Universidad Nacional de Itapúa Facultad De Ciencias Y Tecnología Licenciatura en Electrónica Proyecto Final de Grado Diseño e implementación de un sistema de control PID para un circuito RLC Alumnos: Víctor Del Rosario Florentín Tutor: César Milciades Vera Ing. Víctor Miguel Lafeld Encarnación - Itapúa - Paraguay Octubre 2013 ii AGRADECIMIENTOS Víctor Agradezco en primer lugar a Dios porque ha estado conmigo a cada paso que doy, cuidándome y dándome fortaleza para continuar. A mis padres y hermanos quienes a lo largo de toda mi vida han apoyado y motivado mi formación académica, creyeron en mí en todo momento y no dudaron de mis habilidades. A nuestro director de tesis, Ing. Víctor Lafeld por su apoyo y confianza para la realización de este proyecto. A mis profesores a quienes les debo gran parte de mis conocimientos, gracias por su paciencia y enseñanza. A mis compañeros de clase que de varias maneras siempre estuvieron acompañándome y ayudándome en los momentos que requería ayuda. Finalmente un eterno agradecimiento a esta prestigiosa Universidad la cual abre sus puertas a jóvenes como nosotros, preparándonos para un futuro competitivo y formándonos como personas de bien. i César A Dios, por darme la vida y la oportunidad de alcanzar una meta más en mi vida. A mis padres, con tanto sacrificio no dudaron en apoyarme en mis estudios sin esperar otra recompensa más que la satisfacción de verme convertido en una persona de provecho. A nuestro asesor de tesis, al Ing. Víctor Lafeld por guiarnos en la elaboración del presente trabajo de graduación. Al Prof. Lic. Julio Núñez por la paciencia durante la realización de las prácticas en el Laboratorio y por brindarnos su ayuda en los momentos de mayor dificultad. Agradezco también los profesores que tuvieron que ver con mi formación académica, por haberme brindado sus conocimientos y amistad. Gracias!! ii ÍNDICE Agradecimientos……………………………………………………………………………………..……i Índice……………………………………………………………………………………….….. ………...iii Índice de figuras………………………………………………………………………………………......v Resumen………………………………………………………………………….……………………...viii Abstract.……………………………………………………………………………………..……….…...ix 1 Introducción……………………………………………..……………………….....................1 1.1 Problematización………………………………………………………………………...…....2 1.2 Justificación………………………………………………………………………………..…3 1.3 Alcance…………………………………………………………………………………….....3 1.4 Objetivo General ………………………………………………………………………….….3 1.5 Objetivos específicos…………………………………………………………………….…..4 2 Marco Referencial…………………………………………………………….…………….…5 2.1 Control Automático…….…………………………………………………….………........…6 2.2 Antecedentes…………………………………………………………………….…………...7 2.3 Definiciones…………………………………………………………………….………….…8 2.4 Sistemas de control en lazo abierto……………………………………….………….......….12 2.5 Sistemas de control en lazo cerrado………………………………………………………....14 2.6 Estrategias de control……………………………………………………………..……........16 2.7 Modelados matemáticos de sistemas dinámicos………………………………..…..….…....18 2.8 Sistemas lineales variantes e invariantes en el tiempo………………………………….…..19 2.9 Función de transferencia y respuesta-impulso………………………………………………21 2.10 Análisis de respuesta transitoria……………………………………………………...….....24 2.11 Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error en estado estable…………………...…..25 2.12 Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria……...………………….......26 2.13 Controladores PID……………………………………………………………….………...30 2.14 Controladores de error cuadrático…………………………………………….……….......36 2.15 Salidas especiales del controlador……………………………………………………........37 2.16 Windup del integrador……………………………………………………………….…….37 2.17 Regla de sintonización para controladores PID……………………………………..……..39 iii 2.17.1 Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID…………………………....40 2.17.2 Método de asignación de polos…………………………………………………………..43 2.18 Modificaciones de los esquemas de control PID…………………………….………….…44 2.19 Control PID con más de un grado de libertad………………………………….........……..45 2.20 Bloques funcionales de un sistema eléctrico……………………………………….…...…48 3 Marco Metodológico...……………………………………………………………….……....52 3.1 Tipo de investigación…………………………………………………………….…….……53 3.2 Área de estudio………………………………………………………………….…………..53 3.3 Fuente de información……………………………………………………………………....53 3.5 Métodos, técnicas, instrumentos y procedimientos…………………………….…………...53 3.6 Circuito RLC o Planta……………………………………………………….…….……...…54 3.7 Las etapas del controlador PID………….…………………………………………..………56 3.8 Función de transferencia del controlador……………………………………………..……..59 3.9 Cálculos de los parámetros del compensador mediante MatLab…………………..……......60 3.10 Implementación de la Sisotool de MatLab…………………………………….………..…66 3.11 Cálculo de los valores de los elementos del circuito PID……………………………..…....79 4 Implementación del controlador PID.....................................................................................82 4.1 Selección de componentes para la implementación………………………………………….83 4.2 Pruebas preliminares para la implementación del controlador PID……….…………………85 4.3 Construcción del circuito impreso para el sistema…………………………………………..86 5 Resultados y análisis………………………………………………………..…………..……92 5.1 Simulación de las diferentes partes del sistema en lazo cerrado……………….……………93 5.2 Simulación del sistema mediante Simulink………………………………………………….95 5.3 Pruebas del controlador PID analógico…… ………………………………………….....…103 6 Conclusiones…………………………………………………………………….…..………106 7 Recomendaciones…………………………………………………………………...……….107 8 Bibliografía…...…………………………………………………………………………......108 9 Anexos......................................................................................................................................109 iv ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Sistema de control en lazo cerrado…..……………………...…………………..……..7 Figura 1.2 Sistema de control simplificado….……………………...…………..…….……...….11 Figura 1.3 Sistemas similares…….……………………………...……………………...……….12 Figura 1.4 Subsistemas en un sistema de control en lazo abierto .………...…………………….14 Figura 1.5 Subsistemas en un control en lazo cerrado .………………...…………………..……15 Figura 1.6 Modo de control de dos posiciones ...…….………………...…………………..……17 Figura 1.7 Control proporcional ……………………………...……………..……………..……17 Figura 1.8 Curvas características para diversas no linealidades …..…...…………………..……20 Figura 1.9 Curva de respuesta escalón unitario en la que se muestran td, tr, tp, Mp y ts ……...…27 Figura 1.10 Especificaciones de la respuesta transitorio……………….....…………..………..…28 Figura 2.1 Método de Ziegler y Nichols …………..…………………...…………………..……41 Figura 2.2 Segundo método de Ziegler-Nichols ……………..………...…………………..……42 Figura 2.3 Control con dos grados de libertad ………………………...…………………..……46 Figura 2.4 Control con dos grados de libertad .………………………...…………………..……46 Figura 3.1 La planta …….……………………………………………...…………………..……54 Figura 3.2 Las etapas del controlador PID……………………………..…………………..……56 Figura 3.3 Parte proporcional …..……………………………………...…………………..……57 Figura 3.4 Parte integral ……………..………………………………...…………………..……58 Figura 3.5 Parte derivativa ……………...……………………………...…………………..……58 Figura 3.6 Lugar de las raíces en lazo abierto …….…………………...…………………..……61 Figura 3.7 Respuesta al escalón en lazo abierto ……….……………....…………………..……62 Figura 3.8 Lugar de las raíces en lazo cerrado sin el compensador……………….………..……63 Figura 3.9 Repuesta al escalón en lazo cerrado sin compensar ………..…………………..……64 Figura 3.10 Repuesta al impulso en lazo cerrado sin el compensador…..……………….…..….65 Figura 3.11 Repuesta a la rampa en lazo cerrado sin compensar ……….…………………..…..66 Figura 3.12 Ventana Inicial de la herramienta SISO Design Tool ……...…..………………..…67 Figura 3.13 Ventana de importación de datos del sistema ……….……...………..…………..…68 v Figura 3.14 Ventana de selección del tipo de repuesta …..……..……...…………………..……68 Figura 3.15 Asignación del overshoot y el setting time …….…………...…………………....…70 Figura 3.16 Tiempo de establecimiento (Ts) …….……………………....…………………..….70 Figura 3.17 Sobrepaso máximo (Mp) ……………………………..……...…………………..…71 Figura 3.18 Lugar de las raíces, overshoot y tiempo de asentamiento …...…………………..…71 Figura 3.19 Ventana de propiedades del compensador ………...………...…………………..…72 Figura 3.20 Asignación de los parámetros del compensador ……….…...…………………..….73 Figura 3.21 Repuesta a un escalón para los parámetros seleccionados ……...… …………..….74 Figura 3.22 Nuevos parámetros del compensador …………………..…...……….………..……75 Figura 3.23 Respuesta final del lazo cerrado de control ……………..…………………….....…76 Figura 3.24 Ventana de importación de datos ……………...…………...………………..…..…77 Figura 4.1 El sistema montado sobre el protoboard ………………………...….……………..……85 Figura 4.2 La señal de entrada y de salida de la función controlada ….....….……………..……86 Figura 4.3 Diseño obtenido en Proteus: ISIS para la realización del circuito impreso…………………..87 Figura 4.4 Diseño obtenido en Proteus: ARES para la realización del circuito impreso…………….…..88 Figura 4.5 El circuito impreso del sistema con sus componentes y los cables de conexión ……………..89 Figura 4.6 Vista superior del prototipo…….…………………………………………………….90 Figura 4.7 Vista lateral del prototipo……………………………………………….……………90 Figura 4.8 Pruebas finales con diferentes tipos de señales…………………………………………..……91 Figura 5.1 diagrama en bloques …………...…………………………...…………………..……93 Figura 5.2 Respuesta del sistema en MatLab ante una entrada de onda cuadrada .………..……95 Figura 5.3 Diagrama de bloques en Simulink …………………..……...…………………..……96 Figura 5.4 Asignación de los parámetros de entrada …...……………...…………………..……97 Figura 5.5 Diagrama modificado ……………………….……………...…………………..……98 Figura 5.6 Propiedades de la salida …….……………………………...…………………..……99 vi Figura 5.7 Asignación de tiempo de simulación ……..………………...…………………..……99 Figura 5.8 Simulación ………………………………………..………...………..……………..100 Figura 5.9 Las señales del sistema para una entrada cuadrada ……….....……………………..100 Figura 5.10 Las señales del sistema para una entrada senoidal …………………………..……101 Figura 5.11 Las señales del sistema para una entrada diente de sierra……………………...….102 Figura 5.12 Las señales del sistema para una entrada de onda cuadrada ……………………...103 Figura 5.13 Las señales del sistema para una entrada senoidal …………...………...…………104 Figura 5.14 Las señales del sistema para una entrada diente de sierra ………...………………104 Figura 9.1 Instrucciones de uso………………………………………………………...………110 Figura 9.2 Pruebas preliminares ………………….……………………..……………………….111 Figura 9.3 Respuesta antes una señal diente de sierra …………………………….……………….111 Figura 9.4 El sistema de control completo en Proteus (ISIS)……………...……………………….112 Figura 9.5 Diagrama de conexiones del LM324 ..……………………..……………………….112 vii Resumen En este trabajo se presenta el diseño y la construcción de un controlador electrónico para una planta de tipo eléctrica, un circuito RLC (resistivo-inductivo-capacitivo) de segundo orden. La planta consta de dos elementos resistivos, un elemento inductivo y un elemento capacitivo dispuestos en una configuración sencilla. El controlador es de tipo PID (Proporcional-IntegralDerivativo) realizado con componentes electrónicos como amplificadores operacionales, capacitores, resistencias fijas y variables. El compensador se diseña de tal forma que sus parámetros sean variables para así poder tener un control dinámico sobre la planta. Cada parte del controlador tiene un potenciómetro y mediante este, se puede modificar, ya sea el tiempo proporcional, el tiempo derivativo o el tiempo integral, de acuerdo a las especificaciones requeridas. El sistema en lazo cerrado es un sistema con realimentación unitaria y el controlador se sitúa en serie con la planta. Tanto la realimentación unitaria como el sumador de señales se realizan mediante configuraciones sencillas de amplificadores operacionales. Palabras claves: Control automático, controlador PID, MatLab, modelado matemático, amplificador operacional, polos, ceros, etc. viii Abstract This paper presents the design and construction of an electronic controller for an electric type plant, an RLC circuit (resistive-inductive-capacitive) of second order. The plant consists of two resistive elements, an inductive element and a capacitive element arranged in a simple configuration. The controller is PID (Proportional-Integral-Derivative) made with electronic components such as operational amplifiers, capacitors, fixed and variable resistors. The compensator is designed so that their parameters are variables in order to have dynamic control over the plant. Each part of the controller has a potentiometer and by this you can change either the time proportional, derivative time or integral time, according to the required specifications. The system is a closed loop feedback system and the controller unit is placed in series with the ground. Both unity feedback signal as the adder configurations are performed using simple operational amplifiers. Keywords: Automatic Control, PID controller, MatLab, mathematical modeling, operational amplifier, poles, zeros, etc.. ix 1 Introducción Los sistemas de control de procesos son, hoy en día, de amplia utilización en diferentes actividades por las facilidades que brinda, las cuales se pueden citar a continuación: bajo costo de operación, mejor productividad, velocidad en el trabajo y mayor confiabilidad en los procesos. Otra función de los sistemas de control es evitar fallas en los procesos, ya que debido a estos se podrían generar grandes pérdidas tanto humanas como de producción. Uno de los controladores electrónicos más utilizado es el controlador PID, porque permite realizar control de una gran cantidad de sistemas. Para este tipo de controlador existen diversas configuraciones, de las cuales, algunas son más flexibles que otras, en cuanto a modificaciones de las acciones de control que lo componen. El controlador PID tiene diversas funciones importantes, se pueden citar: proporciona la realimentación, tiene la habilidad de eliminar el error en estado estacionario, a través de la acción integral, puede hacer la predicción a través de la acción derivativa. El proyecto consiste en que: Dada una planta RLC, realizar los cálculos matemáticos a mano y con la ayuda del software MatLab 7.10 y otras herramientas informáticas, hallar los parámetros del controlador PID de modo que cumpla con las especificaciones dadas, tales como el tiempo de asentamiento, sobrepaso máximo, etc. El sistema pretende ser montado en un prototipo en el Laboratorio de Electrónica de la Facultad de Ciencias y Tecnología, para de este modo, contribuir con una herramienta de ayuda a los docentes y estudiantes en el desarrollo de prácticas de la teoría de control. El software MatLab se ha constituido en un programa de alto nivel bastante utilizado en los diseños de control y servirá para la simulación del modelo matemático del sistema a fin de obtener los valores a utilizarse en el controlador del proceso, además, ayudará en la estimación del modelo del sistema real (prototipo). 