Estática

Capítulo
2
Estática
2-1. Introducción
2-2. Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales
2-3. Vectores
2-4. Versor
2-5. Suma de vectores
2-6. Resta de vectores
2-7. Producto de un vector por un escalar
2-8. Concepto de fuerza
2-9. Sistema de fuerzas coplanares
2-10. Condición de equilibrio de un sistema de fuerzas que actúan sobre un punto
2-11. Momento de una fuerza respecto de un punto
2-12. Teorema de los momentos
B. Problemas
Estática
2.1. Introducción
Anteriormente, en el capítulo 1 se dijo que las fuerzas son las causantes del
movimiento.
Podríamos decir, que las fuerzas son interacciones entre cuerpos y son las causantes
que hacen que los cuerpos dejen de estar en reposo. La estática determina las condiciones
que debe cumplir un sistema de fuerzas que actúa sobre un punto material o un cuerpo
rígido para que se encuentre en equilibrio.
Hay que destacar que un cuerpo está en equilibro respecto de un sistema de
referencia cuando:
− no cambia su posición respecto de un sistema de referencia
− cuando se mueve con movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) respecto de un sistema de
referencia
Podemos afirmar que el reposo o el movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) son
estados semejantes y no se pueden diferenciar entre dos estados: el reposo y el M.R.U.
Ejemplo 2-1: Imaginemos una situación hipotética. Estamos dentro de una nave espacial
en el universo infinito, supongamos que la nave no tiene los motores encendidos o estos son
muy silenciosos. Luego, si un astronauta se despierta ¿ podrá determinar en ese momento
sin mirar por las ventanillas, si la nave se mueve con M.R.U. o esta en reposo ?.
Evidentemente es esas condiciones, será muy difícil distinguir entre esos dos estados.
2.2. Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales
En nuestro mundo físico hay magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.
Las magnitudes escalares como por ejemplo la temperatura, la masa, el tiempo, son
aquellas que pueden representarse mediante un número, es decir 12oC, 18 Kg y 36 min, y
quedan perfectamente definidas a través de una magnitud.
En cambio hay otras magnitudes, las magnitudes vectoriales en las cuales su
magnitud está asociada a una orientación. Por lo tanto, para expresar correctamente una
magnitud vectorial es necesario la utilización de 3 características: dirección, sentido y
módulo (intensidad).
Ejemplos de este tipo de magnitudes son la fuerza, la velocidad, la aceleración y para poder
representarlas lo hacemos mediante la utilización de un vector, tal como se muestra en la
figura 2-1.
r
a = 2 m s2
r
F = 5 Kg
r
v = 12 Km h
Figura 2-1
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Estática
Página 3
2.3. Vectores
Es interesante estudiar, las propiedades y operaciones elementales de los vectores y
de esta forma, aprenderemos las propiedades y operaciones de todas las magnitudes
vectoriales, como por ejemplo: la velocidad, la fuerza.
Un vector es un segmento orientado. El primero de los puntos de denomina origen y el
segundo extremo del vector. La recta que contiene el vector determina la dirección del
mismo y la orientación sobre esa recta determina el sentido del mismo. La longitud del
vector es proporcional a su intensidad o módulo es la longitud del segmento orientado OE .
extremo del vector
(indica el sentido)
E
vector
r
A
origen del vector
Módulo ó intensidad
O
recta de acción del vector
(indica la dirección)
Figura 2-2
Una magnitud vectorial se puede representar de alguna de las siguientes maneras
vector A,
r
A ( con flecha ),
A ( con segmento ),
A (negrita)
Un vector queda perfectamente identificado a través de las siguientes características
dirección 

sen tido  vector A :
módulo 
r
A
r
El módulo del vector A se indica como
r
A
A
A ( sin flecha / segmento o negrita )
Se dice que dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo la misma
dirección y el mismo sentido.
r
A
r
A
r
B
r
B
Figura 2-3
r r
En el plano, si A = B , con este criterio de igualdad, podemos decir que todos los vectores
pueden ser trasladados de manera que tengan un mismo origen.
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2.4. Versor
Se denomina versor al vector cuyo módulo es la unidad. Hay dos versores que se
utilizan comúnmente y son el versor î que está en la dirección y sentido del eje +x; y el
versor ˆj que está en la dirección y sentido del eje +y.
+y
ˆj
+x
î
Figura 2-4
De acuerdo a la definición se tiene que
î = ˆj = 1
Veremos en puntos posteriores que un vector puede representarse según los versores î y ˆj .
2.5. Suma de vectores
Para sumar vectores hay métodos gráficos y métodos analíticos (a través de fórmulas)
2.5.1. Métodos gráficos
Método 1: Regla del paralelogramo
r
r
El procedimiento es el siguiente. Supongamos tener dos vectores A y B de distinto
origen y queremos hallar la suma de ambos.
A
r
r
A
A
α
O
r r r
S = A+B
r
B
r
B
Figura 2-5
C
B
Primeramente se llevan a un origen común O. Luego se trazan paralelas a ambos
vectores por sus extremos, AC y BC , formándose por lo tanto el paralelogramo OACB .
r
r r r
Uniendo el origen O con el punto C se obtiene el vector suma S , es decir S = A + B .
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Página 5
Debemos observar una característica muy importante de la suma de vectores: si el
r
r
ángulo α comprendido entre los vectores A y B es distinto a α ≠ 0 o y α ≠ 180 o , entonces
r
r
r
la suma del módulo A + módulo B ≠ módulo S .
Ejemplo 2-2: Supongamos que los vectores de la figura 2-4 tienen los siguientes valores,
r
r
r
módulo A = 2,5 cm, módulo B = 5,5 cm y esto da como resultado módulo S = 7 cm, sin
embargo
r
r
r
módulo A + módulo B ≠ módulo S
2,5 cm
+
5,5 cm
≠
7 cm
el módulo de la suma de los vectores dependerá del ángulo α comprendido entre los
vectores.
Los vectores dados pueden tener el mismo origen, en este caso el método suprime el paso de
llevar los vectores a un origen común.
r
r
Ejemplo 2-3: Supongamos tener las fuerzas F 1 = 8 Kg y F 2 = 5 Kg (recordar que la
fuerza es una magnitud vectorial) y sea el ángulo entre los dos vectores α = 35 o .
r
r
r
Determinar aplicando la regla del paralelogramo la resultante o suma FR = F1 + F2
Datos:
r
F 1 = 8 Kg
r
F 2 = 5 Kg
α = 35o
Incógnitas:
r
FR = ?
