Mat II – 2DC – Prof. Annabella Zapattini Práctico Nº1 – Núm

Práctico Nº1 – Números naturales
1) Completa las siguientes proposiciones.
a.
El siguiente de 10 es ………, el de 15 es ………, el de n es ………
b.
Todo número natural, excepto el ………, tiene anterior.
c.
El anterior de 3 es ………, el de 20 es ………, el de n ( n  0) es ………
2) Encuentra el número h, las pistas son las siguientes:
1.
0  h  1000
2.
h es un número impar.
3.
El producto de sus cifras es 18
4.
La suma de sus cifras es 12
3) Investiga si es posible que existan cuatro números que cumplan con las siguientes condiciones:
1.
son números naturales
2.
ninguno es mayor que 8
3.
no son todos distintos
4.
el número que aparece en cada un de las siguientes figuras es la suma de los números de los
cuadrados sombreados.
4) Los números secretos
Un número secreto está asignado a cada vértice de la figura adjunta. En
cada lado de dicha figura está escrita la suma de los números secretos
de los extremos. Encuentra una regla que te permita descubrir dichos
números
5) Resuelve las siguientes ecuaciones sin aplicar propiedad distributiva
a)  x  5  x  1  0
b)
c)
d)
e)
 x  9  x  2   0
 x  7  x  3  0
 x  5 x  4  x  2   0
 x 2  4   x  2 2  0
6) Divide el esquema adjunto en ocho sectores con cuatro números cada uno y de
tal manera que la suma de los números sea siempre la misma. Los sectores no
tienen por que tener la misma “forma”.
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Práctico Nº1 – Números naturales
7) Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a) Si n es un número natural , 2n + 1 es un número impar.
b) Cualquiera sea n   , 3n es distinto a 4n.
2
c) No existe un número natural que verifique: n  4n  21 .
d) Los únicos números naturales que verifican la igualdad ( x + 3)(x - 2)(5 - x) = 0 son 2 y 5.
8) a) La suma de tres números enteros consecutivos es 538. Hallar dichos números.
b) Dados cuatro números naturales consecutivos, demostrar que el producto del mayor por el menor de
dichos números es dos unidades menor que el producto de los restantes.
c) Demostrar que la suma de cinco naturales consecutivos es múltiplo de 5.
9) Indica con los símbolos  y  a que conjuntos pertenece cada uno de los siguientes números.
-1012
183
0




10) Indica cual de las siguientes proposiciones es correcta, las incorrectas corrígelas:
a)   
b)    
c)      0
d)    
e)     
f) a  a a  
g) a  b  0 a, b  
h) a  0 a 
11) Determina él o los posibles a en cada caso
i) a  b  0 a, b  
 a  
i.  a  1
ii. Halla a sabiendo que la distancia de su opuesto a 0 es 2
iii. Halla a sabiendo que la suma con tu número de lista es 0
12) Investiga cual de las siguientes proposiciones es correcta, las incorrectas corrígelas:
a.
a 0  1 a  
b.
e.
2 2  23  25
f.
13) Demuestra
x2  0
x  
a n   a    n  
 3 5  5
0
y
c.
0 n  0 n  
g.
2 1   2
a n   a   n  
d.
h.
 3  3   13
2
1
a2  b2  0  a  b  0
14) Investiga si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades, justificando en cada caso:
a ) x   x x  
b ) x  y  y  x x , y  
c ) x  0 x   y x  0  x  0
d ) xy  x y x , y  
e ) x  y  x  y x , y  
15) Verifica que las siguientes proposiciones son falsas.
a) Cualquiera sea el natural n se cumple que: n2  3n  1  0
b) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 6.
c) n   se cumple: n  8  2n
16) a) Demuestra por inducción completa que se cumple: 1  2  3  4  5  .....  n 
n  n  1
2
.
b) Calcula la suma de todos los naturales del 1 hasta el 2180.
c) Calcula la suma de todos los naturales del 325 al 1400.
d) Sean a, d y n tres números naturales, demuestra de dos maneras distintas que se verifica la
 n  1 2a  nd  .
siguiente igualdad: a   a  d    a  3d    a  4d   ....  n 
2
e) Se consideran los números 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, .............., 302. Calcula su suma.
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17) Demuestra mediante Inducción Completa:
a.
n 2  8n  5
b.
2n  n 2 n  4
n  8
c)

