Tema VI - División de Ciencias Básicas

INFERENCIA ESTADÍSTICA
Notas de clase
Profesores:
A. Leonardo Bañuelos S.
Nayelli Manzanarez Gómez
TEMA VI
INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO
INTRODUCCIÓN
Una serie temporal o de tiempo es una secuencia de valores observados a lo largo del
tiempo, y por tanto ordenados cronológicamente, es difícil imaginar una rama de la
ciencia en la que no aparezcan datos que puedan ser considerados como series
temporales.
El análisis de series temporales requiere técnicas diferentes a las que se han visto hasta
ahora y debido a que la variable de estudio está ligada al tiempo, el estudio de series
temporales tiene su principal aplicación en los pronósticos, es decir, en la estimación de
valores futuros de la variable en función del comportamiento pasado de la serie. Este
objetivo se emplea ampliamente en el campo de la ingeniería y de la economía.
Fig. 6.1. Patrón horizontal
2.
Patrón estacional: Se presenta cuando una serie fluctúa de acuerdo con un
factor estacional. Las estaciones pueden ser meses, horas del día, días de la
semana, etc. Los patrones estacionales pueden darse por muchas razones, una
de las más comunes es el cima.
El objetivo del análisis de series temporales es doble. Por un lado se busca explicar las
variaciones observadas en la serie en el pasado, tratando de determinar si responden a
un determinado patrón de comportamiento. Y por otro, si se consigue definir ese patrón
o modelo, se intentará predecir el comportamiento futuro de la misma.
Evidentemente aunque el valor futuro de una serie temporal no sea predecible con total
exactitud, para que tenga interés su estudio, el resultado tampoco puede ser
completamente aleatorio, existiendo alguna regularidad en cuanto a su comportamiento
en el tiempo, lo que hará posible su modelado y por ende, en su caso, la predicción.
Por lo tanto, si podemos encontrar patrones de regularidad en diferentes secciones de una
serie temporal, podremos también describirlas mediante modelos basados en
distribuciones de probabilidad. La secuencia ordenada de variables aleatorias X(t) y su
distribución de probabilidad asociada, se denomina proceso estocástico. Un proceso
estocástico es por tanto el modelo matemático para una serie temporal.
Tipos de patrones en los datos de series de tiempo
Fig. 6.2. Patrón estacional
3.
Patrón cíclico: Es semejante al estacional pero la duración de un ciclo es
generalmente mayor a un año, este patrón es difícil de pronosticar ya que no se
repite a intervalos constantes de tiempo y su duración no es uniforme.
Existen cuatro elementos básicos de un patrón encontrados en las series de tiempo:
1.
Patrón horizontal: Se da cuando no existe tendencia alguna en los datos, en
estadística esto se conoce como estacionariedad, cuando una serie es
estacionaria quiere decir que no tiende a aumentar o disminuir a través del
tiempo de ninguna manera sistemática, por lo tanto, es igualmente probable que
el siguiente valor de la serie se encuentre arriba o abajo del valor medio.
Fig. 6.3. Patrón cíclico
)))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S./N.M .G.
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4.
Patrón tendencial: Se da cuando existe un aumento o disminución general del
valor de la variable a lo largo del tiempo.
A continuación se resumen las ecuaciones que representan las medidas de exactitud:
1.
Error medio
2.
Desviación absoluta media
3.
Error cuadrado medio
4.
Desviación típica de los errores
5.
Error porcentual
6.
Error porcentual medio
7.
Error porcentual absoluto medio
Fig. 6.4. Patrón tendencial
Es posible que existan algunos otros patrones en serie de datos, sin embargo, los cuatro
patrones anteriores son los más comunes.
Métodos de pronóstico de series de tiempo
Al elegir una técnica de pronóstico, es necesario considerar los siguientes factores:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
El periodo
El patrón de los datos
El costo del pronóstico
La exactitud deseada
La disponibilidad de la información
La facilidad de operar y entender el método del pronóstico
Medición de la exactitud de los métodos cuantitativos de predicción
La exactitud es uno de los factores que más influyen para elegir el método de predicción.
La exactitud más importante es la de la predicciones futuras, es decir, qué tan bien un
modelo se ha ajustado a los datos históricos disponibles es de poco valor.
El error puede definirse como la diferencia entre el valor real y lo que se ha pronosticado.
