Capı́tulo 8 El diferencial exterior 1. El diferencial exterior En esta sección estudiaremos el operador diferencial entre formas. Definición 8.1. Sea ω una k-forma en R n , X ω= ωI dxI . I El diferencial dω es la k + 1-forma dada por X (8.1) dω = dωI ∧ dxI . I Cada dωI es la 1-forma descrita en el ejemplo 7.3, dada por dωI (vp ) = DωI (p)(v), por lo que la definición (8.1) generaliza el diferencial de una función. Veamos primero un ejemplo explı́cito. Ejemplo 8.2. Sea ω la 1-forma en R3 dada por ω = xydx − y 2 dy + 3zdz. Entonces, dω es la 2-forma dω = d(xy) ∧ dx − d(y 2 ) ∧ dy + d(3z) ∧ dz = (ydx + xdy) ∧ dx − (2ydy) ∧ dy + (3dz) ∧ dz = xdy ∧ dx = −xdx ∧ dy. El siguiente ejemplo ya sea discutido anteriormente. Ejemplo 8.3 (Divergencia). Sea ω la 2-forma en R 3 dada por ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. 125 126 8. El diferencial exterior Entonces dω es la 3-forma dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧ dy ∂P ∂Q ∂R dx ∧ dy ∧ dz + dy ∧ dz ∧ dx + dz ∧ dx ∧ dy ∂x ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R dx ∧ dy ∧ dz. = + + ∂x ∂y ∂z = Nótese que la función componente de dω es precisamente la divergencia del campo vectorial (P, Q, R) en R3 . La siguiente proposición enumera las propiedades básicas del diferencial. Proposición 8.4. Sean ω y η formas diferenciales en R n . 1. Si ωy η son k-formas, d(ω + η) = dω + dη. 2. Si ω es una k-forma y η una l-forma, entonces d(ω ∧ η) = dω ∧ dη + (−1)k ω ∧ dη. 3. d2 ω = d(dω) = 0. 4. Si f : Rn → Rm es diferenciable, d(f ∗ ω) = f ∗ dω. Notamos que la parte (2) de esta proposición sólo depende del orden de ω y no del de η. Las partes (3) y (4) son de importancia fundamental en la teorı́a de integración, la cual estudiaremos en el siguiente capı́tulo. Demostración. La primera parte de la proposición se sigue directamente de la definición. Para la segunda parte, calcularemos d(ω ∧ η) explı́citamente. X X ωI ηJ dxI ∧ dxJ = d(ωI ηJ ) ∧ dxI ∧ dxJ d(ω ∧ η) = d I,J I,J = X (ηJ dωI + ωI dηJ ) ∧ dxI ∧ dxJ = X ηJ dωI ∧ dxI ∧ dxJ + I,J I,J = dω ∧ η + X ωI dηJ ∧ dxI ∧ dxJ I,J X ωI (−1)k dxI ∧ dηJ ∧ dxJ = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη, I,J donde hemos usado la proposicion 7.23 para cambiar el orden del producto dηJ ∧ dxI . La tercera parte también la verificaremos explı́citamente. Sea X ω= ωI dxI I 127 2. Campos vectoriales y formas una k-forma en Rn . Entonces n XX X I Di ωI dxi ∧ dxI d(dω) = d dωI ∧ dx = d = I = i I d(Di ωI ) ∧ dx ∧ dx = i=1 XX I i=1 I I n XX n n X XX I Dji ωI dxj ∧ dxi ∧ dxI i=1 j=1 (Dij ωI − Dji ωI )dxi ∧ dxj ∧ dxI = 0. i<j Para la cuarta parte, sea f : Rn → Rm diferenciable y ω una k-forma en Entonces X X d(ωI ◦ f ) ∧ df I d(f ∗ ω) = d (ωI ◦ f )df I = Rm . I I y f ∗ dω = X (f ∗ dωI ) ∧ df I , I por lo que entonces es suficiente con demostrar que d(ωI ◦ f ) = f ∗ dωI . En la primera identidad hemos usado las partes (2) y (3) de la proposición, ya que d((ωI ◦ f )df I ) = d(ωI ◦ f ) ∧ df I + (ωI ◦ f ) ∧ d2 f I = d(ωI ◦ f ) ∧ df I , ya que d2 f I = 0. De nuevo, esto se sigue por la regla de la cadena. Tenemos d(ωI ◦ f ) = = n X i=1 m X k=1 Di (ω ◦ f )dxi = (Dk ωI ) ◦ m n X X (Dk ωI ) ◦ f (Di f k )dxi i=1 k=1 n X f Di f k dxi i=1 = m X k=1 (Dk ωI ) ◦ f df k = f ∗ dωI . 