inferencia con grandes muestras

Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
¶
INTRODUCCION
INFERENCIA CON GRANDES
En la discusi¶
on que sigue suponemos que fZ1; :::; Zng es una muestra aleatoria de
on F: Por tanto fZ1; :::; Zng
una v:a: Z con E (Z) = ¹; V (Z) = ¾2, y distribuci¶
son variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas. Por tanto,
para todo j 6= i = 1; :::; n;
MUESTRAS
³
ECONOMETR¶IA I
Estamos interesados en el estudio de las propiedades de un estimador cuando el
tama~
no muestral es grande.
Miguel A. Delgado
2001/2002
² Llamaremos µ0 al par¶
ametro de inter¶
es (puede ser ¹; ¾2 ¶
o ¯ en el modelo
de regresi¶
on lineal).
1
Econometr¶³a I
2
Miguel A. Delgado
² Llamaremos ^
µn es una funci¶
µn al estimador de µ0: ^
on de las observaciones.
Hacemos expl¶³cita la dependencia del tama~
no muestral, n, por su importancia en esta secci¶
on.
{ Ejemplo: La varianza muestral S 2 es un estimador puntual de ¾2:
S2 =
´
E (Zi) = E (Z1) = ¹ ,V (Zi) = V (Z1) = ¾2; C Zi; Zj = 0:
n ³
n
´
X
1X
¹ 2= 1
¹ 2:
Zi ¡ Z
Z2 ¡ Z
n i=1
n i=1 i
Es la diferencia de la media muestral de Z 2 y del cuadrado de la media
muestral de Z: La dependencia de n se da por sobreentendido.
Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
¶
CONSISTENCIA: LA LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
¥Estimador consistente (convergencia en probabilidad): Diremos que ^
µn es un
estimador consistente de µ0; o que converge en probabilidad a µ0; si para todo
± > 0;
n!1
lo expresamos como:
¯
¯
n¯
¯
o
µn ¡ µ0¯ > ± = 1;
lim Pr ¯^
p
plim ^
µn = µ0¶
µ n ! µ 0:
o^
n!1
²
n
o
^
µn; n = 1; 2; :: es una sucesi¶
on de variables aleatorias, una para cada valor
µn cuando n es muy grande.
de n: Queremos saber que propiedades cumple ^
Si la muestra es de una poblaci¶
on ¯nita, cuando n es muy grande la muestra
es la poblaci¶
on. En general tomamos muestras de una poblaci¶
on in¯nita.
3
µn no es consistente diremos que es inconsistente.
Si ^
IEjemplos de estimadores consistentes: Z¹ y S 2 (lo discutiremos detenidamente
m¶
as adelante).
4
Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
¥Estimador asint¶
oticamente insesgado: Diremos que ^
µn es un estimador asint¶
oticamente insesgado de µ0 si:
³
´
µ n = µ 0:
lim E ^
n!1
I S 2 es un estimador sesgado pero asint¶
oticamente insesgado.
ISi el estimador de la edad media de una clase a partir de una muestra aleatoria
fZ1; :::; Zng es ^
µn es insesgado pero inconsistente.
µn = Z1, ^
ISea ¯ = C (X; Y ) =V (X) el par¶
ametro de la pendiente del P LO. Se estima
mediante:
´³
´
Pn ³
¹ Xi ¡ X
¹
i=1 Yi ¡ Y
b=
:
´
Pn ³
¹ 2
¡
X
X
i
i=1
Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
¥Estimador consistente en media cuadr¶
atica (convergencia en media cuadr¶
atica):
µn es un estimador consistente en media cuadr¶
Diremos que ^
atica de µ0, si:
8
³ ´
µ¯
¯2¶
< limn!1 Sesgo ^
µn = 0
¯
¯^
³
´
;
lim E ¯µn ¡ µ0¯
= 0 ()
n!1
: limn!1 V ^
µn = 0
{z
}
|
³ ´2
³ ´
Sesgo ^
µn +V ^
µn
µn converge en media cuadr¶
atica a µ0; y lo expresaremos como:
diremos que ^
2
^
µ n ! µ 0:
FResultado muy importante:
2
^
µn ! µ0 =) plim ^
µ n = µ 0:
n!1
Lo contrario no es necesariamente cierto.
as tarde.
