15 Probabilidad

Teoría de Probabilidad
Teoría de Probabilidad
Recopilado por JAMH. Rev. agosto 2004
Vivimos en un mundo de incertidumbre, no
sabemos lo que nos depara exactamente el mañana. Sin
embargo, muchas veces conocemos los posibles evento
por venir; por tanto es conveniente estimar o determinar
las probabilidades de esos eventos (ocurrencias).
Las probabilidades se expresan como fracciones o
porcentajes, y son la medida cuantitativa de que un
evento pueda ocurrir (o no ocurrir).
Experimentos y Espacio Muestral
Experimentos
– Lanzar una moneda al aire
– Seleccionar una pieza
– Una visita de ventas a un cliente
Espacio
Muestral
Punto
Muestral
Eventos y Probabilidades
Sucesos
– Cara o cruz
– Defectuosa o no defectuosa
– Venta o no venta
Un suceso es el resultado de un experimento
Al analizar un experimento es importante definir
sus resultados, a fin de posteriormente definir su
espacio muestral, puesto que el conjunto de todos los
resultados se convierten en el Espacio Muestral.
Cualquier resultado experimental se conoce como
Punto Muestral
Asignación de Probabilidades a Resultados
Muestrales
Un evento es un punto muestral o un conjunto de
puntos muestrales (resultados experimentales). La
probabilidad de un evento será igual a la suma de las
probabilidades de los puntos muestrales en dicho
evento. Ejemplo dados
Espacio Muestral
Complemento
del Evento A
Evento A
I. Relaciones Básicas de Probabilidad
1. Complemento de un evento
Existen dos requisitos que deben cumplirse al
asignar la probabilidad a un resultado muestral.
Sea «Ri» el resultado del i-ésimo experimento, y sea
P(Ri) su probabilidad de ocurrencia. Entonces:
✍ 0 ≤ P(Ri) ≤ 1
✍ La sumatoria de todas las P(Ri) = 1
2. Ley Aditiva. Unión de eventos
Espacio Muestral
Evento A
A U B
Evento B
122
Teoría de Probabilidad
•
AUB
observada de un evento durante un gran número de
intentos. O sea, es la fracción que indica la proporción
de que un evento se presenta a la larga en una serie de
«experimentos». Se asume que las condiciones son
estables.
3. Intersección de eventos
U
• A
B
Espacio Muestral
A
U
Evento A
B
Evento B
Utiliza la información pasada para determinar la
probabilidad de un evento en el futuro. A mayor número
de intentos, mejor predicción.
El estado estable es el valor final a largo plazo de
un experimento.
II. Formulas para la adición
La limitante de este planteamiento ocurre si se
emplea sin evaluar un número suficiente de
experimentos.
En General
3. Probabilidades Subjetivas
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Este planteamiento está basado en las creencias u
“olfato para los negocios.” Está basado en las
evidencias que se tenga disponibles. Generalmente los
gerentes pueden tomar la evidencia disponible y
mezclarla con sentimientos personales.
Para eventos mutuamente excluyentes:
P(A U B) = P(A) + P(B)
Espacio Muestral
Evento A
Evento B
Se utilizan más cuando los eventos solo ocurrirán
una vez o muy pocas veces, o cuando no hay
información o la información existente ya no es válida.
IV. Reglas de Probabilidad
Nota: Eventos mutuamente excluyentes significa
que los eventos no tienen ningún punto muestral en
común.
La mayoría de Toma de Decisiones se refiere a una
de dos posibles situaciones:
– La primera, el caso en que un solo evento se presenta.
– La segunda, cuando 2 o más eventos se presentan
simultáneamente o uno a continuación de otro.
III. Formas de calcular la Probabilidad
1. Planteamiento Clásico
Es la razón entre el número de resultados en que
el evento en estudio puede ocurrir entre el número
total de resultados posibles. Este tipo de planteamiento
asume que cada uno de los evento o resultado posible
es igualmente posible.