P
r
F2 = 5 Kg
β =?
r
r
r
FR = F1 + F2
β
O
r
F1 = 8 Kg
Figura 2-6
Se construyen en escala a partir de un punto O (arbitrario) las fuerzas. Colocamos
r
r
primeramente F 1 = 8 Kg (horizontalmente para simplificar el análisis) y a partir de F 1
r
mido el ángulo α = 35o , luego con origen en O trazo la fuerza F 2 = 5 Kg . Aplicamos la regla
del paralelogramo y luego trazamos la diagonal OP que representa el vector resultante o
r
r
suma F R . Medimos la longitud de F R , lo cual nos da (en la misma escala con que se
dibujaron las fuerzas)
r
OP = FR = 12,5 cm = 12,5Kg
Luego, con un semicírculo podemos determinar el ángulo β = 13o
Finalmente, la repuesta es
r
FR = 12,5 Kg y β = 13o
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La repuesta para que sea correcta debe contener además del módulo de la suma FR , el
ángulo β que forma el vector suma FR con uno de los vectores dados, para así saber cual es
la dirección del vector FR .
Método 2: Método de la poligonal
Este método se aplica por lo general cuando tenemos suma de más de dos vectores,
pero también puede aplicarse en el caso de suma de 2 vectores.
r
r
El procedimiento es el siguiente. Supongamos tener dos vectores A y B de distinto
origen y queremos hallar la suma de ambos.
r
A
O
r
A
r
B
r
B
r r r
S = A+B
Figura 2-7
r
Primeramente se traslada el vector A (conservando la magnitud, dirección y sentido)
r
a partir de un punto O, que se toma como origen, luego a continuación del vector A se
r
traslada el vector B (manteniendo su magnitud, dirección y sentido). Se une el origen del
r
r
vector A , es decir el punto O, con el extremo del vector B , obteniéndose de esta manera el
r
r r r
vector suma S , es decir S = A + B .
Para un caso más general el procedimiento es el siguiente. Supongamos tener cuatro
r r r
r
vectores A , B , C y D de distinto origen y queremos hallar el vector suma.
r
B
r
A
r
C
r
A
r
B
O
r
C
r r r r r
S = A+B+C +D
r
D
Figura 2-8
r
A partir de un origen arbitrario O se traslada el vector A , luego a continuación del
r
r
r
vector A se traslada el vector B , y a continuación del vector B , utilizando siempre el
r
mismo procedimiento, se traslada el vector C y así sucesivamente hasta llevar el último
vector. Se une el origen del primer vector con el extremo del último vector obteniéndose así
r
r r r r r
el vector suma S , es decir S = A + B + C + D .
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r
r
r
Ejemplo 2-4: Supongamos tener los siguientes vectores a = 7 cm , b = 5 cm , c = 8 cm y
r
d = 4 cm y los correspondientes ángulos entre vectores α ab = 40 o , α bc = 100 o y α cd = 70 o .
Determinar aplicando el método de la poligonal el vector resultante o suma.
Incógnitas:
Datos:
r
r
α ab = 40 o
a = 7 cm
S =?
r
α bc = 100 o
b = 5cm
β=?
o
r
α
=
70
cd
r
c = 8 cm
d′
r
d = 4 cm
r
c′
r
S
r
c
r
b
β
r
d
r
b′
r
a
O
Figura 2-9
r
Aplicando el procedimiento explicado en el punto 2.4.2, obtenemos el vector suma S ,
siendo
r
S = 6,5 cm y β = 79 o
2.5.2. Método analítico
Método 1: Teorema del coseno y seno
Para obtener el módulo de la suma de dos vectores se aplica la fórmula
correspondiente al Teorema del coseno
c = a 2 + b 2 + 2 a b cos α
(2-1)
en donde:
r
r
α : es el ángulo comprendido entre en vector a y el vector b
r
a: es la magnitud del vector a
r
b: es la magnitud del vector b
r
c: es la magnitud del vector resultante c
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r
b
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r
c
α
β
r
a
Figura 2-10
r
c
α
r
b
β
r
a
Figura 2-11
Se observa en la figura 2-10 y 2-11, que si el ángulo α ⟩ 90 o el módulo del vector suma
r
c disminuye, esto también se puede analizar a través de la ecuación 2-1, en la cual
interviene el cos α que para ángulos α ⟩ 90 o es negativo, por lo que la suma dentro de la
raíz cuadrada es cada vez más pequeña.
r
r
Para obtener el ángulo β que forma el vector suma c con el vector a se aplica la
fórmula del Teorema del seno, la cual enuncia: en un triángulo oblicuángulo existe la
siguiente relación entre los lados y los ángulos opuestos
a
b
c
=
=
sen α sen β sen δ
c
(2-2)
a
β
α
δ
b
Figura 2-12
r
r
Ejemplo 2-5: Dada una fuerza F 1 = 18 Kg y una fuerza F 2 = 24 Kg y siendo el ángulo
entre ambas fuerzas α = 130o . Determinar gráfica y analíticamente la resultante o suma de
r
r
r
las fuerzas dadas: FR = F1 + F2 .
Datos:
r
F 1 = 18 Kg
r
F 2 = 24 Kg
α = 130 o
Incógnitas:
r
FR = ?
β =?
Resolución gráfica:
Adoptaremos la siguiente escala para la representación de las fuerzas: 1 cm : 3 Kg
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F1 = 18 Kg
1 cm
= 6 cm
3 Kg
F2 = 24 Kg
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1 cm
= 8 cm
3 Kg
Q
S
γ
α
r
S
r
F2
α
β
O
γ
r
F1
P
Figura 2-13
La resolución gráfica la realizamos aplicando la regla del paralelogramo, obteniendo el
r
vector suma S = 6 cm , convirtiendo esta magnitud según la escala adoptada se tiene
S = 6 cm
3 Kg
= 18 Kg
1 cm
Por lo tanto el resultado del vector suma correctamente expresado es
r
S = 18 Kg y β = 82 o
Resolución analítica:
Para obtener la magnitud del vector suma, aplicamos el teorema del coseno, entonces
S = F12 + F2 2 + 2 F1 F2 cos α = 182 + 242 + 2 18 24 cos 130o = 18,56 Kg
Para determinar el valor del ángulo β , primeramente determinaremos el valor del ángulo
γ , para ello consideraremos el paralelogramo OSQP . La suma de los ángulos interiores de
un paralelogramo es igual a 360 º, es decir
2 α + 2 γ = 360 o
γ =
360 o − 2 α 360o − 2 130
=
= 50 o
2
2
Aplicando ahora el teorema del seno, al triángulo OPQ, se tiene
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Página 10
S
F2
=
sen γ sen β
sen β =
F2
24 Kg
sen γ =
sen 50 o = 0,99
S
18,56 Kg
luego
β = ar cos en 0 ,99 = 82 ,12 o
Por lo tanto el resultado del vector suma correctamente expresado es
r
S = 18,56 Kg y β = 82,12o
Se observa que los resultados obtenidos por resolución gráfica difieren muy poco de los
resultados hallados por el empleo de métodos analíticos. Con la resolución analítica se
obtienen resultados más exactos que los resultados obtenidos por la utilización del método
gráfico.
