TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Asignatura: MATEMÁTICA
Carrera- Diseño de Interiores y MobiliarioProf. Alicia Iturbe– Prof. Cecilia Ariagno
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
Conceptos teóricos
Una transformación del plano es una aplicación del plano en el mismo. Esto significa que es un
procedimiento que, a todo punto M del plano, asocia un punto M’ y uno solo. Se dice que M’ es la
imagen de M por la transformación.
Estudiaremos aquí algunas transformaciones del plano y más particularmente las simetrías
axiales y centrales. Para cada una de ellas daremos una definición “ingenua” ( y en general útil para
reconocer si dos figuras se deducen una de la otra por esta transformación ) , una definición matemática
y también sus propiedades.
1- La simetría axial (o simetría ortogonal en relación a una recta )
1.1 Definición “ingenua”
Una figura (F’) es la simétrica de una figura (F)
con relación a una recta (D) si cuando se
pliega la hoja por (D), (F) y (F’) se superponen
(por ejemplo por transparencia).
1.2 Definición matemática
El simétrico de un punto M en relación a una recta (D) es:
el punto M’ tal que (D) sea la mediatriz de [MM’] , si M no pertenece a (D);
el mismo punto M si M pertenece a (D).
M es también el simétrico de M’ en relación a (D). Se dice que M y M’ son simétricos.
Se habla igualmente de figuras simétricas.
Todos los puntos del eje de simetría son su propia imagen; se dice que son invariantes.
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1.3 Métodos de trazado del simétrico de un punto en relación a una recta.
Hay dos métodos que corresponden a dos métodos de trazado de la mediatriz de un segmento.
Primer método : Con regla y escuadra
Se traza la perpendicular a (D) que pasa por
M. Ella corta a (D) en H.
Se ubica el punto M’ sobre esta perpendicular
tal que MH=M’H
Segundo método: Sólo con compás
Se ubican dos puntos sobre (D)
Se trazan dos arcos de circunferencias con
centros en estos puntos y pasando por M. El
segundo punto común de estos dos arcos es el
simétrico de M.
1.4 Propiedades de la simetría axial
Se admite que:
 La imagen de una recta por una simetría axial es una recta. Se dice que la simetría axial conserva
la alineación. Consecuencia: si un punto pertenece a una recta, su simétrico pertenece a la
simétrica de la recta. Pero atención, la imagen de una recta en una simetría axial no es , en
general , una recta paralela, contrariamente a lo que sucede en una simetría central.
 La imagen de un segmento por una simetría axial es un segmento de la misma longitud. Se dice
que la simetría axial conserva las longitudes.
 La imagen de un ángulo por una simetría axial es un ángulo de igual amplitud. Se dice que la
simetría axial conserva los ángulos.
 La imagen del medio de un segmento por una simetría axial es el medio de la imagen de ese
segmento. Se dice que la simetría axial conserva el medio.
Ejercicio 1: Verificar estas propiedades en ejemplos
Estas propiedades permiten construir el simétrico de un polígono. Es suficiente trazar el simétrico de
cada uno de los vértices del polígono y luego unir los puntos obtenidos ( en el mismo orden! )
Permiten también decir que el simétrico de un círculo es un círculo de igual radio cuyo centro es el
simétrico del centro dado.
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1.5 Eje de simetría
Una figura (F) admite un eje de simetría (D) si el simétrico de todo punto de (F) pertenece a (F)
Ejemplo:
(D) es un eje de simetría de la figura (F)
Para encontrar el eje de simetría se
puede utilizar la definición 1.1 plegando
mentalmente la figura. Si se piensa que
una recta es un eje de simetría, se la
puede trazar con precisión tomando dos
puntos M y M’ de la figura, que se
distinguen como simétricos, y trazar la
mediatriz de [MM’].
Una figura puede tener más de un eje de
simetría
2- La simetría central (o simetría en relación a un punto)
2.1.Definición “ingenua”
Una figura (F’) es la simétrica de una figura (F)
en relación a un punto si se obtiene (F’)
haciendo rotar (F) alrededor de C un ángulo
de 180 grados.
2.2 Definición matemática
El simétrico de un punto M en relación a un punto C es:
el punto M’ tal que C es el medio de [MM’], si M es distinto de C,
el punto M si M y C son el mismo punto
Se dice que M y M’son simétricos en relación a C. Se habla igualmente de figuras simétricas.
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2.3 Métodos de trazado del simétrico de un punto en relación a un punto.