En el caso que se presenten dos (2) eventos, se
pueden presentar dos situaciones: a) el resultado del
primero evento puede tener un efecto en el resultado
del segundo evento y b) el resultado del primero evento
no tiene un efecto en el resultado del segundo evento.
Estos dos casos son conocidos respectivamente como:
–
–
Eventos dependiente o
Eventos Independientes
2. Frecuencia Relativa
Este planteamiento muestra la frecuencia relativa
123
Teoría de Probabilidad
V. Probabilidad de eventos Independientes y
Dependientes
2. Probabilidades bajo condiciones de Dependencia
Estadística
1. Probabilidad bajo condiciones de Independencia
Estadística
Definición: La dependencia estadística existe cuando
la probabilidad de que se presente algún evento depende
o se ve afectada por la ocurrencia de algún otro evento.
Las probabilidad bajo independencia estadística se
sub-dividen en:
a. Probabilidad Condicional
a. Probabilidad Marginal o Incondicional
Simbología.. P(B/A) = P(BA)/P(A)
Simbología.
Sea P(A) = Probabilidad de suceso del evento «A»
La probabilidad de que ocurra B dado que A ha
ocurrido es igual a la probabilidad de que ocurran los
eventos A y B entre la probabilidad de que ocurra A.
Ocurre cuando sólo un evento puede llevarse a
cabo. Ej. Un número de lotería, al tirar una moneda
Evento B
Evento A
b. Probabilidad Conjunta
Cuando 2 o mas eventos independientes se presente
uno a continuación de otro. O cuando se requiere que
se presenten ambos simultáneamente.
Evento B y A
Una vez ocurre el evento A
Simbología. P(AB) = P(A)*P(B)
c. Probabilidad Condicional
Evento A, con
Probabilidad
P(A)
Evento A y B, con
probabilidad = P(B y A)
P(B/A) = Probabilidad de que suceda el evento B
dado que el evento A se ha presentado. La ocurrencia
del primero no altera la ocurrencia del segundo. Se tiene
que:
Simbología. P(B/A) = P(B)
Por lo que: P(B/A) = P(BA)/P(A)
Ejemplo. 10 pelotas.
Independencia Estadística
Tipo de
Símbolo
Fórmula
Probabilidad
• 4 Color
• 6 Grises
• 5 punteadas
• 5 rayadas
- 3 punteadas y 1 rayada
- 2 punteadas y 4 rayadas
- 3 de Color y 2 Grises
-1 de Color y 4 Grises
Tabla de Probabilidades
Marginal
Conjunta
Condicional
P(A)
P(AB)
P(B/A)
P(A/B)
P(A)
P(A)*P(B)
P(B)
P(A)
i. Dado que se ha sacado una bola de color (C)
¿Cuál es la probabilidad de que sea punteada (D)?
Resolución: P(D/C) = P(DC)/P(C) = 0.3/0.4 = 0.75
y por tanto P(F/C) =P(FC)/P(C) = 0.1/0.4 = 0.25
ii. Dado que se ha sacado una bola gris (G) ¿Cuál
es la probabilidad de que sea con franja (F)?
124
Teoría de Probabilidad
Evento Descripción
Color
P(D/G) =P(DG)/P(G) =0.2/0.6=1/3
También es posible analizar como primer evento
el hecho de que la bolita extraída sea clasificada como
de puntos o de franjas. En tal caso tendríamos la tabla
que se muestra en la columna derecha.
Puntos (D) y
Color (C)
0.1
0.1
0.1
4
5
Puntos (D)
y Gris (G)
0.1
0.1
6
Franjas (F) y
Color (C)
0.1
7
8
9
10
Franjas (F) y
Gris (G)
0.1
0.1
0.1
0.1
Franjas
Resolución: P(F/G) = P(FG)/P(G) =0.4/0.6= 2/3 y
por tanto:
1
2
3
Puntos
Grises
Probabilidad
Resolución: P(C/D) = P(DC)/P(D) = 0.3/0.5 = 0.60
y por tanto: P(G/D) =P(GD)/P(D) = 0.2/0.5 = 0.40
Los eventos y sus probabilidades conjuntas serían:
iv. Dado que se ha sacado una bola de franjas (F)
¿Cuál es la probabilidad de que sea de color (C)?
iii. Dado que se ha sacado una bola de puntos (D)
¿Cuál es la probabilidad de que sea de color (C)?
