Problema 12, paragrafo 3, capítulo IV. Linear Algebra. Serge Lang. Segunda edición Solución n o ~ 2 Matn n (R) j aij = aji i; j = 1; 2; :::; n S= M i) Mostrar que S es un espacio vectorial. Al ser S Matn n (R), que es un espacio vectorial, basta mostrar que S es cerrado ante la suma y ante la multiplicación por un escalar. ~ B ~ 2 S, es decir dos matrices simétricas. El elemento arbitrario i; j Sean A; ~ ~ . Por tanto, la de su suma es A~ + B = aij + bij = aji + bji = A~ + B ij ji suma también es simétrica. Sean A~ 2 S, es decir una matriz simétrica y sea r 2 R. El elemento arbitrario i; j de rA~ es rA~ = raij = raji = rA~ . Por tanto, el producto por un ij ji escalar de una matriz simétrica, también es simétrico. En conclusión, S es un subespacio vectorial de Matn n (R), es decir, es un espacio vectorial en si mismo. ii) La dimensión del espacio es igual al número de elementos diferentes que, en general, tiene una matriz en S. El número total de elementos de una matriz en Matn n (R) es n2 . Los elementos de la diagonal son n. Así que el número de elementos fuera de la diagonal son n2 n = n (n 1). Ahora la mitad de "arriba" son iguales a la mitad de "abajo", ya que la matriz es simétrica, así que hay que restar n (n 1) =2 elementos y la dimensión del espacio vectorial de matrices simétricas es Dim S = n2 n (n 1) =2 = n (n + 1) =2 iii) Una base para n = 2 Las matrices simétricas 2 2 son todas de la forma a c c b que siempre se pueden poner como a c 1 0 0 0 0 0 =a +b +c c b 0 0 0 1 0 1 Es decir, las matrices 1 0 0 0 0 0 ; ; 0 0 0 1 0 1 son una base del espacio vectorial de matrices simétricas. Es claro, además, que la dimensión del espacio es 3. iv) Una base para n = 3 Las simétricas 3 3 son todas de la forma 0 matrices 1 a d e @ d b f A e f c que 0 siempre se 1 pueden 0 poner como 1 0 1 0 1 a d e 1 0 0 0 0 0 0 0 0 @ d b f A = a@ 0 0 0 A + b@ 0 1 0 A + c@ 0 0 0 A + e f c 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A + e@ 0 0 0 0 1 0 decir, las 1 matrices 0 1 0 0 0 0 @ 0 0 0 A;@ 0 1 0 0 0 0 0 son una base del espacio espacio es 6. 0 d@ 1 0 Es 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A+f@ 0 0 0 A 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A;@ 0 0 0 A;@ 1 0 0 A;@ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 vectorial de matrices simétricas y la dimensión 2 1 0 0 0 0 A;@ 0 0 0 del 0 0 1 1 0 0 A 0