Clase - 11

Clase-11
Raíces:
Sea n número natural mayor que 1 con a ,  números reales. Si n = a , se tiene
que  es la raíz enésima de a la que se denota n a ; es decir:
n a      n  a 
donde “n” es el índice; “a” la cantidad subradical y “” es la raíz; es decir la raíz es
aquel real “” tal que elevado al índice “n”, da por resultado la cantidad subradical
“a”.
Además:
Si n = 2 ; la raíz es cuadrada. (El 2 se omite como índice)
Si n = 3 ; la raíz es cúbica.
Si n = 4 la raíz es cuarta. etc.
Ejercicios:
1) Calcular el valor de las siguientes raíces aritméticas:
144 
(d) 3  125 
(g) 7  128 
(b) 196 
(e) 3  216 
(h) 4  16 
(c) 4 81 
(f) 5 243 
(i) 6 64 
(a)
Notar que si el índice es par, la raíz enésima es siempre positiva, a diferencia de
tener índice impar, donde la raíz enésima conserva el signo de la cantidad
subradical.
2) Reducir:
(b) 63  64  33  125  23 216  3  343 
(a) 3 169  5 225  6 256 
Veamos si la radicación es distributiva sobre la adición y sustracción.
Ejemplo: Al calcular las siguientes raíces :
(a)
64  36 
(b)
64  36 
Se deduce que:
225  81 
225  81 
na  b  na  nb
na  b  na  nb
luego la radicación no es distributiva sobre la adición y sustracción.
(1)
Propiedades de las raíces:
1) Al tener una raíz elevada a un exponente igual a su índice o una raíz donde la
cantidad subradical esta elevada a un exponente igual al índice de esta, se simplifica
tal exponente con la raíz de tal índice.
n a n  n a n  a
Ejemplos:
(a)
72 
(b)
3 3
5 
(e)

3
(f) 3 2x  y 2  23 x  2y 
(c) 3 6
(d) a (a  b)2 
x3 x  y 3 

2 

2) La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de cada uno de los
factores; luego la radicación es distributiva sobre la multiplicación.
na b  na nb
Ejercicios:
(a)
(b)
9x 2 
(c)
25 x 4 y 6 
(d)
3
 64a 3 b 9c12 
5
 32a 5 b15 c 20 
Notar que para calcular la raíz de una potencia, se divide su exponente por el índice
de esta.
Apliquemos la distributividad de la radicación sobre la multiplicación en el calculo
de raíces parciales:
Ejemplos:
(a)
20  4  5  4  5  2 5
(b)
48 
(c)
54 
(d)
75a 3 b5 
(e)
3
24a10 b14 
(2)
Reducción de expresiones con raíces:
Sólo se pueden reducir raíces de igual índice e igual cantidad subradical,
donde procederemos de igual forma que para reducir términos semejantes.
Ejercicios: Al reducir:
(a) 3 2  7 2  2 
(b) 4 3  2 5  7 3  6 5 
(b) 2 50  3 48  5 72  4 27 
(d) 33 3  23 128  53 81  43 250 
Si n a  b  n a  n b ; recíprocamente se cumple que:
na nb  na b
Deduciéndose que para multiplicar raíces de igual índice, se extrae raíz del
producto de las cantidades subradicales.
Ejemplos:
(a) 3  27 
(b) 53 5  23 25 
(c) 6 3a 5 b  2 12a 3 b 
3
3
(d) 5a 4a 5 b 8  3b 16a 4 b 


(e) 2 6  3 2  4 8 
(f)
3


2 4 2  2 2 5 3 
3) La raíz de un cuociente, es igual a un cuociente de raíces; luego la radicación es
distributiva sobre la división.
na : b  na : nb
n
na  a
b nb
(3)
Ejemplos:
(a)
25

81
(d) 3
64 x 6 y 9

3
6
27 z w
(b)
49a 6 b 2

25c 6
(e)
72 x 7 y 3

75 z 5
Si n a : b  n a : n b ; recíprocamente se tiene que:
na : nb  na : b
na
a
n
nb
b
Deduciéndose que para dividir raíces de igual índice, se extrae raíz del
cuociente de las cantidades subradicales.
Ejemplos:
(a) 108 : 3 
(b) 63 625 : 23 5 
(c) 12 18a 5 b 3 : 3 2a 3 b 
(d) 183  192 x 8 y 7 : 63 3x 2 y 
3
15 384 x 5a  b
(e)

3 2a  2b
 5 6x


(f)  9 98 x 3  6 72x 3  : 3 2x 


4) Toda raíz elevada a un exponente es igual a la raíz de la cantidad subradical
elevada a tal exponente.
n a p  n a p
Ejemplos:
(a)
 3 4 
 
