08 y z = 0.70.
Desde z = 0.96 hasta z = 1.62.
2.
Ejemplo 2 Se llama cociente intelectual (C.I.) al coeficiente entre la edad
mental y la edad real. Se sabe que la distribución del C.I. se distribuye
normalmente con media 0.95 y desviación típica 0.22.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un C.I. superior
a 1,37?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un C.I. inferior a
0,07?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un C.I. entre 0,8
y 1,15?
Ejemplo 3. La panadería “La oaxaqueña” elabora piezas de pan de
repostería. La longitud de una pieza de pan, la cual se distribuye
normalmente, es de 15 cm con una varianza de 2.25.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza exceda los 18 cm?
b) Si el dueño pide que las piezas de pan estén entre 13 y 17 cm ¿qué
porcentaje de piezas de pan salen de la especificación?
Puedes ocupar el siguiente archivo en línea para los ejercicios
anteriores:
3.
Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con
media de 480 y desviación estándar de 90.
a) ¿Cuál es la proporción de puntuaciones mayores a 700?
b) Si la puntuación de alguien es de 600, ¿en qué percentil se encuentra?
c) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?
4.
Suponga que la estatura de mujeres en una población sigue la curva normal con
media de 64.3 pulgadas y desviación estándar de 2.6 pulgadas.
a) ¿Qué proporción de mujeres tiene estatura entre 60 y 66 pulgadas?
b) La estatura de una mujer es 0.5 de desviación estándar mayor a la media. ¿Qué
proporción de mujeres mide más que ella?
c) Se elige aleatoriamente una mujer de esta población. ¿Cuál es la probabilidad de
que ella mida más de 67 pulgadas?
d) Se elige aleatoriamente a cinco mujeres de esta población. ¿Cuál es la
probabilidad de que sólo una de ellas mida más de 67 pulgadas?
5.
La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media
de 10 gigapascales (GPa) y desviación estándar de 1.4 GPa. ¿Cuál es la probabilidad de
que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa?
http://marcelrzmut.comxa.com/MetodosEstadisticos/24DistribucionesProbabilidadContinuas.xls
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2
Métodos Estadísticos
2.4. Distribuciones continuas de probabilidad
Actividad 2.5. Probabilidad Normal. De la lista de problemas anteriores
realice los ejercicios: 1 y 4.
Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS de este trabajo (INDIVIDUAL), las
rúbricas se indican en la liga siguiente:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones:
marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx
y marcelrz2002@yahoo.com.mx
Colocar en ASUNTO: Actividad 2.5. Probabilidad Normal.
No olvide enviarse copia a sí mismo del correo que envía, si usa Outlook solicite
confirmación de entrega y de lectura.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
3