10n  9 1
d)
n n  1 n  1  6

18) Investigar si las siguientes proposiciones son verdaderas para todo natural n  1.
a) n  n 2
b) 2n es múltiplo de 5.
19) Desarrolla las siguientes sumas:
a)
4
  3i  2
b)
5
i
i
i 1
i 1
6
5
 1i
c)
3
 2i 3
d)
i 3
e)
i 2
7
 i 2  4i 
f)
i 1
2
 ii 23i
g)
i 7
h 2
i2
i h
20) Expresa mediante el símbolo de sumatoria las siguientes sumas:
a) 2+4+6+..............+72
b) 1+3+5+..............+77
c) 1+4+9+…….+100
d) 10+13+16+………..+304
e) 2+6+12+………..+56
f) 1+2+4+8+16+………+1024
21) En caso de ser posible, expresa en un solo símbolo de sumatoria las siguientes sumas.
i)
11
19
1
12
i  i
vi)
ii)
110
110
10
12
11
19
1
12
 3i   3i
 i  7    i  7 
22) Prueba que :
vii)
n 1
n
1
1
iii)
15
21
i  i
1
11
19
1
12
 2i 1   2i 1  37
iv)
15
8
10
8
5
6
6
v)
55
55
1
3
 2i   2i
  4i  7    4i  7    4i  7
 i2   i2  n
2
 2n  1
23) Calcula para n=1 y n=2 las siguientes sumas
24) Calcula n sabiendo que se cumple:
n
 i 2 i  6  y
n 2
0
n
3n  1
  4i  2
2
  6i  5     6i  5   56
1
1
25) Demuestra por I. C. las siguientes desigualdades:
a)
i n

2i  2n 1  1 n  
i 0
d)
b)
i n

i2 
n n  1 2n  1
6
i 1
n 1  3
i   2n  1 3
i
.3

4
1
n
n  *
e)
n
n  
c)
n
n
  3i  1  2  3n  1
1
1
n
  2i  1 2i  1  2n  1
0
f)
n
 4i
0

n  *
4n  1  1
n  
3
26) a) Halla el valor de a para que la siguiente igualdad se cumpla para n=1.
n
 3i
2
 9i  n (n 2  6n  a )
1
b) Demuestra por I. C. la igualdad anterior.
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27) a) Halla el valor de a para que la siguiente igualdad se cumpla para n=1.
n
 2i  a 
i 1
n (3n  4)
3
b) Demuestra por I. C. la igualdad anterior.
28) a) Hallar a y b sabiendo que:
2n
 ai  b   10n
i 1
2
 13n se verifica para n=1 y n=2
b) Demostrar por I. C. la igualdad anterior para todo n natural n  1 .
c) Calcular
2000
 ai  b 
201
29) El método del caracol
a) Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo con
dos lados de 1cm.
b) Se construye un segundo triángulo rectángulo con un
cateto de 1cm y otro igual a la hipotenusa del triángulo
anterior. Calcula la hipotenusa de este nuevo triángulo.
c) Repitiendo el mismo procedimiento, construimos ahora
un tercer triángulo rectángulo con un cateto de 1cm y
otro cateto igual a la hipotenusa del segundo triángulo
construido. Calcula la hipotenusa de este tercer
triángulo.
d) A partir de todo lo anterior, conjetura la medida de la
hipotenusa del triángulo número n que se construye
siguiendo el procedimiento anterior. Demuestra por
inducción completa.
30) Induce una ley general para el siguiente desarrollo y luego demuéstrala por I. C.
1
1
 2
2
2
1 1
1
1   2 
2 4
4
1 1 1
1
1    2 
2 4 8
8
1
31) Analiza la validez de la siguiente demostración:
Se demostrará que todo natural es igual a su siguiente: H) n = h  h = h+1 T) n = h+1  h  1  h  2
Demostración: Sumo en ambos miembros de H) 1: h+1 = h+1+1  h+1 = h+2 que es la T)
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