segundo parcial de c´alculo iii

SEGUNDO PARCIAL DE CÁLCULO III
Julio de 2000
Apellido y nombre
Cédula de Identidad
N. parcial
RESPUESTAS
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
3
1
4
2
4
1
5
2
3
2
• Al finalizar deberá entregarse esta hoja con todos los datos identificatorios (Apellido, etc)
entregando además las hojas de los enunciados.
• Escribir con claridad los números de las opciones que considere correctas en los casilleros.
No se corregirán marcas fuera del cuadro.
• Cada pregunta tiene un valor de 6 puntos, sumando un total de 60 puntos. Las preguntas
mal contestadas serán penalizadas con −1, 5 punto, y las no contestadas valdrán 0 punto.
Marcas dudosas en el cuadro se tomarán como preguntas no contestadas.
• La duración del parcial es de tres horas.
A. Hallar el área de la superficie:

 x = 5 cos 2u senv
y = 4 + 5 cos v

z = −1 + 5 sen2u senv
(1) 50π
(2) 25π/3
(3) 25π/2
(4) 25π 2
(5) 25π 2 /2
B. El producto exterior Lω de las formas diferenciales:
L = (z + y 2 ) dx + (ey xz) dy + x dz
ω = 3 dzdx + xy dxdy
es:
1
0≤v≤π
(v/2) ≤ u ≤ (3/4)v
(1) Lω = (3xzey + x2 y) dxdydz
(2) Lω = (3xzey − x2 y) dxdydz
(3) Lω = (−3xzey + x2 y) dxdydz
(4) Lω = −(3xzey + x2 y) dxdydz
(5) Ninguna de las anteriores
C. Sea ω una dos-forma diferencial de clase C 1 en Ω = IR3 − {(0, 0, 0)}. Se proponen las
siguientes afirmaciones:
(A) Si existe una uno-forma L tal que ω = dL en Ω, entonces dω = 0.
(B) Si dω = 0 en Ω, entonces ω es exacta en Ω.
(C) Si dω 6= 0 en Ω, entonces ω no es exacta en Ω.
(1) Las afirmaciones (A), (B) y (C) son correctas.
(2) Las afirmaciones (A) y (B) son ciertas pero la (C) es falsa.
(3) Las afirmaciones (A) y (B) son falsas pero la (C) es correcta.
(4) Las afirmaciones (A) y (C) son ciertas pero la (B) es falsa.
(5) Las afirmaciones (A) y (C) son falsas pero la (B) es cierta.
D. La tesis del teorema de Stokes afirma que
RR
S
dL =
R
C
L, siendo L = a dx + b dy + c dz.
Para demostrarlo se parametriza S con parámetros (u, v) ∈ Σ, teniendo una transformación
que lleva la región plana Σ en S, y lleva el borde Γ de Σ, en la curva C que es borde de S.
R
R
RR
Se
RR prueba, para funciones A y B adecuadas, que C LRR= Γ A du + B dv, yRque S dL =
Σ (Bu −Av ) du dv. Como en el plano u, v se tiene que
Σ (Bu −Av ) du dv = Γ A du +B dv,
se deduce la tesis.
Las funciones A y B son:
(1) A = ax + by y B = cz − by .
(2) A = axu + byu + czu , y B = axv + byv + czv .
(3) A = ax xu y B = by yv
(4) A = ax xu + by yu + cz zu y B = ax xv + by yv + cz zv .
(5) A = cy − bz y B = az − bx .
~ = (−x, x − 2yz, z + z 2 − 9). Hallar, si existen, todos los campos (A, B, C)
E. Sea el campo Y
~ en todo IR3 y que también cumplan:
que sean potenciales vectoriales de Y
C(x, y, z) = 0, B(x, y, 0) = 0, A(x, 0, 0) = 0
(1) Existe uno solo, y además cumple A(1, 1, 1) = 0.
(2) Existen infinitos, y además cumplen A(1, 1, 1) = 0.
(3) Existen infinitos, y además cumplen A(1, 1, 1) = 9.
(4) Existe uno solo, y además cumple A(1, 1, 1) = 9.
2
(5) No existe ninguno.
F. Se da la dos-forma:
2
2
ω = (y 2 x − ey ) dydz + (12x2 y − ex ) dzdx − (12x2 (z + 1) + y 2 (z − 1)) dxdy
Hallar la integral de ω sobre la superficie del cilindro {x2 + y 2 = 2, |z| ≤ 1}, con la normal
orientada de modo que su primera componente tenga el mismo signo que x. (Sugerencia:
Aplicar el teorema de Gauss a una superficie cerrada que contenga al cilindro dado.)
(1) 26π
(2) 24π
(3) 2π
(4) cero
(5) 22π
G. Para probar que el volumen de la región encerrada por una superficie cerrada S de IR3 es
igual a
ZZ
1
x dydz + y dzdx + z dxdy
3
S
~ = (x2 , y 2 , z 2 )/6 a través de la
(1) Basta aplicar el teorema de Gauss al flujo del campo X
~ = (x + y + z)/3.
superficie S, usando que div X
~ = (x2 , y 2 , z 2 )/6 a
(2) Basta aplicar el teorema de Stokes al flujo del rotor del campo X
~ = 0.
través de la superficie S, usando que rot X
~ = (x, y, z),
(3) Basta aplicar el teorema de Stokes a cualquier potencial vector del campo X
~
usando que rot X = 0.
~ que sea normal a la
(4) Basta aplicar el teorema de Gauss al flujo de cualquier campo X
~
superficie, usando que la divergencia de X es nula.
~ = (x, y, z) a través de la
(5) Basta aplicar el teorema de Gauss al flujo del campo X
~
superficie S, usando que div X = 3.
H. S es la superficie del tetraedro de vértices (2, 0, 0), (4, 0, 0), (4, 1, 0), (2, 0, 1), orientada con
la normal saliente. Se da el campo
~ = 54x − ex2 +y + ez 2 , −ez 2 + xex2 +y , xzex2 +y
X
~ a través de S es igual a:
El flujo de X
(1) 26
(2) 18
(3) 22
(4) 24
(5) cero
3
Sugerencia: Aplicar el teorema de Gauss en el espacio. Podrá usarse que el volumen del
tetraedro es igual a la superficie de la base por la altura sobre tres.
I. Para probar la primera fórmula de Green, es decir:
ZZ
ZZZ
ZZZ
U grad V · N dS =
grad U · grad V dxdydz +
U ∆V dxdydz
S
R
R
~ tal que div (X)
~ = grad U ·
basta aplicar el teorema de Gauss al flujo de un cierto campo X,
~
grad V + U ∆V . Un tal campo X es:
(1) grad U
(2) grad V
(3) U grad V
(4) rot grad V − rot grad U
(5) grad V − grad U
J. Sea
1
Φ(x, y, z) = p
x2 + y 2 + z 2
definida en el abierto Ω = {x2 + y 2 + z 2 > 0}.
Sea S la superficie de una esfera de centro (−3, 0, 0) y radio 1.
Entonces:
(1) Φ verifica la ecuación de Laplace en Ω y la integral de Φ sobre S es 1/3.
(2) Φ verifica la ecuación de Laplace en Ω y la integral de Φ sobre S es 4π/3.
(3) Φ verifica la ecuación de Laplace en Ω y la integral de Φ sobre S es −4π/3.
(4) Φ verifica la ecuación de Laplace en Ω y la integral de Φ sobre S es cero.
(5) Φ no verifica la ecuación de Laplace en Ω.
4