Resolución: P(C/F) = P(CF)/P(F) =0.1/0.5= 0,2 y
por tanto: P(G/F) =P(GF)/P(F) =0.4/0.5=0,8
b. Probabilidad Conjuntas
Evento Descripción
A partir de la formula para probabilidades
condicionales podemos obtener la formula para
probabilidades conjuntas.
Probabilidad
0.1
0.1
0.1
4
Color (C)
y Franja (F)
0.1
5
6
Gris (G) con
Puntos (D)
0.1
0.1
7
8
9
10
Gris (G) con
Franjas (F)
0.1
0.1
0.1
0.1
P(BA) = P(B/A) * P(A).
Léase: Probabilidad de que se los eventos A y B
se presenten al mismo tiempo o en sucesión es igual a
la probabilidad de que suceda el evento B dado que ya
se presento el evento A multiplicado por probabilidad
de que ya se presento el evento A. Ejemplos
Gris
Color (C) y
Puntos (D)
Color
1
2
3
P(GD) = P(G/D) * P(D) = 0.4*0.5 = 0.2
P(GF) = P(G/F) * P(F) = 0.8*0.5=0.4
P(CF) = P(C/F) * P(F), donde P(C/F)= 1/3 * 6/10 = 6/
30 = 1/5 = 0.2, y P(F) = 0.5 entonces: 0.2 * 0.5 = 0.1
P(CD) = P(C/D) * P(D) =0.6 * 0.5 = 0.3
125
Teoría de Probabilidad
Para este ejemplo solo hay cuatro únicas
combinaciones posibles (eventos)
c. Probabilidad Marginal
La probabilidad marginal de un evento bajo
condiciones de dependencia estadística se calcula
mediante la suma de las probabilidades de todos los
eventos conjuntos en los que se presenta dicho evento.
P(C) = P(CF) + P(CD) = 0.3 + 0.1= 0.4
P(G) = P(GD) + P(GF) = 0.2+0.4 = 0.6
P(D) = P(DC) + P(DG) = 0.3 +0.2= 0.5
P(F) = P(FC) + P(FG) = 0.1 + 0.4 = 0.5
Dependencia Estadística
Tipo de
Probabilidad
Marginal
Símbolo
P(A)
Fórmula
Suma de todas las
probabilidades de los
eventos conjuntos
donde aparece evento
«A»
Conjunta
Condicional
P(AB) ó
P(BA)
P(B/A)
P(A/B)
P(A/B)*P(B) ó
P(B/A)*P(A)
P(BA)/P(A) ó
P(AB)/P(B)
b) El Inspector B apruebe un restaurante que esté
violando el reglamento, dado que el inspector A ya
lo aprobó?
c) Un restaurante que esté violando el reglamento sea
aprobado por el Departamento de Salud?
1.2- Una presa hidroeléctrica tiene cuatro compuertas.
Cuando fallan sus compuertas se les repara de manera
independiente una de la otra. A partir de la experiencia,
se sabe que cada compuerta está fuera de servicio el
4% de todo el tiempo.
a) Si la compuerta número uno está fuera de servicio,
¿cuál es la probabilidad de que simultáneamente las
compuertas dos y tres estén fuera de servicio ?
b) Durante una visita a la presa, se le dice a usted que
las posibilidades de que las cuatro compuertas estén
fuera de servicio al mismo tiempo son menores a
uno entre cinco millones. ¿Es ésto cierto?