1 En la sección 1 se presenta un breve resumen de lo que es el proyecto, su importancia, los objetivos generales y específicos. En la sección 2 se describe detalladamente un sistema de control, antecedentes, definiciones, tipos de sistemas, estrategias de control, los elementos que lo conforman, modelados matemáticos de sistemas dinámicos, función de transferencia, señales de prueba típicas, estabilidad. Conceptos básicos del controlador PID, métodos de sintonización y modificaciones de los esquemas de control PID. La sección 3 incluye el marco metodológico, el procedimiento a seguir para el diseño del controlador PID, se describe el modelado matemático, las especificaciones del sistema y el cálculo de los parámetros del controlador mediante Matlab. En la sección 4 se detalla la implementación del controlador PID, la elección y características de los componentes y herramientas utilizadas, también las pruebas preliminares realizadas. En la sección 5 se ilustran los resultados obtenidos en las pruebas de laboratorio y las simulaciones informáticas con MatLab y Proteus. 1.1 Problematización Hoy en día el control de proceso es usado en una diversidad de ámbitos por la eficiencia y la seguridad que dan a los sistemas en general, dicho control se realiza por medio de dispositivos físicos o de software. El controlador PID es utilizado extensamente por las importantes funciones que realiza, las cuales permite un amplio control de los múltiples procesos existentes. En la actualidad son muchas las funciones y problemas que se trabajan mediante el procesamiento de señales digitales, tales como microcontroles y microcomputadores, pero aun así son necesarios los circuitos analógicos que sirven como interfaz para permitir acondicionar las señales en un determinado proceso. Existen diversos circuitos necesarios para realizar 2 diversas operaciones que usan dispositivos analógicos como amplificadores operacionales, circuitos integrados, etc. Con el objeto de atraer el interés del estudiantado hacia el aprendizaje de la teoría de control y además para brindar apoyo en la enseñanza de la misma, este proyecto brinda una ayuda para el análisis y control de las señales eléctricas más comunes, tales como ondas cuadradas, senoidales, escalón, etc. 1.2 Justificación En la actualidad los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo de la humanidad y la tecnología, prácticamente cada actividad que realizamos a diario está afectada por algún tipo de sistema de control y para optimizarla requieren ciertas estrategias de control, además está presente en casi todos los procesos modernos industriales y en el control de calidad de productos manufacturados. Con este proyecto se pretende que el docente y el alumno cuenten con una herramienta para visualizar y comprender mejor como se puede controlar un proceso variando algunos parámetros del mismo. 1.3 Alcance y delimitación Este proyecto abarca el diseño de un sistema de control de tipo eléctrico-electrónico, incluyendo cálculos matemáticos manuales y con ayuda de programas informáticos. Además, el desarrollo de un prototipo para el Laboratorio de Electrónica de la Facultad de Ciencias y Tecnología de la Universidad Nacional de Itapúa, pretendiéndose con esto colaborar con una herramienta de práctica de control automático. El prototipo final se limita a la planta (circuito RLC), su controlador (PID), la fuente de alimentación. No incluye cables de conexión ni instrumentos (generador de señales, osciloscopio, multímetro) que complementan y son necesarios para realizar para realizar las prácticas. 3 1.4 Objetivo General Desarrollar un controlador PID análogo para un circuito RLC de segundo orden, para que el Laboratorio de Electrónica cuente con esta herramienta y así el alumno pueda confrontar los conocimientos teóricos con la práctica. 1.5 Objetivos Específicos Determinar la función de transferencia de la planta o circuito RLC. Calcular mediante Matlab 7.10 la función de transferencia del controlador con los parámetros de diseño establecidos. Obtener la función de transferencia del controlador basado en el circuito con amplificadores operacionales (Proporcional – Integral – Derivativo). Simular el sistema de control en lazo cerrado compensado y no compensado ante una entrada escalón. Verificar el funcionamiento con componentes reales. Elaborar el prototipo del sistema completo. 4 2 Marco Referencial 5 2.1 Control automático “El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y la ciencia. Además de su extrema importancia en los sistemas de vehículos espaciales, sistemas guía de misiles, robóticos y similares; el control automático se ha vuelto una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de manufactura. Por ejemplo, el control automático es esencial en el control numérico de las máquinas-herramientas de las industrias de manufactura, en el diseño de sistemas de pilotos automáticos en la industria aeroespacial, y en el diseño de automóviles y camiones en la industria automotriz. También es esencial en las operaciones industriales como el control de presión, temperatura, humedad, viscosidad y flujo en las industrias de proceso.”¹ Debido a que los avances en la teoría y la práctica del control automático, que aportan los medios para llegar a obtener un desempeño óptimo de los sistemas dinámicos, mejorar la productividad, aligerar la carga de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias, así como de otras actividades, casi todos los ingenieros y científicos deben tener un buen conocimiento de este campo. El diseño de sistemas de control se puede realizar, ya sea en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia. A menudo se emplean especificaciones de diseño para describir que debe hacer el sistema y cómo hacerlo. Siendo estas únicas para cada diseño. Por lo tanto el diseño de sistemas de control involucra tres pasos: 1. Determinar que debe hacer el sistema y cómo hacerlo. 2. Determinar la configuración del compensador. 3. Determinar los valores de los parámetros del controlador para alcanzar los objetivos de diseño. 1 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 1 6 Figura 1.1 Sistema de control en lazo cerrado. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. Donde X(s) es la señal de entrada, e(s) la señal de error e Y(s) la señal de salida. 2.2 Antecedentes del Sistema de Control Automático “El primer trabajo significativo en control automático fue el regulador de velocidad centrífugo de James Watt para el control de la velocidad de una máquina de vapor, en el siglo XVIII. Minorsky, Hazen y Nyquist, entre muchos otros, aportaron trabajos importantes en las etapas iniciales del desarrollo de la teoría de control. En 1922, Minorsky trabajó en los controladores automáticos para dirigir embarcaciones, y mostró que la estabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. En 1932, Nyquist diseñó un procedimiento relativamente simple para determinarla estabilidad de sistemas en lazo cerrado, con base en la respuesta en lazo abierto en estado estable cuando la entrada aplicada es una senoidal. En 1934, Hazen, quien introdujo el término servomecanismos para los sistemas de control de posición, analizó el diseño de los servomecanismos con relevadores, capaces de seguir con precisión una entrada cambiante.” 2 Durante la década de los cuarenta, los métodos de la respuesta en frecuencia hicieron posible que se diseñaran sistemas de control lineales en lazo cerrado que cumplieran con los requerimientos de desempeño. A finales de los años cuarenta y principios de los cincuenta, se desarrolló por completo el método del lugar geométrico de las raíces propuesto por Evans. 2 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 2 7 Los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar geométrico de las raíces, que forman el núcleo de la teoría de control clásica, conducen a sistemas estables que satisfacen un conjunto más o menos arbitrario de requerimientos de desempeño. En general, estos sistemas son aceptables pero no óptimos en forma significativa, porque no tienen en cuenta todas las variables intervinientes. Desde el final de la década de los cincuenta, el énfasis en los problemas de diseño de control se ha movido del diseño de uno de muchos sistemas que trabajen apropiadamente al diseño de un sistema óptimo de algún modo significativo. Conforme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven más complejas, la descripción de un sistema de control moderno requiere de una gran cantidad de ecuaciones. La teoría del control clásica, que trata de los sistemas con una entrada y una salida, pierde su solidez ante sistemas con entradas y salidas múltiples. Desde alrededor de 1960, debido a que la disponibilidad de las computadoras digitales hizo posible el análisis en el dominio del tiempo de sistemas complejos, la teoría de control moderna, basada en el análisis en el dominio del tiempo y la síntesis a partir de variables de estados, se ha desarrollado para enfrentar la creciente complejidad de las plantas modernas y los requerimientos limitativos respecto de la precisión, el peso y el costo en aplicaciones militares, espaciales e industriales. Durante los años comprendidos entre 1960 y 1980 se investigaron a fondo el control óptimo tanto de sistemas determinados como estocásticos, y el control adaptable, mediante aprendizaje de sistemas complejos. De 1980 a la fecha, los descubrimientos en la teoría de control moderno se centraron en el control robusto, el control de H, y temas asociados. Ahora que las computadoras digitales se han vuelto más baratas y más compactas, se usan como parte integral de los sistemas de control. Las aplicaciones recientes de la teoría de control moderna incluyen sistemas ajenos a la ingeniería, como los biológicos, biomédicos, económicos y socioeconómicos. 8 2.3 A continuación se definen ciertos términos básicos de un sistema de control Variable controlada “Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado.” 3 La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. Variable manipulada “La variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Por lo común, la variable controlada es la salida (el resultado) del sistema.” 4 En el estudio de la ingeniería de control, se necesita definir términos adicionales que resultan necesarios para describir los sistemas de control. Plantas “Una planta puede ser una parte de un equipo, o también un conjunto de las partes de una máquina que funcionan juntas, el propósito de la cual es ejecutar una operación particular. Llamamos planta a cualquier objeto físico que se va a controlar (tal como un dispositivo mecánico, un horno de calefacción, un reactor químico o una nave espacial.”5 3 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 2 4 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 3 5 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 3 9 Perturbaciones “Una perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externa se produce fuera del sistema y es una entrada.”6 Ejemplos de estas señales de perturbación interna: el voltaje de ruido térmico en los circuitos electrónicos y el ruido de conmutación de los motores eléctricos. Un ejemplo de perturbación externa es el viento que actúa sobre una antena. Procesos “El Diccionario Merriam-Webster define un proceso como una operación o un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden uno al otro en una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinados; o una operación artificial o voluntaria progresiva que consiste en una serie de acciones o movimientos controlados, sistemáticamente dirigidos hacia un resultado o propósito determinados.”7 Se llamará proceso a cualquier operación que se va a controlar, algunos ejemplos son los procesos químicos, económicos y biológicos. Sistema “Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no necesariamente es físico. El concepto de sistemas se aplica a fenómenos abstractos y dinámicos, tales como los que se encuentran en la economía. Por tanto, la palabra sistema debe interpretarse como una implicación de sistemas físicos, biológicos, económicos y similares.”8 6 7 8 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 3 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 3 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 4 10 El término sistema se emplea específicamente para describir un conjunto de componentes que interactúan, alrededor de los cuales se dibuja una frontera imaginaria de modo que sólo es de interés la interacción entre la entrada o entradas y su salida o salidas, sin necesidad de estudiar en detalle las interacciones entre los componentes que lo forman. Así el aspecto importante en un sistema es la relación entre las entradas y salidas. En la figura 1.2 muestra cómo es posible representar un sistema mediante una caja de entrada y de salida al sistema indicada por líneas con flechas, en lo que la dirección de las flechas hace referencia ya sea a una entrada o a una salida. Entrada Sistema de control Salida Figura 1.2 Sistema de control simplificado. Fuente: Elaboración propia. La ventaja de estudiar los sistemas de esta manera es que aunque existe una amplia variedad de sistemas posibles, la relación entre la salida y la entrada de muchos de ellos tiende a ser similar. Así por ejemplo, la respuesta de un sistema eléctrico formado por un capacitor en serie con un resistor y la aplicación súbita de un voltaje tiene el mismo tipo de relación que la respuesta de un contenedor de líquido al cual se le aplica súbitamente una entrada de calor figura 1.3. De este modo, al estudiar uno de estos modelos con este tipo de relación entre entrada y salida es posible determinar cómo responderán muchas formas diferentes, con la misma relación salida-entrada. 11 Entrada Salida Sistema RC Voltaje Vc Vc 0 Tiempo a) Entrada Sistema Ede ntrada Salida calefacción Calor Temperatura stema RC Temperatura 0 Tiempo b) Figura 1.3 Sistemas similares a) Sistema RC, b) Sistema de calefacción. Fuente: Ingeniería de Control, W. Bolton. 12 2.4 Sistemas de control en lazo abierto “Los sistemas en los cuales la salida no afecta la acción de control se denominan sistemas de control en lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico es una lavadora. El remojo, el lavado y el enjuague en la lavadora operan con una base de tiempo. La máquina no mide la señal de salida, que es la limpieza de la ropa.”9 En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia. Por tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija; como resultado, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado. Se observa que cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo es en lazo abierto. Por ejemplo, el control del tránsito mediante señales operadas con una base de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto. Elementos básicos de un sistema de control en lazo abierto Se puede considerar que un sistema en lazo abierto consiste en algunos subsistemas básicos arreglados como se muestra en la Figura 1.4. Estos elementos pueden ser distintos, equipos separados, por todas las funciones que cumple cada subsistema se debe preservar. La entrada global al sistema es una señal, que, basada en experiencias anteriores, es probable que conduzca a la salida requerida. Los subsistemas son: 1 Elementos de control. Este elemento determina qué acción se va a tomar dada una entrada al sistema de control. 9 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 7 13 2 Elemento de corrección: corresponde a la entrada que viene del elemento de control e inicia la acción para producir el cambio en la variable controlada al valor requerido. Los dos primeros subsistemas a menudo se unen para formar un elemento denominado controlador. 