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Engaños matemáticos curiosos
Autor: Ezequiel Schlosser
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1. Introducción
En estas entregas propongo compartir una colección de `juegos´ y situaciones
matemáticas llamativas, que en un principio pueden parecer extrañas.
Obtendremos por ejemplo que -1=1, o mas extraño aún, que el valor del numero
es 2, pasando por encontrar que el número mas grande que existe es el
1. Siempre mediante operaciones y procesos que aparentemente siguen una
secuencia lógica correcta, pero que llegan a resultados equivocados.
En la entrega posterior a la presentación de la situación `extraña´ se dará la
solución, o `el truco´ que nos lleva a esa conclusión equivocada. El lector, si esta
interesado, puede intentar resolver las situaciones, y luego comparar su resultado
con la solución propuesta.
Con conocimientos básicos de matemática, es suficiente para poder seguir la
entrega. Y en los casos en que sea necesario, se repasarán definiciones o
conceptos, antes de presentar el problema, para tenerlos presente y poder
utilizarlos.
Se quiere aclarar que se trató de hacer la lectura lo mas accesible posible a
mucha gente, por lo que seguro habrá personas que la encuentren demasiado
liviana o reiterativa. También se aclara que las situaciones son una recopilación
de las que considero mas sencillas y a la vez (más) interesantes.
Por último se deja en claro que en ningún momento se pretende insinuar que la
matemática está fallando. Falla el razonamiento, no la matemática.
Espero sea de su agrado e interés.
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2. ¿2 es igual a 1?
Recordar:
Situación:
Partamos de una suposición sencilla, de la igualdad de dos números,
a=b
Si multiplicamos por `a´ en ambos lados del igual, no se modifica la igualdad:
Restamos
en ambos lados:
Haciendo diferencias de cuadrados en el primer término y sacando factor
común en el segundo:
Simplificamos y nos queda que
Y como inicialmente supusimos que a=b, reemplazamos donde dice 'a' por 'b':
2b=b
Simplificamos 'b' y obtenemos el increíble resultado:
2=1
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3. ¿2 es igual a 1? - Solución
Solución:
Esta situación es bastante interesante, sobre todo si uno no sabe el secreto que
se esconde tras ella.
Si revisamos la secuencia, una y otra vez, parece que todo tiene concordancia
lógica y razonable, pero más allá de eso, llegamos a una cosa imposible,
absurda.
Básicamente el `truco´ está en el paso donde simplificamos la siguiente
igualdad:
Y llegamos al resultado de que:
Este procedimiento es valido solo si a y b no son iguales. Se explicara porque.
Al simplificar, lo que estamos haciendo es dividir a ambos lados de la igualdad por
el mismo factor, en este caso, (a-b). Pero si (a-b) es cero (es decir a=b), este
paso está prohibido. Se dice que no se permite dividir por cero, o que no esta
definida esta operación. Esto no es un invento, sino una especia de `axioma´
matemático.
Un hecho que lo explique es que eso nos validaría cualquier igualdad, por
ejemplo:
0=0
0=148*0=-34*0=0
Y dividiendo por cero (simplificando los ceros) nos queda que 148=-34. Lo cual
todos sabemos que no es cierto.
Volviendo a nuestro asunto, entonces, como (a-b)=0, esta prohibido que divida a
la ecuación y por lo tanto simplificar los términos. El resultado equivocado
proviene de esta simplificación (que si no la hacemos no llegamos a nada
concluyente). Mas allá de eso, todo lo anterior a este punto en el procedimiento
está correcto.
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4. ¿Cuál es el número más grande que existe?
Situación
El número mas grande del universo es n. Averigüémoslo.
Como es el mas grande que existe, obviamente, no existe un número mayor a él
, a lo sumo, si encontramos otro muy grande, será igual a n, pero NUNCA mayor.
