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Instituto Investigación Enseñanza
de las Matemáticas. Rennes, Francia
“Matemática da dolor de cabeza”; “Costa Rica tiene
una gran asignatura pendiente con la matemática”
son unas de las reflexiones que se han podido
leer recientemente en la prensa nacional: las
matemáticas preocupan, tanto por los resultados
en los exámenes como por la motivación de los
estudiantes hacia ellas y la capacitación de los
docentes. Frente a esta situación, y basándose en
la experiencia francesa en el tema, la Embajada
de Francia, por medio del Centro Cultural y de
Cooperación para América Central, ha creado,
a partir de noviembre del 2007, el Programa
Francés para la Enseñanza de las Matemáticas
en Centro América (PFEM). Con el objetivo de
generar proyectos conjuntos para el mejoramiento
de las matemáticas en Costa Rica y que se
puedan trasladar al resto de Centroamérica, se
ha firmado un convenio académico entre la
Universidad Americana de Costa Rica (UAM), el
Centro Nacional de Enseñanza a Distancia de
Francia, (CNED) y el Instituto de Investigación en
Enseñanza de las Matemáticas de Rennes (IREM
de Rennes). El primer logro de este convenio es
el nacimiento de la revista Variables. Diseñada
por y para docentes de matemáticas, Variables
les presenta un material atractivo, concreto, listo
para el uso en las aulas. El objetivo es demostrar
que las matemáticas pueden involucrar el juego,
la creatividad, y que pueden ser interesantes!
La revista, producida bajo la coordinación de
las tres instituciones citadas con el apoyo del
Instituto de Investigación de Tecnología Educativa
de México (INITE), se beneficia del material
producido por ellas, así como por los docentes de
matemáticas del Liceo Franco-Costarricense. Esta
abierta a recibir las contribuciones de los docentes
que quieren proponer su material: estamos a la
espera de sus reacciones y propuestas, así que
no duden en contactarnos para unirse a nosotros
en el afán de mejoramiento de la enseñanza de las
matemáticas en Costa Rica y Centro América.
Contáctenos: variables@uam.ac.cr
EDITORIAL ..................................................1
TEMAS Y ENFOQUES .................................... 2
● Geometría por placer .............................2
● El principio de Dirichlet ............................4
● Rally matemático en Liceo Franco .........7
● La calculadora en el aula
ayuda o peligro..........................................10
APORTES ...................................................14
● Mnemotecnia para áreas de polígonos ...14
LECTURAS.................................................17
● La herencia de la inteligencia ..............17
GOTAS HISTÓRICAS ..................................19
●Peter Gustav Dirichlet ............................19
JUEGOS Y PASATIEMPOS........................20
● El Maratón .............................................20
●Viendo a través de un libro....................22
ANEXOS Y SOLUCIONES ............................23
Consejo Editorial: Andrés Márquez, Dir. Departamento Matemáticas UAM. Annia Espeleta. prof. Facultad Educación
UCR. Fernando Gutiérrez Moreno, Universidad Tecnológica México. INITE. Francoise Guimier, directora IREM Rennes,
Francia. Jean Michel Le Laouenan,CNED, Francia. Jean-Pierre Escofier, Université Rennes I, Francia. Marie-Christine
Petitdemange, Liceo Franco Costarricense. Luis Valverde, Universidad Americana. William Castillo, exdirector de Escuela
Matemáticas UCR. Publicación impresa: Universidad Americana. Portal Digital: Embajada de Francia y Universidad
Americana. Diagramación, Diseño y Levantado de Texto: Jonathan Carpio R. INITE. ISSN 1659-3391 I Edición, Marzo
2008.
2. Circunferencia inscrita a un triángulo isósceles
GEOMETRÍA POR PLACER
Contenidos:
Bisectriz de un ángulo
Círculo inscrito a un triángulo isósceles
1. Bisectriz de un ángulo.
La bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos de igual
magnitud.
Circunferencia inscrita a un triángulo es aquella que está en
el interior del triángulo de tal forma que es tangente a sus
tres lados.
Construcción.
a. Construya un triángulo isósceles ABC -véase anexos
página 23 – de tal manera que el lado AB sea el de mayor
magnitud.
Construcción
a. Trace el ángulo ABC de vértice B.
b. Determine la bisectriz de los ángulos A y B respectivamente,
de tal manera que se corten en el punto O:
b. Con una misma abertura del compás, haga centro en B y
trace dos arcos que corten los segmentos BA y BC en O1 y
O2 respectivamente:
c. Trace el segmento de recta CO, prolongue dicho segmento
de tal manera que corte el lado AB en el punto M:
c. Haciendo centro en O1 y O2, manteniendo la misma
abertura del compás –puede ser otra-, trace dos segmentos
de arco que se corten en el punto O3:
d. Haga centro en el punto O y trace una circunferencia que
pase por M. Dicha circunferencia está inscrita en el triángulo
ABC.
d. La semirrecta BO3 es bisectriz del ángulo ABC.
AHORA A DISFRUTAR!!!
Con lo expuesto anteriormente, construiremos la siguiente
figura:
d. Haciendo centro en dé una abertura al compás hasta O
y construya la circunferencia inscrita al triángulo ABD.
Construcción.
Tome una hoja en blanco y realice la construcción según se
detalla.
a. Construya un cuadrado ABCD. Sugerimos una medida de
15 cm.- (Véase anexo pág. 23 )
e. Realice un procedimiento similar al anterior en el triángulo
CBD calculando las bisectrices de los ángulos BDC y CBD
respectivamente de tal manera que se corten en el punto
:
b. Trace las diagonales AC y BD del cuadrado de tal manera
que su intersección sea el punto O. Los triángulos ABD y
CBD generados son isósceles respectivamente.
f. Ahora borre con cuidado los trazos necesarios para que
la figura requerida quede formada y disfrute coloreando a
su gusto.
Práctica asignada: Construya la figura que se adjunta.
c. Determine las bisectrices de los ángulos ABD y ADB
respectivamente y prolongue dichas semirrectas de tal
forma que se intersequen en el punto :
Jean Michel Le Laouénan
Director del departamento de Ciencias
Coordinador de la revista « Diagonales »
Instituto de Rennes, CNED, France
Jean Pierre Escofier
Profesor Universidad de Rennes I, Francia
En este artículo, nos vamos a interesar en un
principio muy sencillo que lleva varios nombres:
se conoce bajo el nombre de principio de Dirichlet,
principio de las gavetas o también pigeon-hole
principle, en los países anglófonos. Lo llamaremos
aquí principio de Dirichlet.