3 Proceso. El proceso o planta es el sistema en el que se va a controlar la variable. “Muchos sistemas de control en lazo abierto utilizan un elemento de control que envía una señal para iniciar una secuencia de señales para iniciar secuencia de acciones en tiempos diferentes. En tales sistemas el controlador es en esencia un dispositivo de conmutación operado por un reloj.”10 Controlador Entrada Salida Proceso Elemento de Elemento de corrección control Señal que se espera Variable produzca la salida controlada requerida Figura 1.4 Subsistemas en un sistema de control en lazo abierto. stema RC stema RC stema RC Fuente: Ingeniería de Control, W. Bolton. 2.5 Sistemas de control en lazo cerrado “Los sistemas de control realimentados se denominan también sistemas de control en lazo cerrado. En la práctica, los términos control realimentado y control en lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que 10 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 6 14 puede ser la señal de salida misma o una función de la señal de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del sistema.” 11 Elementos básicos de un sistema de control en lazo cerrado Se puede considerar que un sistema en lazo cerrado consiste en algunos subsistemas básicos ordenados como muestra la figura 1.4. Estos elementos pueden no ser partes distintas o equipos separados, pero todas las funciones de los subsistemas estarán presentes. La entrada global de control es el valor requerido de la variable y la salida es el valor real de la variable. 1 Elemento de comparación. Este elemento compara el valor requerido o de referencia de la variable por controlar con el valor medido de lo que se obtiene a la salida, y produce una señal de error la cual indica la diferencia del valor obtenido a la salida y el valor requerido. Señal de error = señal de referencia - señal del valor medido 2 Elemento de control. Este elemento decide que acción tomar cuando se recibe una señal de error. A menudo se utiliza el término controlador para un elemento que incorpora el elemento de control y la unidad de corrección. 3 Elemento de corrección. Este elemento se utiliza para producir un cambio en el proceso al eliminar el error, y con frecuencia se denomina actuador. 4 11 Elemento proceso. El proceso, o planta, es el sistema donde se va a controlar la variable. KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 55 15 5 Elemento de medición. Este elemento produce una señal relacionada con la condición de la variable controlada, y proporciona la señal de realimentación al elemento de comparación para determinar si hay o no error. Se dice que se tiene realimentación negativa cuando la señal realimentada se sustrae del valor de referencia, esto es, Señal de error = valor de referencia – señal de realimentación La realimentación negativa es necesaria para que logre el control. La realimentación positiva se presenta cuando la señal realimentada se adiciona al valor de referencia, esto es, Señal de error = valor de referencia + señal de realimentación Controlador Elemento de comparación + Entrada Valor de Referencia controlada - Señal de error Elemento de control Elemento de corrección Elemento de proceso stema RC stema RC stema RC Realimentación Elemento de medición Salida variable Figura 1.5 Subsistemas en un control de control en lazo cerrado. stema RC W. Bolton. Fuente: Ingeniería de Control, En la figura 1.5 la señal de realimentación se combina con el valor de referencia en el elemento de comparación. El elemento de comparación se indica mediante un círculo con una cruz, éste es el símbolo genérico para indicar un elemento de suma. Cuando en el elemento de comparación hay realimentación negativa, el valor de referencia se marca como una señal positiva y la señal de realimentación con negativa de modo que la salida del elemento de comparación es la 16 referencia entre las señales. Si hubiera realimentación positiva en el elemento de suma, entonces ambas señales deben marcarse con positivas. 2.6 Estrategias de control “El elemento de control tiene como entrada la señal de error y como salida una señal que se convierte en la entrada a la unidad de corrección de modo que se pueda iniciar la acción para eliminar el error. Existen varias formas, tales como: el control on-off, el control proporcional, etc., para que el elemento de control reaccione ante una señal de error.”12 “Con sistemas de control en lazo abierto los tipos de control más probables son el de dos posiciones (encendido-apagado o mejor conocido como on-off) o secuencias o acciones conmutadas por tiempo. Una ejemplo del control on-off es una persona que enciende un calefactor eléctrico para obtener la temperatura requerida en una habitación. Un ejemplo de una secuencia conmutada por tiempo es la operación de la lavadora de ropa doméstica.” 13 “Con sistemas de control en lazo cerrado los tipos de control son a menudo el control de dos posiciones, el control proporcional o el control proporcional combinado con algún otro refinamiento.” 14 Con el modo de control de dos posiciones, la señal de error de entrada al elemento de control es una salida de encendido o de apagado, que se utiliza para encender o apagar al elemento de corrección (figura 1.6). Así en el caso del sistema de calefacción central doméstico controlado por un termostato, éste produce una salida que enciende o apaga el calefactor según el error. Si la temperatura de la habitación baja a cierto valor, entonces el termostato enciende el calefactor; si por el contrario, la temperatura rebasa el valor fijado, el calefactor se apaga. 12 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 15 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 15 14 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2 ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 16 13 17 Salida Error 0 + Figura 1.6 Modo de control de dos posiciones. Fuente: Ingeniería de Control, W. Bolton. “Con el control proporcional la salida del elemento de control es una señal, la cual es proporcional al error: cuanto mayor sea el error mayor será la salida (figura 1.7). Esto significa que el elemento de corrección recibirá una señal que depende de la magnitud de la corrección que se necesita.” 15 Salida 0 + Error Figura 1.7 Control proporcional. Fuente: Ingeniería de Control, W. Bolton. 15 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 17 18 “Debido que el control proporcional por si solo puede presentar algunos problemas, con frecuencia se combina con otras formas de control. Existe el control derivativo, donde la salida es proporcional a la razón de cambio de la señal de error, y el control integral, donde la salida en el tiempo t es proporcional a la integral de la señal de error entre r = 0 y t. Un ejemplo sencillo del control proporcional derivativo es un vehículo automático donde el controlador toma acciones basadas no solo en el conocimiento de la posición del vehículo, sino también de su velocidad, es decir, la razón de cambio de la distancia. Con sólo el control proporcional, el controlador da nada más una repuesta en proporción a la magnitud del error de la posición requerida. No toma en cuenta la rapidez del cambio del error. El control derivativo si lo hace. Así, el vehículo se empieza a mover alejándose rápido de la trayectoria requerida, con el control derivativo habrá una acción correctiva mucho mayor que si el vehículo se alejara lentamente de la trayectoria requerida. De este modo, la combinación del control proporcional derivativo toma en cuenta más rápido las desviaciones de la trayectoria requerida y las corrige.” 16 2.7 Modelados matemáticos de sistemas dinámicos Sistemas lineales “Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples.”17 Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el sistema se considera lineal. 16 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 58 17 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 59 19 2.8 Sistemas lineales invariantes y variantes con el tiempo Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones sólo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo (de coeficientes constantes). Tales sistemas se denominan sistemas lineales invariantes con el tiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes con el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variante con el tiempo es un sistema de control de naves espaciales. (La masa de una nave espacial cambia debido al consumo de combustible.) Sistemas no lineales “Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales.”18 2 2 + 2 ²+ = A sin 2 + 2 −1 + =0 2 2 + + + 3 =0 Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales. De hecho, un 18 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 59 20 estudio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso los llamados “sistemas lineales sólo lo son en rangos de operación limitados. En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte las señales pequeñas. (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las cuales el componente es insensible.) Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas físicos pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional al cuadrado de la velocidad de operación. Algunos ejemplos de las curvas características para estas no linealidades aparecen en la (figura 1.8). No linealidad de saturación No linealidad de zona muerta No linealidad de ley cuadrática Figura 1.8 Curvas características para diversas no linealidades. Fuente: Ingeniería de Control, W. Bolton. Observe que algunos sistemas de control importantes son no lineales para señales de cualquier tamaño. Por ejemplo, en los sistemas de control de encendido y apagado, la acción de control está activada o no activada, y no hay una relación lineal entre la entrada y la salida del controlador. En general, los procedimientos para encontrar las soluciones a problemas que involucran tales sistemas no lineales son muy complicados. Debido a la dificultad matemática aunada a los 21 sistemas no lineales, resulta necesario introducir los sistemas lineales “equivalentes” en lugar de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes sólo son válidos para un rango limitado de operación. Una vez que se aproxima un sistema no lineal mediante un modelo matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas lineales para análisis y diseño. 2.9 Función de transferencia y de Respuesta-Impulso En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Empezaremos por definir la función de transferencia. A continuación se analiza la función de respuesta-impulso. Función de transferencia “La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.”19 Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación diferencial: en donde (y) es la salida del sistema y (x) es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtiene tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación (3-l), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o bien, 19 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 60 22 Función de transferencia = G(s) = £[ ]£[ ] condiciones iniciales cero A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de n-ésimo orden. “La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Sin embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas.”20 A continuación se presentan algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia. (Observe que, en la lista, los sistemas a los que se hace referencia son aquellos que se describen mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo). 1 La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. 2 La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación. 3 La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.) 5 Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema. 20 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 61 23 5 Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física. Respuesta-impulso Considere la salida (respuesta) de un sistema para una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Debido a que la transformada de Laplace de la función impulso unitario es la unidad, la transformada de Laplace de la salida del sistema es Y(s) = G(s) La transformada inversa de Laplace de la salida obtenida mediante la ecuación proporciona la respuesta-impulso del sistema. La transformada inversa de Laplace de G(s), o bien £¹ [G(s)] = g (t) se denomina respuesta-impulso. Esta respuesta g (t) también se denomina función de ponderación del sistema. Por tanto, “la respuesta-impulso g (t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. La transformada de Laplace de esta función proporciona la función de transferencia. Por tanto, la función de transferencia y la respuestaimpulso de un sistema lineal e invariante con el tiempo contienen la misma información acerca de la dinámica del sistema. De esta manera, si se excita el sistema con una entrada impulso y se mide la respuesta, es posible obtener una información completa acerca de sus características dinámicas. (En la práctica, una entrada pulso con una duración muy corta comparada con las constantes de tiempo significativas del sistema se considera un impulso).”21 21 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 63 24 2.10 Análisis de la respuesta transitoria Señales de prueba típicas “Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las señales son funciones del tiempo muy simples.” 22 “La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una operación normal determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas una función escalón sería una buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general el desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de tales señales de prueba permite comparar el desempeño de todos los sistemas sobre la misma base.” 23 Respuesta transitoria y respuesta en estado estable “La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.” 24 22 23 24 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 134 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 134 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 135 25 2.11 Características del comportamiento dinámico de un sistema de control Al diseñar un sistema de control, se debe ser capaz de predecir su comportamiento dinámico a partir del conocimiento de los componentes. La característica más importante del comportamiento dinámico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es estable o inestable. “Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es críticamente estable si las oscilaciones de la salida continúan para siempre. Es inestable si la salida diverge sin límite a partir de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial.” 25 En realidad, la salida de un sistema físico puede aumentar hasta un cierto grado, pero puede estar limitada por ¨detenciones¨ mecánicas o el sistema puede colapsarse o volverse no lineal después de que la salida excede cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las ecuaciones diferenciales lineales. Entre los comportamientos importantes del sistema (aparte de la estabilidad absoluta) que deben recibir una cuidadosa consideración están la estabilidad relativa y el error en estado estable. Dado que un sistema de control físico implica un almacenamiento de energía, la salida del sistema, cuando éste está sujeto a una entrada, no sucede a la entrada de inmediato, sino que exhibe una respuesta transitoria antes de alcanzar un estado estable. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico con frecuencia exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un estado estable. Si la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error en estado estable. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, se debe examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable. 25 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 235 26 2.12 Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria “En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están sujetos a entradas o perturbaciones.”26 Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.) La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad. “La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente: 1 Tiempo de retardo, td 2 Tiempo de levantamiento, tr 3 Tiempo pico, tp 4 Sobrepaso máximo, Mp 5 Tiempo de asentamiento, ts” 27 26 27 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 129 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 129 27 Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma gráfica en la figura 1.9. 1 “Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance en la primera vez la mitad del valor final.” 28 2 “Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.”29 C(t) Tolerancia permisible Figura 1.9 Curva de respuesta escalón unitario en la que se muestran td, tr, tp, Mp y ts. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. 3 “Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.” 30 28 29 30 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 150 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 150 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 150 28 4 “Sobrepaso máximo (porcentaje) Mp: el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante: Porcentaje de sobrepaso máximo = − (∞) (∞) ∗ 100% La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.” 31 5 “Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en porcentaje usar.” 32 C(t) Para t > t, la respuesta 6 7 8 9 10 11 12 td tr tp ts Figura 1.11 Definición del ángulo β. Figura 1.10 Especificaciones de la respuesta transitorio. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. 31 32 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 151 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 151 29 “Las especificaciones en el dominio del tiempo que se proporcionaron son muy importantes, dado que casi todos los sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo; es decir, deben presentar respuestas de tiempo aceptables. (Esto significa que el sistema de control debe modificarse hasta que la respuesta transitoria sea satisfactoria.) Observe que, si especificamos los valores de td, tr, tp, ts y Mp, la forma de la curva de respuesta queda prácticamente determinada.” 33 Esto se aprecia con claridad en la figura 1.10. Se observa que todas estas especificaciones no necesariamente se aplican a cualquier caso determinado. Por ejemplo, para un sistema sobreamortiguado no se aplican los términos tiempo pico y sobrepaso máximo. (En los sistemas que producen errores en estado estable para entradas escalón, este error debe conservarse dentro de un nivel de porcentaje especificado). Excepto para ciertas aplicaciones en las que no se pueden tolerar oscilaciones, es conveniente que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y amortiguada. Por tanto, “para una respuesta transitoria conveniente de un sistema de segundo orden, el factor de amortiguamiento relativo debe estar entre 0.4 y 0.8. Valores pequeños de ζ (ζ< 0.4) producen un valor de sobrepaso excesivo en la respuesta transitoria, y un sistema con un valor grande de ζ (ζ> 0.8) responden con lentitud.” 34 En otras palabras, tanto el sobrepaso máximo como el tiempo de levantamiento no pueden hacerse más pequeños en forma simultánea. Si uno de ellos se reduce, el otro necesariamente aumenta. 33 34 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 151 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 151 30 A continuación se definen los efectos de las acciones del controlador PID sobre el desempeño del sistema. 2.13 Controladores PID El controlador PID, de lejos, es el algoritmo de control más común. Numerosos lazos de control utilizan este algoritmo, que puede ser implementado de diferentes maneras: como controlador stand-alone, como parte de un paquete de control digital directo o como parte de un sistema de control distribuido. Su estudio puede ser abordado desde múltiples puntos de vista. Puede ser tratado como un dispositivo que puede ser operado utilizando unas cuantas reglas prácticas, pero también puede ser estudiado analíticamente. “El controlador PID es un controlador realimentado cuyo propósito es hacer que el error en estado estacionario, entre la señal de referencia y la señal de salida de la planta, sea cero de manera asintótica en el tiempo, lo que se logra mediante el uso de la acción integral. Además el controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a través de la acción derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del proceso.”35 Los controladores PID son suficientes para resolver el problema de control de muchas aplicaciones en la industria, particularmente cuando la dinámica del proceso lo permite (en general procesos que pueden ser descritos por dinámicas de primer y segundo orden), y los requerimientos de desempeño son modestos (generalmente limitados a especificaciones del comportamiento del error en estado estacionario y una rápida respuesta a cambios en la señal de referencia). 35 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 30 31 “Los fabricantes proporcionan los controladores PID de variadas formas. Existen sistemas del tipo “stand alone” con capacidad para controlar uno o varios lazos de control. Estos dispositivos son fabricados en el orden de cientos de miles al año. El controlador PID es también un ingrediente importante en los sistemas de control distribuido, ya que proporciona regulación a nivel local de manera eficaz. Por otro lado, pueden también venir empotrados, como parte del equipamiento, en sistemas de control de propósito especial, formando así parte integrante de la aplicación.” 36 “Su uso extensivo en la industria es tal que el 95% de los lazos de control que existen en las aplicaciones industriales son del tipo PID, de los cuales la mayoría son controladores PI, lo que muestra la preferencia del usuario en el uso de leyes de control muy simples. En general, el usuario no explota todas las características de estos controladores, quizás por falta de una mejor comprensión desde el punto de vista de la teoría de control.” 37 En la actualidad, el control PID dispone de una serie de prestaciones, que en el pasado han sido consideradas como secretos de los fabricantes. Un par de ejemplos típicos de este tipo de prestaciones son las técnicas de conmutación de modos de control y el antiwindup del integrador. “Los algoritmos actuales se combinan con funciones lógicas y secuenciales y una serie de mecanismos y funciones adicionales para adecuarse a los requerimientos de los modernos sistemas de control y automatización industrial, lo que da lugar a dispositivos especializados para el control de temperatura, velocidad, distribución de energía, transporte, máquinas-herramientas, reacción química, fermentación, entre otros.” 38 Los controladores PID son generalmente usados en el nivel de control más bajo, por debajo de algunos dispositivos de mediano nivel como PLCs, supervisores, y sistemas de monitoreo. Sin embargo, su importancia es tal que se convierte en el “pan de cada día” del ingeniero de control. 36 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 30 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 30 38 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 31 37 32 “Los controladores PID han sobrevivido a muchos cambios en la tecnología a lo largo de su historia. Desde los antiguos reguladores de Watt, de la época de la revolución industrial, pasando por los controladores neumáticos, los controladores analógicos eléctricos y electrónicos (primero implementados con válvulas y luego con circuitos integrados) hasta los modernos controladores basados en microprocesadores, que proporcionan una mayor flexibilidad debido a su programabilidad. El microprocesador ha tenido una influencia dramática sobre el desarrollo del controlador PID; ha permitido brindar nuevas oportunidades para implementar funciones adicionales como el ajuste automático de parámetros y los cambios de modos de control. Para los efectos de estos apuntes, se considera la frase “ajuste automático” en el sentido de que los parámetros del controlador se ajustan automáticamente en base a la demanda de un operador o de una señal externa, desactivando para ello el controlador. Esto hace que esta función sea diferente a la función de adaptación, propias de los controladores adaptivos, que ajustan en línea (o de manera continua) los parámetros del controlador.” 39 El desarrollo de los sistemas de control PID está también influenciado por el desarrollo en el campo de la comunicación de datos de campos, lo que ha permitido su inserción como módulos importantes en los esquemas de control distribuido. En este sentido, la capacidad de comunicación de estos dispositivos con otros dispositivos de campo como PLCs y otros sistemas de control de niveles superiores, es una función necesaria en los modernos controladores PID. “Si bien a nivel industrial existen grupos de ingenieros de procesos e instrumentación que están familiarizados con los controladores PID, en el sentido de que llevan una práctica continua de instalación, puesta en marcha y operación de sistemas de control con lazos PID, también es cierto que existe mucho desconocimiento acerca de los detalles involucrados en la construcción de los algoritmos. Prueba de ello es que muchos controladores son puestos en modo manual y, entre aquellos que están en el modo automático, frecuentemente la acción derivativa se encuentra desactivada. La razón es obvia, el ajuste de los controladores es un trabajo tedioso y requiere de cierta intuición basada en los principios de funcionamiento tanto de los procesos físicos controlados como de la misma teoría de control. Otras razones del pobre desempeño tienen que 39 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 150 33 ver con problemas en la instrumentación y los equipos y accesorios utilizados en el lazo de control, como son los sensores, actuadores, dispositivos de comunicación, interfaces de adquisición de datos, etc. Los principales problemas de los actuadores están generalmente relacionados con fallas de dimensionamiento (en general están subdimensionados) y los problemas de histéresis que introducen no linealidades importantes. Por su parte, los dispositivos asociados con la medición de las señales de la planta (sensores, dispositivos de adquisición de datos, adecuación de señales y sistemas de comunicación de datos de campo) a menudo se encuentran mal calibrados y, es frecuente que estén dotados de mecanismos inadecuados de filtraje pobre o bien de filtraje excesivo (producido en los llamados sensores inteligentes). Más aún, muchos sistemas de control no cumplen con las condiciones mínimas para su operación en tiempo real.” 40 Es así que quedan por hacer muchas mejoras sustanciales con respecto al desempeño de los procesos industriales. Por su parte, la industria, a medida que la demanda de productos requiere una mejor calidad, está obligada a mejorar sus lazos de control, lo que a su vez requiere un mayor conocimiento acerca de los procesos y de sus mecanismos de regulación. “Se puede mostrar empíricamente que el llamado “controlador PID” es una estructura útil. Dentro de la banda proporcional el comportamiento del algoritmo PID en su versión de “libro de texto” se puede describir como: = [ ( )+1 0 + ( ) ] donde u es la variable de control y e es el error de control. De esta manera, la variable de control es una suma de tres términos: el término P, que es proporcional al error; el término I, que es proporcional a la integral del error; y el término D, que es proporcional a la derivada del error. Los parámetros del controlador son: la ganancia proporcional K, el tiempo integral T i y el tiempo derivativo Td.” 41 40 41 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 156 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 156 Acción Proporcional 34 “El controlador proporcional es esencialmente un controlador anticipativo, así mismo, este tendrá efecto sobre el error en estado estable sólo si el error varía con respecto al tiempo, pero tiene una gran desventaja, atenúa el ruido en frecuencias altas.”42 En el caso de un control proporcional puro, la ley de control se da en la siguiente ecuación: = + “La acción de control es simplemente proporcional al error de control. La variable es una señal de polarización o un reset. Cuando el error de control e es cero, la variable de control toma el valor u (t) = . La polarización a menudo se la fija en + 2, pero, algunas veces, puede ser ajustada manualmente de forma que el error de control en estado estacionario sea cero en una referencia dada.” 43 El diseño de este tipo de controlador afecta el desempeño de un sistema de control de las siguientes maneras: • Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. • Reduce el tiempo de asentamiento y levantamiento. • Mejora el margen de ganancia, el margen de fase. • En la implementación de un circuito, puede necesitar de un capacitor muy grande. La parte proporcional no considera el tiempo, por tanto la mejor manera de solucionar el error permanente y hacer que el sistema contenga alguna componente que tenga en cuenta la variación con respecto al tiempo es incluyendo y configurando las acciones integral y derivativa. 42 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 225 43 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 225 Acción Integral 35 “La función principal de la acción integral es asegurar que la salida del proceso concuerde con la referencia en estado estacionario. Con el controlador proporcional, normalmente existiría un error en estado estacionario. Con la acción integral, un pequeño error positivo siempre producirá un incremento en la señal de control y, un error negativo siempre dará una señal decreciente sin importar cuán pequeño sea el error. ”44 “El siguiente argumento simple muestra que el error en estado estacionario siempre será cero con la acción integral. Asuma que el sistema está en estado estacionario con una señal de control constante 0, y un error constante 0. La señal de control está dada por: 0= ( 0+ 0 ) como se tiene que 0 ≠ 0, claramente se contradice el supuesto de que la señal de control 0 se mantiene constante. Por tanto, como resultado de esto, un controlador con acción integral siempre dará un error en estado estacionario cero.” 45 Debido a que al incorporar un polo en lazo abierto en el origen, se desplaza el lugar geométrico de las raíces del sistema hacia el semiplano derecho de s. Por esta razón, en la práctica la acción integral suele acompañarse por otras acciones de control. Acción Derivativa “El propósito de la acción derivativa es mejorar la estabilidad de lazo cerrado, mantener el error al mínimo corrigiéndolo proporcionalmente con la velocidad misma que se produce, de esta manera evita que el error se incremente.”46 44 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 235 45 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 235 46 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 236 “El mecanismo de inestabilidad puede ser descrito intuitivamente como sigue. Debido a la dinámica del proceso, pasa algún tiempo antes de que la variable de control se note en la salida 36 del proceso. De esta manera, el sistema de control tarda en corregir el error. La acción de un controlador con acción proporcional y derivativa puede ser interpretada como si el control proporcional fuese hecho para predecir la salida del proceso. La predicción se hace por la extrapolación del error de control en la dirección de la tangente a su curva respectiva.”47 “La estructura básica de un controlador PD está dada por: ( )= [ ( )+ ( ) ] De esta manera, la señal de control es proporcional a un estimado del error de control en un tiempo Td hacia adelante, donde el estimado se obtiene mediante extrapolación lineal.” 