Un único método: Con regla y compás ( o
regla graduada)
Se traza la semirrecta [MC)
Se ubica el punto M’ sobre esta semirrecta
tal que MC=M’C
2.4. Propiedades de la simetría central
Si uno se refiere a la definición ingenua, sus propiedades son evidentes. Se admite que:
 La imagen de una recta por una simetría central es una recta. Se dice que la simetría central
conserva la alineación. Contrariamente a lo que sucede en una simetría axial, la simetría central
transforma una recta en otra paralela.
 La imagen de un segmento por una simetría central es un segmento de la misma longitud. Se
dice que la simetría central conserva las longitudes.
 La imagen de un ángulo por una simetría central es un ángulo de igual amplitud. Se dice que la
simetría central conserva los ángulos.
 La imagen del medio de un segmento por una simetría central es el medio de la imagen de ese
segmento. Se dice que la simetría central conserva el medio.
Ejercicio 2: Verificar estas propiedades en ejemplos
Estas propiedades permiten construir el simétrico de un polígono. Es suficiente trazar el simétrico de
cada uno de los vértices del polígono y luego unir los puntos obtenidos ( en el mismo orden! )
Permiten también decir que el simétrico de un círculo es un círculo de igual radio cuyo centro es el
simétrico del centro dado.
2.5. Centro de simetría
Una figura (F) admite un centro de simetría C si el simétrico de todo punto de (F) pertenece a (F).
Se puede utilizar la definición 2.1 imaginando pivotear 180º la
figura alrededor de un punto y verificar mentalmente que ella se
superpone con la figura en la posición de partida. Se puede
trazar con precisión el centro de simetría, si existe, tomando dos
puntos de la figura que se consideran simétricos y determinando
el medio del segmento que determinan. Hay que verificar luego
que este punto es el centro de simetría de la figura.
Si una figura, con segmentos en algunos de sus lados, admite un
centro de simetría, entonces estos segmentos son paralelos dos a
dos. Por lo tanto si un polígono no tiene lados paralelos dos a dos
no tiene centro de simetría.
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3- La rotación
Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una imagen de acuerdo a un
punto llamado centro de rotación y a un ángulo que podemos llamar ángulo de giro.
Definir una rotación necesita en principio definir su “sentido” . Se habla de sentido directo si se gira o
rota en el sentido inverso al movimiento de las agujas de un reloj. La medida de un ángulo de sentido
directo es positivo y la de un ángulo de sentido indirecto es negativo. Se habla de un ángulo de + 45
grados ( o simplemente 45 grados ) o – 45 grados.
R(O, α)
Rotaciones horarias o negativas
Rotaciones antihorarias
o positivas
Ángulos positivos
Ángulos Negativos
3.1 Definición “ingenua”
Una figura (F’) es la imagen de una figura (F)
por una rotación de centro C y de ángulo α de
sentido directo ( o indirecto) si cuando se hace
rotar la figura (F) un ángulo α de sentido
directo ( o indirecto) alrededor de C , ella se
superpone con (F’).
El triángulo A´B´C´es la imagen del triángulo
ABC por una rotación de centro “O” y ángulo
α.R(O,α)
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3.2 Definición matemática
Dado un ángulo α (de sentido directo o indirecto) y un punto C, la imagen del punto M por la
rotación de centro C y ángulo α es : el punto M’tal que CM’=CM y el ángulo ( CM,CM’)=α ( de
sentido directo o indirecto) , si M es distinto a C, el punto M si M es C.
La rotación de centro C y de ángulo & se designa R (C, α).
Si M’ es la imagen de M por R(C,α), se escribe : M’ = R(C,α) (M).
En particular cuando α es 180 grados se trata de una simetría de centro C y en este caso la precisión del
sentido de rotación no tiene importancia.
3.3 Métodos de trazado de la imagen de un punto por una rotación de centro C y ángulo α.
1-Se traza la semirrecta [C,x), tal que
(CM,Cx)=α
2-Se ubica el punto M’ sobre [Cx) tal que
CM=CM’
Observación: Si M’ es la imagen de M por una
rotación de centro C, entonces C pertenece a
la mediatriz [MM’] porque CM=CM’
(propiedad de la mediatriz)
3.4 Propiedades de las rotaciones
La rotación transforma una recta en una recta, conserva las distancias, los ángulos y los medios.
La imagen de un círculo es un círculo del mismo radio cuyo centro es la imagen del centro.
Ejercicio 3: Verificar estas propiedades sobre ejemplos.