Puede representarse como:
donde
es el error del periodo de tiempo i
es el valor real en el periodo i
es el valor pronosticado en el periodo i
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A.L.B.S./N.M .G.
La desviación absoluta media y el error cuadrado medio son los más comunes y más
directos.
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Método del promedio para pronósticos
Para ejemplificar el método, considere los siguientes datos:
Este método utiliza todos los datos en la serie de tiempo y simplemente promedia estos
puntos. Entonces, el pronóstico de lo que será el siguiente punto es
Pronóstico=promedio de todos los datos a la fecha
Este método da mejores resultados cuando las condiciones permanecen iguales para toda
la serie de tiempo, es decir, adecuado para una serie de tiempo muy estable donde los
primeros valores se consideran significativos para pronosticar el siguiente valor.
Método para pronósticos de promedios móviles
Este método ya no utiliza los datos antiguos que pudieran ya no ser relevantes, utiliza los
datos de los periodos más recientes.
n=número de periodos más recientes considerados particularmente significativos para
pronosticar el siguiente periodo
M es
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Año 1
362
381
317
297
399
402
375
349
386
328
389
343
Año 2
276
334
394
334
384
314
344
337
345
362
314
365
La gráfica correspondiente es:
Entonces, el pronóstico para el siguiente periodo es:
Pronóstico=promedio de los últimos n valores
Los pronósticos por promedios móviles son efectivos en una serie de tiempo que fluctúa
respecto a un nivel base constante. Formalmente, los pronósticos promedio móvil
funcionan mejor si:
donde
es el nivel base para la serie y
es la variación aleatoria en el periodo
respecto al nivel base. Este método es pobre para en situaciones donde se presente una
tendencia o estacionalidad.
Método de suavizado exponencial simple
Si una serie fluctúa respecto a un nivel base, puede utilizarse esta técnica, este método
supone que la serie temporal no tiene tendencia pero el nivel ( o media) de la serie puede
modificarse con el tiempo.
El procedimiento de suavización exponencial simple, inicia con el cálculo de una
estimación inicial
del nivel (o media) de la serie en el periodo
:
Este método le da mayor ponderación al último valor de la serie de tiempo y luego,
progresivamente, pesos menores a los valores más antiguos, pero no utiliza un promedio
ponderado.
Una vez calculado este valor inicial se utiliza la siguiente ecuación de suavización
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donde
es el pronóstico,
es el último valor en el período T y
es el pronóstico
anterior.
" es una constate entre 0 y 1 y se conoce como constante de suavizamiento. La selección
de este valor es relevante para el pronóstico, un valor muy pequeño como "= 0.1 es
apropiado si las condiciones son relativamente estables y se necesita un valor mayor
como "= 0.3 si a menudo ocurren cambios en tales condiciones.
Para ejemplificar se tomará
Para el periodo 1:
Fig. 6.5. Suavizamiento exponencial con tendencia
es el pronóstico hecho en el periodo 1 para
, como el valor de
, se tiene un error de pronóstico de
pronosticaremos el valor de
Podemos observar que existe una tendencia básica con valores hacia arriba y hacia abajo,
sin embargo, si se estima la pendiente actual de la línea de tendencia y ajustando el
pronóstico para tomar en cuenta esta pendiente pueden obtenerse buenas aproximaciones,
esta es la idea del suavizado exponencial con tendencia.
. Ahora
La tendencia se define como:
con el periodo 2:
Tendencia= cambio promedio de un valor de una de las series de tiempo al siguiente si
continúa el patrón actual
y el pronóstico como:
Se continúa con este procedimiento hasta obtener el pronóstico de
.
Evidentemente se busca que el error sea mínimo, esto se logra con la selección adecuada
de ", si el error se debe a fluctuaciones aleatorias en los valores de la serie de tiempo
,entonces " debe ser pequeño. Si el error se debe a un cambio en la serie de tiempo se
necesita un valor grande de ".
Método de suavizado exponencial con tendencia, Método Holt
Este método ajusta el suavizado exponencial tomando en cuenta la tendencia actual y
luego proyectándola al futuro para encontrar el siguiente valor de la serie de tiempo, es
decir, este método utiliza los valores recientes de la serie de tempo para encontrar
cualquier tendencia ya sea por arriba o por abajo en esos valores. Una tendencia hacia
arriba (o abajo) tiende a continuar por un número considerable de periodos(aunque no
infinitamente). Supongamos la siguiente serie de tiempo.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S./N.M .G.