Método 2: Componentes de un vector
Otro método analítico empleado para la resolución de problemas vectoriales es el
método de componentes de un vector. Mediante este método se pueden realizar las
operaciones de suma y resta de vectores.
r
Consideremos la figura 2-14. Dada una fuerza F en el plano podemos descomponer
r
dicha fuerza según dos componentes, F x y F y . Suponemos que la fuerza F forma un
ángulo α con el eje + x .
r
La proyección de la fuerza F sobre el eje x, es F x y vale
Fx = F cos α
(2-3)
r
y la proyección de la fuerza F sobre el eje y, es F y y vale
F y = F sen α
(2-4)
y
Fy
O
r
F
α
x
Fx
Figura 2-14
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r
Ejemplo 2-6: Dada una fuerza F = 12 Kg que forma un ángulo α con el eje x, determinar
sus componentes cuando: a) α = 70 o , b) α = 150 o , c) α = 225o y d) α = 308o .
Datos:
r
F = 12 Kg
α = 70 o , α = 150o , α = 225o , α = 308o .
Incógnitas:
Fx = ?
Fy = ?
Para determinar las componentes aplicamos las ecuaciones 2-3 y 2-4, entonces
a)
Fx = F cos α = 12 Kg cos 70 o = 4 ,10 Kg
F y = F sen α = 12 Kg sen 70 o = 11,28 Kg
b)
Fx = F cos α = 12 Kg cos 150o = − 10 ,39 Kg
F y = F sen α = 12 Kg sen 150 o = 6 ,0 Kg
c)
Fx = F cos α = 12 Kg cos 225 o = − 8,48 Kg
F y = F sen α = 12 Kg sen 225o = − 8,48 Kg
a)
Fx = F cos α = 12 Kg cos 308o = 7 ,38 Kg
F y = F sen α = 12 Kg sen 308o = − 9 ,45 Kg
Evidentemente, se cumple que
r r
r
F = Fx + F y
(2-5)
r
r
r
esto significa que puede reemplazarse una fuerza F por sus componentes F x y F y .
En general un vector puede expresarse según sus componentes como
r
F = Fx î + F y ˆj
(2-6)
r
donde Fx es la componente de la fuerza F en la dirección del eje x ( î ), y F y es la
r
componente de la fuerza F en la dirección del eje y ( ˆj ),
Ejemplo 2-7: Expresar el vector del ejemplo 2-6 parte a) según sus componentes de acuerdo
a la ecuación 2-6.
Del ejemplo 2-6 a) obtenemos el valor de las componentes que son
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Fx = 4 ,10 Kg y F y = 11,28 Kg
por lo tanto, de acuerdo a la expresión 2-6, se tiene
r
F = Fx î + Fy ˆj = ( 4 ,10 î + 11,28 ˆj ) Kg
y
r
F
F y ˆj
α
x
Fx î
Figura 2-15
r
Vimos que un vector F puede reemplazarse por sus componentes F x y F y en general
puede expresarse a través de la ecuación 2-6.
De manera inversa, si tenemos las dos componentes, es decir F x y F y de un vector,
r
r
podremos obtener el vector F , es decir su módulo F y su dirección y sentido que forma
respecto del eje x.
r
Como puede observarse en la figura 2-16, la fuerza F es la hipotenusa del triángulo
rectángulo ABC donde AB = F x y BC = F y entonces aplicando el Teorema de Pitágoras
podemos obtener
r
F = F x2 + F y2
(2-7)
y
C
r
F
Fy
r
Fy
α
r
Fx
A
B
ˆj
O
Fx
î
x
Figura 2-16
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Página 13
además
tg α =
BC F y
=
AB Fx
α = arctg
Fy
(2-8)
Fx
r
Ejemplo 2-8: Sea la fuerza F = − 7 î + 3 ˆj . Determinar el módulo del vector y el ángulo que
forma con el eje x. Representar gráficamente.
Datos:
r
F = − 7 î + 3 ˆj
Fx = − 7 F y = 3
El módulo lo determinamos a través de la ecuación 2-7
r
F = Fx2 + Fy2 = ( −7 )2 + 3 2 = 7 ,6
Incógnitas:
r
F =?
y el ángulo mediante la ecuación 2-8
α =?
α = arctg
Fy
Fx
3
= − 23,20 o
−7
= arctg
En realidad por tratarse de un vector, y este se encuentra en el
segundo cuadrante (Figura 2-17), el ángulo se deberá indicar
con respecto al eje x positivo, por lo tanto el ángulo α valdrá
α = 180 o − 23,20 o = 156,8 o
y
3
r
F
Fy
α
23,20 o
−7
Fx
O
x
Figura 2-17
2.5.3. Suma de vectores por componentes
Un vector puede reemplazarse
r por sus componentes a través de la ecuación 2-6.
r
Supongamos tener dos vectores a y b , en donde
r
a = a x î + a y ˆj
r
b = bx î + b y ˆj
Como las componentes î de cada vector tienen la misma dirección, eje x; y las
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Página 14
componentes ˆj también tienen la misma dirección, eje y, sus módulos pueden sumarse,
entonces
r r
a + b = ( a x + bx ) î + ( a y + b y ) ˆj
en donde
( a x + b x ) = S x = componente de la suma en la dirección del eje x
( a y + b y ) = S y = componente de la suma en la dirección del eje y
por lo tanto podemos escribir que
r r
S = a + b = S x î + S y ˆj = ( a x + bx ) î + ( a y + b y ) ˆj
(2-9)
r r r r
r
la ecuación 2-9 es válida para cualquier número de sumandos, a , b , c , d , ..., n , es decir
r r r
r
S = a + b + c + L + n = ( a x + bx + c x + L + n x ) î + ( a y + b y + c y + L + n y ) ˆj
14444244443 14444244443
Sx
(2-10)
Sy
r r
r r
Ejemplo 2-9: Sean los siguientes vectores a : a = 7 φ = 30 o , b : b = 5 β = 110 o ,
r r
r
r r
c : c = 8 γ = 220o y d : d = 6 δ = 300o . Determinar el módulo del vector suma S y el
ángulo que forma con el eje x.
Datos:
r r
a: a =7
r r
b : b =5
r r
c : c =8
r r
d : d =6
Primeramente determinaremos las componentes de cada vector
empleando las ecuaciones 2-3 y 2-4, por lo tanto
φ = 30 o
β = 110 o
a x = 7 cos 30 o = 6 ,06
a y = 7 sen 30 o = 3,5
γ = 220o
bx = 5 cos 110 o = − 1,71
b y = 5 sen 110 o = 4 ,7
δ = 300o
c x = 8 cos 220 o = − 6 ,13
c y = 8 sen 220 o = − 5,14
Incógnitas:
r
S =?
d x = 6 cos 300 o = 3,0
d y = 6 sen 300 o = − 5,19
α =?