48 2.14 Controladores de error cuadrático “En la forma estándar del control PID, el error de control ingresa linealmente en el algoritmo. Algunas veces es deseable tener ganancias altas en el controlador, sobre todo cuando el error de control es grande. Otras veces se requiere pequeñas ganancias, cuando el error de control es pequeño. Una forma común de obtener esta propiedad es usar el cuadrado del error de control, es decir, el error de control sustituido por: = | | El error cuadrático es más comúnmente usado sólo en el término proporcional, algunas veces en el término integral, pero raras veces en el término derivativo.” 49 47 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, Segunda Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 232 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, Segunda Ed. 2006, Alfaomega. Pág 234 49 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 160 48 “Una razón para el uso de controladores de error cuadrático es la capacidad para reducirlos efectos de las perturbaciones de baja frecuencia en la señal de medición. Estas perturbaciones no pueden ser filtradas, pero con el uso del control cuadrático se da una amplificación muy pequeña 37 del ruido, cuando el error de control es pequeño y un control más efectivo, en cuanto a velocidad de respuesta, cuando el error de control es grande.” 50 2.15 Salidas especiales del controlador “Las entradas y salidas de un controlador son normalmente señales analógicas, típicamente de 020 mA o de 4-20 mA. La razón principal para el uso de 4 mA en vez de 0 mA, como límite inferior, es que muchos transmisores están diseñados para su conexión con dos hilos. Esto significa que el mismo hilo es usado tanto para manejar el sensor como para transmitir la información desde el sensor hasta el controlador. En este caso, no sería posible manejar el sensor con una corriente de 0 mA. Por otra parte, la razón principal del uso de corriente en vez de voltaje es evitar la influencia de las caídas de voltaje, debidas a la resistencia a lo largo del recorrido del hilo (tal vez muy largo).” 51 2.16 Windup del integrador “Aunque muchos de los aspectos de un sistema de control se pueden entender a partir de la teoría de control lineal, algunos efectos no lineales deben ser tomados en cuenta a la hora de implementar un controlador. Todos los actuadores tienen limitaciones: un motor tiene limitada su velocidad, una válvula no puede abrirse más de “completamente abierta” y no puede cerrarse más de “complemente cerrada”, la fuente de alimentación de energía de un dispositivo eléctrico es finita, etc. Para un sistema de control con un amplio rango de condiciones de operación, puede suceder que la variable de control alcance los límites prefijados del actuador. Cuando esto pasa, el lazo realimentado permanece en su límite independientemente de la salida del proceso. Si se usa un controlador con acción integral, el error continuará siendo integrado, incrementando aún 50 51 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 160 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 160 más su valor. Esto significa que el término integral puede volverse muy grande o, coloquialmente, hacer “windup”. Entonces, se requiere que el error tenga el signo opuesto por un periodo de tiempo suficientemente largo, antes de que las cosas regresen a las condiciones 38 normales de operación. La consecuencia es que cualquier controlador con acción integral puede dar transitorios grandes cuando el actuador se satura.” 52 El windup del integrador puede ocurrir en conexión con cambios grandes en la referencia o puede ser causado por perturbaciones o malfuncionamiento del equipamiento del sistema de control. El windup también puede ocurrir cuando se usan selectores de varios controladores que manejan un actuador. Un caso digno de mencionar es el control encascada, donde el windup puede ocurrir en el controlador primario cuando el controlador secundario se conmuta a modo manual, usa su referencia local, o si su señal de control se satura. “El fenómeno de windup era bien conocido por los fabricantes de controladores analógicos quienes inventaron numerosos trucos para evitarlo. Estos fueron descritos bajo etiquetas como “preloading”, “batchunit”, etc. Aunque el problema fue comprendido, existieron limitaciones para resolverlo, debido a las implementaciones de naturaleza analógica. Las ideas, a menudo, se mantuvieron en secreto y no se hablaron mucho de ellas.” 53 El problema del windup fue redescubierto cuando los controladores fueron implementados en forma digital y numerosos métodos para evitarlo fueron presentados en la literatura como los que se citan a continuación. Limitaciones de la referencia Una forma de evitar el windup del integrador es introducir limitadores en las variaciones de la referencia tal que la salida del controlador nunca alcance los límites del actuador. Esto, a menudo, produce cotas conservativas y límites en el funcionamiento del controlador. Más aún, no evita el windup causado por las perturbaciones. 52 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 168 53 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers Theory Desing and Tunning, 2 a Ed. 1995. Pág. 169 Algoritmos incrementales 39 “En la primera época del control realimentado, la acción integral fue integrada con el actuador, teniendo un motor manejando directamente una válvula de control. En este caso, el windup fue manejado automáticamente, debido a que la integración para cuando la válvula de control para. Cuando los controladores fueron implementados mediante técnicas analógicas, y más tarde con computadoras, muchos fabricantes usaron una configuración análoga al viejo diseño mecánico, esto condujo a los llamados algoritmos de velocidad. En este algoritmo, primero se calcula la tasa de cambio de la señal de control y luego se la alimenta a un integrador. En algunos casos este integrador es directamente un motor conectado al actuador. En otros casos el integrador es implementado internamente en el controlador. Con este método es fácil manejar los cambios de modo de control y el windup. A su vez, el windup se evita inhibiendo la integración cuando se satura la salida. Este método es equivalente al del cálculo, que se describe a continuación. Si la salida no es medible, se puede usar un modelo que calcula la salida saturada. Es también fácil limitar la tasa de cambio de la señal de control.” 54 Recalculo y seguimiento “El recalculo trabaja como sigue: cuando la salida se satura, la integral es recalculada tal que su nuevo valor proporciona una salida en el límite de la saturación. Tiene la ventaja de no reinicializar el integrador instantáneamente, pero sí dinámicamente con una constante de tiempo Ti.” 55 2.17 Reglas de sintonización para controladores PID Si se puede obtener un modelo matemático de la planta, es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado. Sin embargo, si la planta es 54 55 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers: Theory, Desing and Tunning, 2 a Ed. ISA, 1995. Pág. 171 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers: Theory, Desing and Tunning, 2 a Ed. ISA, 1995. Pág. 171 40 tan complicada que no es fácil obtener su modelo matemático, tampoco es posible un enfoque analítico para el diseño de un controlador PID. En este caso, se debe recurrir a los enfoques experimentales para la sintonización de los controladores PID. “El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones de desempeño se conoce como sintonización del controlador. Ziegler y Nichols sugirieron más reglas para sintonizar los controladores PID (lo cual significa establecer valores de Kp, Ti y Td) con base en las respuestas escalón experimentales o basadas en el valor de Kp que se produce en la estabilidad marginal cuando sólo se usa la acción de control proporcional.”56 Las reglas de Ziegler-Nichols, son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemáticos de las plantas. (Por supuesto, estas reglas se aplican al diseño de sistemas con modelos matemáticos conocidos). 2.17.1 Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID “Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, con base en las características de respuesta transitoria de una planta específica. Tal determinación de los parámetros de los controladores PID o de la sintonización de los controles PID la realizan los ingenieros en el sitio mediante experimentos sobre la planta.” 57 Existen dos métodos denominados reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. En ambos se pretende obtener un 25% de sobrepaso máximo en la respuesta escalón. 56 57 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 670 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 671 41 Primer método: “En el primer método, la respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S (Si la respuesta no exhibe una curva con forma de S, este método no es pertinente.) Tales curvas de respuesta escalón se generan experimentalmente o a partir de una simulación dinámica de la planta. ”58 Figura 2.1 Método de Ziegler y Nichols. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. “La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la línea C(t) = K.” 59 Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la siguiente tabla: 58 59 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 671 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 673 42 Tipo de controlador Kp Ti Td P T/L ∞ 0 PI 0.9T/L L/0.3 0 PID 1.2T/L 2L 0.5L Segundo método: “En el segundo método, primero se establece Ti = cte y Td= 0. Usando sólo la acción de control proporcional, se incrementa Kp de cero a un valor crítico Kc en donde la salida exhiba primero oscilaciones sostenidas. (Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, no se aplica este método). Por tanto, la ganancia crítica Kc y el periodo Pc correspondiente se determinan experimentalmente.”60 Figura 2.2 Segundo método de Ziegler-Nichols. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. 60 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 672 43 Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la siguiente tabla: Tipo de controlador Kp Ti Td P 0.5Kcr ∞ 0 PI 0.45Kcr Pcr/1.2 0 PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr “Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se han usado ampliamente para sintonizar controladores PID en los sistemas de control de procesos en los que no se conoce con precisión la dinámica de la planta. Tales reglas de sintonización han demostrado ser muy útiles durante muchos años. Por supuesto, las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se aplican a las plantas cuya dinámica se conoce. (En estos casos, se cuenta con muchos enfoques analíticos y gráficos para el diseño de controladores PID, además de las reglas de sintonización de ZieglerNichols).”61 “Si se conoce la función de transferencia de la planta, se calcula la respuesta escalón unitario o la ganancia crítica Kc y el periodo crítico Pc. A continuación, empleando los valores calculados, es posible determinar los parámetros Kp, Ti y Td. Sin embargo, la utilidad real de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichol se vuelve evidente cuando no se conoce la dinámica de la planta, por lo que no se cuenta con enfoques analíticos o gráficos para el diseño de controladores.” 62 En general, para aquellas plantas con una dinámica complicada y sin integradores, se han aplicado las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Sin embargo, si la planta tiene un integrador, en algunos casos estas reglas no son pertinentes. 61 62 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 673 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 673 44 2.17.2 Método de asignación de polos “Este método está basado en el conocimiento de la función de transferencia del proceso en estudio. Dicho método simplemente intenta encontrar un controlador que proporcione en lazo cerrado polos deseados para obtener determinadas especificaciones.” 63 El método de asignación de polos se realiza de la siguiente manera: primeramente se obtiene el polinomio característico con los polos deseados en lazo cerrado del controlador y del proceso en estudio, el cual queda en función de los parámetros del controlador (PID). Luego se calcula un segundo polinomio con los polos deseados en lazo cerrado para que el proceso cumpla determinadas especificaciones. “En este punto se debe tener presente lo siguiente: debido a que la mayoría de los sistemas de control que se encuentran en la práctica son de órdenes mayores que 2, es útil establecer guías en la aproximación de sistemas de mayor orden mediante órdenes menores, siempre y cuando sea referente a la respuesta transitoria. En el diseño se pueden usar los polos dominantes para controlar el desempeño dinámico del sistema, mientras que los polos insignificantes se utilizan con el fin de asegurar que la función de transferencia del controlador pueda realizarse a través de componentes físicos.” 64 “En la práctica y en la literatura se ha reconocido que si la magnitud de la parte real de un polo es de por lo menos 5 a 10 veces mayor que el polo dominante de un par de polos complejos dominantes, el polo puede denotarse en cuanto a la respuesta transitoria se refiere.” 65 “Tomando en cuenta lo expuesto anteriormente se adicionarán a los polos de la dinámica dominante tantos polos insignificantes como sea necesario para obtener el mismo orden de la ecuación característica de la ecuación de transferencia del sistema de control.” 66 63 BENJAMÍN C. KUO, Sistemas de Control Automático, 7ª Ed. 1996, Prentice Hall. Pág. 417 BENJAMÍN C. KUO, Sistemas de Control Automático, 7ª Ed. 1996, Prentice Hall. Pág. 417 65 BENJAMÍN C. KUO, Sistemas de Control Automático, 7ª Ed. 1996, Prentice Hall. Pág. 417 66 BENJAMÍN C. KUO, Sistemas de Control Automático, 7ª Ed. 1996, Prentice Hall. Pág. 418 64 45 Luego de obtenidos ambos polinomios o ecuaciones se procede a igualar los coeficientes de las dos ecuaciones características, para determinar así cada uno de los parámetros del controlador que se esté aplicando. 