proyectoantioquia/ma841/1.06 Factores de Integracion

20
Unidad 1: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Tema 1.6 : Factores de Integración
•
Partimos de una ED de la forma: M ( x, y ) ⋅ dx + N ( x, y ) ⋅ dy = 0
y verificamos que no es exacta:
M y ≠ Nx
• Suponemos que existe un factor de integración
la ED por este factor se hace exacta, esto es:
µ ( x ) tal que al multiplicar
[µ (x )M (x, y )]dx + [µ (x )N (x, y )]dy = 0
∂
[µ (x )M (x, y )] = µ (x ) ∂M (x, y )
∂y
∂y
∂
[µ (x )N (x, y )] = µ (x ) ∂N (x, y ) + N (x, y ) dµ (x )
∂x
∂x
dx
∂M ( x , y )
∂N ( x , y )
dµ ( x )
= µ (x )
+ N ( x, y )
µ (x )
∂y
∂x
dx
∂N
∂M
dµ
=µ
+N
µ
∂x
∂y
dx
dµ
µM y − µN x = N
dx
dµ  M y − N x 
 ⋅ dx
=
µ 
N

M y − Nx
= p( x ) entonces :
si se cumple que :
N
dµ
µ
= p( x ) ⋅ dx ⇒
∫
dµ
∫ µ = ∫ p(x ) ⋅ dx
⇒ ln(µ ) = p( x ) ⋅ dx ⇒
µ ( x ) = e ∫ p ( x )⋅dx
21
•
Si suponemos ahora que existe un factor de integración
forma semejante encontramos ahora que:
si :
•
Nx − M y
M
= p( y ) ⇒
µ ( y ) , procediendo de
µ(y) = e∫
p ( y )dy
Ejemplo:
(
)
6 xy ⋅ dx + 4 y + 9 x 2 ⋅ dy = 0
M = 6 xy
M y = 6x 
 ⇒ M y ≠ N x ⇒ no es exacta
N = 4 y + 9 x 2 ⇒ N x = 18 x 
M y − Nx
N
Nx − M y
M
µ (y) = e∫
•
⇒
=
=
6 x − 18 x
4 y + 9x
2
=
− 12 x
4 y + 9x2
≠ p( x ) ⇒ no existe µ ( x )
18 x − 6 x 12 x 2
=
= = p( y ) ⇒ si existe µ ( y )
6 xy
6 xy y
p ( y )dy
2
=e
∫ y dy
= e 2 ln ( y ) = e ln (y ) = y 2 ∴ µ ( y ) = y 2
2
Para comprobar que el factor encontrado hace exacta a la ecuación original la
multiplicamos por el factor y procedemos a resolverla:
N
M
67
8
64
47
44
8
3
3
2 2
(6 xy ) ⋅ dx + (4 y + 9 x y ) ⋅ dy = 0
M y = 18 xy 2 
⇒M y = N x ⇒ ya es exacta
N x = 18 xy 2 
∫
f ( x, y ) = (4 y
∫
f ( x, y ) = 6 xy 3 dx = 3 x 2 y 3 + h( y )
3
+ 9 x 2 y 2 ) dy = y 4 + 3 x 2 y 3 + g ( x )
y la solución es :
y 4 + 3x 2 y 3 = c
22
Ejemplos para la clase:
E1 :
E2 :
E3 :
R1 : x 2 y 2 + x 3 = c
(2 y + 3x )dx + 2 xydy = 0
(10 − 6 y + e )dx − 2dy = 0
xdx + (x y + 4 y )dy = 0
2
R 2 : − 2 ye 3 x +
−3 x
R3 : e y (x 2 + 4 ) = 20
2
2
y (4) = 0
si :
Resumen de los
factores de
integración
si :
10 3 x
e + x=c
3
M y − Nx
N
Nx − M y
M
= p( x ) ⇒
µ (x ) = e ∫
p ( x )dx
= p( y ) ⇒
µ (y) = e∫
p ( y )dy
Para la próxima clase estudiar las secciones:
2.4 Zill
2.5 Nagle
Factores de Integración
2.3 Zill
2.3 Nagle
Ecuaciones Lineales
Tarea para entregar la próxima clase:
Tarea No. 7 : Factores de Integración
23
Ma-841 : Ecuaciones Diferenciales
Tarea No 7: Factores de Integración
(a) Compruebe que la ecuación dada no es exacta, (b) determine un factor de integración
que dependa solo de “x” o solo de “y”, (c) multiplique la ecuación por el factor encontrado y
compruebe que ya es exacta, y (d) resuelva esta nueva ecuación que ya es exacta
P1 : x 2 senx dx + xy dy = 0


ex
+ y 2 )dx +  xy − − 2 y 2 dy = 0
y


P3 : (2 xy + y 4 )dx + (3 x 2 + 6 xy 3 )dy = 0
P2 :
(e
P4 :
(6 x
x
2
y 2 − 4 y 4 )dx + (2 x 3 y − 4 xy 3 )dy = 0
1
 y

P5 :  2 + 2 dx + (1 + ln ( xy ))dy = 0
x
x

P 6 : y (1 + ln( xy ) + 2 x )dx + (x − 2 y 2 )dy = 0
1
; 2 senx − 2 x cos x + y 2 = c
x
1
R2 : µ =
; e x + xy 2 − y 3 = cy
y
R1 : µ =
R3 : µ = y 2
; x 2 y 3 + xy 6 = c
; x 4 y 2 (x 2 − y 2 ) = c
R4 : µ = x3
R5 : µ = x ;
R6 : µ =
1
y
y ln ( xy ) + x 2 = c
; x ln( xy ) − y 2 + x 2 = c