En general, E (b) 6= ¯ pero plimn!1b = ¯; como veremos m¶
5
Econometr¶³a I
6
Miguel A. Delgado
Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
¥Ley de los Grandes N¶
umeros: Si Z1; :::; Zn son observaciones iid con media ¹
y varianza ¾2:
¹ = ¹:
plim Z
µn es un estimador consistente de µ0 y g es una funci¶
Propiedad Plim 1: Si ^
on
continua,
n!1
Prueba muy f¶
acil:
³ ´
¹
Sesgo Z
³ ´
PROPIEDADES P LIM
2
¹ = ¾ 2=n ! 0 =) Z
¹ = ¹:
¹!
¹ =) plim Z
= 0yV Z
n!1
n!1
ILos momentos muestrales son estimadores consistentes de sus an¶
alogos poblacionales. Para una funci¶
on g;
^ [g (Z)] = E [g (Z)] ;
plim E
n!1
^ [g (Z)] = 1 Pn g (Zi) :
donde,E
n i=1
IEs muy u
¶til para saber si un estimador es consistente, al ser la mayor¶³a de los
estimadores funciones de medias muestrales.
7
³
´
µ
¶
µn = g plim ^
µn = g (µ0) :
plim g ^
n!1
Propiedad Plim 2: (Aplicaci¶
on de Plim 1 para vectores). Si tenemos dos esµ1n = µ1 y plimn!1 ^
µ2n = µ2;
µ2n; tal que plimn!1 ^
µ1n y ^
tad¶³sticos ^
entonces:
³
´
µ1n + ^
µ1n + plim n!1^
µ2n = µ1 + µ2
µ2n = plim n!1^
(i) plimn!1 ^
µ1n^
µ2n = plim n!1^
µ1n £ plim n!1^
µ2n = µ1µ2
(ii) plimn!1 ^
µ2n = plim n!1^
µ1n=^
µ1n=plim n!1^
µ2n = µ1=µ2 si µ2 6= 0:
(iii) plimn!1 ^
8
Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
¥Ejemplo: La varianza muestral es un estimador consistente.
2
3
n
n
X
1X
¹ 25 = plim 1
Zi2 ¡ Z
Zi2 ¡ plim Z¹ 2
plim S 2 = plim 4
n!1
n!1 n
n!1 n
n!1
i=1
i=1
³
´
= E Z 2 ¡ E (Z)2 = ¾2
¥Otro ejemplo: Sean Y1; :::; Yn una muestra aleatoria de los ingresos de trabajadores con estudios de secundaria que tiene media ¹Y y X1; :::; Xn una muestra
de los trabajadores con estudios universitarios, que tiene media ¹X . La diferencia
porcentual de la media de ingresos entre los dos grupos es:
¹ ¡ ¹X
° = 100 £ Y
:
¹Y
¥M¶
as ejemplos: Sea ¯ = C (X; Y ) =V (X) el par¶
ametro de la pendiente del
P LO. Se estima mediante:
´³
´
Pn ³
P
¹ Xi ¡ X
¹
¹¹
n¡1 n
i=1 Yi ¡ Y
i=1 YiXi ¡ X Y :
b =
=
Pn
´2
2
Pn ³
¡1
¹2
n
¹
i=1 Xi ¡ X
i=1 Xi ¡ X
Por la LGN,
n
n
³
´
1X
1X
YiXi = E (XY ) ; plim
Xi2 = E X 2 ;
n!1 n
n!1 n
i=1
i=1
plim
Un estimador consistente de °; aplicando la LGN y Plim 2 (i) y (iii) es:
¹ = E (X) y plim Y¹ = E (Y ) :
plim X
n!1
¹
Y¹ ¡ X
:
°
^ n = 100 £
Y¹
n!1
9
Econometr¶³a I
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Miguel A. Delgado
Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
Entonces, aplicando Plim 2 (ii)
¹ 2 = E (X)2 y plim X
¹ Y¹ = E (X) E (Y ) :
plim X
n!1
n!1
Aplicando lo anterior y Plim 2 (i),
2
n
X
3
1
¹ Y¹ 5 = E (XY ) ¡ E (X) E (Y ) = C (X; Y )
YiXi ¡ X
plim 4
n!1 n
i=1
2
3
n
³
´
1X
2
2
¹
4
plim
Xi ¡ X 5 = E X 2 ¡ E (X)2 = V (X) :
n!1 n
i=1
Finalmente, aplicando lo anterior y Plim 2 (iii),
plim b =
n!1
C (X; Y )
= ¯:
V (X)
11
¶
NORMALIDAD ASINTOTICA:
TEOREMA CENTRAL DEL L¶IMITE
¥Estad¶³stico asint¶
oticamente normal: Sea Gn; n = 1; 2; ::: una sucesi¶