S x = a x + bx + c x + d x
S y = a y + by + c y + d y
S x = 6 ,06 − 1,71 − 6 ,13 + 3
S y = 3,5 + 4 ,7 − 5,14 − 5,18
S x = 1,22
S y = − 2,13
y
α
r
Sx
-60,2
o
r
S
r
Sy
r
S = 1,22 î − 2 ,13 ĵ
x
Para determinar el módulo aplicamos la ecuación 2-7
S = S x2 + S y2 = 1,222 + ( −2,13 )2 = 2,45
y el ángulo mediante la ecuación 2-8
α = arctg
Figura 2-18
Sy
Sx
= arctg
− 2 ,13
= − 60 ,2 o
1,22
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El signo de las componentes nos indica que el vector se halla en
el cuarto cuadrante, por lo que la respuesta correcta del ángulo
es referida al eje x positivo, entonces
α = 360o − 60,2 o = 299,8 o
2.6. Resta de vectores
Al igual que cuando vimos suma de vectores, para restar vectores se utilizan los
mismos métodos gráficos y analíticos.
2.6.1. Métodos gráficos
Método 1: Regla del paralelogramo
Se realiza empleando el mismo procedimiento utilizado que en la suma de vectores,
punto 2-5-1, con la diferencia que al colocar el segundo vector (el que está restando), se lo
dibuja conservando la dirección pero en sentido contrario, este procedimiento se observa en
r r
la figura 2-19, para realizar la resta vectorial A − B .
r
B
r
O
B
r
−B
r
A
r
A
r r r
R = A− B
Figura 2-19
r
r
Otra forma de realizar la resta entre los vectores A y B es llevar
r ambos a un mismo
origen y unir el extremo del segundo vector en este caso el vector B con el extremo del
r
vector A .
r
B
r r r
R = A− B
r
A
Figura 2-20
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2.6.2. Métodos analíticos
Método 1: Teorema del coseno y seno
Para la resolución analítica se utilizan las expresiones similares a las ecuaciones 2-1
y 2-2, únicamente que en la ecuación 2-1 cambia el signo
r
R = a 2 + b 2 − 2 a b cos α
(2-11)
en donde:
r
r
α : es el ángulo comprendido entre el vector a y el vector b
r
a: es la magnitud del vector a
r
b: es la magnitud del vector b
r
b = 5 y sea el ángulo entre ellos α = 140 o ,
r r r
determinar gráfica y analíticamente la resta r = a − b .
Datos:
r
a =8
a) Solución gráfica
r
Empleamos en método del paralelogramo
b =5
r r r
α = 140 o
r =a−b
r
Ejemplo 2-10: Dado los vectores a = 8
Incógnitas:
r
r =?
r
b
y
α
β
β =?
β
r
a
Figura 2-21
Utilizando una regla y un semicírculo podemos determinar la
r
magnitud del vector r y el ángulo β , resultando aproximadamente
r
r = 12,2 y β = − 15 o
b) Solución analítica
Aplicamos el teorema del coseno para determinar el módulo del
vector resta
r
r = a 2 + b 2 − 2 a b cos α = 8 2 + 5 2 − 2 8 5 cos 140 o = 12 ,25
el ángulo α lo determinamos aplicando el teorema del seno
sen β sen α
r = r
r
b
r
b
5

β = arcsen r sen α = arcsen  sen 140o  = 15,2 o
r
8

pero de acuerdo a la figura 2-21, se observa que la verdadera
orientación del vector es
β = − 15,2 o
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Método 2: Método por componentes
Otra forma de resolver analíticamente la resta de vectores, es empleando el método
analítico de las componentes
r
r
Supongamos tener dos vectores a y b , en donde
r
a = a x î + a y ˆj
y
r
b = bx î + b y ˆj
en donde
a x = a cos α
a y = a senα
bx = b cos β
b y = b sen β
Podemos escribir la resta entre dos vectores de manera similar a como procedimos en
la suma, como
r r r
r = a − b = ( a x − bx ) î + ( a y − b y ) ˆj
14243 14243
rx
(2-12)
ry
en donde
rx = a x − b x
ry = a y − b y
y en ángulo α queda definido por
α = arctg
ry
rx
Ejemplo 2-11: Resolver el ejemplo 2-10 por el método de las componentes
Datos:
r
a =8
r
b =5
α = 140
De acuerdo a los datos y a la figura 2-21, podemos escribir las
componentes para cada vector como
a x = 8 cos 0 o = 8
Incógnitas:
r
r =?
β =?
y
a y = 8 sen 0 o = 0
o
bx = 5 cos 140o = − 3,83
y
b y = 5 sen 140 o = 3,21
entonces podemos escribir los vectores como
r
a = 8 î + 0 ˆj
r
b = − 3,83 î + 3,23 ˆj
realizando la resta entre ambos vectores
r r r
r = a − b = [8 − ( −3,83 )] î + ( 0 − 3,21 ) ˆj = 11,83 î − 3,23 ˆj
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Capítulo 2
Estática
Página 18
cuyo módulo es
r
r = rx2 + ry2 = 11,832 + ( −3,23 )2 = 12,26
y el ángulo
β = arctg
ry
rx
= arctg
− 3,23
= − 15,27 o
11,83
el cual de acuerdo al signo de las componentes, se observa que el
vector se halla en el cuarto cuadrante, por lo tanto la expresión
correcta para el ángulo es
β = 344,7 o o β = − 15,27 o
2.7. Producto de un vector por un escalar
r
r
El producto de un vector a por un escalar n , da como resultado otro vector b que
r
tiene la misma dirección y sentido que el vector a , y cuyo módulo es n veces el módulo del
r
vector a , es decir
r
r
b = n⋅a
(2-12)
o en función de sus componentes
r
r
b = n ⋅ a = n a x î + n a y ˆj
(2-13)
r
Ejemplo 2-12: Supóngase que tenemos un vector a como el mostrado en la figura 2-22.
Determinar el productor escalar cuando n = 3 .
Datos:
r
vector a
n=3
Incógnita:
r r
b = a ⋅n =?
r
r
b = 3⋅ a
r
a
Figura 2-22
2.8. Concepto de fuerza
En general todos tenemos un concepto intuitivo de la fuerza, presente cuando la
contracción de nuestros músculos aplican una fuerza, esto se produce muy a menudo
durante el día. Permanentemente, hacemos esfuerzos, con nuestros músculos, para aplicar
fuerzas o mover objetos que nos rodean.
Física/Curso de Nivelación/2001
Capítulo 2
Estática
Página 19
En la naturaleza hay diferentes tipos de fuerzas, como por ejemplo: fuerzas
gravitatorias, eléctricas, químicas, atómicas, etc..
En general podemos decir que: fuerza es la causa del movimiento, o también la
podemos enunciar como: fuerza es una interacción entre dos cuerpos.
r
F
r
F
r
F
Figura 2-23
r
En la figura 2-23 se observan algunos ejemplos de fuerzas F aplicados a cuerpos.
