El cálculo integral tiene una estrecha relación con el

Aproximación al área bajo una curva.
Por: Miguel Solís Esquinca
Profesor de tiempo completo
Universidad Autónoma de Chiapas
Calcular cada una de las áreas de los rectángulos, que llenan la región acotada para alcanzar
el valor del área, necesariamente lleva a precisar el sentido de la aproximación.
Consideremos algunas funciones e intentemos calcular, con el procedimiento anterior, las
áreas bajo las curvas respectivas.
Por ejemplo, consideremos la función constante f(x) = k en el intervalo [a, b], el área
coincide con el área de un rectángulo. De acuerdo con la Figura 2.1 el área estaría
expresada por la fórmula conocida: base por altura = (b – a)k.
Figura 2.1
Si llevamos a cabo el procedimiento de llenar la región por medio de rectángulos
llegaríamos a la misma fórmula conocida. En esta región no importa el tamaño de los
rectángulos para alcanzar el área real de la región, como se ve en la Figura 2.2.
Figura 2.2
Dividamos el intervalo [a, b] en subintervalos mediante los puntos a, x1 , x2 , x3 , b , cada
rectángulo tiene la misma altura k y la suma de sus áreas se expresa de la siguiente manera,
área bajo la curva = ( x1 − a )k + ( x2 − x1 )k + ( x3 − x2 )k + (b − x3 )k
= ( x1 − a + x2 − x1 + x3 − x2 + b − x3 )k
= (b − a )k
Si dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, obtenemos el mismo resultado,
b−a
y contamos con n rectángulos.
en este caso la longitud de cada subintervalo es
n
Siendo así, la suma de todos los rectángulos tiene n términos iguales, entonces basta
multiplicar n veces el área de un rectángulo,
⎛b−a⎞
área bajo la curva = n⎜
⎟k
⎝ n ⎠
= (b − a )k
Sin embargo, si consideramos el área bajo la curva formada por la función f ( x) = x en el
intervalo [a, b] (Figura 2.3), la situación del cálculo del área no va a ser exactamente la
misma que en el caso anterior.
Figura 2.3
Efectivamente, el área puede ser calculada sumando el área del rectángulo y la del triángulo
(Figura 2.4)
Figura 2.4
A1 = área del rectángulo = (b − a )a
y
A2 = área del triángulo =
(b − a)(b − a )
2
luego,
(b − a)(b − a)
2
(b − a)2a + (b − a)(b − a )
=
2
(b − a)(2a + b − a)
=
2
(b − a)(b + a)
=
2
área bajo la curva = A1 + A2 = (b − a )a +
También se podría calcular el área directamente por ser la región bajo la curva un trapecio,
su área sería la semisuma de las bases multiplicada por la altura:
área bajo la curva =
( a + b)
(b − a )
2
Tomemos casos particulares para esta área y observemos los valores numéricos. Por
ejemplo, consideremos el intervalo [1, 3] y dividámoslo en tres subintervalos de diferente
longitud, como en la Figura 2.5.
Figura 2.5
Las alturas de los rectángulos son consideradas de tal suerte que todos quedan inscritos en
la región acotada, es decir, los rectángulos están por debajo de la curva f ( x) = x . Y la
suma de las áreas de los tres rectángulos resulta:
(1.5 – 1)1 + (2 – 1.5)1.5 + (3 – 2)2 = 3.25
(Observa que las alturas de los rectángulos 1, 1.5 y 2, son calculadas al evaluar la función
f ( x) = x en los extremos izquierdos de los subintervalos correspondientes: f (1) = 1 ,
f (1.5) = 1.5 y f (2) = 2 )
Por otra parte, si consideramos ahora las alturas de los rectángulos (con las mismas bases
del caso anterior), de tal suerte que los rectángulos quedan circunscritos a la región como se
presenta en la Figura 2.6.
Figura 2.6.