Las situaciones que vamos a evocar aquí son
variadas y sencillas y las pueden estudiar alumnos
jóvenes sin más requisitos que conocimientos
básicos de cálculo y geometría. El principio de
Dirichlet es útil en muchas áreas de la matemática y
es de gran ayuda que nuestros alumnos aprendan
a manipularlo desde temprana edad.
« ¿Cuál es el menor número de canicas que tengo que
sacar de la bolsa para estar seguro de tener al menos
dos canicas del mismo color? Por supuesto, voy a
cerrar los ojos antes de sacarlas... »
Priscila, que no se tomó el tiempo de pensar,
contesta muy rápidamente: « Dos canicas…»
Entonces, Luis explica a las niñas que la respuesta
es incorrecta por que, si saca únicamente dos
canicas de la bolsa, corre el riesgo de obtener
una canica azul y una canica roja y por ende no
necesariamente dos canicas del mismo color.
Entonces, María dice, muy segura de sí misma:
« Pienso que basta con sacar tres canicas… »
Las canicas de Luis
Luis tiene 100 canicas en una bolsa: 50 canicas
rojas, 50 canicas azules. Le pregunta a María y
Priscila:
¡Es la respuesta correcta! En efecto, si Luis saca
tres canicas del bolso, estas tres canicas no
pueden ser todas de diferente color ya que sólo
dos colores son posibles. Habrá pues entre las
tres canicas sacadas por Luis forzosamente dos
canicas del mismo color.
Como las dos niñas comprendieron bien el primer
problema, Luis decide plantearles un segundo, un
poco más complicado. Les cuenta que en la Selva
Negra, hay un millón de cipreses y que cada uno
de estos cipreses lleva a lo sumo 600 000 púas
-hojas del ciprés-.
María y Priscila protestan simultáneamente: « Pero hay
1 000 000 cipreses en la Selva Negra! »
Luis concluye entonces sonriendo: « Pero hay
1 000 000 cipreses en la Selva Negra ! »
Los dos ejemplos que acabamos de presentar
parecen diferentes a primera vista pero en realidad
son del mismo tipo: se trata, en cada caso, de
demostrar que existe por lo menos dos objetos
de la misma « categoría» en una familia dada de
objetos. Dirichlet enunció un principio que permite
resolver los problemas de este tipo.
Para explicar este principio, consideremos varios
conejos y varias jaulas ; se colocan los conejos
« 600 000 púas! » exclaman las dos niñas « Es en las jaulas, uno o varios conejos en cada una.
Si el número de jaulas es mayor o igual al número
realmente mucho para un ciprés ».
de conejos, se pueden colocar los conejos en las
« Si, es enorme » contesta Luis y añade: « Sin jaulas, poniendo a lo sumo un conejo en cada una
embargo, estoy seguro que, en la Selva Negra, se de ellas. Si el número de jaulas es menor que el
puede encontrar por lo menos dos cipreses que llevan número de conejos, entonces en al menos una
jaula habrá varios conejos, por lo menos dos.
exactamente el mismo número de púas. »
Las dos niñas se quedan perplejas y Luis está
obligado a plantearles un razonamiento para
convencerlas que lo que dice es verdad. Este
razonamiento es por contradicción:
« Supongamos que en la Selva Negra, dos cipreses no
tienen nunca el mismo número de púas. Esto significa
que hay a lo sumo un ciprés que lleva 0 púa, a lo sumo
un ciprés que lleva 1 púa, a lo sumo un ciprés que lleva
2 púas etc. y a lo sumo un ciprés que lleva 600 000
púas. Así que hay a lo sumo 600 001 cipreses en la
Selva Negra… »
Este principio es realmente de una sencillez
desconcertante y se puede enunciar de la siguiente
manera:
Si n+1 conejos están repartidos en n jaulas,
entonces por lo menos una de las jaulas
contiene por lo menos dos conejos
Según los países, este principio se enuncia
sustituyendo los conejos y las jaulas por medias y
gavetas o por palomas y palomares.
Volvamos rápidamente a los dos ejemplos
introductorios y veamos en que forma se aplica
completamente el principio de Dirichlet.
Caso « las canicas de Luis » :
Si Luis sólo saca 2 canicas, es obvio que corre
el riesgo de obtener dos canicas de colores
diferentes. Si saca 3, dispone de 3 « conejoscanicas » que debe repartir en 2 « jaulas-colores »,
una roja y una azul. Así que hay por lo menos una
jaula que contiene dos conejos, es decir un color
común a las dos canicas. Por lo tanto, Luis tiene
que sacar por lo menos 3 canicas para asegurarse
de obtener dos canicas del mismo color.
Caso « la Selva Negra » :
Hay 1 000 000 de « conejos-cipreses » y solamente
600 001 « jaulas-números de púas » numeradas
de 0 a 600 000. Se introduce un « conejo-ciprés »
en la « jaula-número de púas » cuyo número es
igual al número de púas que lleva. Los conejos
son en este caso mucho más numerosos que las
jaulas. Por lo tanto, existe por lo menos una jaula
que alberga dos conejos. En otras palabras, en la
Selva Negra, hay por lo menos dos cipreses que
llevan exactamente el mismo número de púas.
Divide en dos partes, con un
sólo corte, la figura A, para
formar con ellas la Figura B.
Para resolver estos dos primeros problemas, se ve
muy rápidamente que se puede aplicar el principio
de Dirichlet. En otros casos, no es tan evidente
aplicar este principio por que a veces, cuesta
identificar los conejos y las jaulas. En la próxima
edición de la revista Variables, estudiaremos
situaciones de este tipo.
Mientras tanto, para esperar, les proponemos el
problema siguiente:
Pablo posee un jardín de forma circular de 30
m de radio. En la orilla de este jardín, siembra
cuatro estacas A, B, C y D de tal manera que
ABCD sea un cuadrado, materializando este
cuadrado tensando un mecate entre las cuatro
estacas. Pablo quisiera ahora sembrar cinco
árboles en el interior de este cuadrado (no en los
bordes), de tal manera que la distancia entre dos
cualesquiera de estos árboles sea por lo menos
de 30 m. Realiza varios intentos pero ninguno
lo satisface: Hay siempre, en sus ensayos, por lo
menos dos árboles distantes en menos de 30 m.