4 La traslación
Noción de vector
Un vector se caracteriza por su sentido, dirección y longitud (se trata de una definición ingenua)
Este dibujo representa al vector AB
B
Su longitud es la del segmento [AB]
Su dirección es la de la recta (AB)
Su sentido es de A hacia B.
A
Dos vectores son iguales si tienen la misma longitud, sentido y dirección
B
F
E
G
A
D
I
C
J
H
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Conclusiones:
AB= CD
AB  EF Porque tienen igual dirección y sentido pero distinta longitud
AB  IJ
Porque tienen igual dirección y longitud pero distinto sentido
AB  GH Porque tienen distinta dirección aunque su longitud sea la misma
Dos vectores AB y CD son iguales si ABDC ( cuidado con el orden de las letras!) es un paralelogramo y
recíprocamente.
Esto otorga un método suplementario para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo.
B
D
A
C
4.1 Definición “ingenua”
Una figura (F’) es la imagen de una figura (F)
por una traslación si es posible desplazar (F)
sin hacerla rotar ( por ejemplo con un papel
de calcar ) y lograr que coincida con (F’)
La figura (2) es la imagen de la figura (1) por la
traslación del vector
4.2 Definición matemática
Dado un vector
, la imagen de un punto M por la traslación del vector
es el punto M’ . La traslación de vector
4.3 Métodos de trazado
1er método
- Se traza la recta por M paralela a (AB)
- Se ubica el punto M’ sobre esta recta tal que
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2do método (trazando los vértices del
paralelogramo ABM’M)
Se traza un arco de circunferencia de centro B
y radio [AM]
Se traza un arco de circunferencia de centro M
y de radio [AB]
Estos dos arcos se cortan en M’
4.4 Propiedades de la traslación
La traslación conserva la alineación, las longitudes, los ángulos y los medios.
La imagen de una recta es una recta paralela a ella.
La imagen de un círculo es un círculo de igual radio cuyo centro es la imagen del centro.
5- La proyección ortogonal
5.1 Definición matemática
Dada una recta (D), la proyección ortogonal
sobre (D) es la transformación que a todo
punto M asocia el punto M’ tal que M’ es la
intersección de (D) y de la perpendicular a (D)
que pasa por M.
Si M pertenece a (D) él es su propia imagen (
es decir invariante)
5.2 Propiedades
La proyección no conserva las longitudes, pero sí los medios y también la alineación.
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Ejercicio 1
Ejercicio 2
Aplica al triángulo ABC una R(0, + 100º). Demuestra que ABC
Ejercicio 3
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Ejercicio 4
Ejercicio 5
La siguiente figura está formada por octágonos y cuadrados.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la figura?
I. Tiene simetría central.
II. Tiene simetría axial.
10
III. Tiene cuatro ejes de simetría.
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Ejercicio 6
Identifica todas las simetrías axiales (indicando ejes) y centrales (indicando
centros) en cada figura.
d
b
a
c
e
g
h
f
j
j
k
l
m
Ejercicio 7
El triángulo ABC de la figura se ha reflejado en torno a la recta L,
transformándose en el triángulo DEF.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I. BD = AE.
II. BF = CE.
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III.
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Ejercicio 8
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Un punto A se gira en 90º en torno a un punto P, transformándose en el punto
B. Si M es el punto medio de
verdadera(s)?
I.
AMP = 2
Ejercicio 9
ABP
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
II.
MBP =
MPB
III. MB = MP
El polígono de la figura es un hexágono regular y O es su centro.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Si el DABO se traslada en la
dirección
queda en la posición del DOCD.
II. Si el DABO se refleja en torno a
queda en la posición del DDOE.
III. Si FODE se refleja en torno al punto O se transforma en el cuadrilátero BODC.
Ejercicio 10 ¿Cuál(es) de las siguientes transformaciones se debe aplicar a una de las figuras
para que resulte la otra?
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I. Una reflexión en torno a un punto.
II. Un giro en 90º y después una traslación.
III. Una traslación y después una reflexión en torno a una recta.
Ejercicio 11
Ejercicio 12
13
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Ejercicio 13
Ejercicio 14
Indica la trasformación aplicada al cuadrado abcd, para pasar a ser a´b´c´d
Bibliografía
Texto: Preparation á l’épreuve de mathématiques du concours de professeur des écoles. Tome 1Autores: Roland
Charnay y Michel Mante- Hatier Paris 1995
Capítulo 9
Ejercitación Variada:
Ejercicio 15 Dibujen el triángulo simétrico del triángulo abc de vértices: a= (5;1),
b= (-2;2) y c= (4;0).
a) Respecto del eje x.
b) Respecto deleje y.
