GEOMETRÍA DEL ESPACIO Competencias: Parte I: PARALELISMO

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Matemáticas 2– MA 111
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GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Competencias:

Reconoce a la recta y el plano en R.

Describir las posiciones relativas entre dos planos y entre una recta y un Plano.

Describir el Teorema de las tres perpendiculares.

Definir un ángulo Diedro.

Describir y describir los poliedros regulares e irregulares.

Describir a los sólidos y superficies de revolución: Cilindro, Cono y Esfera.

Modelar diversas aplicaciones en los que intervienen los elementos de la geometría del espacio.
Parte I: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Indicar y Justificar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
1.
Una recta que es paralela a dos planos que se cortan es paralela a su intersección.
2.
Una recta y un plano perpendiculares a otra recta son paralelos.
3.
Una recta que forma ángulos iguales con otras tres rectas que pasan por su pie en el plano,
es paralela a dicho plano.
4.
La proyección de un segmento paralelo a un plano tiene igual longitud que el segmento.
5.
Si una recta es perpendicular a dos rectas distintas de un plano, es perpendicular al plano.
6.
La intersección de tres planos no paralelos es un punto.
7.
Por una recta oblicua a un plano no se puede trazar un plano perpendicular al primero.
8.
Si un plano es perpendicular a una recta, es paralelo a un plano cualquiera que pasa por
dicha recta.
9.
Toda recta perpendicular a la intersección de dos planos, es perpendicular a uno de los dos
planos.
10.
Por un punto de un plano sólo se puede trazar un plano que le sea perpendicular.
11.
Por una recta cualquiera del espacio, siempre se puede trazar un plano paralelo a un plano
dado.
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PROBLEMAS:
Resuelva los siguientes problemas:
1.
Por el vértice B de un cuadrado ABCD de lado “a” se levanta BF perpendicular al plano
del cuadrado tal que BF = a. Si M es punto medio de CD , hallar el área del triángulo
DMF.
2.
En un plano R se ubica una circunferencia de centro “O” en la cual se traza la cuerda AB
de 8 cm. de longitud que dista 2 cm. del centro. Se levanta AE perpendicular a R siendo
AE = 4 cm. hallar EO.
3.
La distancia de un punto P a un plano R es 12. Las distancias de P a los extremos de un
segmento AB de longitud 8 contenido en R son 13. Hallar la distancia de P a AB .
4.
En la figura, los planos P , Q y R son paralelos. Si MB = 12 y ND = 9, calcular AB
sabiendo que excede a CD en 7m.
A
C
M
N
D
B
P
Q
R
5.
Se tiene dos triángulos equiláteros ABC y ABD de lado “L” que se encuentran en planos
perpendiculares. Hallar CD.
6.
Se tiene una circunferencia de diámetro 8 cm contenida en un plano P y un punto exterior
A que dista 3 cm del plano. Si la distancia mínima del punto A a la circunferencia es 5,
hallar la distancia máxima de dicho punto a la circunferencia.
7.
Por el centro M de un cuadrado ABCD de 1 cm de lado se levanta la perpendicular MP al
lado del cuadrado. Hallar la longitud de MP sabiendo que la distancia de P a uno de los
vértices del cuadrado es 3 .
8.
Un plano P tiene una inclinación de 60º sobre un plano Q. ¿A qué distancia del plano Q se
debe trazar otro plano paralelo que corte a P , tal que sus intersecciones disten 42 cm?
9.
En un plano T se encuentra una circunferencia de diámetro AB = 2 a. Por A se levanta AF
perpendicular a T tal que AF = AB. Si M es punto medio de AB. Hallar el área del
triángulo FMB.
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10.
Un triángulo PBC rectángulo en P se proyecta sobre un plano que pasa por BC de modo
que ABC es el triángulo proyectado. Si AD es la altura, BD = 6.4 cm DC = 3.6 cm y AD =