Pronóstico= " (último valor) + (1- ")(último pronóstico)+ tendencia estimada
El suavizado exponencial también se usa para obtener y actualizar la tendencia estimada
cada vez de la siguiente manera:
Tendencia estimada= $ (última tendencia) + (1 - $) (última estimación de la
tendencia)
donde $ es la constante de suavizado de la tendencia que también tiene valores entre 0
y 1. La última tendencia se refiere a la tendencia basada en los últimos dos valores en la
serie de tiempo y los dos últimos pronósticos. Su fórmula es:
Última tendencia= " (último valor - penúltimo valor) + (1- ") (último pronóstico penúltimo pronóstico)
Las consideraciones que se necesitan para elegir a $ son las mismas que para elegir a ",
un valor grande responde mejor a cambios recientes en la tendencia, mientras que un
valor pequeño utiliza más datos de forma significativa para estimar la tendencia.
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Para comenzar a utilizar este método es necesario hacer dos estimaciones iniciales:
1.
El valor promedio de la serie de tiempo siempre y cuando las condiciones justo
antes de comenzar el pronóstico se mantienen sin cambio y sin tendencia
2.
La tendencia inicial de la serie de tiempo antes de comenzar el pronóstico
donde
Entonces para el primer periodo se tiene:
,
, y
son constantes de suavización entre 0 y 1,
estimaciones en el periodo
Primer pronóstico= estimación inicial del valor promedio + estimación inicial de la
tendencia
y
del nivel y la tasa de crecimiento, y
son las
es la
estimación en el periodo
del factor estacional.
Se utiliza Holt-W inters aditivo para series como la siguiente:
El segundo pronóstico se obtiene con las expresiones anteriores, donde la estimación
inicial de la tendencia se usa como la última estimación de la tendencia en la expresión
de la tendencia estimada y la estimación inicial del valor promedio se usa como el
penúltimo valor y como el penúltimo pronóstico en la fórmula para la última tendencia.
Este método es adecuado para una serie de tiempo donde la media de la distribución tiene
una tendencia hacia arriba o abajo, siempre y cuando estos cambios se produzcan
ocasional y gradualmente.
Los métodos anteriormente expuestos están enfocados a pronosticar lo que pasará en el
siguiente periodo (por ejemplo un trimestre), para pronosticar para n periodos el
suavizado exponencial con tendencia tiene la siguiente expresión:
Pronóstico para n periodos a partir de ahora= "( último valor) + (1- ") (último
pronóstico) + n (tendencia estimada)
Método de suavizado exponencial con tendencia y estacionalidad, Método W inters
El factor estacional de cualquier periodo de un año ( trimestre, un mes, etc.) mide cómo
se compara ese periodo con el promedio global de un año completo.
Fig. 6.6.Serie de tiempo en la cual se aplica el Método Holt-W inters aditivo
Método multiplicativo de Holt-Winters
Se manejan las constantes de suavizamiento
parte de un valor inicial en la tendencia.
y
y el factor estacional, igualmente se
Este método es adecuado cuando una serie temporal muestra tendencia lineal y patrón
estacional para el cual el nivel, la tasa de crecimiento y el patrón estacional podrían ser
cambiantes y no fijos.
Las ecuaciones de suavización son:
Método aditivo de Holt-Winters
Este método se usa para series temporales con tendencia lineal, tasa de crecimiento
constante y variación estacional constante. Las ecuaciones de suavización proporcionan
la estimación
del nivel, la estimación
de la tasa de crecimiento, y la estimación
del factor estacional de la serie temporal en el periodo T.
donde
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A.L.B.S./N.M .G.
,
, y
son constantes de suavización entre 0,1,
y
son las
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estimaciones en el periodo
del nivel y la tasa de crecimiento, y
es la
estimación en el periodo
del factor estacional.
es la estimación "más reciente" del factor estacional para la estación que
corresponde al periodo . En este caso,
denota la cantidad de estaciones en un año
(L=12 para datos mensuales, y L=4 para datos trimestrales), por consiguiente,
denota el periodo que ocurre un año antes del periodo .
Se utiliza Holt-W inters multiplicativo para series como la siguiente:
Investigación de mercado:
Ésta consiste en varios pasos
1. Desarrollar un cuestionario que deben contener preguntas cuyas respuestas
proporcionen la información necesaria para determinar un pronóstico.