Para empezar, hacemos una suposición bastante obvia, como n es muy grande,
será mayor (o igual) que 1:
Ahora bien, como n es TAN grande, y como es el más grande, ocurre que:
Esta condición es muy rara, pero no es ilógica. Si no hay un número mas grande
que n, entonces su cuadrado es a lo sumo igual, porque NADIE puede superar a
n, ni siquiera su propio cuadrado.
De esta última desigualdad, pasamos dividiendo 'n' (habíamos dicho que era
positiva), y entonces:
Juntando las dos desigualdades, la inicial y la reciente, nos queda:
Por lo que se obtiene, obviamente, que
n=1
Y a 'n' lo habíamos supuesto el número mas grande de todos!
¡Increíble! ¡El número más grande del universo es el 1!
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5. El número más grande que existe - Solución
Recordar:
Cota: elemento a partir del cual se puede delimitar un subconjunto de valores. Si
la cota es superior, se dice que ningún elemento del subconjunto supera el valor
de la cota. Por ejemplo, una cota superior de la edad de las personas puede ser
125 años, o, mas aún, 3000 años. (No vamos a encontrar nunca, supuestamente,
una edad superior a la cota, aunque sí puede ser igual).
Solución:
La solución a este problema es bastante sencilla.
Esta situación, mas allá de ser una curiosidad matemática, es una demostración
válida de porqué el conjunto de los números (naturales o reales, por ejemplo) no
es acotado (superiormente).
Y justamente en eso radica el error, en el suponer una cota superior para el
conjunto, que es n, de tal manera que ningún otro número del conjunto sea mayor
a este.
Entonces, se llega a un resultado que obviamente es un absurdo. Lo que
implica que no hay cota en este conjunto: siempre se puede encontrar un número
mayor al más grande que hayamos encontrado.
Igualmente se quiere aclara que al resultado al que se llega cuando decimos que
el cuadrado de n es menor (o igual) que el mismo n, es perfectamente valida,
basándonos en las hipótesis del problema. (La hipótesis de que existe una cota
es la que nos introduce esa extraña condición).
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6. ¿1 es igual que -1?
Recordar:
Situación:
Como partida, escribimos al 1 como un producto de -1:
Tomamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:
Distribuimos la raíz de la derecha; y en la izquierda, la raíz de 1 es 1:
Por lo que obtenemos:
Luego:
Otra forma de escribir esta situación, en una sola línea es:
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7. ¿1 es igual que -1? - Solución
Solución.
Esta curiosidad es una de mis preferidas. El procedimiento por el cual se llega a la
igualdad errónea es uno de los menos discutibles. Y es un error muy común en los
primeros pasos matemáticos de la gente.
Habíamos quedado es la `igualdad´:
Lo que hay que recordar, o tener en mente para atacar esta situación es la `
dualidad´ de cualquier raíz cuadrada. Esto proviene de que hay dos formas de
multiplicar dos números iguales para encontrar un tercer número dado. Dicho de
otro modo, podemos elevar al cuadrado dos números diferentes, y obtener el
mismo resultado. Por ejemplo:
3*3=9
(-3)*(-3)=9
La Raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado un número.
Y es por lo dicho anteriormente, que, por ejemplo, la raíz cuadrada del número 9
tiene dos posibles valores: 3 y -3.
En la situación que nos interesa, pasa algo similar. Y el problema básicamente
esta en la `preferencia´ natural por los números positivos que tenemos los seres
humanos.
En la expresión final que habíamos obtenido, vemos que en la última igualdad se
hace
Pero por lo que se dijo, bien podríamos haber escrito
Por lo que llegamos al resultado inicial, que -1=-1, lo que es correcto.
O, de otra manera, hacia la izquierda de la igualdad, donde teníamos
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Nótese que
Así que podríamos haber escrito, arbitrariamente, por ejemplo
Que efectivamente, es lo que tenemos del otro lado de la igualdad (1=1).
Así que parecería ser que depende de cómo escribimos las cosas, esta
situación funciona o no. Lo cual sería realmente llamativo para la mayoría de
nosotros, y ciertamente preocupante.
