Teoría de Colas Sistema de Colas - Universidad Técnica Federico

2/5/10 Universidad Técnica Federico Santa María Teoría de Colas Daniel Basterrica <daniel@basterrica.com> Sistema de Colas •  Proceso de entrada •  Proceso de salida •  Ejemplos –  Banco: clientes llegan -­‐> cajeros sirven a los clientes –  Entrega de pizzas: Requerimiento de una entrega -­‐> Salida de la pizza 1 2/5/10 Proceso del Sistema Clientes requieren un servicio • 
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Entrada de clientes Espera en la cola Selección del cliente de la cola Se sirve al cliente Salida del cliente Proceso de Entrada •  Fuente de entrada/población potencial –  Finito/Infinito •  Patrón de llegada –  Independiente de la canQdad de clientes en el sistema •  No más de una llegada puede ocurrir en un instante 2 2/5/10 Cola •  Capacidad de la cola –  Finito/Infinito •  Disciplina de la cola –  FIFO (First In First Out – First Come First Served) –  LIFO (Last In First Out -­‐ Last Come First Served) –  RSS (Random selecQon of service – Service in Random Order SIRO) –  Nivel de prioridad (Priority queuing discipline) •  Número de colas –  Cola única –  Una cola por servidor •  Intercambio permiQdo/prohibido Conceptos •  Número de servidores –  Servicio en paralelo –  Servicio en serie •  Tiempo de servicio –  Independiente de la canQdad de clientes en el sistema 3 2/5/10 Tipos de Sistema Notación de Kendall (1/2/3/4/5) 1. 
Proceso de llegada –  M: Proceso Markoviano •  Distribución de llegada con distribución Poisson •  Tiempos entre llegada con distribución Exponencial – 
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Ek: Distribución Erlangs del Qempo entre llegadas, con parámetro k D: Tiempo entre llegadas determinista G: Distribución general GI: Distribución general con Qempo entre llegadas independientes Proceso de servicio (M, K, D, G, GI) Número de servidores (S: cualquier número) Tamaño de Población (I: Infinito, F: Finito) Largo de la cola (I: Infinito, F: Finito) 4 2/5/10 Casos más comunes •  (Llegada/Servicio/Servidores/Población/Cola) • 
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(M/M/1/I/I) (M/M/S/I/I) (M/M/1/I/F) (M/M/S/F/I) Proceso de Entrada •  Supuestos –  Nacimiento puro: Los clientes llegan y no abandonan –  Si las llegadas siguen un proceso de Poisson: •  La probabilidad de una ocurrencia entre t y t + h sólo depende del ancho del intervalo h (sin memoria) •  Con h muy pequeño a lo mas puede ocurrir una llegada en el intervalo (t, t + h) –  Disciplina FIFO •  Numero de Ocurrencias se distribuye Poisson parametro t, con λ igual a la tasa de llegada por unidad de Qempo •  Tiempo entre llegadas se distribuye exponencial con parametro λ •  Tiempo hasta la n-­‐ésima llegada se distribuye Γ con parametros (n,1/λ ) 5 2/5/10 Proceso de Entrada •  Llegadas –  La teoría de colas se sustenta en el supuesto de que las llegadas de clientes al sistema siguen un Proceso Poisson, esto significa que: –  Si Xt= numero de llegadas en un intervalo t –  Xt ~ Poisson(λt), luego se trata de una variable aleatoria discreta con la siguiente probabilidad: El numero promedio de ocurrencias en el intervalo t El numero promedio de ocurrencias por unidad de Qempo λ =
Tiempo entre llegadas •  Considerando que las llegadas siguen un proceso de Poisson •  Cuál es la distribución del Qempo entre llegadas? –  Sea T1 el instante de Qempo de la primera llegada, y sea t un instante de Qempo menor. T1 se puede interpretar como el Qempo necesario para que suceda una ocurrencia, luego –  Luego •  La que corresponde a la función acumulada de una distribución exponencial, luego T1 se distribuye exp(λ)
6 2/5/10 Tiempo entre llegadas •  Analizando ahora el Qempo necesario hasta la segunda ocurrencia. Sea Yt el número de ocurrencias en el intervalo [T1, T2], con T un instante de Qempo dentro de ese intervalo •  Luego, Tiempo acumulado •  Idea: Si el Tiempo hasta la n-­‐ésima ocurrencia es mayor que un Qempo t dado, implica que hasta t han habido sólo n -­‐ 1 ocurrencias. •  Aproximando la sumatoria por la integral se obQene que Tn ~ Γ(n, λ-­‐1) •  Una distribución exponencial con parámetro λ es equivalente a una distribución Γ(1, λ-­‐1) 7 2/5/10 Proceso de Salida •  Supuestos: –  Fallecimiento Puro: Los clientes no pueden reingresar al sistema –  Tasa de salida = μ = Numero de clientes servidos por unidad de Qempo •  Tiempo de servicio –  Si Z es el Qempo de servicio, Z ~ exp(μ) •  Número de Unidades Servidas durante el Qempo t –  Sea Yt el numero de unidades servidas durante t, luego Yt ~ Poisson(t) Estado estacionario •  En estado estacionario las medidas de interés de desempeño del sistema a calcular son: –  U?lización del servidor (carga) –  Probabilidad de cero clientes en el sistema –  Probabilidad de n clientes en el sistema –  Número de clientes promedio en el sistema –  Número de clientes promedio en la cola –  Tiempo promedio de espera en la cola –  Tiempo promedio en el sistema 8 2/5/10 Estado estacionario Sistemas con una sola Cola, Población Infinita: Restricción: ρ ≤ 1  UQlización del servidor  Probabilidad de cero clientes en el sistema  Probabilidad de n clientes en el sistema  Numero promedio de clientes en la cola  Numero promedio de clientes en el sistema  Tiempo promedio de espera en la cola  Tiempo promedio en el sistema Estado estacionario MúlQples Servidores, Población Infinita: Restricción: μi = μ ,para todo i
k: número de servidores  UQlización del servidor  Probabilidad de cero clientes en el sistema  Probabilidad de n clientes en el sistema  Numero promedio en la cola  Numero promedio en el sistema  Tiempo promedio de espera en la cola  Tiempo promedio en el sistema 9 2/5/10 Colas con Prioridades •  Idea: –  Entre clases existen prioridades –  Dentro de cada clase se rige mediante FIFO –  Las unidades se dividen en m clases de acuerdo a una regla de prioridad –  Cualquier unidad que llegue a una clase con mayor prioridad, precederá a la clase de menor prioridad –  Ejemplo: Colas en consultorios Colas con Prioridades Se define 10 2/5/10 Colas con Prioridades •  Por lo tanto, en estado estacionario, las clases i Qenen las siguientes caracterísQcas: Colas con Prioridades •  Las caracterísQcas del sistema completo se obQenen a parQr de las clases individuales: 11 2/5/10 Ejemplo Suponga que para tomar un tren se venden boletos de dos clases. Se ha observado que para la primera clase λ1 = 20 y λ 2 = 60 para los pasajeros de segunda clase cada hora. La ventanilla opera con μ1 = 60 para primera clase y μ2 = 120 para la segunda clase cada hora. En otras palabras, el Qempo promedio de servicio es 1/60 [horas], es decir, 1 [min] para procesar a un pasajero de primera clase y solo 1/2 [min] para los pasajeros de segunda clase (esto es porque los pasajeros de segunda clase pagan con sencillo y generalmente el valor justo del pasaje). Se Qene además que Ejemplo -­‐ Solución •  Las caracterísQcas de operación de la ventanilla: 12 2/5/10 Ejemplo -­‐ Solución Ejemplo -­‐ Solución 13 2/5/10 Colas con Restricciones •  Supuestos: 1. 
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El proceso de llegada es Poisson Tiempos de Servicios son Exponencial Disciplina FIFO Largo de la cola infinita Pocas llegadas, población finita Colas con Restricciones •  Pocas llegadas –  Ejemplo: Comportamiento de los pacientes en un hospital 14 2/5/10 Colas con Restricciones Problema 15 2/5/10 Problema Como P(0) = 0.2198 implica que existe un 21.98% de probabilidad que Pedro y su ayudante estén sin trabajo que reparar. En una hora vpica 1,42 máquinas están en el taller de reparación y cada maquina permanece en promedio 0.4 [horas] ≈ 24 [min]. Cuando una máquina necesita un ajuste, ésta debe esperar (antes de ser atendida) 0.06 [horas] = 3.6 [min]. La línea de espera Qene un promedio de 0.21 máquinas. Colas con Restricciones •  Sistema Poisson Exponencial con 1 sólo canal con cola truncada •  Pueden exisQr 2 razones para limitar el largo de la cola: 1.  La cola se limita sola, llega un momento en que ninguna persona desea ponerse en una cola con un largo excesivo 2.  Los sistemas de servicios limitados xsicamente, por ejemplo, la sala de espera en un centro médico 16 2/5/10 Colas con Restricciones •  Sistema Poisson Exponencial con 1 sólo canal con cola truncada •  Propiedades del Estado Estacionario Colas con Restricciones Ya que a lo mas pueden haber M unidades en el sistema, P(M) es la probabilidad que el sistema esté lleno, es decir, una unidad llegando en ese estado no podrá ingresar al sistema. Por lo tanto, 1 -­‐ P(M) = probabilidad de que una unidad pueda entrar al sistema. Y como los clientes varían entre 0 y M, entonces 17 2/5/10 Colas con Restricciones •  En el caso en que λ = μ todos los estados son igualmente probables, en este caso: •  Ahora si λ excede a μ se tendrá que el sistema llegará a saturarse con Ls ≈ M y P(M) ≈ 1 18