2.4 cm, calcular la medida del diedro BC.
11.
Se tiene un triángulo ABC rectángulo en B tal que AB = 15m y BC = 20m. Por B se
levanta la perpendicular BP = 12 3 al plano del triángulo. Si se une P con A y C, hallar la
medida del diedro AC.
12.
Sobre una circunferencia se toman los puntos A y B tales que AB = 120º. Por B se levanta
BP perpendicular al círculo siendo BP = 4. Si AB = 4 3 y O es el centro del círculo,
hallar el área del triángulo AOP.
13.
En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 8 y AC = 10. Por A se levanta AD perpendicular al
triángulo. Si M es punto medio de BC y AD = 2 5 , hallar el ángulo que forman
AB y DM al cruzarse.
14.
Desde un punto A exterior a un plano P se trazan AB , AC y AD oblicuas a P formando
ángulos de 45º, 60º y 30º respectivamente. Si AB = 6, hallar AC y AD.
15.
Por el vértice B de un triángulo ABC recto en B se levanta BD perpendicular al
triángulo. Si AB = 8, BC = 8 3 / 3 y BD = 3, hallar la medida del diedro AC.
16.
En la figura, el diedro AB mide 60º. Hallar PQ si AB = 3m, AP = 4m y BQ = 2m.
Q
B
A
P
17. En la figura P1 y P2 son dos planos perpendiculares. AB es un segmento tal que A
pertenece a P1 y B pertenece a P2, si AB = 8 u , la medida del ángulo entre AB y P1 es
igual a 30, la medida del ángulo entre AB y P2 es igual a 45, calcule la distancia entre
AB y CD .
A
P1
D
P2
B
C
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Parte I : POLIEDROS
Resuelva los siguientes problemas:
1. Se da un hexaedro regular de
cara opuesta.
2 m de arista. Hallar la distancia de un vértice al centro de la
2. Se da un hexaedro regular de 3 m de arista. Hallar la distancia de un vértice a la diagonal del
sólido que no contenga a dicho vértice.
3. Se tiene un tetraedro regular de
2 m de arista. Hallar la altura de dicho poliedro.
4. En la figura, la arista del cubo mide “a” . Hallar el área del triángulo sombreado.
5. Hallar el ángulo formado por dos diagonales cuales quiera de un octaedro regular.
6. Si partiendo de cierto vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos caras contiguas, hallar
el ángulo que forman.
7. Hallar el área de la región sombreada, si el sólido es un cubo de arista “a”.
8. Calcular el área de la región sombreada en el tetraedro regular de arista “a”, siendo P y Q
puntos medios de las aristas AB y BC respectivamente.
V
C
A
Q
P
B
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9.
En el cubo ABCD – EFGH, M es punto medio de AE , P es punto medio de GH . Una
hormiga está en el punto M y se dirige hacia el vértice C , luego al punto P y finalmente al
punto M . Si “l” es la longitud de la arista del cubo, determine la mínima longitud que
caminó la hormiga.
P
H
E
M
G
F
D
A
C
B
10. Se quiere empapelar un cuarto cuya longitud es de 9.25 m la anchura 4.75 m y la altura 4.80
m, las aberturas no empapeladas representan una superficie total de 12.25 m2. ¿Cuántos
rollos de 12 m por 50 cm se necesitarán, y cual será el gasto si el rollo vale 3.75 dólares?
11. Hay que demoler la pared que tiene 46 m de largo 1.50 m de alto y 0.70 m de espesor.
Reedificada tendrá 80 cm. de espesor y 1 m. de alto. Por la demolición de la pared antigua,
extracción de piedras y acarreo de escombros se pagan 1.40 dólares por m3 y 4.50 por la
construcción de 1 m3 de la nueva. ¿Cuánto costará el trabajo?
12. En una pared de ladrillo, los espacios vacíos están valuados en un 20% del volumen total.
¿Qué cantidad de argamasa se necesitará para llenar esos vacíos, si la pared tiene 2.40 m de
alto, 9.50 m de largo y 20 cm de espesor?
13. Se quieren fundir en uno solo dos cubos de latón cuyas aristas respectivas miden 15cm. y 24
cm. ¿Cuál será la arista del cubo?
14. Hallar el volumen de la mayor de las pirámides de Egipto cuya base es un cuadrado de 230