La realidad tiene algo que ver con esto que se acaba de decir, pero esta
totalmente respaldado por el campo matemático que estudia los números
complejos. En este aspecto, se nos limita (por ejemplo) el multiplicar dos veces
por -1, o por el numero i, o el -i. Porque justamente caeríamos en situaciones
parecidas a ésta.
Lamentablemente, en estas entregas no se podría profundizar mucho más sobre
el tema, pero como para dar una explicación completa, es peligroso en el campo
de los números complejos dar vueltas alrededor de un punto de ramificación en el
plano. En este caso es eso lo que esta sucediendo. Para solucionar el problema,
se dice que se `corta´ el plano complejo, limitando las circulaciones cerradas
alrededor de dicho punto.
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8. Cálculo de Pi - Parte I/II
Recordar:
Numero pi: Este numero es de gran importancia es las ciencias de todo tipo, y por
lo tanto en la tecnología y en todos los campos donde se aplique la matemática.
Su valor, como el lector sabrá, es 3.1415926... y se extiende por muchísimos
decimales (tantos que todavía no se pudo encontrar su fin, o su repetición, y
van varios millones de decimales encontrados).
Longitud de una circunferencia: 2.(pi).r, donde `r´ es el radio del círculo.
Situación:
Trataremos de hallar pi de una manera geométrica e interesante.
Para empezar, dibujaremos una semi-circunferencia de radio R, o lo que es lo
mismo, de diámetro 2R (Recuerde que el diámetro vale el doble que el radio).
Calculamos la longitud (L) de la curva, y nos da que es igual a la mitad la del
perímetro del círculo con radio R:
Ahora lo que hacemos es dividir el segmento 2R (el fragmento de recta en el eje
X, entre el punto 0 y 2R) en dos partes iguales (En azul en el dibujo). Y en un
paso posterior, hacemos lo mismo, dividiéndolo en 3 partes, que se muestra en
color rojo:
Nótese como las curvas, a medida que se aumenta el numero de intervalos, se
acerca mas al eje X.
Calculamos nuevamente la longitud de las curvas desde el 0 al punto 2R.
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En el caso en que dividimos el segmento en 2 partes (representación azul), cada
semicírculo tiene una longitud dada por su radio R/2 (Note que el diámetro de
cada semicírculo es R). Esta longitud entonces será:
Pero como el otro fragmento de curva es idéntico a este, decimos que la longitud
total es 2 veces la del primero (Sumamos dos longitudes iguales):
Por otro lado, si dividimos el segmento en 3 partes (representación en rojo), nos
quedaría algo parecido. Todas los fragmentos que conforman la curva (cada
medio circulo) son iguales. Cada uno tiene un diámetro 2R/3, o lo que es lo
mismo, un radio R/3. Calculamos una longitud y multiplicamos por 3 para obtener
la total:
Nótese que podemos suponer una fórmula general para la longitud total,
viendo estos resultados:
Donde n es la cantidad de intervalos que hagamos en el segmento de 0 a 2R.
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9. Cálculo de Pi - Parte II/II
(Continuación).
Si por ejemplo, hacemos una división en 6 partes del intervalo, llegamos al dibujo:
Cada mitad de círculo aquí tendrá un diámetro que surge de dividir el intervalo de
2R en 6 partes: 2R/6. Por lo que su radio es entonces la mitad, o sea 2R/12, o
R/6 que es lo mismo.
Calculamos la longitud total de toda la curva verde (la suma de cada pedacito de
círculo) sumando todas las longitudes individualmente, o lo que es lo mismo,
tomando 6 veces la longitud de media circunferencia:
(Y efectivamente, otra vez nos confirma nuestra fórmula general, para n=6).
Nótese nuevamente, que esta vez, la curva está más cerca del eje X que antes.