¿Es posible realizar lo que se propone Pablo?
En el año 2007 se organizó en el Liceo Franco
Costarricense un rally de matemáticas con el
objetivo de ganar cada vez más la simpatía
hacia esta disciplina. Seguidamente se ofrece
información de dicha actividad con los respectivos
ejercicios utilizados.
Objetivos de la actividad:
•
Interesar a los alumnos en la actividad
matemática
• Darles la oportunidad de resolver
problemas, justificando sus resultados y
discutiendo entre ellos para proponer una
solución común.
• Establecer una estrategia motivadora de
aprendizaje.
La competencia constó de tres etapas en las
cuales compitieron cuatro clases, dos de 5º grado
y dos de 6º grado de primaria.
Pautas para el desarrollo de la actividad.
Las cuatro clases compiten al mismo tiempo en
sus respectivas aulas. La clase dispone de 80
minutos para organizarse, resolver los problemas,
discutir y finalmente presentar para cada problema
una solución única con explicaciones y procesos.
Los alumnos pueden usar los documentos y
materiales que quieran (libros, juego de geometría,
calculadora etc.). La clase es completamente
responsable de las respuestas dadas, no hay
ninguna intervención del docente. Al final del
tiempo establecido las respuestas son recibidas
en las hojas que para tal fin se ofrecieron.
Balance de la experiencia:
Hubo un gran entusiasmo hacia la actividad por
parte de los alumnos.
Desde el inicio tomaron el reto tenazmente,
produciendo una gran cantidad de respuestas
posibles, anotándolas en sus cuadernos.
Ciertos alumnos experimentaron dificultades,
particularmente en las primeras pruebas:
• El hecho que el profesor no interviniera
pareció
desorientarlos
ya
que
generalmente se les da algún tipo de
retroalimentación sobre el trabajo que
está siendo realizado.
• El alto nivel de organización que se les
pide a los alumnos debe ser tomado
en cuenta. Los estudiantes hablan
al mismo tiempo y no escuchan a
sus compañeros, lo cual dificulta la
discusión. En una de las clases, una
alumna líder se encargó de ser la
portavoz del grupo, lo cual facilitó la
comunicación.
Esta actividad presenta un balance positivo dado
que generó un gran ambiente motivador de trabajo,
el tiempo utilizado no genera problemas para
el curso,(3 períodos de 80 minutos en el año) y
además, podría ser un paso para que los alumnos
cambien su visión negativa hacia la matemática,
desarrollando también técnicas grupales e
individuales importantes para la resolución de
problemas.
Problema N° 1 CAJA DE FICHAS
7 puntos
Problema N° 4 ¡RECORTEN! 7 puntos
Cómo recortar estas figuras para obtener :
- Dos partes congruentes (1era figura)
- Tres partes congruentes a la original (2da
figura)
- Cuatro partes congruentes (3era figura)
En una caja, hay fichas. Fermat toma una, Pascal
toma dos, Fermat toma tres, Pascal toma cuatro,
Fermat toma cinco…. Y así sucesivamente, cada
uno tomando uno más que el otro.
Cuando la caja está vacía, Pascal tiene 10 fichas
¿Cuántas fichas había en la caja?
Explique como encontró la solución.
Problema N° 2 JUEGO EN PISTA
Problema N°5 CARROS EN EL PARQUEO
O 5 puntos
7 puntos
En un parqueo, hay tantos carros franceses como
extranjeros. Tres amigos, Pitágoras, Descartes y
Galois hacen las observaciones siguientes:
- Hay cinco carros pequeños y tres medianos,
dice Pitágoras.
Gauss juega en una pista con un dado. Inventa la
regla siguiente :« Lanzo el dado: si el número es
mayor que 3, avanzo 5 casillas, si el número es
menor que 3, retrocedo 3 casillas. Si el número es
3, no me muevo. »
Después de lanzar 12 veces el dado, nunca se
obtuvo un 3 y Gauss avanzó 28 casillas.
¿Cuántas veces obtuvo más de 3?
Explique como encontró la solución.
- Hay dos carros pequeños de marca extranjera,
dice Descartes.
- No hay carros medianos de marca extranjera ni
tampoco carros grandes franceses, dice Galois.
¿Cuántos carros grandes hay en el parqueo ?
Problema N° 6 CUENTA EXACTA 5 puntos
Problema N° 3 FACIL A ENCONTRAR
R 7 puntos
Se trata de obtener 42 haciendo operaciones
con los números:
Para que este anuncio sea exacto, ¿por cuál
número, escrito en letras, se debe completar ?
Encuentre por lo menos una solución.
Estos se pueden usar sólo una vez y no hay
obligación de usarlos todos.
Buscar cinco soluciones posibles.
Problema N° 7. EL PUNTAJE DE LAS TABLAS
S 7 puntos
s
Problema N°8 MASTER NÚMERO 5 puntos
Busque el número.
Representa una cifra bien colocada, que
pertenece al número.
Representa una cifra mal colocada pero
que pertenece al número.
Valor asignado a cada casilla :
Suma en cada caso la misma
cantidad de puntos.
No da ni tampoco quita puntos
Resta en cada caso la misma
cantidad de puntos.
Si: ●La tabla N°1 vale 14 puntos
●La tabla N°2 vale 43 puntos
¿
Cuál es el valor de la tabla N°3
?
Explique cómo encontró la solución.
Nota : Soluciones en la próxima edición de la
revista VARIABLES.
El 01 de noviembre del 2007, en la Alianza Francesa en Costa Rica, se presentó por parte de la
embajada francesa el Programa Francés para la Enseñanza de las Matemáticas en Centro América
(PFEM) en un acto que culminó con la mesa redonda “La calculadora en el aula: un peligro o una
ayuda”. En esta actividad participaron especialistas franceses y de las diferentes universidades de
Costa Rica. Los participantes fueron:
MSc. Luis Valverde, UAM. Moderador.
Dr. Jean-Michel Le Laouenan, IREM de Rennes y CNED, Francia.
a.
