El objetivo es demostrar que C∞(Ω) es denso en Wk,p(Ω), 1 ≤ p

El objetivo es demostrar que C ∞ (Ω) es denso en W k,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, Ω ⊂ Rn
abierto y acotado.
Sea J una función en C0∞ (Rn ), no negativa, con las siguientes propiedades:
(i) RJ(x) = 0 si |x| ≥ 1
(ii) Rn J(x)dx = 1.
Por ejemplo
(
−1
1−|x|2
si|x| < 1
ke
J(x) =
0
si|x| ≥ 1
donde k es elegida para que se satisfaga la condición (ii).
Definimos J (x) := −n J( x ). J ∈ C0∞ (Rn ) y cumple:
(i) RJ (x) = 0 si |x| ≥ (ii) Rn J (x)dx = 1.
Vamos a definir
Z
J ∗ u(x) :=
J (x − y)u(y)dy
Rn
Lema 0.1. Sea Ω ⊂ Rn abierto y acotado. Sea u una función definida en Rn , que
vale 0 afuera de Ω
(i) si u ∈ L1loc (Ω), entonces J ∗ u ∈ C ∞ (Rn )
(ii) si u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, entonces J ∗ u ∈ Lp (Ω) y
lim ||J ∗ u − u||Lp (Ω) = 0
→0+
Demostración: Veamos primero que la convolución J ∗ u está definida en Rn , para
eso hay que ver que la siguiente integral es finita
Z
|J (x − y)||u(y)|dy
Rn
como la función que estamos integrando se anula afuera de Cx = B (x) ∩ Ω, y la función
|J | es acotada en Cx pues es continua. Entonces
Z
Z
|J (x − y)||u(y)|dy ≤
C|u(y)|dy < ∞
Rn
Cx
L1loc (Ω)
pues u ∈
y Cx es un compacto de Ω.
Veamos ahora que
Dα (J ∗ u)(x) = (Dα J ) ∗ u(x)
basta ver que
Dxi (J ∗ u)(x) = (Dxi J ) ∗ u(x)
1
2
J ∗ u(x + hei ) − J ∗ u(x)
− (Dxi J ) ∗ u(x) =
h
R
R
Z
Rn J (x − y + hei )u(y)dy − Rn J (x − y)u(y)dy
−
D
J
(x
−
y)u(y)dy
x
i
h
n
R
Z J (x − y + hei ) − J (x − y)
≤
− Dxi J (x − y) |u(y)|dy
h
Rn
la función que estamos integrando tiene soporte en Ω ∩ (B (x + hei ) ∪ B (x)). Si y es
tal que |x + hei − y| < y |h| < 1, entonces |x − y| < |x − y + hei | + |hei | < + 1. Luego
para |h| < 1 se tiene que el soporte del integrando está en Kx = Ω ∩ B+1 (x). Luego
para |h| < 1
J ∗ u(x + hei ) − J ∗ u(x)
≤
−
(D
J
)
∗
u(x)
x
i
h
Z J (x − y + hei ) − J (x − y)
|u(y)|dy
−
D
J
(x
−
y)
x
i
h
Kx
Sabemos que
J (x − y + hei ) − J (x − y)
− Dxi J (x − y) < δ
h
para |h| < h̃(y, δ). Osea, para todo y ∈ Kx
J (x − y + hei ) − J (x − y)
= Dxi J (x − y)
h→0
h
pero como Kx es un compacto, la convergencia es uniforme. Entonces para |h| < h̃(δ)
se tiene
J (x − y + hei ) − J (x − y)
− Dxi J (x − y) < δ
h
lim
para todo y ∈ Kx . Luego para |h| < h̃(δ)
Z
J ∗ u(x + hei ) − J ∗ u(x)
− (Dxi J ) ∗ u(x) ≤ δ
|u(y)|dy
h
Kx
Esto demuestra que
Dxi (J ∗ u)(x) = (Dxi J ) ∗ u(x)
de lo que se deduce que J ∗ u ∈ C ∞ (Rn ), pues observemos que lo único que usamos de
J es que tiene soporte en B , y que es continua y derivable.