Otros ejemplos de fuerza son:
r
Fuerza peso ( P ) : todo cuerpo en la Tierra, está sometido a una fuerza llamada peso. La
característica de esta fuerza peso es que es una fuerza que ejerce la tierra sobre todo
cuerpo, y está dirigida perpendicularmente a un plano horizontal, tal como se observa en la
figura 2-24.
Plano
inclinado
Plano
horizontal
α
α
r
P
Plano
horizontal
r
P
Figura 2-24
r
Fuerza normal ( N ) : Es una fuerza ejercida por el suelo o superficie sobre un cuerpo
apoyado y es perpendicular a la dirección de la superficie de apoyo.
r
r
Todo cuerpo apoyado está sometido a la acción de dos fuerzas: el peso P y la normal N .
r
N
Plano
inclinado
r
N
Plano
horizontal
α
α
r
P
Plano
horizontal
r
P
Figura 2-25
r
Tensión ( T ) : Todo cuerpo suspendido por una soga o cuerda está sometido a una fuerza que
r
llamaremos tensión T . De esta forma un cuerpo suspendido de una soga está sometido a la
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Capítulo 2
Estática
Página 20
r
r
acción de dos fuerzas: el peso P y la tensión T .
r
T
r
P
2.9. Sistema de fuerzas coplanares
Un sistema de fuerzas es un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Si
dicho sistema pertenece a un plano, se denomina coplanar. Por lo general, por razones de
simplicidad, en este capitulo trabajaremos solamente con sistemas de fuerzas coplanares.
Si esas fuerzas actúan sobre un cuerpo de pequeñas dimensiones, diremos que
actúan sobre un punto. Las fuerzas que actúan sobre un punto se llaman
concurrentes.
r
F1
ν νο
π
r
F2
α1
α2
r
F3
Figura 2-27
En la figura 2-27 podemos considerar una carreta tirada por tres caballos que
r
r
r
aplican tres fuerzas F1 , F2 y F3 sobre el carro. Podemos simplificar esta situación
r
r
r
considerando el carro como un punto y sobre él aplicado las tres fuerzas F1 , F2 y F3
coplanares.
Recordemos que por ser las fuerzas, magnitudes vectoriales, tienen las
propiedades de los vectores a los efectos de la suma y la resta.
En general podemos representar un sistema de fuerzas coplanares, tal como se
muestra en la figura 2-28. En la misma se ha representado un cuerpo puntual en el cual
r r r
r
actúan cuatro fuerzas coplanares F1 , F2 , F3 y F4 .
r
F1
r
F2
r
F4
r
F3
Figura 2-28
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Capítulo 2
Estática
Página 21
2.10. Condición de equilibrio de un sistema de fuerzas que actúan sobre un punto
Tal como se muestran en las figuras 2-27 y 2-28 si tenemos varias fuerzas
aplicadas a un cuerpo, por ser estas magnitudes vectoriales podemos encontrar la suma de
estos vectores o fuerzas, por cualquiera de los métodos ya vistos. En la figura 2-29
encontramos la suma de las fuerzas coplanares y a esa suma la llamamos resultante de las
fuerzas dadas, es decir
r r
r
r
r
R = F1 + F2 + F3 + F4
(2-14)
r
F1
r
F2
O
r
F4
r
R
r
F3
Figura 2-29
r
Conceptualmente, podemos decir que la resultante R de un sistema de fuerzas, es
una fuerza que reemplaza o hace el mismo papel a los efectos de producir movimiento que
r
r r
r
las fuerzas dadas F1 , F2 , F3 y F4 .
r
En lugar de colocar todas las fuerzas podemos colocar solamente la resultante R ,
evidentemente la resultante sacará del reposo el punto u objeto donde están aplicadas las
fuerzas.
r
Si ahora, sobre el cuerpo o punto O aplicamos una fuerza equilibrante E igual en
r
módulo y de sentido contrario a la resultante R el objeto estará en equilibrio, tal como se
observa en la figura 2-30
r
F1
r
E
r
F2
r
F4
O
r
R
r
F3
Figura 2-30
r r
r
r
r
En realidad por la ecuación 2-14 ( R = F1 + F2 + F3 + F4 ) el sistema puede reducirse a
r
r
dos fuerzas E y R , es decir resultante y equilibrante, y se debe cumplir que
r r
E+R=0
(2-15)
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Capítulo 2
Estática
Página 22
r
E
O
r
R
Figura 2-31
en este caso el cuerpo está en equilibrio, es decir que no se mueve o se mueve con
movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).
La ecuación 2-15 puede escribirse entonces como
r r
r
r
r
E + F1 + F2 + F3 + F4 = 0
r
En general la equilibrante E es una fuerza como cualquiera del sistema de fuerzas
r
en equilibrio que bien podría llamarse F5 , por lo tanto podemos escribir la expresión
anterior como
r
r
r
r
r
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 0
(2-16)
Luego analizando la ecuación 2-16 diremos que un sistema de fuerzas se encuentra en
equilibrio, si la suma vectorial es igual a cero, por lo tanto la ecuación 2-16 puede resumirse
a
n r
(2-17)
∑ Fi = 0
i =1
La ecuación 2-17 se denomina condición de equilibrio de una partícula o primera
condición de equilibrio de un cuerpo.
Por ser la ecuación 2-17 una ecuación vectorial se puede expresar a la misma según
sus componentes, para el caso más sencillo de dos direcciones (en la dirección del eje x y en
la dirección del eje y) se tiene
n
( Fix î + Fiy ˆj ) = 0
∑
i =1
debiéndose cumplir para cada término del sumando que
n
Fix î = 0
∑
i =1
n
Fiy ˆj = 0
∑
i =1
por lo tanto
n
∑F
= F1 x + F2 x + F3 x + L + Fnx = 0
(2-18)
Fiy = F1 y + F2 y + F3 y + L + Fny = 0
∑
i =1
(2-19)
i =1
n
ix
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Capítulo 2
Estática
Página 23
recordando que
Fix = Fi cos α
Fiy = Fi senα
Ejemplo 2.13: Si un cuerpo de 15 Kg de peso está apoyado sobre una superficie horizontal,
¿ cuánto vale la normal ?
Datos:
P = 15 Kg
Para que haya equilibrio en el sistema debe cumplirse la
ecuación 2-17
Incógnita:
N =?
n
r
Fi = 0
∑
i =1
r
N
Como las fuerzas en la figura 2-32 no tienen componente sobre el
eje x, debe cumplirse por lo tanto la condición establecida por la
ecuación 2-19
n
∑F
r
P
i =1
Figura 2-32
iy
=0
r r
N +P=0
r
r
N = − P = − 15 Kg
r
el signo menos indica que la normal N es de sentido contrario al
r
del peso P .
Ejemplo 2.14: Un cuerpo de 12 Kg está suspendido de una soga. Determinar la tensión de
en la soga o cuerda.