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Ejercicio 16 Al segmento
se le aplico una simetría de centro o y se obtuvo como
imagen
y a este último se le aplicó una simetría de eje y se obtuvo como segmento
siendo b’’ coincidente con b’.
Encuentren el punto o y el eje E que se pudieron usar.
,
Ejercicio 17 a) Dibujar una recta y aplicarle una simetría central, considerando como centro
de esa simetría un punto o que no pertenezca a R.
b) ¿Resultan paralelas R y su simetría respecto del punto o.?
c) En una simetría central, ¿se transforma toda recta en otra recta paralela?
Ejercicio 18
Dibuja las transformadas de las siguientes figuras mediante las simetrías axiales
indicadas.
Ejercicio 19
Di cuales de estas figuras son simétricas respecto de un punto
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Ejercicio 20 -Encuentra las coordenadas del segmento transformado de
3) y B (3, 1), mediante los siguientes movimientos:
(a) Una simetría de centro el origen de coordenadas
(b) Una simetría axial respecto del eje horizontal
(c) Una simetría axial respecto del eje vertical
, siendo : A(-2,
Ejercicio 21
Halla todos los ejes de simetría de las siguientes figuras:
Ejercicio 22
El triangulo abc, cuyos vértices son a= (2;2), b=(5;5) y C=(7;1), se ha trasladado
según el vector = (7;2) y así se obtuvo el triángulo a’b’c’.
a) Indiquen las coordenadas de a’b’c’.
b) Apliquen a
una traslación del vector = (1;1).
Ejercicio 23 En un sistema de ejes cartesianos dibujen la figura F y apliquen a esa figura las
siguientes rotaciones.
a)
b)
c)
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d)
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Ejercicio 24 Los siguientes dibujos se obtuvieron, en cada caso, girando sucesivamente la
figura azul con centro en o hasta llegar a la figura inicial. Indiquen, en cada caso, el ángulo que
gira la figura azul para pasar de una posición a la siguiente.
Ejercicio 25 Las siguientes figuras son transformaciones de la figura A. indica a qué tipo de
transformación corresponde cada una de ellas.
Figura A
Composición de movimientos rígidos
Ejercicio 26
Halla el transformado del rombo abcd de la figura mediante la
composición: TvoSE.
Indica el vector traslación que
neutraliza a la composición
realizada, es decir, la traslación que
aplicarla a la imagen obtenida nos
permite obtener el rombo abcd.
al
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Ejercicio 27
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Halla el transformado del rombo abcd de la figura mediante la
composición: SEoTv
Indica el vector traslación que neutraliza a la
composición realizada, es decir, la traslación que al
aplicarla a la imagen obtenida nos permite obtener
el rombo abcd.
Ejercicio 28
Halla el transformado del rombo abcd de la figura mediante la
composición: SEoTv
Indica el vector traslación que neutraliza a la
composición realizada, es decir , la traslación que al
aplicarla a la imagen obtenida nos permite obtener el
rombo abcd.
Ejercicio 29
Halla la imagen transformada de la figura dada
mediante la composición: SEoTv
Indica el vector traslación que neutraliza a la composición realizada,
decir , la traslación que al aplicarla a la imagen obtenida nos
permite obtener la figura inicial.
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es
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Ejercicio 30
Halla el transformado del rombo abcd de la figura mediante la
composición: SEo
. Indica el vector traslación que neutraliza a la composición realizada, es
decir , la traslación que al aplicarla a la imagen obtenida nos permite obtener el rombo abcd.
Ejercicio 31
Halla el transformado del hexágono
abcdef, de la figura, mediante cada una de las
siguientes composiciones:
Indica el vector traslación que neutraliza a la composición
realizada, es decir , la traslación que al aplicarla a la
imagen obtenida nos permite obtener el hexágono
abcdef.
R(c; 90°)o
.
b) R(b;-180°)o
.
c) R(d;- 90°)o
.
a)
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Ejercicio 32
Halla la transformada de la letra V , de la figura, mediante la
composición: SE2oSE1. Los ejes son perpendiculares.
Indica el vector traslación que neutraliza a la composición realizada, es decir , la traslación que al
aplicarla a la imagen obtenida nos permite obtener la
letra V inicial.
Ejercicio 33
composición:
Halla el transformado del triángulo abc, de la figura, mediante la
o R(0; 90°)
Indica el vector traslación que neutraliza a la
composición realizada, es decir , la traslación que al
aplicarla a la imagen obtenida nos permite obtener el
triángulo abc
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