Es fácil darse cuenta de que una vez que partamos el intervalo entre 0 y 2R en
muchísimos fragmentos, tantos como infinitos, la curva resultante, va a
`aplastarse´ contra el eje X. En la siguiente figura vemos esta curva representada
en azul. Caso al que llegamos cuando la cantidad de intervalos (`n´) se acerca
a infinito:
Vemos que por mas que n sea muy grande, incluso infinito, en nuestra formula
general podemos simplificar el n que multiplica y divide:
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Pero notemos que en esta situación, la curva esta pegada al eje X. Y la longitud
de la curva (ahora una línea recta, dibujada en azul) es igual al largo del segmento
de 0 a 2R, que claramente es 2R.
Igualamos las longitudes:
"longitud de la curva" = "longitud del segmento"
Lo que implica que si simplificamos el 2, obtenemos el "verdadero valor de pi":
Increíble, ¿no?
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10. Cálculo de Pi - Solución
Solución:
Espero que esta situación haya sido de su agrado. Me parece interesante el
problema en primer lugar por intrometerse con el numero pi, y en segundo porque
es curioso.
La solución de la cuestión es bastante simple.
El problema es suponer que la curva resultante de dividir en infinitas partes el
segmento, se va a ajustar tan bien al propio segmento, que sus longitudes van a
ser iguales.
Si se mira un poco, el significado de que la longitud de la curva se mantenga
contaste siempre igual a 2pi, es como si una soga que teníamos inicialmente
haciendo un único arco, la arrugásemos hasta aplastarla contra el segmento. Por
mucho que la aplastemos, su longitud no va a igualar a la del segmento.
Justamente cuando se va a medir la longitud de algo se procura que la
herramienta de medición esté siguiendo por el contorno de la figura a medir de la
mejor manera posible. Seria absurdo afirmar que se puede medir directamente
mas o menos bien una longitud si no se cumple con este requisito.
Así que a quedarse tranquilo, el numero pi sigue valiendo, con unos pocos
decimales,
3,14159...
26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230
78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384
46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462
29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120
19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458
70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133
05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218
61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122
79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070
21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056
81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495
34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403
44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973
17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193
11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825
34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122
68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 85863 27886
59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972
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17752 83479 13151 ...
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11. ¿Triángulo escaleno o isósceles? - Parte I/II
Recordar:
Bisectriz: Línea recta que separa un ángulo en dos partes iguales.
Mediatriz: Línea recta perpendicular a un segmento que lo corta en dos partes
iguales.
Triángulo Escaleno: Aquel triangulo que cuyos lados son todos distintos.
Triángulo Isósceles: Aquel triangulo cuyos dos lados son iguales y el tercero
distinto a estos.
Triángulo Rectángulo: Triangulo que tiene un ángulo recto (90º o pi/2)
Propiedades de triángulo rectángulo:
El lado opuesto al ángulo recto (c) se llama hipotenusa (El lado C).
Nótese que a los lados se los denota con letras mayúscula, mientras que a los
ángulos (o vértices) con minúscula.
Sabiendo 2 datos de un triángulo rectángulo (además del ángulo recto), se pueden
averiguar los demás valores involucrados, tanto ángulos como lados.
Hipotenusa*Seno(b)=B
Hipotenusa*Coseno(b)=A
Hipotenusa*Seno(a)=A
Hipotenusa*Coseno(a)=B
Y demás identidades trigonométricas, y "fórmulas" como la de Pitágoras o la
propiedad que asegura que la suma de los ángulos interiores de un triangulo es
180º (ó pi).
Pero más que estas relaciones no necesitamos para abordar el problema.
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12. ¿Triángulo escaleno o isósceles? - Parte II/II
Problema:
Partamos de construir un triángulo escaleno. En uno de sus ángulos tracemos la
bisectriz (representada en rojo en la figura). Y en el lado opuesto a dicho ángulo,
tracemos la mediatriz (representada en azul en la figura). Marcamos el punto
donde se cruzan ambas líneas.
Nótese lo siguiente:
El ángulo c quedó `partido´ al medio, por lo que cada parte del ángulo
son iguales.
El segmento C también queda cortado al medio, por lo que son iguales los
segmentos
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En la próxima figura hacemos lo siguiente:
Al punto de cruce de las semirrectas trazadas, le llamamos X.