Datos:
P = 12 Kg
Considerando el cuerpo colgado de la soga, rsobre este cuerpo se
consideran aplicadas dos fuerzas: el peso P y la tensión en la
r
cuerda T .
Como no hay componentes de las fuerzas en la dirección del eje
x, debe cumplirse por lo tanto la ecuación 2-19
Incógnita:
T =?
n
Fiy = 0
∑
i =1
r
T
r r
T + P =0
r
r
T = − P = − 12 Kg
r
P
Figura 2-33
r
el signo menos
indica que la tensión T es de sentido contrario al
r
del peso P .
Ejemplo 2.15: Un automóvil de 900 Kg de peso comienza a bajar por una pendiente
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Capítulo 2
Estática
Página 24
uniforme que tienen 8 metros de alto y 110 metros de largo. Determinar:
r
a) ¿ Qué fuerza F paralela al plano inclinado se requiere para evitar que el automóvil
comience a bajar ?
r
b) ¿ Cuanto vale la fuerza normal N ?
Datos:
P = 900 Kg
y
l
h=8m
l = 110 m
r
N
x
r
Px
Incógnitas:
a) F = ?
r
F
b) N = ?
α
r
Py
h
r
P
α
Figura 2-34
Primeramente construimos un croquis de acuerdo al enunciado
del ejemplo, tal como el mostrado en la figura 2-34. Sobre el
automóvil podemos considerar aplicada la fuerza peso
P = 900 Kg . Esta fuerza peso puede descomponerse en dos
direcciones: una paralela al plano inclinado Px y otra
perpendicular al plano inclinado Py . Para que haya equilibrio
r
debemos aplicar una fuerza F paralela al plano inclinado en la
dirección x, de tal manera que se cumpla la primera condición de
equilibrio establecida por la ecuación 2-18, la cual enuncia que
∑F
x
=0
F − Px = 0
procediendo de manera similar sobre el eje y, tenemos
∑ Fy = 0
N − Py = 0
r
Como el peso P forma un ángulo α , se tiene que
Px = P senα
Py = P cos α
Seguidamente, calcularemos el ángulo α a través de relaciones
trigonométricas
α = arcsen
8m
h
= arcsen
= 4 ,17 o
l
110 m
reemplazando
Px = P sen α = 900 Kg sen 4 ,17 o = 65,45 Kg
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Capítulo 2
Estática
Página 25
Py = P cos α = 900 Kg cos 4 ,17 o = 897 ,62 Kg
a) De la ecuación F − Px = 0 se tiene que
F = Px = 65,45 Kg
y α F = 0 o (respecto al plano inclinado)
b) De la ecuación N − Py = 0 tenemos que
N = Py = 897 ,62 Kg
y
αN =
90 o (respecto al plano inclinado)
r
Ejemplo 2.16: Un hombre ejerce una fuerza F de 7 Kg a lo largo de un mango de una
º
cortadora de césped, figura 2-35, formando un ángulo
r de 40 con la horizontal. ¿ Cuáles son
las componentes horizontal y vertical de la fuerza F ?
Datos:
F = 7 Kg
α=
40 o
y
r
N
Incógnitas:
Fx = ?
α
Fy = ?
r
Fr
r
Fy
r
Fx
x
r
F
Figura 2-35
r
r
Llamamos a la componente horizontal de la fuerza F , a F x y a
r
la componente vertical F y , de tal modo que sus módulos valen
F x = F cos 40 o = 7 Kg cos 40 o = 5,36 Kg
F y = F sen 40 o = 7 Kg sen 40 o = 4 ,50 Kg
r
Para que haya equilibrio a la fuerza F y , o componente vertical,
r
se le opone una fuerza normal N , de tal manera que se cumple
N − Fy = 0
N = F y = 4 ,5 Kg
r
La fuerza que se opone la componente horizontal F x , que es la
que hace avanzar a la cortadora con movimiento uniforme, es la
r
fuerza de rozamiento Fr , de tal forma que se cumple que
F x − Fr = 0
Fr = Fx = 5,36 Kg
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Capítulo 2
Estática
Página 26
Ejemplo 2.17: Un cartel que pesa 35 Kg está sostenido por un alambre fijo al extremo de
una barra de madera de peso despreciable, según se observa en la figura 2-36. Determinar
r
r
la tensión T en el alambre y la fuerza C ejercida por la barra.
r
T
Datos:
P = 35 Kg
y
r
C
55 o
Incógnitas:
r
T=?
r
C=?
x
r
P
r
T
55 o
O
r
C
r
P
Figura 2-36
Podemos considerar como si todas las fuerzas están aplicadas en
un punto O y hacer un diagrama de las fuerzas aplicadas en ese
punto O . Aplicamos las dos condiciones de equilibrio a ese punto
(ecuaciones 2-18 y 2-19), es decir
o
∑ Fx : C − T cos 55 = 0
o
∑ Fy : T sen 55
−
P=0
r
de la segunda expresión podemos determinar la tensión T
T=
35 Kg
P
=
= 42,7 Kg
sen 55 o sen 55 o
r
y reemplazando el valor de la tensión T en la primer ecuación
r
obtenemos la fuerza C
C = T cos 55o = 42,7 Kg cos 55o = 24 ,5 Kg
2.11. Momento de una fuerza respecto de un punto
En todos los ejemplos vistos anteriormente, se han considerado cuerpos sobre los
cuales obran fuerzas concurrentes, o fuerzas que actúan sobre un punto. Si la suma de esas
fuerzas es cero ( ∑ F = 0 ) , entonces podemos decir que el cuerpo está en reposo o en
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Capítulo 2
Estática
Página 27
movimiento rectilíneo uniforme. En cambio, si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo no son
concurrentes, el cuerpo puede rotar.
Ejemplo 2.18: Consideremos la figura 2-37. Si se aplican dos fuerzas de 10 Kg en el centro
de una regla rígida ligera BOA, la regla queda en equilibrio, ya que se cumple la primera
condición de equilibrio dada por la ecuación ∑ F = 0 .
r
F = 10 Kg
r
F = 10 Kg
B
A
B
O
A
O
r
F = 10 Kg
r
F = 10 Kg
Figura 2-37
Si en cambio, ahora una de las fuerzas se aplica en el punto O y la otra en el punto A, la
regla comenzará a girar, en sentido contrario a las aguas del reloj. La regla no está en
equilibrio y sin embargo se cumple que ∑ F = 0 .
Las fuerzas no concurrentes producen una rotación o momento que hacen girar el
cuerpo. En este caso el cuerpo no está en equilibrio, ya que está girando, y sin embargo
cumple la primera condición de equilibrio, dada por la ecuación 2-17.