Lic. Anabelle Castro , Instituto Tecnológico de C.R.
Prof. Marie-Christine Lara, Liceo Franco Costarricense.
Dr. Edisson de Faria, Universidad de Costa Rica.
Lic. Ricardo Poveda, Universidad Nacional.
Este artículo resume algunas ideas ofrecidas en esta oportunidad.
Las calculadoras en la enseñanza de la matemática en Francia.
Prof. Marie-Christine Lara
La calculadora es una herramienta que se hizo común en nuestra sociedad: los niños están en contacto
con ella desde temprana edad y se va a hacer cada vez más presente, al lado de otras herramientas
informáticas.
Los profesores en su gran mayoría han presenciado su entrada al aula sin cambiar sus prácticas ni
recibir una formación acerca de cómo enseñar a los alumnos a usarla de manera adecuada. .
El uso de la calculadora no es innato, se aprende y el profesor tiene que integrar este aprendizaje en
su clase.
Es obvio que los alumnos y alumnas deben desarrollar habilidades de cálculo con independencia de las
máquinas. Es muy importante que hayan asimilado y automatizado los algoritmos de las operaciones.
En este sentido, la calculadora no debe sustituir las capacidades de cálculo o de razonamiento de los
alumnos. Pero, esto no nos puede hacer pensar que la calculadora es nefasta. Lo será, si no se usa
de la forma adecuada.
De 6º a 9º se usa la calculadora científica
Los programas distinguen 3 modos de cálculo: el cálculo por escrito, el cálculo mental y el cálculo con
máquina.
El alumno tiene que manipular los números, sus propiedades y las técnicas operatorias, para apropiarse
de ellos poco a poco.
A partir de décimo, se usan calculadoras programables graficadoras.
• Todas las observaciones ya hechas siguen válidas.
•
La calculadora se usa en Física, Biología, Geografía y Economía, entre otras para calcular.
En la clase de matemática, es también una herramienta de aprendizaje: visualización de gráficos de
funciones o de sucesiones, conjeturas, verificaciones
El uso de calculadoras graficadoras permite ligar muy fácilmente y de forma casi instantánea los
dominios numérico y gráfico y, enriquecer así considerablemente el acercamiento a las funciones.
Una reflexión sobre las curvas obtenidas en ventanas distintas se puede desarrollar y contribuir a una
mejor comprensión de las propiedades de las funciones. Por otra parte, las calculadoras constituyen la
primera herramienta de simulación sencilla en el tema estadístico.
Ejemplos de actividades posibles con calculadoras científicas.
1. Cambiar los dígitos (sirve para tomar conciencia del sistema de numeración) (6º)
2. Cambio de escritura. ” (sirve para tomar conciencia de las reglas de prioridad y su
necesidad)(7º)
1) A cuál expresión corresponden las secuencias siguientes?
2) Realizar estos cálculos
a mano
con calculadora
3. Cualquier natural es la suma de 4 cuadrados de naturales. (Sirve para manipular la tecla
X² , experimentar organizando los pasos a seguir)( octavo año)
Mostrar que 30 es la suma de 4 cuadrados perfectos menores que 10.
Mostrar que 2001 es la suma de cuatro cuadrados perfectos.
• Elevar al cuadrado la mejor aproximación para obtener 8.
• Comparar las aproximaciones con el resultado obtenido usando la secuencia
de la
calculadora.
•
4. Conjeturar, mostrar la necesidad del cálculo literal para demostrar.(Noveno año)
•
•
•
•
•
•
Escoger 2 naturales a y b.
a +b es el tercer número de una sucesión de números, cada número siendo igual a la suma de
los 2 anteriores.
Determinar los 10 primeros números de la sucesión.
Comparar la suma de los 6 primeros términos al quinto.
Comparar su observación con la de sus compañeros.
¿Cómo podemos estar seguros del resultado obtenido?
Como conclusión.
La calculadora constituye un complemento
interesante
en
la
enseñanza
de
la
matemática,
porque
incrementa
las
habilidades de resolución de problemas por
medio de múltiples técnicas de solución.
Sin embargo, hay que controlar su uso, no
reemplaza las habilidades mentales ni las
actividades de papel y lápiz y no debe sustituir
nunca el razonamiento del alumno.
La Calculadora es una herramienta no un
artefacto
Dr. Edisson de Faria. U.C.R.
Vivimos cambios de tiempos y la tecnología influye
en todos los aspectos de nuestra vida modificando
los modos de pensar, conocer, aprender y actuar del
ser humano, brindando nuevos y ricos ambientes
de aprendizaje dentro de los que los estudiantes
encuentren, representen, experimenten y razonen
sobre ideas matemáticas.
El principio de tecnología en los estándares para
matemática del NCTM afirma que la tecnología
es esencial en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, tiene influencia en la matemática
que se enseña y mejora el aprendizaje de los
estudiantes.
Tecnologías digitales, como las calculadoras
graficadoras, potencializan nuevas maneras de
representar y manipular información matemática,
experimentar con ideas matemáticas, conjeturar,
buscar contraejemplos, visualizar, construir
simulaciones y modelos matemáticos con datos
reales, realizar construcciones geométricas en
forma dinámica, utilizar pruebas estadísticas y
programar.
Según el reporte del Servicio de Evaluación
Educativa (ETS, siglas en Inglés), utilizar
la tecnología para enseñar habilidades de
pensamiento de orden superior como interpretar,
razonar y resolver problemas se relaciona
positivamente con el logro académico en
matemáticas, mientras que usarla para promover
habilidades de orden inferior (como aprender
hechos y datos) se relaciona negativamente con
las mismas variables.
La experiencia nos confirma que no debemos
utilizar las calculadoras como un sustituto de
habilidades básicas y de la intuición, sino para
enriquecer el proceso de aprendizaje matemático
de los estudiantes. Para utilizarla, el docente
debe de tener claro cuáles son los objetivos de su
lección y cuáles son las necesidades particulares
de sus estudiantes. La calculadora debe de ser
un apoyo y no un distractor, no puede reemplazar
una capacidad que el estudiante debería de
alguna manera desarrollar. El uso superficial de
calculadoras, como ocurre actualmente en la
enseñanza secundaria y en las pruebas nacionales,
puede producir más daño que beneficios.