metros de lado, sabiendo que las caras laterales son triángulos equiláteros.
15. El volumen de un obelisco es de 128.102 m3; este obelisco tiene la forma de un tronco de
pirámide de bases cuadradas y paralelas de 2.40 m y 72 cm de lado. Calcula su altura y la
longitud de la arista lateral
16. La base de concreto de un poste de luz está construida en forma de una pirámide truncada
cuadrangular regular, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen de la base del
poste? ¿Cuál será la masa de dicho soporte si la densidad del concreto es concreto = 0.085
lb/pulg3?
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24
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17. Ingeniería Civil. La figura muestra la sección transversal de un camino. Encuentre el
número de yardas cúbicas de concreto necesarias para pavimentar 1 milla de ese camino
(1 yd = 3 pies, 1 milla = 1760 yd)
12”
18”
24’
18. En la figura se muestra el esquema de una campana extractora de una cocina. Si las
dimensiones están en pulgadas, calcular cuántos pies cuadrados de plancha metálica se
necesitarán para fabricar toda la campana incluyendo el ducto prismático de sección
cuadrada. (1 pie = 12”)
18”
36”
12”
6”
72”
36”
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Parte III: SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Resolver los siguientes problemas:
1.
Se ha cavado un pozo de forma cilíndrica de 12.80 metros de profundidad por 1.90 metros de
diámetro. ¿Cuál es su volumen?. Se construye después en esa excavación una pared de
mampostería alrededor y verticalmente. Concluida la obra, el pozo cilíndrico tiene 1.50 m de
diámetro. ¿A cuánto asciende el gasto total si se han dado 80 dólares por metro cúbico de
tierra extraída y 250 dólares por metro cúbico de mampostería?
2.
¿Cuántos ladrillos se necesitarán para construir un pozo de 3.45 m de profundidad y de 1.10
m de diámetro, si los ladrillos tienen 12 cm de ancho y 6 cm de alto? La longitud del ladrillo
representa el espesor de la pared.
3.
¿Cuántos metros cuadrados de hojalata se necesitan para hacer un vaso cuya forma es la de
un tronco de cono con tapa, si las dos bases tienen 30 y 40 cm de radio y la profundidad es
50 cm?
4.
Hallar el área interior y exterior de la base superior de una chimenea que mide 22 m, de
altura y cuyos radios interior y exterior de la base superior tienen 30 y 40 cm y los de la base
inferior 1m y 1.20 m
5.
Una cuba llena de vino tiene la forma de un cono truncado de 1m. de profundidad; el
diámetro del fondo es de 85 cm, el de la abertura de 1.25 m ¿Cuántos toneles de 108 litros
de capacidad se podrán llenar con el vino de la cuba?
6.
Desde el vértice de una hojalata rectangular de lados a y b (a < b) se describe un arco de
circunferencia con un radio igual al lado menor; y se construye un cono con el sector
obtenido. Halla la altura y el volumen de este cono?
7.
Una caldera de vapor de forma cilíndrica termina en sus extremos en una semiesfera de 40
cm de radio. Hallar el área externa de esta caldera, si el cilindro tiene un radio igual al de las
esferas y la longitud es el dublo del diámetro.
8.
Una esfera hueca tiene 43 cm de radio exterior y 4 cm de espesor. Halla el radio de otra
esfera maciza de igual volumen.
9.
Un cubo y una esfera tienen igual área que es de 2.4 m2 ¿Qué diferencia de volumen hay
entre ambos cuerpos?
10. Un barril de vino en forma de tronco de cono tiene una base cuyo diámetro es 90 cm y la otra
base mide 80 cm de diámetro. ¿Cuántos litros contiene si su altura es 1.5m?
5”
11. ¿Cuántos pies cuadrados de plancha de acero se necesitarán
para fabricar un recipiente en forma de cono (sin tapa) como se
muestra en la figura?
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