1.3- Roberto Sales se encuentra preparando un informe
que la empresa en la que trabaja, «Corporación Tritón»,
entregará a su vez al departamento Federal de Aviación
de Estados Unidos. El informe debe ser aprobado
primero por el responsable del grupo del cual Roberto
es integrante, luego por el jefe de su departamento y
después por el jefe de la división (en ese orden). Roberto
sabe, por experiencia , que los tres directivos actúan
de manera independiente. Además sabe también que su
responsable de grupo aprueba 85% de sus informes, el
jefe del departamento aprueba el 80% de los informes
elaborados por Roberto y el jefe de la división aprueba
el 82% de los trabajos de Roberto
Ejercicios.
1.1- El Departamento de Salud efectúa rutinariamente
dos inspecciones independientes a los restaurantes. Un
restaurante aprobará la inspección sólo si ambos
inspectores lo aprueban en cada una de las respectivas
inspecciones. El inspector A tiene mucha experiencia,
en consecuencia sólo aprueba 2% de los restaurantes
que realmente están violando el reglamento sobre
salubridad. El inspector B tiene menos experiencia y
aprueba 7% de los restaurantes con fallas. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) El inspector A apruebe un restaurante que está
violando el reglamento, dado que el inspector B ha
encontrado violaciones al reglamento?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versión
del informe de Roberto sea enviada al Departamento
federal de Aviación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versión
del informe de Roberto sea aprobada por el
responsable de grupo y el jefe del departamento pero
no sea autorizado por el jefe de la división?
1.4- Billy Bordeaux, ejecutivo consultor en jefe de la
compañía Grapevine Concepts, recientemente lanzó una
campaña publicitaria para un nuevo restaurante, The
Black Angus. Billy acaba de instalar cuatro anuncios
panorámicos en la carretera a la entrada de la ciudad, y
sabe, por su experiencia, la probabilidad de que cada
126
Teoría de Probabilidad
anuncio sea visto por un conductor escogido
aleatoriamente.
La probabilidad de que el primer anuncio sea visto
por un conductor es de 0.75. La probabilidad de que el
segundo sea visto es de 0.82, la probabilidad para el
tercero es de .87 y la del cuarto es de 0.9. Suponiendo
que el evento consiste en que un conductor vea uno
cualquiera de los anuncios es independiente de si ha
visto o no los demás; ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Los cuatro anuncios sean vistos por un conductor
escogido aleatoriamente?
b) El primero y el cuarto anuncios sean vistos, sin que
el segundo y el tercero sean notados?
c) Solamente uno de los anuncios sea visto?
d) Ninguno de los anuncios sea visto?
e) El tercero y cuarto anuncios no sean vistos?
1.5- La tienda de autoservicio Friendly ha sido víctima
de muchos ladrones durante el mes pasado, pero debido
al aumento de las condiciones de seguridad de la tienda,
se ha podido aprender a 250 ladrones. Se registró el
sexo de cada infractor y si éste era su primer robo o si
ya había sido sorprendido con anterioridad. Los datos
Género
Hombre
Mujer
Total
Primera
Aprehención
60
44
104
Reincidente
70
76
Total
130
120
146
250
se resumen en la tabla siguiente:
Suponiendo que un infractor aprehendido es
escogido al azar, encuentre:
a) La probabilidad de que éste sea hombre
b) La probabilidad de que sea la primera aprehensión
del infractor, dado que éste es hombre.
c) La probabilidad de que el ladrón sea mujer, dado
que éste es reincidente
d) La probabilidad de que el ladrón sea mujer, dado
que es su primera aprehensión
e) La probabilidad de que el ladrón sea tanto hombre
como reincidente
1.6- El gerente regional de la zona sureste de General
Express, una compañía privada de paquetería, está
preocupado por la posibilidad de que algunos de sus
empleados vayan a huelga. Estima de que la
probabilidad de que sus pilotos se vayan a huelga es de
0.75 y la probabilidad de que los choferes se vayan a
huelga es de 0.65. Existe el 90% de probabilidades de
que los pilotos realicen un paro solidario de actividades.