2.18 Modificaciones de los esquemas de control PID “En el sistema de control PID básico, si la entrada de referencia es una función escalón, debido a la presencia del término derivativo en la acción de control, la variable manipulada contendrá una función impulso (una función delta). En un controlador PID real, en lugar del término derivativo puro Tds empleamos: 1+£ donde el valor de £ está en algún punto alrededor de 0.1. Por tanto, cuando la entrada de referencia es una función escalón, la variable manipulada no contendrá una función impulso, sino que implicará una función de pulso aguda. Tal fenómeno se denomina reacción del punto de ajuste.” 67 “Para evitar el fenómeno de la reacción del punto de ajuste, se pretende operar la acción derivativa sólo en la trayectoria de realimentación, a fin de que la diferenciación ocurra únicamente en la señal de realimentación y no en la señal de referencia. El esquema de control ordenado de esta forma se denomina control PI-D.” 68 67 68 ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers: Theory, Desing and Tunning, 2 a Ed. ISA, 1995. Pág. 214 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 674 Control I-PD 46 “Tanto el control PID como el control PI-D implican una función escalón en la seña1 manipulada. En muchas ocasiones, tal cambio escalón en la señal manipulada tal vez no sea conveniente. Por tanto, puede convenir mover la acción proporcional y la acción derivativa a la trayectoria de realimentación, a fin de que estas acciones solo afecten la seña1 de realimentación. Tal esquema de control, se denomina control I-PD.” 69 2.19 Control PID con mmás de un grado de libertad. Los grados de libertad del sistema de control se refieren al número de funciones de transferencia en lazo cerrado que son independientes. Figura 2.3 Control con dos grados de libertad. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. 69 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Prentice Hall. Pág. 678 47 Figura 2.4 Control con dos grados de libertad. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. “Se ha mostrado que el control PI-D se obtiene moviendo la acción de control derivativa a la trayectoria de realimentación y que el control I-PD se obtiene moviendo las acciones de control proporcional y la derivativa a la trayectoria de realimentación. En lugar de mover la acción de control derivativa completa o la acción de control proporcional a la trayectoria de realimentación, es posible mover solo partes de estas acciones de control a la trayectoria de realimentación, conservando las partes restantes en la trayectoria directa. En la literatura se ha propuesto un control PI-PD, cuyas características se encuentran entre el control PID y el control I-PD. Asimismo, se puede considerar un control PID-PD. En estos esquemas de control tenemos un controlador en la trayectoria directa y otro en la trayectoria de realimentación. Tales esquemas de control nos conducen a un esquema de control más general con dos grados de libertad.” 70 ¿Cuándo se puede usar el controlador PID? Los requerimientos de un sistema de control pueden incluir muchos factores, tales como la respuesta a las señales de comando, la insensibilidad al ruido de medición y a las variaciones en el proceso y el rechazo a las perturbaciones de carga. El diseño de un sistema de control también involucra aspectos de la dinámica del proceso, del actuador, de la saturación y de las características de la perturbación. Parece sorprendente que un controlador tan simple como el PID pueda trabajar tan bien. La observación empírica general es que la mayoría de los procesos pueden ser controlados razonablemente con control PID, ya que la demanda de desempeño del 70 KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4a Ed. 2003, Edit. Prentice Hall. Pág. 683 48 control en muchos procesos industriales no es muy sofisticada. En lo que sigue se explora aún más este aspecto, primero considerando casos donde el control PID es suficiente y luego discutiendo un par de problemas genéricos donde los controladores más sofisticados son aconsejables. ¿Cuándo un control PI es suficiente? Frecuentemente, la acción derivativa no es usada. Es interesante observar que muchos controladores industriales sólo tienen la acción PI y que en otros, la acción derivativa puede ser puesta a off, como frecuentemente lo es. Se puede mostrar que un control PI es adecuado para procesos donde la dinámica del sistema es esencialmente de primer orden (control de nivel de un solo tanque, tanques de mezclado, reactores perfectamente agitados, etc.). Es fácil comprobar esto, si fuese el caso, midiendo la respuesta al escalón o la respuesta en frecuencia del proceso. Si la respuesta al escalón se parece a la de un sistema de primer orden, o más precisamente, si la curva de Nyquist se sitúa sólo en el primero y cuarto cuadrante, entonces el control PI es suficiente. Otra razón es que el proceso ha sido diseñado tal que su operación no requiere un control fino. Entonces, aún si el proceso tiene dinámica de alto orden, lo que se requiere es una acción integral que lleve a cero el error en estado estacionario y una adecuada respuesta transitoria proporcionada por una acción proporcional. ¿Cuándo un control PID es suficiente? Similarmente, el control PID es suficiente para procesos donde la dinámica dominante es de segundo orden. Para estos procesos no existe mayor beneficio con el uso de un controlador más sofisticado. Un caso típico de la acción derivativa, introducida para mejorar la respuesta, es cuando la dinámica del proceso está caracterizada por constantes de tiempo que difieren en magnitud. La acción derivativa puede dar buenos resultados para aumentar la velocidad de respuesta. El control de temperatura es un caso típico. La acción derivativa es también beneficiosa cuando se requiere un control más fino para un sistema de alto orden. La dinámica de alto orden limitaría la 49 cantidad de ganancia proporcional para un buen control. Con la acción derivativa, se mejora el amortiguamiento ya que se puede utilizar una ganancia proporcional más alta y elevar la velocidad de la respuesta transitoria. A continuación se define los bloques eléctricos de las cuales se obtiene el modelado matemático de la planta RLC. 2.20 Bloques funcionales de un sistema eléctrico Los bloques funcionales básicos de sistemas eléctricos pasivos son inductores, capacitores y resistores. “Para un inductor, la diferencia de potencial v, a través de éste en cualquier instante depende de la tasa de cambio de la corriente (di/dt) que fluye por él. V=L donde L es la inductancia. La dirección de la diferencia de potencial es la opuesta a la dirección de la diferencia de potencial empleada para hacer fluir corriente por el inductor, por lo tanto se denomina fuerza contra electromotriz.”71 La ecuación se puede rescribir para obtener i = 1 “Para un capacitor, la diferencia de potencial a través de éste depende del cambio de carga q, entre las placas del capacitor en el instante considerado.” 72 71 72 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, Segunda Edición, 2006, Alfaomega. Pág. 45 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, Segunda Edición, 2006, Alfaomega. Pág. 46 50 V= donde C es la capacitancia. Puesto que la corriente i, hacia el capacitor o desde éste es la tasa a la cual se mueve la carga hacia las placas del capacitor o desde éstas, es decir, i= entonces la carga total q, entre las placas del capacitor está dada por q = y así, la ecuación (V = q / C) se puede rescribir como v = 1 De modo, puesto que V = q / C, entonces = 1 y así, debido a que i = dq / dt, entonces i=C Para un resistor, la diferencia de potencial v, a través de éste en cualquier instante depende de la corriente i, que fluye por él. V=Ri donde R es la resistencia. Tanto el inductor como el capacitor almacenan energía, la cual puede liberarse después. Un resistor no almacena energía, solo puede disiparla. La energía que almacena un inductor cuando hay una corriente i es E = 12 2 La energía que almacena un capacitor cuando hay una diferencia de potencial v, a través de éste es 51 E = 12 2 La potencia P, que disipa un resistor cuando hay una diferencia de potencial v, a través de éste es P = 12 2 Las ecuaciones que describen cómo se pueden combinar los bloques funcionales eléctricos son las leyes de Kirchhoff, las cuales se pueden expresar como: a) “Ley 1. La corriente total que fluye hacia una unión es igual a la corriente total que fluye desde una unión, es decir, la suma algebraica de las corrientes en la unión es cero.”73 b) “Ley 2. En un circuito cerrado o malla, la suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada parte del circuito es igual a la fuerza electromotriz (f.e.m) aplicada.”74 “Una forma conveniente de utilizar la ley 1 es el llamado análisis de nodos, puesto que la ley se aplica a cada uno de los nodos principales de un circuito; un nodo es un punto de unión o conexión entre bloques funcionales o elementos del circuito y un nodo principal es aquel en el que se encuentran tres o más ramas del circuito. Un modo conveniente de utilizar la ley 2 es el llamado análisis de mallas, dado que la ley se aplica a cada una de las mallas; una malla es una trayectoria cerrada que no contiene ninguna trayectoria cerrada.” 75 73 ROBERT BOYLESTAD, Teoría de Circuitos, 6ª Ed. Printice Hall. Pág. 112 ROBERT BOYLESTAD, Teoría de Circuitos, 6ª Ed. Printice Hall. Pág. 112 75 WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. Pág. 48 74 52 3 Marco Metodológico 3.1 Tipo de investigación 53 Por su finalidad es una investigación aplicada, puesto que se utiliza conocimientos de la electrónica y de control para aplicarlos a los circuitos de control. Teniendo en cuenta sus objetivos es descriptiva ya que buscará mostrar los procedimientos a seguir en el cálculo de los parámetros del controlador. 3.2 Área de estudio El trabajo será montado en un prototipo en el Laboratorio de Electrónica de Facultad de Ciencias y Tecnología, para que con la ayuda de otros instrumentos como el generador de señales, fuente de alimentación y osciloscopio se pueda visualizar un sistema de control ral. 3.3 Fuente de información Para la recolección de la información primaria se recurre al estudio de campo, se observa directamente el comportamiento del circuito de control a fin de comprender su funcionamiento. Para la recolección de las fuentes secundarias se recurre a los libros de textos, páginas webs, revistas científicas. Para los cálculos y las simulaciones se recurre al programa informático MatLab 7.10 y su herramienta Sisotool. 3.5 Métodos, técnicas, instrumentos y procedimientos Cálculo manual de la función de transferencia del controlador PID basado en el circuito con amplificadores operacionales. Simulación mediante los programas informáticos Matlab y Proteus. 54 Para prueba del circuito, se monta el sistema sobre protoboard, con la ayuda de los instrumentos: - Osciloscopio - Téster - Generador de señales - Fuente de alimentación Para corroborar el funcionamiento del sistema, se varían los parámetros del compensador y se utilizan los siguientes tipos de señales: rampa, diente de sierra, escalón, senoidal. Para verificar el funcionamiento de los componentes reales, se monta el prototipo sobre placa perforada. Para la construcción de las placas, se crea un diseño gráfico del circuito (PCB) con el programa Proteus. 3.6 Circuito RLC o Planta Como se puede ver el sistema es una planta de segundo orden con dos resistencias, un inductor y un capacitor que almacenan energía. 55 L1 R1 e i R2 e C 1 o Figura 3.1 La planta. Fuente: Elaboración propia. Aplicando las leyes de Kirchhoff se tiene: • ① eᵢ− 2 1 = 2−eₒ eₒ + 2 2 => eᵢ 1 = 2 ( 1 1 + 1 2 + 1 ) - ② 2−eₒ = eₒ => 2 = eₒ( 1 ) + 1 Se despeja ( 2): 2 = eₒ (1+ XL ) Introduciendo la ecuación ② en la ecuación ① • eᵢ 1 = eₒ (1+ XL => ) ( 1 1 + 1 2 + 1 eᵢ 1 = eₒ ( 1 1 + 1 2 + 1 ) - eₒ + X L 2∗ + XL 1∗ + 1 ) - eₒ ( eᵢ = eₒ 1 1 1 + 1 2 + X L 2∗ + XL 1∗ + 1 ) 56 ( => eₒ eᵢ = 1 1 1∗ XC+ 2∗ XC+XL∗ 1+XL∗ 2+ 1∗ 2 1∗ 2∗ • ) Si se toma la transformada de Laplace de esta ecuación resulta: Eₒ(S) Eᵢ(S) = 2 1 Eₒ(S) Eᵢ(S) = 2 + 2 + 1∗ L∗ S + 2∗ L∗ S + 1∗ 2 1+ 2+ 1∗ L∗ C∗ S2+ 2∗ L∗ C ∗ S2+ 1∗ 2∗ C∗ S • Entonces la función de transferencia de la planta es: G(s) = ₒ( ) ᵢ( ) = ∗ + + ∗ ∗ ∗ + ( + ) 3.7 Las etapas del controlador PID con amplificadores operacionales En la figura 3.2 se puede observar el circuito equivalente del controlador PID, con cada una de sus etapas: proporcional (P), integral (I), y derivativo (D). 57 Figura 3.2 Las etapas del controlador PID. Fuente: Sistema de Control Automático, B. Kuo. Para este análisis se parte de los principios del amplificador operacional ideal cuyas características se citan a continuación: 1. El voltaje entre las terminales es cero; esto es, e⁺ = e⁻. Esta propiedad se conoce comúnmente como tierra virtual o corto virtual. 2. Las corriente entre las terminales + y – son cero. Por tanto la impedancia de entrada es infinita. 3. La impedancia vista hacia la terminal de salida es cero. Por tanto, la salida es una fuente de voltaje ideal. 4. La relación entrada-salida es e˳= A (e⁺ - e⁻), donde la ganancia A tiende a infinito. 58 Parte proporcional (P) Con el control proporcional la salida del controlador es directamente proporcional a su entrada; la entrada es la señal de error, la cual es una función de tiempo. La salida del controlador depende sólo de la magnitud del error en el instante en el que se considera. El controlador proporcional es, en efecto, sólo un amplificador con una ganancia constante. En cierto tiempo, un error grande produce una salida grande. Rd V i Rc V0 1 Figura 3.3 Parte proporcional. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. −0 =− = 0− 1 =− 1 1 =− ④ 1( ) ( ) Parte integral (I) El controlador integral es un circuito electrónico que genera una salida proporcional a la señal de entrada. La figura (3.4) muestra el circuito de un controlador integral, el capacitor C está conectado entre la entrada inversora y la salida. De esta forma, la tensión en las terminales del capacitor es además la tensión de salida. 59 Cc V Rf i V0 2 Figura 3.4 Parte integral. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. −0 = 0− 02 02( ) = ( ) = − 02 ( ) = -­‐Cc 02( ) ⑤ Parte derivativa (D) La acción de control derivativa responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande y además tiende a aumentar la estabilidad del sistema. Rh V Rg i Cd V0 3 Figura 3.5 Parte derivativa. Fuente: Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata. −0( − ℎ + + ) = 0− 03 ℎ + = − 03 ℎ 03 = 60 03( ) = − ℎ − ℎ ( ) +1 ⑥ 03( ) = ( ) 1+ 3.8 Función de transferencia del controlador En base a los valores obtenidos en cada etapa se halla , el cual va a ser la función de transferencia del controlador PID análogo, C(S) 1( ) − 0 + 2( ) − 0 + 3 − 0 = 0 − 1( ) 1( ) + 2( ) + 3 = - Reemplazando la ecuación 4, 5 y 6 en la 7: − ( ) -­‐ -­‐ − ℎ ( ) ( ) 1+ = -­‐ (s) = ( (s) = )(1+ + ℎ + 1 1+ 1+ ) + + ℎ 1+ ( )( ) (s) = ℎ ℎ ² + (1+ ²+ + + ) (s) = + ( + 1 + ) ℎ ℎ ²+ + 61 ℎ ℎ (s) = ² + + + + ) ( + 1 1 (s) = ) + ℎ ² + + 1 + 1 ( + + 1 + 1 ( + ⑧ ( ) = 1 + ℎ ² + ) 3.9 Cálculo de los parámetros del controlador mediante MatLab y la Sisotool Con el programa MatLab y una herramienta llamada Sisotool, se procede al cálculo de los parámetros del controlador y la simulación del sistema. Primeramente se carga los datos de la planta (circuito RLC), cuyos valores fueron seleccionados arbitrariamente y se realiza la simulación en lazo abierto sin el compensador, ejecutando el programa que sigue: %%%%% %%%% %%%% Función de transferencia de la planta %%%%% G(s) = R2/ [(R1+R2) LCS^2+CR1R2S+ (R1+R2)] Componentes de la planta %%%% %%%% R1=100 R2=10000 L=37e-6 C=1e-6 62 %%%% Lazo abierto %%%% %%% Numerador de la planta %%%% n=R2 %%% Denominador de la planta %%% da=[(R1+R2)*L*C,C*R2*R1,+(R2+R1)] %%% Función de transferencia de la planta %%% Pl=tf(n,da) Se grafica el lugar de las raíces, la respuesta a la entrada escalón de la planta en lazo abierto con los siguientes comandos: %% Lugar de las raíces figure(1) rlocus(n,da) Figura 3.6 Lugar de las raíces en lazo abierto. Fuente: Elaboración propia. 