Supongamos ahora que u ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ (lo que implica que u ∈ L1loc (Ω)),
p
entonces p0 = p−1
, y usando la desigualdad de Hölder obtenemos la siguiente desigualdad:
3
Z
|J ∗ u(x)| = J (x − y)u(y)dy n
ZR
0
≤
J (x − y)1/p J (x − y)1/p |u(y)|dy
Rn
1/p0 Z
Z
≤
J (x − y)dy
=
1/p
J (x − y)|u(y)|
Rn
Z
p
J (x − y)|u(y)|p
Rn
1/p
Rn
Usando el teorema de Fubini, tenemos
Z Z
Z
p
J (x − y)|u(y)|p dydx
|J ∗ u(x)| dx ≤
n
n
Ω
ZR ZR
=
J (x − y)|u(y)|p dxdy
n
n
ZR R
Z
p
=
|u(y)|
J (x − y)dxdy = ||u||pLp (Ω)
Rn
Rn
Veamos que esto también vale para p = 1
Z
dx
|J ∗ u(x)|dx ≤
J
(x
−
y)u(y)dy
n
Ω
Rn
R
Z Z
J (x − y)|u(y)|dydx
≤
Rn Rn
Z
Z
=
|u(y)|
J (x − y)dxdy
Rn
Rn
Z
=
|u(y)|dy = ||u||L1 (Ω)
Z
Z
Rn
Demostramos que si u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞ entonces J ∗ u ∈ Lp (Ω) y ademas
(1)
||J ∗ u||Lp (Ω) ≤ ||u||Lp (Ω)
Sea η > 0, y sea φ ∈ C0 (Ω) tal que ||φ − u||Lp (Ω) < η/3. Luego por (1), ||J ∗ u −
J ∗ φ||Lp (Ω) < η/3. Entonces, para todo > 0 se tiene
||J ∗ u − u||Lp (Ω) ≤ ||φ − u||Lp (Ω) + ||J ∗ u − J ∗ φ||Lp (Ω) + ||J ∗ φ − φ||Lp (Ω)
(2)
2η
<
+ ||J ∗ φ − φ||Lp (Ω)
3
R
Usando que Rn J (x)dx = 1, tenemos
4
Z
Z
J (x − y)φ(y)dy −
J (x − y)φ(x)dy |(J ∗ φ − φ)(x)| = n
Rn
ZR
J (x − y)|φ(y) − φ(x)|dy
≤
Rn
Z
=
J (x − y)|φ(y) − φ(x)|dy
|x−y|<
Z
≤ sup |φ(y) − φ(x)|
J (x − y)dy
y:|x−y|<
=
|x−y|<
sup |φ(y) − φ(x)|
y:|x−y|<
Como φ es uniformemente continua en Ω, para cualquier δ > 0 existe ˜(δ) > 0 tal
que sup|x−y|< |φ(y) − φ(x)| < δ para todo x ∈ Ω, para todo < ˜. Luego para < ˜
Z
p
Z
|(J ∗ φ − φ)(x)| dx ≤
Ω
δ p dx = δ p |Ω|
Ω
Luego
||J ∗ φ − φ||Lp (Ω) ≤ δ|Ω|1/p
Tomamos
δ(η) =
η
3|Ω|1/p
Entonces , para todo < ˜(η), tenemos
η
3
Luego, de esto y de (2) obtenemos, que para todo < ˜(η)
||J ∗ φ − φ||Lp (Ω) ≤
||J ∗ u − u||Lp (Ω) < η
Lema 0.2. Sean Ω ⊂ Rn abierto y acotado, y Ω0 ⊂⊂ Ω. Sea J la función definida
anteriormente. Luego
lim J ∗ u = u
→0+
en W k,p (Ω0 )
Demostración: Observemos primero que como Ω es acotado, entonces u ∈ L1 (Ω),
entonces u ∈ L1loc (Ω), lo que implica que J ∗ u ∈ C ∞ (Rn ). Sea < dist(Ω0 , ∂Ω). Para
toda función φ ∈ C0∞ (Ω0 )
5
Z
Z Z
α
J (x − y)ū(y)dyDα φ(x)dx
J ∗ u(x)D φ(x)dx =
Ω0
Ω0
Z
Rn
Z
J (z)ū(x − z)dzDα φ(x)dx
Z
Z
=
J (z)
ū(x − z)Dα φ(x)dxdz
n
n
ZR
ZR
=
J (z)
u(x − z)Dα φ(x)dxdz
0
Ω
ZB
Z
α
J (z)(−1)
Dα u(x − z)φ(x)dxdz
=
0
B
Ω
Z Z
J (x − y)Dα u(y)dy φ̄(x)dx
= (−1)α
n
n
ZR Z R
= (−1)α
J (x − y)Dα u(y)dyφ(x)dx
0
n
ZΩ R
= (−1)α
J ∗ Dα u(x)φ(x)dx
=
Rn
Rn
Ω0
α
α
0
luego, D J ∗ u = J ∗ D u en Ω .