Desde este punto, trazamos dos segmentos hacia a y b respectivamente
(representados en verde). Y dos más hacia el punto medio de A y hasta el punto
medio de B (representados en negro).
De esta manera nos quedan 6 triángulos formados dentro del triangulo inicial: I,
II, III, IV, V y VI.
Ahora bien, los triángulos I y VI son iguales, uno reflejado respecto del otro. Se
puede decir que como c1 y c2 son iguales, y ambos son rectángulos en los puntos
medios de B y A respectivamente, los lados desde X a estos puntos medios son
iguales; y los ángulos que forman dichos lados con la línea roja (la hipotenusa de
ambos) son iguales. Por lo tanto, B1 y A1 son iguales. Esta última condición es la
que nos interesa.
Por otro lado, los triángulos III y IV también son iguales, por argumentos
similares: como ambos triángulos son rectángulos en el punto medio de C, y
tienen el lado azul (que va desde X al punto medio de C) en común, los ángulos
a1 y b2 son iguales (ya habíamos aclarado que los segmentos C1 y C2 son
iguales). Cumpliéndose todo esto, es inevitable que los lados verdes (desde X
hacia a y b respectivamente) sean iguales. Esta última observación se debe tener
en cuenta.
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Ahora vayamos a los triángulos II y V:
Ambos son rectángulos: en el punto medio de B el II, y en el punto medio de A el
triangulo V.
Las hipotenusas de ambos (las líneas verdes) son iguales.
Por lo tanto, los lados en negro (segmentos desde X al punto medio de B y A), que
son iguales, se pueden escribir como el seno de los respectivos ángulos
opuestos. El seno de a2 por la hipotenusa, en el triangulo II, da el valor de este
lado en negro.
Lo mismo en el triangulo V: el lado en negro es el seno de b1 por la hipotenusa.
Habíamos dicho que ambos lados negros eran iguales, por lo tanto, son iguales
las fórmulas para hallarlos:
Puesto que dijimos que las hipotenusas eran iguales, llegamos a la conclusión de
que a2=b1.
Sabiendo esto, la próxima observación es sencilla:
De ambos triángulos sabemos 2 lados y 2 ángulos. Podemos averiguar el otro
lado sin dificultad (los segmentos B2 y A2).
Usando las propiedades que conocemos sobre triángulos:
Evidentemente, como las hipotenusas son iguales (las líneas verdes) y también
son iguales a2 y b1 por lo que deducimos recién, obtenemos A2=B2
En definitiva, encontramos que B1=A1 y B2=A2.
Por lo tanto llegamos a la conclusión: A=B. (Encontramos que dos de sus lados
son iguales!).
O sea, este triangulo se transformó, solo por el hecho de medir sus lados, de
escaleno a isósceles.
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13. Triángulo escaleno o isósceles - Solución
Solución:
Por más que parezca un poco complicado llegar a la `transformación del
triángulo´, el hecho de porqué nos conducimos a un resultado extraño es sencillo.
De hecho, la clave esta al principio de todo, cuando comenzamos con el
análisis. Al trazar la mediatriz y la bisectriz del lado y ángulo opuesto
respectivamente, buscamos el lugar donde ambas rectas (o semirrectas) se
cruzan. Si usted intentara hacer esto, encontraría con no mucho esfuerzo que la
única forma de que dichas rectas se crucen sería que el triángulo sea
justamente isósceles (tendría dos lados iguales, entre los cuales se encontraría
esta única recta).
Al empezar con la situación, supusimos que podían cortarse sin mayor problema,
y el dibujo, aunque no es perfecto, ayuda un poco a convencerse de ello (el
triángulo efectivamente es escaleno, pero la mediatriz y bisectriz no son tales,
aunque parecen serlo). Así que ni más ni menos, estamos mas cerca de una
suerte de ilusión óptica que ante una ilusión matemática. Que por cierto resultó
interesante.
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