2. Campos vectoriales y formas Haremos un paréntesis en nuestro estudio de formas diferenciales para estudiar la relación entre éstas y los campos vectoriales en R n , y de tal forma unificar, como habı́amos prometido anteriormente, los operadores grad, curl y div en campos vectoriales en R3 . Primero, una breve discusión sobre productos internos y el espacio dual. Sea V un espacio vectorial real de dimension finita, dim V = n < ∞, y V ∗ su espacio dual. 128 8. El diferencial exterior Si V tiene producto interno (·, ·), éste induce un isomorfismo natural entre V y V ∗ dado por u 7→ ϕu, donde ϕu(v) = (u, v). n En R , con el producto punto como producto interno, este isomorfismo está dado por ej 7→ dxj , como lo habı́amos discutido antes. Entonces, esto induce un isomorfismo natural entre campos vectoriales y 1-formas, definido de la siguiente forma. Si F : Rn → T Rn , es un campo vectorial, entonces definimos F 7→ ωF donde ωF es la 1-forma dada por ωF (vp ) = F (p) · v. Explı́citamente, si F está dado por F (p) = F 1 (p)e1 + F 2 (p)e2 + · · · + F n (p)en , entonces ωF (p) = F 1 (p)dx1 + F 2 (p)dx2 + · · · + F n (p)dxn . Ejemplo 8.5 (Gradiente). Si f : Rn → R es diferenciable, su gradiente es el campo vectorial grad(f ) tal que ωgrad(f ) = df. Entonces, el gradiente es el campo vectorial en R n cuyas componentes son las derivadas parciales de f . Para definir el rotacional y la divergencia de un campo, definimos primero la siguiente transoformación. P Definición 8.6. Si ω = I ωI dxI es una k-forma en Rn , definimos la (n−k)forma ∗ω dada por X ∗ω = sgn(I, J)ωI dxJ , I donde, para cada k-multiı́ndice I, J es el (n − k)-multiı́ndice tal que 1 2 ··· k k + 1 ··· n (I, J) = i1 i2 . . . i k j1 . . . jn−k es la permutación tal que i1 < i 2 < . . . < i k , y j 1 < j2 < . . . < j k . 129 2. Campos vectoriales y formas La trasformación ω 7→ ∗ω es llamada la transformación estrella de Hodge. Para cada permutación σ, sgn σ es el signo de de σ. Por ejemplo, como el signo de 1 2 3 4 σ= 1 3 2 4 es −1, tenemos que ∗(dx1 ∧ dx3 ) = sgn σdx2 ∧ dx4 = −dx2 ∧ dx4 . Ejemplo 8.7 (Divergencia). Sea F un campo. Entonces, la sucesión de aplicaciones F 7→ ωF 7→ ∗ωF 7→ d(∗ωF ) resulta en una n-forma d(∗ωF ) = λdx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn , donde el escalar λ es llamado la divergencia de F , denotada por div(F ). Explı́citamente, en R3 , dado F = (F 1 , F 2 , F 3 ), tenemos ωF = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz, y entonces ∗ωF = F 1 dy ∧ dz − F 2 dx ∧ dz + F 3 dx ∧ dy. Por lo tanto d(∗ωF ) = ∂F 1 ∂x + ∂F 2 ∂F 3 + dx ∧ dy ∧ dz. ∂y ∂z Ası́ que ∂F 1 ∂F 2 ∂F 3 + + , ∂x ∂y ∂z por lo que esto generaliza la divergencia definida en la primera sección de este capı́tulo. En general, n X Di F i , div(F ) = div(F ) = i=1 para un campo F definido en Rn (ejercicio 2). Ejemplo 8.8 (Rotacional). Si F es un campo en R n , el rotacional de F