O sea, la probabilidad de que los pilotos se vayan a
huelga dado que los choferes se han ido a huelga es de
0.90.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos se
vayan huelga?
b) Si los pilotos hacen huelga, ¿cuál es la probabilidad
de que los choferes lo hagan también como acto de
solidaridad?
Nota: Las siguientes fórmulas le pueden ayudar a comprender los
términos de Excluyente e Independencia.
Mutuamente Excluyente:
No Mutuamente Excluyente:
∩B) = 0
P(A∩
∩B) ≠ 0
P(A∩
Independencia Estadística
P(A/B) = P(A)
P(A^B) = P(A)*P(B)
Dependencia Estadística
P(A/B) = P(A^B)/P(B)
P(A^B) =P(A/B) * P(B)
P(A/B) ≠ P(A)
P(A)*P(B) ≠ P(A^B)
127
Al dia
80
150
230
En mora
290
480
770
P(marginal)
370
630
1000
En mora
0.29
0.48
0.77
P(marginal)
0.37
0.63
1
Al dia
150
80
230
En mora
250
520
770
P(marginal)
400
600
1000
En mora
0.25
0.52
0.77
P(marginal)
0.4
0.6
1.00
menos de 2
2 o mas
P(marginal)
Al dia
0.092
0.138
0.23
En mora
0.308
0.462
0.77
P(marginal)
0.4
0.6
1.00
Probabilidades conjuntas si fueran independientes P(AC) = P(A)*P(C)
menos de 2
2 o mas
P(marginal)
Al dia
0.15
0.08
0.23
Probabilidades conjuntas bajo dependencia estadística
menos de 2
2 o mas
P(marginal)
0.37
Dependencia Estadística
Probabilidades conjuntas bajo independencia estadística P(AC) = P(A)*P(C)
Al dia
En mora
P(marginal)
menos de 2
0.0851
0.2849
0.37
P(a/c) = P(a)=
2 o mas
0.1449
0.4851
0.63
P(marginal)
0.23
0.77
1
menos de 2
2 o mas
P(marginal)
Al dia
0.08
0.15
0.23
Probabilidades conjuntas bajo independencia estadística (n/N)
menos de 2
2 o mas
P(marginal)
Independencia Estadística
Mora
180
720
350
No Mora
20
80
650
P(marginal)
425
575
1000
Mora
0.1800
0.7200
0.9000
No Mora
0.0200
0.0800
0.1000
P(marginal)
0.2000
0.8000
1.0000
Mora
200
150
350
No Mora
225
425
650
P(marginal)
425
575
1000
Mora
0.2000
0.1500
0.3500
No Mora
0.2250
0.4250
0.6500
P(marginal)
0.4250
0.5750
1.0000
Casado(a)
Soltero(a)
P(marginal)
Mora
0.1488
0.2013
0.3500
No Mora
0.2763
0.3738
0.6500
P(marginal)
0.4250
0.5750
1.0000
Probabilidades conjuntas si fueran independientes P(AC) = P(A)*P(C)
Casado(a)
Soltero(a)
P(marginal)
Probabilidades conjuntas bajo dependencia estadística
Casado(a)
Soltero(a)
P(marginal)
Probabilidades conjuntas bajo independencia estadística P(AC) = P(A)*P(C)
Mora
No Mora
P(marginal)
Casado(a)
0.1800
0.0200
0.2000
Soltero(a)
0.7200
0.0800
0.8000
P(marginal)
0.9000
0.1000
1.0000
Casado(a)
Soltero(a)
P(marginal)
Probabilidades conjuntas bajo independencia estadística (n/N)
Casado(a)
Soltero(a)
P(marginal)
Teoría de Probabilidad
128
0.85
0.85
0.80
0.80
0.18
0.82
= 0.85*0.80*(1-0.82) = 0.1224
= 0.85*0.80*0.82 = 0.5576
Información proporcionada:
• Existen un proyecto con tres fases
• Eventos bajo independencia estadística
Ejercicio 1.3. Aprobación de Proyectos
Inspector B
Inspector A
– A. P(Inspector A / Inspector B) = P(Inspector A) =
0.02
– B. P(Inspector B / Inspector A) = P(Inspector B) =
0.07
– C. P(Inspector B) * P(Inspector A) = 0.02*0.07 =
0.0014
Resolución
Información dada
• P(Inspector A apruebe un restaurante que no
cumple) = 0.02 = 2%
• P(Inspector B apruebe un restaurante que no
cumple) = 0.07 = 7%
• Eventos bajo independencia estadística
Ejercicio 1.1. Inspectores de Restaurantes
A.