63 %% Respuesta al escalón figure(2) step(n,da) Figura 3.7 Respuesta al escalón en lazo abierto. Fuente: Elaboración propia. La gráfica del sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria y sin compensar (figura 3.8), se presenta a continuación: %%%% %%% Lazo cerrado %%%% Función de transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria G(s)= R2/[(R1+R2)LCS^2+CR1R2S+(R1+2R2)] %%%% %%Denominador de la planta d=[(R1+R2)*L*C,C*R2*R1,(R1+2*R2)] 64 %% Lugar de las raíces figure(5) rlocus(n,d) Figura 3.8 Lugar de las raíces en lazo cerrado sin el compensador. Fuente: Elaboración propia. %% Respuesta al escalón figure(6) step(n,d) 65 Figura 3.9 Repuesta al escalón en lazo cerrado sin compensar. Fuente: Elaboración propia. %% Respuesta al impulso figure(7) impulse(n,d) 66 Figura 3.10 Repuesta al impulso en lazo cerrado sin el compensador. Fuente: Elaboración propia. %% Respuesta a rampa drc=[(R1+R2)*L*C,C*R2*R1,(R1+2*R2),0] figure(8) step(n,drc) 67 Figura 3.11 Repuesta a la rampa en lazo cerrado sin compensar. Fuente: Elaboración propia. Por los resultados obtenidos se observa que el sistema es muy inestable y que precisa de un compensador. Para el cálculo de los parámetros del compensador, se procede a hacer uso de la toolbox de MatLab Sisotool. 3.10 Implementación de la Sisotool de MatLab. Para ingresar a la Sisotool de Matlab se ejecuta el comando Sisotool en la ventana de comandos, después de esto se observa una ventana. Ver la figura 3.12. 68 Figura 3.12 Ventana Inicial de la herramienta SISO Design Tool. Fuente: Elaboración propia. Ubicados en la ventana de la Sisotool, se dirige el cursor a la pestaña File - Import en donde se puede seleccionar de un menú, la función de transferencia del circuito RLC o planta que se ha creado en Matlab, se selecciona y luego se lo asigna a plant, según la figura 3.13. Por último se da click en OK. 69 Figura 3.13 Ventana de importación de datos del sistema. Fuente: Elaboración propia. Para ver el comportamiento del sistema ante una entrada escalón, rampa, impulso y las gráficas de Bode, Nyquist o el lugar de las raíces se selecciona la pestaña Analysis Plots de la ventana principal de la Sisotool. Figura. 3.14. Figura 3.14 Ventana de selección del tipo de repuesta. Fuente: Elaboración propia. 70 Pero como estas características ya se obtuvieron en el programa de comandos de MatLab, se utiliza la Sisotool exclusivamente para calcular los parámetros del controlador PID cuya función de transferencia es: ( ) = ) + ² + + + ( + Para hallar estos parámetros se parte de la condición de que la respuesta del sistema en lazo cerrado ante una entrada tipo escalón, tenga un sobrepaso máximo Mp (overshoot) de 20% y un tiempo de asentamiento Ts de 0,1 mili segundos. A continuación se procede a asignar el tiempo de establecimiento y el porcentaje de overshoot que se planteó anteriormente. Esto se logra haciendo un click con el botón derecho del mouse sobre la región del lugar de las raíces y siguiendo la secuencia Desing Constraints - New. Esto se puede observar en la figura 3.15. 71 Figura 3.15 Asignación del overshoot y el setting time. Fuente: Elaboración propia. Se selecciona en el menú desplegable el Setting time que es el tiempo de establecimiento y se procede a asignarlo, por ultimo damos click en OK. Figura 3.16 Tiempo de establecimiento (Ts). Fuente: Elaboración propia. 72 Para asignar el overshoot, se repite los dos pasos anteriores, pero esta vez se selecciona en el menú desplegable la opción Percent overshoot. Fig. 3.17 Sobrepaso máximo (Mp). Fuente: Elaboración propia. Cumplidos los pasos anteriores, se puede observar en la ventana del lugar de las raíces el overshoot y el tiempo de establecimiento. Fig. 3.18 Figura 3.18 Lugar de las raíces, overshoot y tiempo de asentamiento. Fuente: Elaboración propia. 73 En la barra de menú se dá click en Compensators - Format, Options y se elige la opción Zero/Pole/Gain luego clic en Apply, Ok, esto con el fin de visualizar el controlador en formato de ganancia, polos y ceros. Luego se dirige el cursor a la barra de menú y se selecciona la opción Compensators Editor. Figura 3.19 Figura 3.19 Ventana de propiedades del compensador. Fuente: Elaboración propia. Debido a que el compensador PID consta de dos polos y dos ceros, donde uno de sus polos está ubicado en el origen, se realiza los siguiente pasos. Una vez abierto el editor del compensador se da click derecho en el recuadro como se indica en la figura 3.20 y se selecciona la opción Add Real Zero y se asigna dos ceros arbitrariamente, se hace lo mismo para la ubicación de los polos asignando uno al origen y el otro de forma arbitraria. Se asigna una ganancia del controlador en la casilla Gain; por último se da click en Apply y OK. (Los polos ubicados en la parte real positiva hacen inestables el comportamiento del sistema). 74 Figura 3.20 Asignación de los parámetros del compensador. Fuente: Elaboración propia. La respuesta ante una entrada escalón para los parámetros seleccionados se muestra en la figura 3.21. Como se observa, el overshoot es de un 57% y el tiempo de establecimiento de 0.00133 segundos por lo que el controlador aún no cumple con las condiciones de diseño antes asignadas. 75 Figura 3.21 Repuesta a un escalón para los parámetros seleccionados. Fuente: Elaboración propia. La idea de ubicar los dos ceros y un polo en posiciones arbitrarias, se debe a que por medio de la Sisotool que ofrece un entorno gráfico mediante el cual seleccionando estos ceros y polos y arrastrándolos a través del eje real, podemos modificar la línea de acción de los polos dominantes del sistema. El objetivo al que se quiere llegar para obtener el controlador deseado, es el de posicionar los ceros y el polo, ubicados arbitrariamente, de tal forma que la línea de acción pase justamente en el lugar donde se cruzan el overshoot y el tiempo de establecimiento. De esta forma se puede arrastrar los polos dominantes a ese punto, en el cual el controlador cumple con las condiciones de diseño establecidas. Después de varias pruebas de ubicación del polo y ceros del controlador se logra hacer coincidir la línea de acción de los polos dominantes con el punto de corte entre el overshoot y el tiempo de asentamiento. 76 Figura 3.22 Nuevos parámetros del compensador. Fuente: Elaboración propia. Como se puede observar en la ecuación del controlador, fue necesario ubicar los dos ceros arbitrarios en: -2e005 y -1.6e005 y el polo en: -1.3e005, por lo cual, al ubicar los polos dominantes en el punto de corte del overshoot y ts, se obtuvo una ganancia del controlador de 1e007. Se dirige nuevamente el cursor a la pestaña Analysis – Response toStepcommand para visualizar la respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado con el controlador anteriormente obtenido. Figura 3.23 77 Figura 3.23 Respuesta final del lazo cerrado de control. Fuente: Elaboración propia. En la figura 3.23 se puede observar que el sobrepaso es del 26% y el tiempo de establecimiento ts de 3e-005seg, que son significativamente cercanos al 20% del overshoot y a los 0.0001seg. del tiempo de establecimiento propuestos para el controlador. Por lo tanto, se opta por implementar este controlador en el circuito RLC o planta. Una vez obtenido estos parámetros, resta calcular los valores de los elementos del circuito PID. Para ello, se debe exportar el compensador obtenido anteriormente de la Sisotool al workspace de Matlab de la siguiente manera. En la Sisotool, se da click en File – Export, inmediatamente se abre la ventana que se observa en la Fig. 3.24, seleccionamos Compensator C y se da click en Export to workspace. 78 Figura 3.24 Ventana de importación de datos. Fuente: Elaboración propia. Hecho el paso anterior, se ubica en el workspace de Matlab y se visualiza el controlador escribiendo en la ventana de comandos C y se presiona la tecla Enter. Como se podrá ver el formato de la ecuación del controlador está en zpk. Zero/pole/gain: 21 (s+1e005) (s+2.5e005) -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐ s (s+3.5e005) Para visualizar el controlador en términos de potencias se escribe en el workspace tf(C). 21 s^2 + 7.35e006 s + 5.25e011 -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐ s^2 + 350000 s 79 Se remite a la ecuación del circuito PID obtenida, se puede observar que es similar a la ecuación del PID obtenido mediante la Sisotool. Esto se debe a que ambos controladores se caracterizan por tener dos ceros y dos polos, uno de ellos ubicado en el origen. Por tanto, se procede a igualar ambas ecuaciones. + ℎ C(s) = ² + + 1 + 1 ( + 1 ) = 21 2+7.35 006 +5.25 011 2+350000 Se expresa el controlador obtenido mediante la Sisotool de la siguiente forma: ( )= 1 2+ 1 + 1 ( + 1) Se aplica el método de igualación de términos de ambas ecuaciones para hallar los valores de los elementos del circuito PID. 1) 1= 2) 3) 1= 1=1 1=1 4) + ℎ +1 Debido a que se cuenta con un sistema de 4 ecuaciones y 7 incógnitas, es necesario asumir un valor de componente por etapa del circuito del PID, para así calcular los demás parámetros del circuito. En este caso se asumen valores de condensadores y resistencia para Cc, Cd y Rc: 80 Cc = 0.1nf Componente de la etapa integral. Cd = 0.1nf Componente de la etapa derivativa. Rc = 220Ω Componente de la etapa proporcional. Se procede a despejar Rg de la ecuación 4) 5) Rg = 1D1Cd Se despeja Rf de la ecuación 3) y se reemplaza en esta, la ecuación 5) Rf = 1 1 6) Rf = 1 1 Se despeja Rd de la ecuación 2), y se reemplaza en esta 5) y 6) Rd = 1−1 ; 7) Rd =( 1− 1 1) 1 Se despeja Rh de la ecuación 1), y se reemplaza en esta la ecuación 7) y 5) Rh =( 1− ) ; 8) Rh =( 1+ 1 1^2− 1 1)1 1 Nuevamente se utiliza los comandos de MatLab para calcular los valores de los elementos del circuito. 3.11 Cálculo de los valores de los elementos del circuito PID Para extraer los parámetros A1 B1 C1 y D1 del controlador hallado en la Sisotool, se implementa el siguiente código: %============================================================ % Extracción de los parámetros del controlador C(s) obtenido mediante la Sisotool. %============================================================ % A1*S^2+B1*S+C1 81 % C(s)= ---------------% S*(S+D1) % Se obtiene el numerador y el denominador del compensador. [n2,d2]=tfdata(C,'v'); %Se extraen los parámetros de este: A1=n2(1,1) B1=n2(1,2) C1=n2(1,3) D1=d2(1,2) Lo que da por resultado: A1=21 B1= 14630000 C1= 1.3000e+012 D1= 130000 Cumplido el paso anterior se implementa las ecuaciones 5), 6), 7) y 8) en el siguiente código, para obtener los valores de los elementos del circuito. Se recuerda que anteriormente se asignaron valores a unos componentes del circuito: Cc = 0.1nf Componente de la etapa integral. Cd = 0.1nf Componente de la etapa derivativa. Rc = 220Ω Componente de la etapa proporcional. Además de esto, se expresa la función de transferencia del circuito PID de la siguiente forma: A2*S^2+B2*S+C2 C(s)= ---------------S*(S+D2) 82 %============================================================ %Función del Compensador PID con operacionales. %============================================================ % (Rd/Rc+Rh/Rg)S^2 + (Rd/(RcRgCd)+1/(RfCc))S + 1/(RfRgCcCd) % C(s) = --------------------------------------------------------% S*(S+1/(RgCd)) % %Se expresa de esta forma la función del PID con operacionales. % A2*S^2+B2*S+C2 % C(s) = ----------------% S*(S+D2) %Se asigna un valor, solo a un componente de cada parte del %circuito. %(Parte proporcional, Parte integral y Parte derivativa), con %el fin de obtener los valores de los demás componentes %se aplica igualación de términos de ambos compensadores. Cc=0.1e-9; Cd=0.1e-9; Rc=220; %A2=A1; B2=B1; C2=C1; D2=D1 los parámetros del PID con %operacionales son iguales a los parámetros del PID hallados en la %Sisotool %Cálculo de los demás componentes del circuito con %operacionales. fprintf('Resistencias calculadas:\n') Rd=(B1-C1/D1)*Rc/D1 Rf=D1/(C1*Cc) Rg=1/(D1*Cd) Rh=(A1+C1/(D1^2)-B1/D1)/(D1*Cd) Lo que da como resultado: Rd = 7.8354e+003 Rf = 1000 Rg =7.6923e+004 Rh =3.8574e+005 83 4 Implementación del Controlador PID 4.1 Selección de componentes para la implementación del sistema. 84 Luego de realizar el diseño del controlador que satisface los objetivos planeados, se procedió a realizar la implementación; esto se inició eligiendo componentes electrónicos accesibles en el mercado y de fácil uso. En la siguiente tabla se indican los componentes usados para la construcción del controlador PID analógico para la planta RLC, posteriormente se dará una breve descripción sobre la elección de cada componente. Componentes Valor del Descripción del componente Cantidad 85 componente Amp. Op. Resistencias Resistencias Resistencias Resistencia 1MΩ 1/4W 220 Ω 1/4W 100 Ω 1/4W 10K Ω 1/4W Amp. Op. LM 324 2 Resistencias, 5% 11 Resistencias, 5% 1 Resistencias, 5% 1 Resistencias, 5% 1 Capacitores 0.1 nF Cerámico 2 Inductor 37µH Núcleo de ferrita 1 Capacitor 1 µF Electrolítico 50V 1 Placa Virgen - 15cmx15cm 1 Estaño - - 1 Cable - 1mm 1m Conexión 1 Potenciómetro de precisión 2 Simétrica 1 Potenciómetro de precisión 2 Caja Potenciómetros Fuente de Alimentación Potenciómetros 100KΩ +9V / -9V 150KΩ Lista de componentes electrónicos utilizados en la implementación del controlador PID. Uno de los principales componentes usados fue el amplificador operacional LM 324 (encapsulado DIP de 14 terminales), porque es de bajo costo y es muy utilizado en diversas 86 aplicaciones analógicas, este amplificador es de alta ganancia; además la ganancia de frecuencia unitaria está compensada con la temperatura. Otras ventajas de utilizar el LM 324 es que en un solo componente contiene cuatros operacionales, además tiene un alto rango de alimentación: Alimentación simple: entre 3V y 32V, Alimentación doble: entre +/- 1,5V y +/- 16V. Se usaron resistencias de películas de carbón porque tienen como características principales uniformidad de dimensiones, durabilidad, bajo nivel de ruido y alta estabilidad debido a su estrecho coeficiente de temperatura, además es posible obtener valores en un rango bastante amplio de resistencia. El valor escogido para las resistencias usadas en la implementación del controlador se seleccionó relativamente intermedio entre las resistencias comerciales existentes. En el caso de los capacitores se usaron del tipo cerámico para el controlador y electrolítico para la planta, este último es popular debido a su bajo costo y gran capacitancia por unidad de volumen. Para las correspondientes pruebas del controlador realizadas en protoboard, se seleccionaron potenciómetros ajustables de 1 vuelta para cada uno de los parámetros del controlador PID, por la comodidad que ofrecen; tanto por sus dimensiones físicas como de su fácil uso. Para realizar las conexiones entre el controlador PID y los equipos externos se usaron bornes; asimismo perillas para el fácil manejo de los potenciómetros. Se usaron zócalos para los amplificadores operacionales LM 324 en la construcción del circuito impreso con la finalidad de ofrecer ventajas en caso de ser necesario hacer cambios de componentes, ya que de esta manera no se trabaja directamente sobre la placa, lo cual evita daños en la misma. 