se obtiene de la suceción de aplicaciones F 7→ ωF 7→ dωF 7→ ∗(dωF ), y se denota por curl F . Entonces curl F es una (n − 2)-forma. En R2 , si F = (F 1 , F 2 ), tenemos que ∗d(ωF ) es el escalar (0-forma) curl F = ∂F 2 ∂F 1 − , ∂x ∂y 130 8. El diferencial exterior expresión conocida en el cálculo vectorial en R 2 . Para el caso R3 , también obtenemos la fórmula conocida (ejercicio 3), por lo que esta definición generaliza entonces el rotacional a campos vectoriales en R n . 3. El lema de Poincaré Sea ω una forma diferencial definida en un conjunto abierto A ⊂ R n . Definición 8.9. Decimos que ω es cerrada si dω = 0. Decimos que es exacta si existe una forma diferencial η definida en A tal que ω = dη. Por la proposición 8.4, todas las formas exactas son cerradas, ya que, si ω = dη, entonces dω = d2 η = 0. Sin embargo, no está claro si, a la inversa, todas las formas cerradas definidas en un conjunto abierto abierto A son exactas. Si A = Rn , por ejemplo, esto es cierto. Ejemplo 8.10. Todas las 1-formas cerradas en R n son exactas. Sea ω= n X ωi dxi i=1 una 1-forma definida en dω = Rn n X tal que dω = 0. Como i dωi ∧ dx = = Dj ωi dxj ∧ dxi i=1 j=1 i=1 X n n X X (Di ωj − Dj ωi )dxi ∧ dxj = 0, i<j tenemos que Di ωj = Dj ωi para todo i, j, ya que las distintas 2-formas dxi ∧ dxj son linealmente independientes. Ahora definimos la función f : Rn → R como Z 1X n f (x) = ωi (tx)xi dt. 0 i=1 Demostraremos que Dj f (x) = ωj (x) para cada j. Tenemos que Z 1 X Z 1X n n i Dj f (x) = Dj ωi (tx)x dt = Dj ωi (tx)txi + ωj (tx) dt 0 = Z 0 0 i=1 1 ωj (tx)dt + Z 0 n 1X i=1 i=1 Di ωj (tx)txi dt, 131 3. El lema de Poincaré donde ya hemos usado el hecho que Di ωj = Dj ωi . Como n X d ωj (tx) = Di ωj (tx)xi , dt i=1 entonces, integrando por partes, Z 1 Z 1 d t ωj (tx)dt ωj (tx)dt + Dj f (x) = dt 0 0 Z 1 Z 1 = ωj (tx)dt + ωj (x) − ωj (tx)dt = ωj (x). 0 0 Ahora tenemos el ejemplo de una forma cerrada que no es exacta. Ejemplo 8.11. Consideremos la 1-forma ω, definida en A = R 2 \ {0}, −y x ω= 2 dx + 2 dy. x + y2 x + y2 Recordemos que, en coordenadas polares, esta forma es igual a dθ. Es decir, si la función f es el cambio de coordenadas definido por el ejemplo 7.27, entonces f ∗ ω = dθ. Entonces, como d y f ∗ conmutan por la proposición 8.4, la forma es cerrada, lo cual también puede verificarse directamente. Sin embargo, ω no es exacta. Supongamos, por ejemplo, que ω = dF para una función F : A → R. Entonces como f ∗ ω = dθ, d(F ◦ f ) = d(f ∗ F ) = f ∗ dF = dθ, por lo que F ◦f =θ+k para algún k ∈ R. Por lo tanto, si x > 0, lı́m F (x, y) − lı́m F (x, y) = 2π. y→0− y→0+ De aquı́ podemos concluı́r que F no puede estar definida en todo R 2 \ {0}, y además ser continua en el eje real positivo. Podemos observar que el problema de este último ejemplo es el “agujero” en el origen. Aunque más adelante haremos preciso este concepto, podemos demostrar el siguiente teorema, que nos da un ejemplo de conjuntos donde toda forma cerrada es exacta. Recordemos que un conjunto A ⊂ Rn es estrella si existe x0 ∈ A tal que, para cada x ∈ A, la recta de x0 a x está contenida en A. Para hacer explı́cito el punto “central” x0 , diremos que A es estrella con respecto a x 0 . Teorema 8.12 (Lema de Poincaré). Sea A ⊂ R n un conjunto abierto estrella con respecto a 0. Entonces toda forma cerrada en A es exacta. 