SI
B.
SI
SI
SI
NO
SI
NO
Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias
– A. P(Compuerta 2 y Compuerta 3 fallen /
Compuerta 1 ha fallado) = P(C2 y C3 fallen) = P(C2
falle) * P(C3 falle) = 0.04 * 0.04 = 0.0016
– B. P(C1 y C2 y C3 y C4 fallen) = 0.04 * 0.04 * 0.04
* 0.04 = 0.00000256 = 1/400,000. Entonces no es
cierto que la probabilidad de falla total sea 1 en
5,000,000
• Resolución
Información dada
• Probabilidad de falla de cada una de las compuerta =
0.04
• Eventos bajo independencia estadística
Ejercicio 1.2. Compuertas de Represa
SI
Teoría de Probabilidad
129
SI
SI
SI
NO
NO
NO
NO
NO
SI
NO
SI
NO
NO
NO
C. Solución: 0.75*(1-0.82)*(1-0.87)*(1-0.9) +
(1-0.75)*(1-0.82)*(0.87)*(1-0.9) +
(1-0.75)*(0.82)*(1-0.87)*(1-0.9) +
(1-0.75)*(1-0.82)*(1-0.87)*(0.9)
= 0.013595
SI
NO
SI
NO
NO
Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias. Continuación
A. Solución: 0.75*0.82*0.87*0.9 = 0.481545
SI
Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias
NO
NO
SI
NO
NO
NO
NO
NO
E. Solución: (1-0.87)*(1-0.9) = 0.013
D. Solución: (1-0.75)*(1-0.82)*(1-0.87)*(1-0.9) = 0.000585
NO
Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias. Continuación
B. Solución: 0.75*(1-0.82)*(1-0.87)*0.9 = 0.015795
SI
Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias
Teoría de Probabilidad
130
60
44
10 4
1a. Aprención
0.24 0
0.17 6
0.41 6
Hombre
Mujer
Total
Género
Hombre
Mujer
Total
0.58 4
0.30 4
0.28 0
2 o mas .
Aprenciones
14 6
2 o mas
Aprenciones
70
76
e. P(Reincidente y hombre) = 0.28
d. P(mujer/1a. aprención) =(0.176/0.416)
c. P(mujer/reincidente) = (0.304/0.584)
b. P(1a. aprención/hombre) = (0.240/0.520)
a. P(hombre) = 0.520
1 a. Aprención
Género
1.00 0
0.48 0
0.52 0
Total
250
130
120
Total
Ejercicio 1.5. Robos en el autoservicio
P(pilotos a huelga) = 0.75
P(choferes a huelga) = 0.65
P(pilotos a huelga/choferes a huelga) = 0.90
P(A) = 0.75
P(B) = 0.65
P(A/B) = 0.90
P(AB) = P(A/B) * P(B)
= 0.90 * 0.65
= 0.585
P(B/A) = P(AB) / P(A)
= 0.585 / 0.75
= 0.78
b)P(choferes a huelga/ pilotos a huelga) =
P(choferes a huelga y pilotos a huelga) /
P(pilotos a huelga) = 0.585/0.75 = 0.78
a) P(pilotos a huelga y choferes a huelga) =
P(pilotos a huelga/choferes a huelga)
*P(choferes a huelga) = 0.90*0.65 = 0.585
•
•
•
Ejercicio 1.6. Huelga en General
Express
Teoría de Probabilidad
131