87 4.2 Pruebas preliminares para la implementación del sistema. La construcción de los diseños circuitales de cada etapa del controlador analógico se inició realizando el montaje de los amplificadores operacionales LM 324, las resistencias y los capacitores para comprobar el funcionamiento de las configuraciones diseñadas en el capítulo anterior antes de realizar su respectivo circuito impreso. El proceso de montaje fue el siguiente: se colocaron los amplificadores operacionales LM 324 sobre el protoboard, se anexaron tanto las resistencias como los capacitores según las configuraciones diseñadas; se hicieron las respectivas conexiones para alimentar los amplificadores operacionales LM 324 con la fuente de +9V, -9V y tierra. Estas conexiones se realizaron de la siguiente manera: los pines 3, 5, 10, y 12 de los amplificadores se conectó a tierra, el pin 11 se conectó a la fuente de voltaje negativa de -9V y el pin 4 se conectó a la fuente de voltaje positiva +9V, como se ve en la figura 4.1. Figura 4.1 El sistema montado sobre el protoboard. Fuente: Elaboración propia. 88 Realizadas tanto las conexiones como la energización de los amplificadores, se procedió a hacer las pruebas correspondientes en cada proceso, para ellos se necesitó de un generador de señales, un osciloscopio y cables de conexión. Mediante los programas creados en MatLab mencionados en el capítulo anterior, se introdujeron las especificaciones deseadas para el proceso y se seleccionó el valor del parámetro variable correspondiente a la función en estudio del simulador. Para realizar el ajuste se usó un multímetro (téster), para medir el valor resistivo adecuado; este procedimiento se realizó en los cuatros potenciómetros correspondientes a los tres parámetros del controlador. Con el uso del osciloscopio se observó la señal de salida de la función controlada, observándose que el controlador PID realizaba la acción de control correspondiente. Figura 4.2 La señal de entrada y de salida de la función controlada. Fuente: Elaboración propia. 89 4.3 Construcción del circuito impreso para el sistema. Efectuadas las respectivas pruebas se obtuvo seguridad en el diseño seleccionado para el controlador, por lo que se procedió a realizar el circuito impreso del sistema, para el efecto se utilizó Proteus 7.9 SP1 (Electronics), en el cual se creó la simulación electrónica del PID. Este simulador tiene dos fases, en la primera fase se realizó el montaje del diseño en ISIS, el cual posee una gran diversidad de componentes electrónicos existentes en el mercado, lo cual favorece al seleccionar los componentes con las características exactas que se desean. Realizado el diseño se accedió a la fase dos, en esta se usa ARES, en la cual ya se tienen los componentes utilizados en ISIS, por lo tanto sólo se crearon las pistas o conexiones entre los componentes. En las figuras 4.3 y 4.4 se pueden observar los diseños obtenidos tanto en ISIS como en ARES para la realización del circuito impreso. Figura 4.3 Diseño obtenido en Proteus: ISIS para la realización del circuito impreso. Fuente: Elaboración propia. 90 Se realizó la impresión del circuito construido en Proteus (específicamente en ARES), el cual debe ser impreso sobre un material transparente, luego se procedió a marcar, con pincel indeleble, las pistas y los nodos en la placa. Se sumergió la placa en percluro de hierro aproximadamente durante 20 minutos, se lavó con agua, se dejó secar y así se obtuvo el circuito impreso. Figura 4.4 Diseño obtenido en Proteus: ARES para la realización del circuito impreso. Fuente: Elaboración propia. Una vez creado el circuito impreso, se taladraron con las brocas adecuadas y se montaron todos los componentes (zócalos, resistencias, capacitores, etc.) para realizar la soldadura de cada uno de ellos en la placa. En la figura 4.5 se observa el circuito impreso del sistema con sus respectivos componentes y los cables de conexiones. 91 Construido totalmente el circuito impreso del sistema se procedió a acondicionar una caja, con el fin de almacenar el circuito impreso. Se hicieron las respectivas conexiones entre la fuente y el controlador, se adicionaron a la caja los bornes, las perillas, los potenciómetros y todas las conexiones entre sí. Para facilitar el manejo del sistema se etiquetó en la caja cada componente externo de la siguiente manera: Potenciómetro RD = Etapa proporcional. Potenciómetro RF = Etapa integral. Potenciómetros RH y RG = Etapa derivativa. La señal de referencia se etiquetó como (IN), la señal de salida (OUT) es la señal de control, la cual es proporcionada por el controlador. La fuente de alimentación simétrica se indica con (+VCC) y (–VCC) y (GND) representa la conexión común (tierra) que se debe conectar a todos los dispositivo que se estén utilizando. 92 Figura 4.5 El circuito impreso del sistema completo con sus respectivos componentes y los cables de conexión. Fuente: Elaboración propia. En las siguientes figuras se observa el sistema completo implementado. 93 Figura 4.6 Vista superior del prototipo. Fuente: Elaboración propia. Figura 4.7 Vista lateral del prototipo. Fuente: Elaboración propia. 94 De esta manera se concluyó con la implementación del sistema y se procedió con la realización de las pruebas finales. Las siguientes gráficas son obtenidas a través de un osciloscopio, es decir en formar experimentales, por lo tanto no pueden compararse directamente con las gráficas simuladas obtenidas en MatLab. Figura 4.6 pruebas finales con diferentes tipos de señales. Fuente: Elaboración propia. 95 5 Resultados y análisis 96 Fue necesario asumir valores de componentes por cada etapa del circuito PID: Cc = 0.1nf Componente de la etapa integral. Cd = 0.1nf Componente de la etapa derivativa. Rc = 220Ω Componente de la etapa proporcional. Y los valores restantes del compensador obtenidos fueron: Rd = 7.8354e+003 Rf = 1000 Rg =7.6923e+004 Rh =3.8574e+005 5.1 Simulación de las diferentes partes del sistema en lazo cerrado. Figura 5.1 diagrama en bloques. Fuente: Elaboración propia En la figura 5.1 se observa el diagrama de bloques del sistema de lazo cerrado compensado, donde X(s) es la entrada, e(s) es el error y Y(s) es la salida del sistema. Para simular las diferentes respuestas del sistema, se crea un tren de pulsos que va a ser la entrada del sistema. 97 %============================================================ %Se genera una onda cuadrada, que va a ser la señal de %entrada, con un periodo de 1/1000, duración de 5e-3 seg y con %muestras cada (1e-3)/100 segundos. [u,t] = gensig('square',1/1000,5e-3,(1e-3)/100); La ecuación Y(s)/X(s), que se denomina src (sistema retroalimentado compensado) es: %Ecuación del sistema retroalimentado compensado src=Compensador*Planta/(1+Compensador*Planta) Al excluir el compensador de la anterior ecuación, se obtiene la función de transferencia del sistema de lazo cerrado no compensada. Por lo tanto, a esta ecuación se le va a llamar srnc (sistema retroalimentado no compensado). %Ecuación del sistema retroalimentado no compensado. srnc=(Planta/(1+Planta)) La ecuación del error del sistema, que es e (s), se la denominará s_error (señal de error): %Señal de error. s_error=1-src; El siguiente código se implementa para graficar las señales [u,t], srnc, src y s_error. %Se grafica todas las señales. subplot(2,2,1),plot(t,u); axis([0 5e-3 -0.2 1.2]); title('Señal de entrada'),grid; subplot(2,2,2),lsim(srnc,u,t); axis([0 5e-3 -0.2 1.2]); title('Salida sin compensar'),grid; subplot(2,2,3),lsim(src,u,t); axis([0 5e-3 -0.5 1.5]); title('Salida compensada'),grid; subplot(2,2,4),lsim(s_error,u,t); axis([0 5e-3 -1.2 1.2]); title('Señal de error'),grid; 98 Figura 5.2 Respuesta del sistema en MatLab ante una entrada de onda cuadrada. Fuente: Elaboración propia. Como se ve en las gráficas, la salida compensada es muy similar a la señal de entrada, por lo que el compensador calculado cumple satisfactoriamente los parámetros asignados. 5.2 Simulación del sistema mediante Simulink. Una forma de simular el sistema es por medio de Simulink, que se expresa mediante diagramas de bloques. 99 Para efectuar este análisis, obtenido el controlador en la Sisotool, se dirige a la opción Tools – Draw Simulink Diagram. Una vez hecho el paso anterior, se despliega la ventana de Simulink y se expresa el sistema en diagramas de bloques como se ve en la figura 5.3. Este en el bloque C, carga automáticamente el controlador diseñado en la Sisotool y en el bloque planta, la función de transferencia de la planta. Figura 5.3 Diagrama de bloques en Simulink. Fuente: Elaboración propia. La entrada en el bloque input, se debe cargarla dando doble click sobre este mismo, seleccionando el tipo de onda y la frecuencia, en este caso, cuadrada y con una frecuencia de 600Hz, respectivamente. Ver figura 5.4. 100 Figura 5.4 Asignación de los parámetros de entrada. Fuente: Elaboración propia. El diagrama de bloques de la figura 5.3, fue modificado con el objetivo de poder observar las diferentes señales del sistema, como señal de entrada, sistema no compensado, sistema compensado y señal de error, como se observa en la figura 5.5. 101 Figura 5.5 Diagrama modificado. Fuente: Elaboración propia. Los bloques untittledF y untittledH, fueron omitidos y además el bloque Output fue modificado para visualizar 4 señales diferentes. Esto se logra al dar doble click sobre el bloque llamado Output. Una vez hecho esto se procede a agregar la cantidad de señales que se quiere visualizar, en este caso son 4. 102 Figura 5.6 Propiedades de la salida. Fuente: Elaboración propia. Ahora se asigna el tiempo de duración de la simulación como se observa en la figura 5.7, en este caso el tiempo es de 0.005seg. Por último queda ejecutar el programa dando click en Simulation – Start (Ver fig. 5.8). Para visualizar las señales del sistema, se da doble click al bloque llamado Output y en esta misma ventana click en el icono Autoscale. Figura 5.7 Asignación de tiempo de simulación. Fuente: Elaboración propia. 103 Fig. 5.8 Simulación. Fuente: Elaboración propia. Figura 5.9 Las señales del sistema para una entrada cuadrada. Fuente: Elaboración propia. 104 Figura 5.10 Las señales del sistema para una entrada senoidal. Fuente: Elaboración propia. 105 Figura 5.11 Las señales del sistema para una entrada diente de sierra. Fuente: Elaboración propia. 106 5.3 Pruebas del controlador PID analógico. A continuación se presentan los resultados de las pruebas realizadas con el controlador PID para el circuito RLC de segundo orden. Para la realización de estas pruebas fue necesario el uso del generador de señales y un osciloscopio, los cuales se ajustaron de acuerdo a las características deseadas para cada proceso. En todas las pruebas fueron usadas diferentes tipos señales, tales como: onda cuadrada, senoidal y dientes de sierra, las cuales se obtuvieron del generador de señales. Figura 5.12 Las señales del sistema para una entrada de onda cuadrada. Fuente: Elaboración propia. 107 Figura 5.13 Las señales del sistema para una entrada senoidal. Fuente: Elaboración propia. Figura 5.14 Las señales del sistema para una entrada diente de sierra. Fuente: Elaboración propia. 108 6 Conclusiones 109 Se puede concluir que el diseño de compensadores es una labor complicada para un diseñador inexperto, ya que se debe tener mucha paciencia y cuidado a la hora de calcular los valores que este diseño necesite. Con este proyecto el alumno tendrá la posibilidad de realizar prácticas de un sistema de control automático real, en este caso, de tipo eléctrico-electrónico, donde podrá manipular distintos tipos de señales, ya sean: ondas cuadradas, senoidales y dientes de sierra. Además, podrá ajustar los parámetros, previamente calculados, para obtener la salida deseada. Una de las ventajas de este controlador es que se puede variar en forma individual la ganancia de cada una de las etapas: proporcional (kp), integral (ki) y derivativa (kd). De esta forma el alumno podrá apreciar en la práctica, que efecto causa cada una de ellas sobre los diferentes tipos de señales. El diseño de controladores mediante la Sisotool de MatLab, nos evita hacer tediosos cálculos a mano, ya que por medio de su entorno gráfico nos hace las cosas más fáciles, rápidas y también se puede observar el comportamiento del sistema con el controlador actual en forma real. 110 7 Recomendaciones Se insta a los estudiantes introducir algunas mejoras a este proyecto en caso de ser necesario, tal como: utilizar un control selector, el cual permita la selección entre distintos tipos de controladores (P, PI, PD, PID). Se recomienda manipular el prototipo siempre supervisado por una persona calificada, a fin de evitar algún tipo de daño material o humano. Se sugiere utilizar el sistema en un ambiente no susceptible a ruidos o a cambios bruscos de temperatura. 111 8 Bibliografía KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de Control Moderna, 4ª Ed. 2003, Prentice Hall. ISBN 84-205-3678-4 BENJAMÍN C. KUO, Sistemas de Control Automático, 7ª Ed. 1996, Prentice Hall. ISBN 968-880-723-0 ESTELBINA MIRANDA, Metodología de la Investigación cuantitativa y cualitativa. 1era Ed. 2005. ISBN: 99925-3-428-1 ROBERT BOYLESTAD, Teoría de Circuitos, 6ª Ed. Printice Hall. ALBERT PAUL MALVINO, Principio de Electrónica, 6ª Ed. Mc Graw Hill WILLIAM BOLTON, Ingeniería de Control, 2ª Ed. 2006, Alfaomega. ISBN 790-15-0636-7 CORRIPIO S., Control Automático de Procesos, teoría y práctica, 3ª Ed 2005, Limaza ANSTROM AND HAGGLUND, PID Controllers: Theory, Desing and Tunning, 2 a Ed. ISA, 1995 PAOLO ANTOGNETTI AND GUISEPPE MASSOBRIO, Semiconductor Device Modeling with Spice, Ed. 1988, McGraw-Hill 112 9 anexos 113 Instrucciones de uso del Controlador Análogo PID. Figura 9.1 Instrucciones de uso. 1- Conectar la fuente de alimentación (F) a 220V AC. 2- El generador de señales se conecta a la entrada (A), elegir el tipo de señal, la amplitud y la frecuencia adecuada. 3- La conexión común a tierra (B) debe ser conectada a todos los instrumentos. 4- Conectar el canal 1 del osciloscopio en la entrada (A) y el canal 2 a la salida (C). 5- Accionar la llave de la fuente de alimentación (E). 6- Para observar la señal de error conectar el canal 2 del osciloscopio a la salida del error (D). 7- Con los potenciómetros (P1, P2, P3 y P4) se pueden variar los parámetros del compensador. 114 Figura 9.2. Pruebas preliminares. Figura 9.3 Respuesta antes una señal diente de sierra. 115 R d R 220Ω Señ al R 1MΩ R 2 3 2 6 Rf 6 3 R 1MΩ R 1n F 2 6 3 R 1MΩ 3 g C 0.1n F 2 6 3 R R 1MΩ R 1MΩ R 1MΩ 2 Rh R 1MΩ C 1 Err or 6 R1MΩ 2 3 6 R 100Ω L 1 R 37u H 10KΩ Salida C 1u F 1M 2 6 3 R 1MΩ Figura 9.4 El sistema de control completo en Proteus (ISIS). Figura 9.5 Diagrama de conexiones del LM324. 116