Una breve conclusión es que la calculadora
tiene que ser utilizada como una herramienta
de aprendizaje (y no como un artefacto), abre
espacios para experiencias matemáticas de alto
nivel cognitivo, pero no es la solución para todos
los problemas de enseñanza aprendizaje que
enfrentamos no pudiendo, tampoco, reemplazar
al docente.
Existe un mal uso de las Calculadoras
Lic. Ricardo Poveda Vásquez. UNA
La enseñanza de las Matemáticas se ha visto
repercutida por los efectos de las llamadas
“tecnologías modernas”. El costo y la accesibilidad
de las calculadoras, computadoras, software y
acceso a Internet a una gran masa de la población
permiten que tanto estudiantes como docentes
tengan más recursos tecnológicos e información
actualizada a su disposición.
Varios estudios nacionales e internacionales
resguardan la importancia del uso de la calculadora
(sencilla, científica y algebraica) en la clase de
matemáticas.
Sin embargo en Costa Rica, el mal uso de las
calculadoras (principalmente la científica) a nivel
de secundaria ha ocasionado distintos problemas
de aprendizaje de las matemáticas en los
estudiantes. Debe existir una directriz clara de parte
del Ministerio de Educación Pública con respecto
al uso de la calculadora, particularmente dando
capacitaciones a los profesores de matemáticas en
servicio. Además las Universidades que imparten
la carrera de Enseñanza de la Matemática, deben
comprometerse a dar una formación en el uso
correcto de las tecnologías digitales a los futuros
docentes de matemáticas.
¿Es la calculadora un peligro o una ayuda?
Lic. Anabelle Castro, Instituto Tecnológico de
Costa Rica
Mi intervención se basará en la experiencia
generada durante la ejecución de varios proyectos
que desde 1998 he tenido la oportunidad de
coordinar y a la vez de trabajar con estudiantes.
En primera instancia yo asocio la pregunta:
¿es la calculadora un peligro o una ayuda? a la
interrogante: ¿Es el libro de texto en el aula: un
peligro o una ayuda?; porque aún cuando nos
resulte increíble, la realidad es que todavía existe
una posición dividida al respecto.
¡EL MALETERO!
¿Serías capaz de colocar
el equipaje dentro del
maletero del coche?
Una posible respuesta a ambos cuestionamiento
es que tanto a la calculadora y el libro de texto
pueden ser un peligro o pueden ser una ayuda
dependiendo de la metodología que se utilice en
el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Citemos algunas características que hacen de la
calculadora un peligro en el proceso de enseñanza
aprendizaje:
- Es utilizada como una herramienta para “entrenar”
a los estudiantes para pruebas nacionales.
- Cuando es utilizada para resolver n ejercicios
rutinarios denominados en muchos casos como
“problemas”, pero que no lo son.
- Cuando los contenidos se continúan enseñando
de manera descontextualizada y abstracta.
- Cuando el estudiante observa los procedimientos,
que el profesor hace para luego repetirlos.
- Cuando la evaluación no considera el proceso
como tal: actividades de aula.
Para obtener el puesto de dependiente de almacén, Mario debe pasar esta
prueba: deberá reordenar estas pesas
de modo que ambas balanzas queden
equilibradas.
¿ Cómo lo hizo?
Mnemotecnia para áreas de polígonos¹
polígonos¹
William Castillo E.
Mediante un procedimiento geométrico e intuitivo, se deduce una fórmula para calcular áreas de
polígonos. La fórmula se establece primero para triángulos y cuadriláteros, luego dicha fórmula se
puede inducir para cualquier polígono.
Caso del triángulo
Consideremos un sistema coordenado y un triángulo OAB con vértices O = (0,0), A = (x1, y1) y
B = (x2,y2) con x1 > 0, x2 < 0, y1 > 0, y2 > 0. Este triángulo está orientado positivamente.Es decir, el
recorrido O-A-B-O sobre sus lados, corresponde al movimiento en sentido opuesto al de las agujas del
reloj (ver Figura 1).
A partir de la Figura 2, se ve que el área del triángulo OAB se descompone así:
a(∆OAB) = a(ABCD) - a(∆ODA) - a(∆OBC)
¹ Esta nota se basa en el artículo A mnemotecnic for areas of polygons de M. G. Stone, publicado en American
Mathematical Monthly, Vol. 93, No. 6, 1986.
donde a(ABCD) es el área del trapecio ABCD, C = (x2, 0) y D = (x1, 0). Es claro que
a(ABCD) = ½ ( x1 – x2 ) ( y1 + y2 ), a(∆ODA) = ½ x1 y1 y a(∆OBC) = - ½ x2 y2. Haciendo las
operaciones y simplificaciones necesarias se obtiene: a(∆OAB) = ½ (x1 y2 - x2 y1).
El
número
x1 y2 - x2 y1 positivo, se llama determinante de los vértices A = (x1, y1) y
B = (x2,y2) y se denota por det(A,B). Finalmente, el área del triángulo OAB se escribe como:
a(∆OAB) = ½ det(A,B) = ½ (x1 y2 - x2 y1).
Como det(A, B) = - det(B, A) y a(∆OBA) = a(∆OAB), entonces se tiene que el área del triángulo OBA,
orientado negativamente, es
a(∆OBA) = - ½ det(B,A).
Observación
Este resultado no depende de las posiciones de los vértices A y B con respecto a los cuadrantes. Para
ver esto, basta fijar, por ejemplo, el vértice A y “mover” B a todas las 5 posiciones posibles, como se
ilustra en la Figura 3. El resto de las posiciones del triángulo se generan moviendo el vértice A a otros
cuadrantes, pero estas posiciones son iguales a las ya consideradas, si se rota el sistema coordenado
apropiadamente.
Si ninguno de los vértices del triángulo ABC coincide con el origen de coordenadas, entonces el área
del triángulo ABC se expresa en términos de las áreas de los triángulos OAB, OBC y OCA donde
algunos de estos pueden estar orientados negativamente, como se indica en la Figura 4. Se tiene
entonces, para el caso de la Figura 4:
a(∆ABC) = a(∆OAB) + a(∆OBC) - a(∆OAC) = ½ {det(A,B) + det(B,C) + det(C,A)}.