on de estad¶³sticos, cada uno de ellos depende de su correspondiente muestra fZ1; :::; Zng ; n =
1; 2; :::: Diremos que Gn es asint¶
oticamente normal est¶
andar, o que converge en
distribuci¶
on a una normal con media cero y varianza uno, cuando para n grande
su funci¶
on de distribuci¶
on es la de una normal de media cero y de varianza uno
(una normal est¶
andar). Esto es:
lim FGn (z) = © (z) ; para todo z;
n!1
donde FGn (¢) = Pr fGn · ¢g es la funci¶
on de distribuci¶
on de Gn y © denota
la distribuci¶
on de una normal est¶
andar. Expresaremos este hecho como:
d
Gn ! N (0; 1) o
¶ Gn » N (0; 1) :
asy
12
Econometr¶³a I
Miguel A. Delgado
Econometr¶³a I
¥En general diremos que la sucesi¶
on de estad¶³sticos Gn; n = 1; 2; ::: converge
en distribuci¶
on a la va G; cuando la funci¶
on de distribuci¶
on de Gn es la misma
que la funci¶
on de distribuci¶
on de G para n grande. Hecho que expresaremos
como:
Miguel A. Delgado
PROPIEDADES NORM
d
Gn ! G ¶
o Gn » G:
asy
¥Teorema Central del L¶³mite (TCL): Sean Z1; :::; Zn variables iid con media ¹
y varianza ¾2: Entonces,
³
´
¹¡¹
n1=2 Z
¾
on de estad¶³sticos, cada uno
Propiedad Norm 1: Sea Gn; n = 1; 2; ::: una sucesi¶
de ellos depende de su correspondiente muestra fZ1; :::; Zng ; n = 1; 2; :::;
tal que Gn »asy N (0; 1) : Si g es una funci¶
on continua en su argumento:
g (Gn) » g (N (0; 1)) :
asy
» N (0; 1) :
asy
Tambi¶
en se suele expresar,
Ã
³
´2
¥Ejemplo: n Z¹ ¡ ¹ =¾ 2 »asy N (0; 1)2 » Â2(1) aplicando el T CL.
!
2
¹ » N ¹; ¾ ;
Z
aprox
n
¹ se distribuye asintoticamente
y con un evidente abuso del lenguaje se dice que Z
2
como una normal de media ¹ y varianza ¾ =n:
13
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Econometr¶³a I
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¥Ejemplo: Aplicando T LC, Norm 2 y el hecho que plimn!1S = ¾:
³
µn; n =
on de estad¶³sticos y ^
Propiedad Norm 2: Sea Gn; n = 1; 2; ::: una sucesi¶
1; 2; ::: una sucesi¶
on de estimadores. Si,
Gn » N (0; 1) y plim ^
µ n = µ 0;
asy
n!1
entonces,
asy
³
S
IPor tanto un intervalo de con¯anza para ¹ al 95% es Z¹ § 1; 96 ¢ S=n1=2.
H0 : ¹ = ¹0 versus H1 : ¹ 6= ¹0;
´
utilizamos el estad¶³stico t;
³
¹ ¡ ¹0
n1=2 Z
t=
S
µn = 0 si µ0 = 0.
(iii)plimn!1 Gn ¢ ^
³
µn » N 0; 1=µ20
(iv) Gn=^
asy
´
si µ0 6= 0
Bajo H0 :
t » N (0; 1) :
asy
Entonces, bajo H0 :
15
» N (0; 1) :
asy
ISi queremos contrastar al 5% de signi¯caci¶
on:
µn » N (µ0; 1)
(i) Gn + ^
µn » N 0; µ20
(ii) Gn ¢ ^
asy
´
¹¡¹
n1=2 Z
16
´
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lim Pr (t · z) = Pr (N (0; 1) · z) :
n!1
Llamaremos, z® al valor tal que:
Pr (N (0; 1) > z®) = 1 ¡ ®:
Por tanto, el valor cr¶³tico (asint¶
otico) al 5% es z0;25 = 1; 96: Rechazaremos H0
cuando t > 1; 96:
Bajo H1 :
t=
³
¹ ¡ ¹0
n1=2 Z
S
´
=
³
´
¹¡¹
n1=2 Z
S
+
n1=2 (¹ ¡ ¹0)
S
Aplicando Norm 2 (i),
plim t = 1 bajo H1 ) lim Pr (t > z®) = 1 bajo H1:
n!1
n!1
17