En la figura 2-37 suponiendo que la regla puede girar respecto al punto fijo O,
llamaremos brazo de palanca a la distancia AO, y definiremos momento de la fuerza al
r
producto de la fuerza F por el brazo de palanca OA, es decir
(2-20)
M = F OA
M = Fuerza ⋅ brazo de palanca
Ejemplo 2.19: Consideremos la figura 2-38. En este caso se está aplicando una fuerza de 3
Kg al pedal de una bicicleta, en el instante considerado el
brazo de palanca vale AO = 10 cm , por lo tanto el momento
r
de la fuerza F respecto del punto O es
O
Ar
M = F AO = 3 Kg 0 ,10 m = 0 ,3 Kgm
F = 3 Kg
10 cm
Figura 2-37
2.11.1. Signo del momento
Se le asigna el signo positivo (+) cuando el momento de la fuerza hace que el cuerpo
gire en sentido contrario a las agujas del reloj, y signo negativo (-), cuando el momento de la
fuerza hace girar al cuerpo en sentido horario. Por lo tanto
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Capítulo 2
Estática
Página 28
r
F
M ( positivo )
M ( negativo )
O
r
F
O
Figura 2-38
Ejemplo 2.20: En la figura 2-39 determinar el momento de las fuerzas respecto del punto
a) O y b) A.
x2 = 0 ,8 m
x1 = 0 ,5 m
r
F1 = 2 Kg
A
r
F3 = 5 Kg
r
F2 = 8 Kg
O
x3 = 0 ,7 m
r
F4 = 4 Kg
Figura 2-39
a) Momento respecto del punto A (aplicamos la ecuación 2-20 y
la convención de signo según el sentido de giro, punto 2.11.1 )
M F 1 = F1 0 = 2 Kg 0 = 0
M F 2 = − F2 x1 = − 8 Kg 0,5 m = − 4 Kgm
M F 3 = − F3 ( x1 + x2 ) = − 5 Kg ( 0 ,5 + 0 ,8 ) m = − 6 ,5 Kgm
M F 4 = − F4 ( x1 + x2 + x3 ) = − 4 Kg ( 0,5 + 0,8 + 0,7 ) m = − 8 Kgm
M A = M F 1 + M F 2 + M F 3 + M F 4 = ( − 4 − 6 ,5 − 8 ) Kgm = − 18,5 Kgm
b) Momento respecto del punto O
M F 1 = + F1 x1 = + 2 Kg 0 ,5 m = 1 Kg
M F 2 = − F2 0 = − 8 Kg 0 = 0
M F 3 = − F3 x1 = − 5 Kg 0,8 m = − 4 Kgm
M F 4 = − F4 ( x 2 + x 3 ) = − 4 Kg ( 0 ,8 + 0 ,7 ) m = − 6 Kgm
M O = M F 1 + M F 2 + M F 3 + M F 4 = ( + 1 − 4 − 6 ) Kgm = − 9 Kgm
2.12. Teorema de los momentos
Si tenemos una balanza, como la mostrada en la figura 2-40, conseguiremos el
equilibrio tomando el momento de las fuerzas actuantes respecto del punto O, es decir
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Capítulo 2
Estática
Página 29
M PP = + PP OB
Momento de las pesas
Momento del peso M P = − P OA
M PP + Momento del peso M P = + PP OB − P OA = 0
Momento de las pesas
La balanza no girará cuando la suma de los momentos positivos y negativos que
obran sobre un cuerpo respecto a un eje debe ser cero.
O
B
r
PP
o
A
r
P
Figura 2-40
En general, para la segunda condición de equilibrio del cuerpo se debe cumplir que
M1 + M 2 + M 3 + L + M n = 0
n
∑ Mn
=
(2-21)
0
i =1
Ejemplo 2.21: Supongamos una polea que levanta un cuerpo de 40 Kg, figura 2-41. ¿ Qué
fuerza hay que aplicar para levantar dicho peso ?.
Dato:
P = 40 Kg
Incógnita:
r
F =?
Tomando momento de las fuerzas aplicadas respecto del punto O,
y aplicando la ecuación 2-21 se tiene
n
∑ Mn = 0
i =1
40 Kg OB − F OA = 0
Despejando F
40 Kg OB = F OA
Física/Curso de Nivelación/2001
Capítulo 2
Estática
Página 30
pero OB = OA = radio de la polea , por lo tanto
O
F = 40 Kg
A
B
r
F
r
P
Figura 2-41
Ejemplo 2.22: Consideremos la carretilla mostrada en la figura 2-42. ¿ Qué fuerza hay que
aplicar para levantar un peso de 25 Kg ?.
Dato:
P = 25 Kg
Tomando momento de las fuerzas aplicadas respecto del punto O,
y aplicando la ecuación 2-21 tenemos
Incógnita:
r
F =?
∑ Mn = 0
n
i =1
r
F
−
25 Kg OA + F OB = 0
Despejando F , se tiene
B
F=
25 Kg OA
OB
=
25 Kg 0 ,4 m
/
= 7 ,14 Kg
1,4 m/
A
Se observa que para levantar un cuerpo de 25 Kg se necesita una
fuerza menor de 7,14 Kg. Este tipo de dispositivo, entre muchos
otros, en el cual cambia la magnitud de la fuerza aplicada se
denominan máquinas simples.
o
r
P
B
A
O
Figura 2-42
Física/Curso de Nivelación/2001
Capítulo 2
Estática
Página 31
B. Problemas para el Capítulo 2
PROBLEMA 1
Dados los vectores: A = 5 unidades; B = 10 unidades; C = 2 unidades; D = 8 unidades. Sumar
usando la regla del paralelogramo y haciendo uso de una escala adecuada.
y
y
a)
155º
60º
15º
B
b)
B
60º
C
x
x
270º
D
A
y
y
c)
d)
B
B
110º
330º
300º
210º
C
D
x
D
x
C
A
A
y
y
e)
f)
B
B
30º
30º A
D
D
30º
30º
70º
x
C
x
60º
C
A
PROBLEMA 2
Resolver el problema 1 por el método de la poligonal.
PROBLEMA 3
Dos vectores de 3 y 5 unidades están colocados de manera que sus direcciones forman un
ángulo entre si de 60º. Determinar por medios analíticos (teorema del coseno y teorema
del seno) el valor de la resultante y el ángulo que ésta forma con el vector de 3 unidades.
Física/Curso de Nivelación/2001
Capítulo 2
Estática
Página 32
PROBLEMA 4
Dos vectores de 300 y 400 unidades están colocados de manera que sus direcciones forman
un ángulo entre si de 90º. Determinar por medios analíticos (teorema del coseno y
teorema del seno) el valor de la resultante y el ángulo que ésta forma con el vector de 300
unidades.
PROBLEMA 5
Dos vectores de 20 y 20 unidades están colocados de manera que sus direcciones forman un
ángulo entre si de 45º. Determinar gráfica y analíticamente el valor de la resultante y el
ángulo que ésta forma con uno de los vectores.
PROBLEMA 6
Dados los vectores: A = 5 unidades; B = 10 unidades; C = 2 unidades; D = 8 unidades.