Esta identidad se explica porque ½ det(C,A) = -½ det(A,C) = - a(∆OAC). Escribimos abreviadamente
det(A,B,C) = det(A,B) + det(B,C) + det(C,A), con lo que se obtiene la fórmula final:
a(∆ABC) = ½ det(A,B,C).
Caso del cuadrilátero
Para un cuadrilátero ABCD se observa en la Figura 5 que la suma a(∆OAB) + a(∆OBC) + a(∆OCD)
incluye el área del triángulo OAD, por lo que el área de dicho cuadrilátero será:
a(ABCD) = a(∆OAB) + a(∆OBC) + a(∆OCD) - a(∆OAD)
= ½ {det(A,B) + det(B,C) + det(C,D) + det(D,A)}.
En esta última suma el término ½ det(D,A) = - a(∆ODA) anula el área a(∆ODA) contabilizada por
exceso en los otros sumandos, lo que concuerda con lo observado en la Figura 5.
Caso de un polígono con más de cuatro lados
En la Figura 6 se ilustra el caso de un pentágono ABCDE, donde los triángulos OAB, ODE y OEA
están orientados negativamente. Procediendo de manera similar al caso anterior, se ve que el área de
este pentágono es:
a(ABCDE) = a(∆OBC) + a(∆OCD) - a(OAB) - a(∆ODE) - a(OEA). = ½ {det(A,B) + det(B,C) +
det(C,D) + det(D,E) + det(E,A)}.
Es decir,
a(ABCDE) = ½ det(A, B, C, D, E).
Para un polígono de n lados A1A2
a(A1A2
...
...
An se tiene:
An) = ½ {det(A1, A2) + . . . + det(An-1, An) + det(An, A1)} = ½ det(A1, A2, … , An).
Comentarios
Con los conceptos básicos de coordenadas y de geometría involucrados en estas notas, los alumnos,
incluso de primaria, pueden trabajar con algunas de las ideas que hemos presentado en el artículo.
Por ejemplo, usando papel cuadriculado los alumnos pueden realizar las siguientes actividades:
1. Conociendo los vértices: dibujar triángulos, cuadriláteros, etc.
2. Reconocer visualmente la orientación de los triángulos y verificar la concordancia con el signo del
determinante de los vértices.
3. Conociendo los vértices: calcular el área de algunos polígonos descomponiendo su área en
suma de áreas de triángulos, como se hizo en esta nota y verificar la fórmula general.
4. Para casos especiales de polígonos se pueden hacer traslaciones y rotaciones, y verificar que
estas operaciones dejan invariantes el área y el perimétro.
La Herencia de la Inteligencia:
El silogismo de Richard Herrnstein
En los primeros estudios del tema realizado por
Francis Galton, primo de Darwin, ya llevaban
implícitos algunos conceptos de que la inteligencia
tenía relación directa con la herencia. Finalmente,
él defendió dicha teoría en su libro Hereditary
Genius (1869). Galton señalaba que a lo largo de
la historia de Inglaterra había familias que habían
producido un número considerable de personas
destacadas en distintos ámbitos de la vida social,
número muy superior a la media. Esto le llevo a
suponer que ello se debía a factores hereditarios,
sin considerar la influencia que podía tener el
ambiente. A partir de estos estudios, aparece
un grupo de estudiosos del tema los cuales no
necesariamente llegaron a resultados acertados.
El famoso silogismo de Herrnstein es uno de
ellos.
La primera década del siglo XX se caracterizó
por mantenerse una creencia general de que las
diferencias mentales en los individuos se debían
a situaciones hereditarias generándose una serie
de estudios y experiencias que, si bien no tenían
la solidez requerida ni el respaldo científico,
generaron una gran influencia en la época y con
ello en estudios posteriores. Posiblemente uno
de los estudios más sonados fue el realizado por
Goddard en 1912 llamado “La familia Kallikak” que
da seguimiento a la descendencia de un soldado
de la revolución americana. El soldado Kallikak,
nombre ficticio, proveniente de lo que se llamaría
una buena familia, en plena actividad bélica, tuvo
una relación ocasional con una empleada de una
taberna cuyo linaje era de los más bajos y a la cual
se le achacan tener problemas mentales. De dicha
relación nació un hijo con problemas mentales. De
los 480 descendientes de Kallikak, por este lado,
143 también tuvieron problemas mentales, 24 se
detectaron alcohólicos, 3 criminales y 8 se decían
frecuentar tabernas de muy mala reputación.
Al terminar la guerra, Kallikak se casó con una
mujer de buen linaje y, según los estudios de
Goddar, se determinaron 496 descendientes por
este lado de la relación, de los cuales ninguno
se reportó con problemas mentales y sólo se
determinaron 2 alcohólicos.
La debilidad mayor de esta experiencia estriba en
la escasa preparación técnica con que se contaba
y lo difícil de determinar el nivel mental de la gente
que había muerto hacia más de un siglo y, con
particular dificultad, el saber o determinar con
exactitud, si el hijo de la trabajadora de la taberna
lo era también de Kallikak, lo cual era base para
el estudio.
No pocos autores sostuvieron que la influencia
del medio es muy inferior a la de la herencia,
algunos como Arthur Jensen o Richard Herrnstein
defendieron la idea de que entre el 80 ó el 85
por ciento de la variación del C. I. se debía a los
genes. En los años sesenta, bajo el influjo de
corrientes que atribuían importancia al ambiente,
se pusieron en marcha programas de educación
“compensatoria” que trataban de proporcionar
un ambiente más rico en estímulos a los hijos de
las clases bajas y de las minorías raciales, que
obtenían resultados escolares inferiores a los
de las clases medias y altas. Sin embargo, esos
programas tuvieron pocos efectos y en realidad
puede decirse que la educación compensatoria
fracasó.
Este fracaso dio nuevas armas a los hereditaristas
y, por ejemplo, Arthur Jensen sostuvo que existen
dos tipos de capacidades intelectuales. La de
nivel I que se relaciona, según su criterio, con el
aprendizaje asociativo y memorístico y el recuerdo
del material almacenado; estaría extendida por igual
en todas las clases sociales y razas. La del nivel
II, por su parte, más ligada a lo que normalmente
entendemos por inteligencia en sus formas
superiores de manipulación y transformación
de la información (capacidades conceptuales,
razonamiento, solución de problemas, etc.),
se encontraría menos en las clases bajas y
marginadas. Ambos niveles estarían determinados
por la herencia.Esto explicaría el fracaso de los
programas de educación compensatoria, pues los
individuos a los cuales se les había aplicado poseían una inteligencia de nivel I y no podían pasar a
la inteligencia de nivel II que sería la que les permitiría el éxito escolar. Con respecto a las diferencias
raciales, Jensen sostiene que entre el 50 y el 75 por ciento de las diferencias de C.I. son debidas a
diferencias genéticas.