2. Llevar a cabo la encuesta, la cual puede hacerse por correo, fax, correo electrónico,
teléfono, o en persona. La manera en que se lleve a cabo la investigación puede afectar
tanto el número como la calidad de las respuestas. El número, localización y los clientes
individuales que responderán deben planearse con cuidado junto con el propósito del
estudio.
3. Tabular y analizar los resultados. Se debe tener cuidado al interpretar estos resultados
y que las tasa de respuesta puede ser baja, las respuestas pueden ser incorrectas, o los
factores no considerados en el cuestionario pueden afectar el resultado real de los
eventos.
Esta información es útil para diseñar nuevos productos y luego desarrollar pronósticos
iniciales de las ventas.
M étodo Delphi:
Este método es llamado así en honor del oráculo de Delfos ( del griego Delphi) de la
metodología griega, quien predijo eventos futuros. Para realizar esta técnica se requiere
de un comité de “expertos” y un facilitador (o grupo de facilitadores) que determina
quiénes serán los participantes, escribe los cuestionarios y analiza los resultados.
Fig. 6.7.Serie de tiempo en la cual se aplica el Método Holt-W inters
multiplicativo
Además de las técnicas vistas anteriormente, que se denominan técnicas cuantitativas,
existen las técnicas cualitativas, éstas se basan en juicios o factores causales
relacionados con un producto o servicio en particular. No requieren de datos históricos
por lo que son útiles para nuevos productos o servicios. Algunas de las técnicas
cualitativas son:
Opinión del gerente: Este es el método más informal ya que involucra solo el juicio de
una persona para hacer el pronóstico, generalmente se basa en su experiencia y las
condiciones actuales para determinar la cantidad pronosticada.
Jurado de opinión ejecutiva: Este método es similar al anterior, solo que involucra a
un pequeño grupo de gerentes de alto nivel para pronosticar en forma colectiva, en este
caso los gerentes comparten responsabilidad y pueden aportar sus experiencias
personales.
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A.L.B.S./N.M .G.
Los miembros del comité pueden ser expertos de diferentes campos. Por
ejemplo uno puede tener orientación hacia las ventas y otro ser economista. Ellos ofrecen
diversos puntos de vista y consideran muchos factores en el proceso.
Una vez seleccionados, se pide a los miembros del comité que entreguen
pronósticos anónimos de eventos específicos y, lo que es mas importante, sus razones
para hacer ese pronóstico. Las preguntas deben ser simples. En lugar de pregunta si las
ventas serán altas, debe preguntarse si estarán arriba de un valor dado. Las preguntas
deben tener una sola respuesta, si se necesitan respuestas múltiples, debe hacerse una
pregunta para cada una.
Las respuestas se resumen, se modifica el cuestionario y se regresa a los
miembros del comité, a quienes se pide que repitan el proceso. El resultado de cada ronda
debe reflejar los resultados de la anterior; con el cuestionario actualizado se mandan las
estadísticas resumidas como la media, la mediana y el rango.
El procedimiento continúa hasta que los miembros del comité lleguen a un
acuerdo razonable, por lo general tres o cuatro rondas son suficientes para alcanzar con
un consenso y el resumen de resultados se informa a los participantes y se usa para tomar
la decisión.
El método Delphi tiene varias ventajas, entre ellas esta el hecho de que se
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incluye la participación de personas diferentes, incluso de distintas localidades, y elimina
el dominio de personalidades fuertes, dando a todos la misma oportunidad de participar;
las respuestas anónimas permiten una expresión mas libre de las ideas.
BIBLIOGRAFÍA
Bowerman, Bruce.,et al..- Pronósticos, Series de tiempo y Regresión: Un enfoque
aplicado.-Thomson.- Cuarta Edición.- México, 2007.
La mayor desventaja es el tiempo necesario para llevar a cabo el estudio Delphi,
muchas veces mas de un mes; no obstante los métodos electrónicos ( fax y correo
electrónico) pueden acelerar el proceso.
Este proceso participativo, se usa en general sólo s los niveles más altos de
una compañía o del gobierno para desarrollar pronósticos a largo plazo de tendencias
burdas.
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A.L.B.S./N.M .G.
Hillier,Federick S., et al..- Métodos cuantitativos para administración.-M cGraw
Hill.-M éxico, 2002.
W inston, Wayne L.-Investigación de Operaciones.-Thomson Internacional.M éxico, 2004.