La suma de las áreas de los rectángulos circunscritos resulta ser,
(1.5 – 1)1.5 + (2 – 1.5)2 + (3 – 2)3 = 4.75
(En el mismo sentido que la observación anterior las alturas de los rectángulos son
calculadas al evaluar en la función los valores extremos derechos de los subintervalos
correspondientes)
Sin embargo, el valor real del área de la región acotada usando la relación encontrada
anteriormente, resulta ser,
(b + a)(b − a ) (3 + 1)(3 − 1)
=4
=
2
3
Este valor se encuentra acotado por los dos valores anteriormente calculados
3.25 < 4 < 4.75
en este sentido 3.25 y 4.75 son valores aproximados al valor real del área, 4.
La aproximación anterior puede ser mejorada si llenamos la región con rectángulos de
tamaño tal que el área que sobrepase a la curva sea considerablemente muy pequeña en
comparación con el área que no la sobrepasa.
Figura 2.7
Para ilustrar esta observación consideremos nuevamente la región de la Figura 2.3 y al
intervalo [a, b] dividámoslo en n partes iguales mediante los puntos
a = x0 , x1 , x2 , K, xn −1 , xn = b
Cada subintervalo es de la misma longitud h =
b−a
n
Entonces cada punto puede ser expresado de la siguiente manera:
a, a + h, a + 2h, a + 3h, K, a + (n − 1)h, a + nh = b
y la suma de las áreas de los rectángulos que llenan la región de la Figura 2.8 es expresada
por
Figura 2.8
S = (a + h)h + (a + 2h)h + (a + 3h)h + K + (a + nh)h
= ah + h 2 + ah + 2h 2 + ah + 3h 2 + K + ah + nh 2
= nah + (1 + 2 + 3 + K + n)h 2
Usando el resultado 1 + 2 + 3 + K + n =
n(n + 1)
2
n(n + 1) 2
h
2
n 2 h 2 nh 2
(nh) 2 nh
= anh +
+
= anh +
+ h
2
2
2
2
S = nah +
Como h =
b−a
, sustituimos nh por b – a.
n
(b − a) 2 (b − a)h
+
2
2
2
2a(b − a ) + (b − a)
(b − a)h
=
+
2
2
(b − a)(2a + b − a) (b − a)h
=
+
2
2
(b − a)(b + a) (b − a)h
=
+
2
2
S = a(b − a) +
Si h es muy pequeño, esto es, si dividimos al intervalo [a, b] en un número de partes iguales
(b − a)h
será muy pequeño, también, y la suma de las áreas de
con n muy grande, entonces
2
(b + a)(b − a )
.
los rectángulos circunscritos estará muy próxima al área bajo la curva
2
Actividades
1. Tomando como referencia el ejemplo dónde se calcula el área bajo la curva f ( x) = x
entre las rectas x = a y x = b , con a < b. Calcula ahora el área bajo la curva f ( x) = x 2
entre las rectas x = a y x = b , con a < b. Para resolver este problema te serán útiles los
siguientes resultados:
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + K + n 2 =
6
1+ 2 + 3 +K+ n =
además del desarrollo de los binomios:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
2. Calcula el área bajo la curva f ( x) = x 3 entre las rectas x = a y x = b , con a < b. Otros
resultados útiles para la solución son:
⎛ n(n + 1) ⎞
13 + 23 + K + n3 = ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
2
y el desarrollo del binomio:
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4
3. Utilizando los resultados de los problemas 1 y 2 calcula el área:
a) limitada por la curva f ( x) = x 2 , el eje X y las rectas x = 5 y x = 8.
b) limitada por la curva f ( x) = x 3 , el eje X y las rectas x = 2 y x = 9.
⎧ x 2 , si 0 ≤ x < 1
4. Encuentra el área bajo la curva f ( x) = ⎨
entre las rectas x = 0 y x = 2.
⎩ x, si x ≥ 1
Utiliza los resultados anteriores.