Como Dα u ∈ Lp (Ω0 ), entonces, por el Lema 0.1
lim ||Dα (J ∗ u) − Dα u||Lp (Ω0 ) = lim+ ||J ∗ Dα u − Dα u||Lp (Ω0 ) = 0
→0+
→0
Teorema 0.1. Sea Ω ⊂ Rn abierto y acotado. Sea u ∈ W k,p (Ω), k ≥ 0, entonces
para todo η > 0 existe φ ∈ C ∞ (Ω) tal que
||φ − u||W k,p (Ω) < η
Demostración: Para k ∈ N, definimos:
Ωk = {x ∈ Ω : |x| < k y dist(x, ∂Ω) > 1/k}
Ω0 = ∅ y Ω−1 = ∅. Es claro que Ωk ⊆ Ωk+1 . Sea
c
O = {Uk : Uk = Ωk+1 ∩ Ωk−1 , k ∈ N}
es una colección de subconjuntos abiertos de Ω, que cubre Ω. Los Uk forman una cadena
de anillos, y cada anillo tiene interseccion solo con el anterior y con el siguiente. Sea
Ψ una C ∞ -partición de la unidad de Ω subordinada a O. Sea ψk la suma de las finitas
funciones de Ψ que tienen soporte contenido en Uk . Luego ψk ∈ C0∞ (Uk ) y
∞
X
k=1
ψk (x) = 1 en Ω
6
Para < 1/(k + 1)(k + 2) se tiene J ∗ (ψk u) tiene soporte en Ωk+2 ∩ (Ωk−2 )c =
Vk ⊂⊂ Ω:
Z
J ∗ (ψk u)(x) =
J (x − y)ψk (y)u(u)dy
Rn
c
Ωk+2 ∩ Ωk−2 ,
entonces J ∗ (ψk u)(x) = 0.Hagamos el caso
Veamos que si x no esta en
k > 2, hay que ver que si y ∈ Uk entonces |x − y| ≥ . Como y ∈ Uk entonces
1) |y| < k + 1 y dist(y, ∂Ω) > 1/(k + 1),
2) |y| > k − 1 o dist(y, ∂Ω) < 1/(k − 1).
Como x no pertenece a Ωk+2 ∩ (Ωk−2 )c , entonces se cumple alguna de la siguientes
cosas:
i) x no esta en Ω,
ii) x esta en Ω pero |x| ≥ k + 2 o dist(x, ∂Ω) ≤ 1/(k + 2),
iii) x esta en Ω pero |x| < k − 2 y dist(x, ∂Ω) > 1/(k − 2).
Supongamos primero x esta en Ω pero |x| ≥ k + 2, entonces |x − y| ≥ |x| − |y| ≥
(k + 2) − (k + 1) = 1. Supongamos ahora x esta en Ω pero dist(x, ∂Ω) < 1/(k + 2),
entonces
dist(y, ∂Ω) ≤ |x − y| + dist(x, ∂Ω)
luego
1
1
1
<
=
−
< |x − y|
(k + 2)(k + 1)
k+1 k+2
Supongamos ahora x esta en Ω pero |x| < k − 2 y dist(x, ∂Ω) > 1/(k − 2), si |y| > k − 1
entonces
|x − y| ≥ |y| − |x| > (k − 1) − (k − 2) = 1
y sino, dist(y, ∂Ω) < 1/(k − 1), entonces
dist(x, ∂Ω) < |x − y| + dist(y, ∂Ω)
luego
1
1
1
=
−
< |x − y|
(k − 2)(k − 1)
k−2 k−1
Por último, si x no esta en Ω, entonces
1
|x − y| ≥ dist(y, ∂Ω) >
>
k+1
Como ψk u ∈ W m,p (Ω) y tiene soporte en Uk ⊂ Vk , luego podemos elegir k
<
||Jk ∗ (ψk u) − ψk u||m,p,Ω = ||Jk ∗ (ψk u) − ψk u||m,p,Vk <
Sea
φ=
∞
X
k=1
Jk ∗ (ψk u)
η
2k
7
Para cualquier Ω0 ⊂⊂ Ω solo finitos términos de la suma no se anulan, luego φ ∈ C ∞ (Ω).
||u − φ||m,p,Ω = ||
≤
∞
X
ψk u −
k=1
∞
X
∞
X
Jk ∗ (ψk u)||m,p,Ω
k=1
||ψk u − Jk ∗ (ψk u)||m,p,Ω
k=1
∞
X
η
=η
≤
k
2
k=1