Determinar las componente x e y de cada vector.
a)
y
y
b)
B
C
60º
155º
x
x
d)
y
c)
y
A
30º
x
x
D
e)
y
f)
y
B
x
60º
x
C
PROBLEMA 7
En el Problema 1, determinar el vector resultante o suma y el ángulo que forma con el eje
positivo de las x aplicando el método de las componentes.
PROBLEMA 8
Determinar la resultante de los vectores A, B y C siendo: A = 4 î + 3 ĵ ; B = 3 î – 7 ĵ
y C = - 2 î + 8 ˆj . Resolver gráfica y analíticamente.
PROBLEMA 9
Una persona camina 5 cuadras hacia el Norte y luego 8 cuadras hacia el Este. Calcular a que
distancia se encuentra del punto de partida .
Física/Curso de Nivelación/2001
Capítulo 2
Estática
Página 33
PROBLEMA 10
Dados los vectores: A = 5 unidades; B = 10 unidades; C = 2 unidades; D = 8 unidades. Restar
usando la regla del paralelogramo haciendo uso de una escala adecuada.
a) B-D
y
60º
15º
y
b) C-A
B
155º
C
x
x
270º
D
A
c) C-A
y
y
d) D-A
330º
300º
C
x
D
A
A
y
e) D-B
x
y
f) C-B
B
B
30º
30º
D
30º
x
x
C
PROBLEMA 11
Dos vectores de A y B de 3 y 5 unidades respectivamente, están colocados de manera que
sus direcciones forman un ángulo entre si de 60º. Determinar por medios analíticos
(teorema del coseno y teorema del seno) el valor del vector resta A-B y el ángulo que éste
forma con el vector de 3 unidades.
PROBLEMA 12
Dos vectores A y B de 300 y 400 unidades respectivamente, están colocados de manera que
sus direcciones forman un ángulo entre si de 90º. Determinar por medios analíticos
(teorema del coseno y teorema del seno) el valor del vector resta A-B y el ángulo que ésta
forma con el vector de 300 unidades.
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Capítulo 2
Estática
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PROBLEMA 13
Del problema 10, restar usando el método de las componentes.
PROBLEMA 14
La magnitud del vector A es de 12 unidades y su componente según el eje y es de –7
unidades. Si el vector A se encuentra en el tercer cuadrante, determinar:
a) la magnitud de la componente de A según el eje x
b) el ángulo que forma con el sentido positivo del eje x.
PROBLEMA 15
Las componentes de un vector según el eje y y x valen 5 y –8 respectivamente. Determinar
la magnitud del vector y el ángulo que forma respecto al sentido positivo del eje x.
PROBLEMA 16
Se añade una fuerza A a una fuerza que tiene componentes x e y de 3N y –5N
respectivamente. La resultante de las dos fuerzas está en la dirección –x, y tiene una
magnitud de 4N. Encontrar la magnitud de las componentes x e y de A.
PROBLEMA 17
Sobre un cuerpo de 100Kg, actúan cuatro fuerzas de valores F1 = 200 N, α1 = 30º; F2 = 300 N,
α2 = 60º; F3 = 100 N, α3 = 30º; F4 = 250 N, α4 = 90º. Determinar la resultante (módulo y
dirección) de todas las fuerzas.
PROBLEMA 18
Determinar la tensión en cada una de las cuerdas AB y BC de la figura si el peso de la
lámpara es de 400N.
A
60º
C
45º
B
P
PROBLEMA 19
Determinar la tensión en cada una de las cuerdas AB y BC de la figura si el peso es de
998N.
45º
C
90º
B
A
P
PROBLEMA 20
Que fuerza se necesita para sostener el peso de 80 N en la posición indicada en la figura.
70º
P
B
W=80N
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Estática
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PROBLEMA 21
La figura muestra un cuerpo de peso W suspendido. Determinar las tensiones T1 y T 2 de
las cuerdas.
32º
T2
65º
T1
W=85N
PROBLEMA 22
Sobre un plano inclinado de 3 m de longitud y 2 m de altura se encuentra apoyado un
cuerpo de 50 Kg. Determinar:
a) la fuerza que ejerce perpendicularmente el plano
b) la fuerza paralela al plano que debe aplicarse para mantener el cuerpo en equilibrio
estático.
c) dibujar el plano y representar las fuerzas mencionadas.
PROBLEMA 23
En dos postes distanciados 40 m, están atados a la misma altura los extremos de un cable
de 44 m de longitud y peso despreciable. Determinar la fuerza en cada extremo del cable
cuando de su punto medio cuelga un cuerpo de 220 Kg.
(Realizar un esquema del sistema)
PROBLEMA 24
Una lámpara de 15 Kg está suspendida por dos cables que forman un ángulo de 30º con la
horizontal. Determinar:
a) la fuerza que hace cada uno de los cables
b) determinar el nuevo valor de la fuerza si ahora se quiere que el ángulo formado sea
de 5º en lugar de 30º.
PROBLEMA 25
Un lanchón colocado en el centro de un canal está sujeto por cables que forman ángulos
de 45º con el eje del canal. La fuerza que actúa sobre cada cable es de 490 N. Si el lanchón
no se mueve. Determinar:
a) la fuerza que ejerce el agua sobre el lanchón
b) la fuerza de cada cable si la fuerza del agua fuera de 1480 N
PROBLEMA 26
Calcular el momento de la fuerza respecto los puntos A, B y C, tal como se muestra en la
figura
C
B
F=100N
A
F=250N
45º
A
1m
PROBLEMA 27
Calcular el momento de la fuerza respecto los puntos A, B y C, tal como se muestra en la
figura.
C
B
2m
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Estática
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PROBLEMA 28
Calcular el momento de las fuerzas respecto al punto que se indica
F=600N
120º
2m
A
F=-600N
PROBLEMA 29
Calcular el momento de las fuerzas respecto al punto que se indica
30º
6m
A
3m
2m
F2 =600N
F1=100N
F=400N
PROBLEMA 30
La viga uniforme de la figura tiene 4 m de longitud y pesa 980 N. La viga puede girar
respecto al punto C. La viga reposa en los puntos A y C. Un hombre de 740 N camina sobre
la viga partiendo de A.. Calcular la máxima distancia que el hombre puede caminar antes
que la viga rote en C
X
C
A
B
2,5m
PROBLEMA 31
La resultante de dos fuerzas paralelas de igual sentido es de 100 N. Una de las fuerzas es
de 40 N y está a 0,5 m de la resultante. Determinar el valor de la otra fuerza y a que
distancia se encuentra de la resultante.
PROBLEMA 32
La resultante de dos fuerzas paralelas de sentido contrario es de 120 N. La fuerza mayor
es de 180 N y está a 0,09 m de la resultante. Determinar el valor de la otra fuerza y a que
distancia se encuentra de la resultante.
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