132 8. El diferencial exterior Demostración. Construiremos un operador ω 7→ Θω de k-formas definidas en A a (k − 1)-formas tal que Θ(0) = 0 y (8.2) d(Θω) + Θ(dω) = ω. Entonces, si ω es cerrada, dω P = 0 yI d(Θω) = ω, por lo que concluiremos que ω es exacta. Sea ω = I ωI dx . Para simplificar la notación, si I es un k-multiı́ndice, denotaremos por I α , 1 ≤ α ≤ k, el (k − 1)-multiı́ndice formado al remover de I la entrada iα , es decir Iα = (i1 , . . . , iα−1 , iα+1 , . . . , ik ). Dada la k-forma ω en A, definimos entonces la (k − 1)-forma Θω(x) = k XX I (−1) α−1 iα x α=1 Z 1 tk−1 ωI (tx)dt dxIα . 0 La (k −1)-forma Θω está bien definida porque la recta de 0 a x ∈ A está contenida en A, por lo que ω está definida en dicha recta. Es claro que si ω = 0, entonces Θω = 0. Verificamos entonces (8.2). Calculamos d(Θω) = k XX I (−1) α−1 α=1 d x iα Z 1 0 tk−1 ωI (tx)dt ∧ dxIα . Ahora bien, d x iα Z 1 t 0 k−1 ωI (tx)dt = n X Dj x j=1 = Z 1 +x iα 0 iα Z 1 0 tk−1 ωI (tx)dt dxj tk−1 ωI (tx)dt dxiα n Z X j=1 1 0 tk Dj ωI (tx)dt dxj , 133 3. El lema de Poincaré ası́ que d(Θω) = k XX α=1 I + k XX (−1) Z X Z = k I 1 1 0 tk−1 ωI (tx)dt dxiα ∧ dxIα n X α−1 α=1 I + (−1) α−1 x tk Dj ωI (tx)dt dxj ∧ dxIα 0 j=1 tk−1 ωI (tx)dt dxI 0 n k X XX (−1) α−1 iα x Z 1 tk Dj ωI (tx)dt dxj ∧ dxIα , 0 α=1 j=1 I 1 Z iα donde hemos usado el hecho que dxiα ∧ dxIα = (−1)α−1 dxI . Por el otro lado, dω = X I dωI ∧ dx = I n XX Dj ωI dxj ∧ dxI . j=1 I Entonces Θ(dω) = n XX I xj j=1 Z 1 tk Dj ωI (tx)dt dxI 0 + k X (−1)α xiα Z 0 α=1 1 tk Dj ωI (tx)dt dxi ∧ dxIα . Ası́ que d(Θω) + Θ(dω) = X Z k I 1 t k−1 ωI (tx)dt + 0 n X j=1 x j Z 0 1 tk Dj ωI (tx)dt dxI . Por lo tanto, d(Θω) + Θ(dω) = XZ I = X 1 0 d k t ωI (tx) dt dxI dt ωI (x) dxI = ω. I 134 8. El diferencial exterior Ejercicios 1. Sea f : Rn → R diferenciable. Muestra que grad f (p) es el vector con la dirección de crecimiento más rápido de f en el punto p. (Sugerencia: Nota que (grad f (p)) · vp = Df (p)v, n para vp ∈ Rp .) 2. Sea F un campo vectorial en Rn , y div F su divergencia, es decir (div F )dx1 ∧ . . . ∧ dxn = d(∗ωF ), donde ω 7→ ∗ω es la operación estrella de Hodge y ω F es la 1-forma inducida por F vı́a el isomorfismo natural R np → (Rnp )∗ . Muestra que n X Dj F j . div F = j=1 3. Sea F un campo vectorial en Rn , y curl F su rotacional, es decir la (n − 2)-forma curl F = ∗(dωF ). Muestra que curl(grad F ) = 0. 4. En el caso n = 3, el rotacional curl F es una 1-forma que a su vez puede ser identificada con un campo vectorial, también denotado por curl F . a) Muestra que curl F = (D2 F 3 − D3 F 2 )dx + (D3 F 1 − D1 F 3 )dy + (D1 F 2 − D2 F 1 )dz. b) Muestra que div(curl F ) = 0. 5. Sea ω = f dx una 1-forma en [0, 1] tal que f (0) = f (1). Muestra que existe un único λ ∈ R tal que ω − λdx = dg, donde g es una función que satisface g(0) = g(1).