Herrnstein popularizó e insistió en sus consecuencias sociales. Resume sus ideas en el siguiente
“silogismo”:
1. Si las diferencias en la capacidad mental son heredadas, y
2. si el éxito requiere esas capacidades , y
3. si las ganancias y el prestigio dependen del éxito,
4. entonces el nivel social (que refleja las ganancias y el prestigio) estará basado, en alguna
medida, en diferencias heredadas entre los individuos.
A partir de aquí, y teniendo presente la democratización que ha tenido lugar en la sociedad, Herrnstein
concluye que “al eliminar las barreras arbitrarias entre las clases, la sociedad ha estimulado la creación
de barreras biológicas. Cuando la gente pueda ocupar libremente su nivel natural en la sociedad, las
clases superiores tendrán, virtualmente por definición mayor capacidad que las inferiores”.
Todas estas ideas han dado lugar a grandes polémicas, y diversos autores han mostrado que el éxito
económico depende más de la educación y de la clase social que del C.I. El C.I. tiene, pues, una
escasa importancia en la producción de la estructura de clases.
La conclusión del silogismo de Herrnstein sería cierta si lo fueran las tres premisas, pero las tres son
falsas, para lo cual, como lo es, basta con que la primera lo sea.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
(1805-1859)
Jean-Pierre Escofier
UFR mathématique
Campus de Beaulieu
Universidad de Rennes I, Francia
En este número de Variables vamos a hablar
del matemático alemán Peter Gustav Lejeune
Dirichlet quien utilizó varias veces un principio
muy elemental que lleva su nombre y el cual será
tratado en esta y la próxima edición de la revista.
Haremos un breve esbozo de la vida de Dirichlet
en ambas ediciones.
El apellido Dirichlet tiene su origen en un pueblo
de Bélgica, Richelle, cerca de la ciudad de Lieja,
donde vivió su abuelo. Lejeune significa el joven.
Cuando tenia 12 años, Dirichlet estaba apasionado
por las matemáticas; cada vez que podía recoger
un poco de dinero, compraba libros de su ciencia
preferida. Fue un alumno brillantísimo.
Tuvo la suerte de seguir los cursos, en el Colegio
de Colonia, con el físico Georg Ohm (1789-1854),
autor de la ley de proporcionalidad entre tensión
e intensidad en electricidad.
Dirichlet viaja a París, capital de las matemáticas
en su época, buscando la excelencia en su
formación. París contaba con la prestigiosa
Escuela Politécnica, donde se albergaron
grandes matemáticos como Cauchy, Fourier,
Laplace, Legendre, Poisson, etc. Lleva consigo
las Disquisitiones arthmeticæ (Investigaciones
aritméticas), el famoso libro escrito por Karl
Friedrich Gauss (1777-1855) en 1800, libro que
va a conservar sobre su escritorio durante toda
su vida.
En 1822, contrae la viruela, con la suerte que,
después de verse muy afectado, pudo rápidamente
volver a trabajar. Su primer gran resultado, en
1825, es un caso del gran teorema de Fermat
(1601 o 1607-1665) planteado en los años 1640
y donde se cita que una potencia n-ésima, n≥3,
de un número entero no podía ser la suma de
dos potencias n-ésimas de números no nulos. La
conjetura ya estaba demostrada para n=3 y n=4
por Fermat y Euler. Dirichlet toma el caso n=5,
presenta una prueba a Legendre ; la prueba no
está completa pero Legendre descubre como
hacerlo.
La teoría de números siempre fue una de las
partes preferidas por Dirichlet.
En 1828, Dirichlet vuelve a Alemania y obtiene un
puesto de profesor en la Universidad de Berlín.
Se casa con una hermana del compositor Felix
Mendelsohn (autor de la marcha nupcial) hombre
muy afable a quien le gusta mucho la vida de la
sociedad berlinesa. Es en Berlín que Dirichlet va
a producir la mayor parte de su obra matemática
y va a contribuir, con su amigo Jacobi y otros, a
hacer de Berlín, un gran centro de investigación
matemática.
Terminaremos esta historia en el próximo número
de Variables.
EL MARATÓN
Práctica de la sustracción.
● 2 jugadores o más
● 5 a 15 minutos
Material
● 5 dados
● Papel y lápiz.
Objetivo del juego:
Obtener de primero exactamente los 42195
metros que corresponden a la distancia del
maratón olímpico.
Reglas:
1.Cada jugador escribe el número 42195 en su
hoja.
2. El jugador cuenta con 5 dados, una vez
lanzados definirá cuantos de ellos desea
utilizar, usando una sola vez cada cifra. Con las
cifras seleccionadas, el jugador forma, según
su interés, un número que utilizará como una
distancia recorrida en la competencia.
Ejemplo: Si al lanzar los 5 dados se obtiene
6,1,4,1,2 y decide usar los 5 resultados
podría formar el número 26141, si decide usar
solo las cifras 6, 4, 2,1 podría formar el número
6124, si decide usar las tres cifras 1,1,4 podría
formar el número 141 y así sucesivamente.
3. Cada jugador, por turno, lanza los 5 dados;
dependiendo si decide avanzar o quedarse en
su lugar.
Si decide quedarse en su lugar, cede el
turno al jugador siguiente quien puede
usar los resultados numéricos obtenidos
por él o hacer su propio tiraje.
Si el jugador decide avanzar, debe
indicar cuál es el número natural que
forma y lo reduce de su meta 42195.
Posteriormente debe anunciar el
resultado obtenido como la distancia
que le queda por recorrer.
4.
El número natural formado en cada caso,
al tirar los dados, debe ser inferior o igual a la
distancia que falte por recorrer; para lo cual el
jugador decide si usa 5, 4, 3 ,2 o 1 dados de los
lanzados. Si no es posible formar un número
igual o menor que la distancia que le falte, el
jugador debe mantenerse en su posición actual
y ceder turno.
5.
El ganador será quien complete de
primero la distancia exacta de 42195 metros, o sea obtener 0 en sus restas. Los demás jugadores
pueden verificar los cálculos del que se enuncia como ganador y si se detecta un error queda
descalificado del juego. Se puede continuar para determinar el segundo y tercer lugar.
Observaciones:
1. Al tirar los dados el jugador separa los dados que usará y, a la vista de los demás jugadores, formará el número
que utilizará. Una vez determinado no puede cambiar de combinación.
2. Se recomienda que cada jugada y número seleccionado, sea colocado por turno en la hoja de cotejo que se
adjunta.
3. La idea del juego es ganar en la menor cantidad de tiradas posibles por lo que la estrategia que se utilice es
importante. Para esto se recomienda que antes de hacer pública la selección del número de dados a utilizar y de
la combinación de los mismos, el jugador se tome su tiempo para analizar su estrategia.
Observación :
Es claro que al no tener los resultados obtenidos por cada jugador en los dados, no podemos asegurar
que ha jugado óptimamente, sin embargo, la colocación de los números parece adecuada.
Versión traducida y adaptada de «Jeux et Activités Numériques» Publication de L´A.P.M.E.P. Francia.
EJEMPLO:
Supongamos fueron seleccionadas las siguientes
cantidades:
85: Página
4: Líneas
6: Palabra
El algoritmo con estos números sería:
Invite a una persona a abrir un libro en la página que
guste; que seleccione de entre las nueve primeras líneas
una de ellas y por último que en ésta línea seleccione una
de entre las nueve primeras palabras. Seguidamente
solicite realizar el siguiente algoritmo:
1) 85 X 10 = 850
2) 850 + 5 = 855
3) 855 + 4 = 859
4) 859 X 10 = 8590
5) 8590 + 6 = 8596
Resultado final: 8596 - 50 = 8546
85: Página
4: Línea
6: Palabra
1) Multiplique por 10 el número de página.
2) Agrege 5 al resultado anterior.
3) Agrege, al resultado anterior, el número de línea
selseleccionado
4) Multiplique por 10 el último resultado.
5) Agrege al producto anterior el número de palabra
selseleccionado.
Una vez realizado lo anterior se solicita el resultado.
CÍRCULO Y
CIRCUNFERENCIA,
UN PROBLEMA
Un perro guardián está amarrado por una correa
de 8m al exterior de una granja -punto A- que
está cercada por una malla que no permite el
ingreso del perro a ella. La granja tiene forma
rectangular con 6m de largo por 4 m de ancho
según
gún se muestra el la figura adjunta:
Seguidamente reste 50 en “secreto” de dicho resultado.
Del resultado final se obtiene:
● Palabra seleccionada: Cifra de las unidades.
● Línea seleccionada: Cifra de las decenas.
● Página seleccionada: Las demás cifras del resultado.
Con esto, usted se dirige al libro y con gran seguridad
lo abre y lee la palabra seleccionada.
1 .Determinar, con el uso del compás, la trayectoria
que sigue el perro con la correa extendida al
máximo.
2 .Calcular la longitud de la trayectoria.
3. Se ha optado por colocar arena en la zona a la
que podría tener acceso el perro. Calcule el área
de dicha zona.
Anexo pág. 2 Construir un triángulo isóceles
de base a y lado b.
Dibuje un segmento de recta que servirá de base
para el triángulo y determine en ella un segmento
con extremos A y B y cuya magnitud sea “a”.
Con una abertura del compás de igual magnitud
que “b”, haga centro en A y B respectivamente,
trazando dos arcos que se corten en el punto C.
El triángulo ABC es isóceles.
Anexo pág. 3 Dibujar un cuadrado dada la longitud de sus lados
Se traza el segmento de longitud determinado AB,
lado del cuadrado. Se traza un segmento perpendicular a uno de los puntos A o B que contenga el
punto M. Con abertura de compás igual a la longitud del lado AB se traza un arco de tal forma que
la prolongación de AM corte al arco en el punto C.
(Véase figura). Haciendo centro en B y C respectivamente y manteniendo la abertura AB, trazamos
dos arcos que se cortaran en D. La figura ABCD
es un cuadrado de lado AB.
Solución pág. 22 Viendo a través de un libro.
Utilicemos tres variables para indicar los números buscados.
x= número de página
y= número de línea
z= número de palabra
Por las regla de truco tenemos que 1 y 9, 1 z 9.
Recordemos que el número x y z se presenta en el sistema
decimal como x.10²+y.10+z.
Realicemos con “x”,”y” y “z” el algoritmo establecido en el
truco:
1) x.10 + 5
2) x.10 + 5 + y
3) (x.10 + 5 + y).10 = x.10² + 50 + y.10
4) x.10² + 50 + y.10 + z
Si finalmente restamos 50 tenemos x.10² + 10y + z que se
representa xyz.
Como vemos, al restar 50 del resultado final nos queda al
descubierto qué página, línea y palabra fueron seleccionados.
EMBLEMA UNIVERSAL pág. 6
CUADRIRRECTANGULITIS pág. 9
Solución...
Hay 16 retángulos
y
6 cuadrados
EL MALETERO pág. 13
DESAFÍO PESADO pág. 13
Baja la pesa de 4 kg. y así nivela la balanza de
abajo, pero desnivela la de arriba, la que vuelve a
equilibrar pasando la pesa de 2 kg. del platillo de
la izquierda al de la derecha
Solución pág.22 Círculo y circunferencia, un problema.
ÁREA TOTAL: A1+A2+A3+A4+A5= 144,44m²
RECORRIDO TOTAL: P1+P2+P3+P4+P5=43,96m
Utilizando el valor π=3,14 tenemos:
ZONA 1: Perímetro (2x3,14x8) / 4 Área: (3,14x8²)/4
ZONA 2: Perímetro (2x3,14x4) / 4 Área: (3,14x4²)/4
ZONA 3: Perímetro (2x3,14x2) / 4 Área: (3,14x2²)/4
ZONA 4: Perímetro (2x3,14x6) / 4 Área: (3,14x6²)/4
ZONA 5: Perímetro (2x3,14x8) / 4 Área: (3,14x8²)/4