2
(b) 3 8 
(c)

2xy
2 
3


(d)  2ab 9a 2 b 


2

(4)
5) Toda cantidad que multiplica a una raíz puede entrar a esta, elevándose al índice
de la raíz y multiplicando a la cantidad subradical.
a nb 
n n
a b
Ejemplos:
(a) 3  5 
(b) (2)  3 5 
(c) (2x )  3 2x 
(d) (3a 2b)  3 5ab 
6) Para extraer raíz de raíz, se multiplican los índices y se conserva la cantidad
subradical.
n m a  n m a
Ejemplos:
(a)
3 64 
(b)
81 
(c)
2 3 
(d)
3x 3 x 
7) Toda raíz de índice negativo, es igual a otra raíz del mismo índice, pero positivo
del valor recíproco de la cantidad subradical.
n a  n 1
a
n a  n b
b
a
Ejemplos:
(a)  2 25
(b)  3  64 
(c) 4
256 a 4 b 8

625 c12
(d) 5
32a10 b15

243 c10 d 5
(5)
8) Toda raíz de una potencia, se puede transformar en potencia, al dividir el
exponente de la cantidad subradical por el índice de la raíz.
m
n m
a
an
Ejemplos:
3
(a) 5 2 
(b)
7
(c)
4 3
x 
(d) 3 2x 
Si
m
n m
a
 a n ; recíprocamente se tiene que:
m
n
a n  am
luego para calcular toda potencia de exponente fraccionario, se debe
transformar esta en raíz.
Ejemplos:
2
(a) 8 3 
(b) 25 0,5 
(c) 810,25 
(d)  27 x 3 y 6 


0,3

Ejercicios Complementarios:
1) Se tiene que al reducir la expresión 2) El producto de las expresiones
radicales (5 2 - 2 3)(3 2 + 4 3) = ?
(3a a- 3b)2 - (2b 2a- b)2 = ?
A) 3a2 – 13ab – 2b2
B) 9a2 – 31ab + 2b2
C) 9a2 – 31ab – 2b2
D) 9a3 – 27a2b – 8ab2 + 4b3
E) 9a3 – 27a2b – 8ab2 - 4b3
A)
B)
C)
D)
2(3
2(3
3(2
3(3
+
+
+
+
7
7
7
7
3)
6)
3)
6)
E) Otra expresión.
(6)
3) Al reducir
3 80  6 98  2 45  4 72  ?
4) Si a = 3 20 ; b = 2 45 ; c =
A) 3( 5  6 2)
A) a = b = c
B) 3(2 5  2)
B) a > b > c
C) 6( 5  3 2)
C) a > c = b
D) 6(2 5  3 2)
D) a = c > b
E) 9( 5  3 2)
E) a = b > c
5) (153 80x8 y 4 -103 270x8 y 4 ):-53 5x2y=?
A)
luego:
6) El valor de
0
12x2y3 2
C) -12x2y3 2
D) 12x3y3 2
10a 2 5a 2
=?
9b2 12b2
A) 5a/3b
B) 5a/6b
C) 5a/ 3b
B)
D)
E) -12x3y3 2
7) El valor de
125 ;
5a/ 6b
E) Otra expresión
8) (0,25)-1/2-(0,027)-1/3+(0,00032)-1/5=
x x x ?
A)
B)
x
x
6
C) x 7
8
D) x 6
8
E) x 7
A) 2
B) 2,2
C) 2,6
D) 2,8
E) 3,6
50
12
9) De las siguientes afirmaciones es (son)
27 

?
10) Al reducir
9
4
verdadera(s):
5
l) 3  3  6
ll) (2 3)2  6
A) ( 3  2)
2
3
3
5
lll) 7 x  7 x
B)
3 2
3
A) Sólo l
5
5
B) Sólo ll
C)
3
2
3
2
C) Sólo lll
5
5
D)
3
2
D) Sólo ll y lll
2
3
E) Ninguna.
E) Otra expresión.
11) Se tiene que la expresión
a- b
es
c
siempre un número real si:
(1) a  b y c  0
(2) a  b y c  0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
12)
La
igualdad
n x- y = -(n y- x )
cumple si:
(1) Si el índice “n” es impar.
(2) Si el índice “n” es par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional.
(7)
se
Ejercicios Propuestos:
1) Determine el valor de las siguientes raíces:
a) 81 
b) 169 
c) 3 125 
e) 4 256 
f) 3 729 
g) 4 625 
x6 =
i)
2
 7

e) 2 3
3 15
4
k) f 28 
a

n a n  n an  a en:

2


 
b)
3 3
5 
f) 3 a

c) 3
2a
2



4
81a12b8 
e)
4
2
 8
g) 2x 5x
3) Aplicar propiedad n a  b  n a  n b en:
3
a) 25 a 6 
b) 27a15 
d)
l) 6 p72 =
j)
2) Aplicar propiedad
a)
d) 3 343 
h) 5 243 
3
d) 5 63 

2

h) 3ab (2a  b)2 

c)
256a20b16 
f)
3
5
216a6b3 
243a15b35c10 
4) Aplicar la propiedad n a  n b  n a  b en:
a)
3 6 8 
b) 3 2  2 32 
3
3
c) 3 12x  2 18x2 
d)
e) 5 3  (4 27  3 12  2 48) 
f) 3 6 3  9  3 6 3  9 
6  ( 24  6) 
5) Calcular las siguientes raíces parciales:
a) 50 
b) 80 
c) 3 40 
d) 3 54 
f)
e)
12a5 
72a5 b7 
6) Reducir aplicando raíces parciales:
a) 8  18  32 
b)
c) 3 75  2 45  5 20  12 
c) 23 81  3 54  33 24  316 
18  12  50  48 
7) Multiplique y extraiga raíces parciales:
a) 2 6  3 12 
b) 3 6  6 2  2 8 
c) 2 6  (3 24  5 8) 
d) (4 3  3 2)(2 6  8) 
(8)
a na
8) Aplicar la propiedad n 
en:
b nb
a)
16

25
125
b) 3

343
108
c) 3

250
d)
49a 2

81b 2
125x3 y 6
e) 3

512z12
40 a 6 b9
f) 3

54 c3 d15
9) Aplicar la propiedad n a : n b  n a : b en:
c)
b) 15 18 : 5 2 
75 : 3 
a)
d) 123 81x7 y10 : 33 3 xy 
153a 5b7 : 17a 3b 
f) (93 24  63 81  33192) : 33 3 
e) (6 50  9 72  15 98) : 3 2 
10) Aplicar propiedad
nm
a  n m a en:
a)
3 64 
b)
625 
b)
3 5 
d)
2 2 2 
a a7 
f)
d)
3
1
a
b
11) Aplicar propiedad n a  n
o n  n
a
b
a
a) 2 25 
b)
3
27a6 
169

d) 2
196
e) 3
1

216
12) Aplicar propiedad
a)
64 
d) 5 x 4 (3 x2 )12 
3
3a  2a 2 
en:
e)
f)
5
32a 5b10 
81x12
4

625 y 8 z 20
n m
a  am /n en:
b)
3 9
3 
c) 23 (2a)6 
6
6
e) 3 25  5 27 
13) Aplicar propiedad am /n 
5
5
f) 18 311 : 6 3 
n m
a
en:
a) 271/3 
1/2
4
b)  

9
1/4
 1 
c) 


 81 
d) 161/3  41/3 
e) 721/2 : 81/2 
f) 1000,5  810,25  320,2 
(9)
14) Al reducir (3a 5 a- b)2 - a (a- b)2 = ?
A)
B)
C)
D)
E)
14a2
44a2
44a3
45a3
45a3
16)
– 2ab
– 8ab
– 8a2b
–8a2b –
–9a2b –
2


6
15) Se tiene que  a 2  a 9x  3  


A) a 3 x
B) a 3 x 3
C) a 3 x  3
a2
a2 + ab
D) a 3 x 6
E) a 3 x  9


3 a 2 x-3   6 a x+6 - 24 a x+4 


2a x+1
17) Se tiene que
a  b  a  b si:
(1) a > 0 con b = 0
(2) b > 0 con a = 0
A) -3a x+1
B) 3(a x+1- 2a x )
A) (1) por si sola
B)
C)
D)
E)
C) 3(2a x+1- a x )
D) 3(3a x+1- 2a x )
E) 3(2a x+1- 3a x )
(2) por si sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional.
Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-10
1)
2)
a) 216
b) 729
c) –125
d) 256
e) –729
f) 144
g) –100.000
h) –3.375
a) 125  243
a n  na
b)
400  272
(a  b)n  a n  bn
3)
a) 32
b) 125
c) 64
4)
a) 125
b) 729
c) –64
5)
a) 64
b)
c) 49
6)
a) 225
1
729
1
b)
216
7)
a) 225
8)
a)
9)
a) 25
10) a)
11)
12)
8
27
1
16
b)
121
9
b) –27
b) 
1
243
a) 1
a) 4
27
8
1
c) 
64
1
c)
32
4
c)
9
c)
b) 1
b) 2
8
27
8
e) 
125
d) 675
e) -1
1
256
7
d) 
72
e) 128
d)
d) –27
d)
125
216
c) 2
1
c)
2
49  91
(a  b)n  a n  bn
9
25
9
d)
16
1
d) 
64
d)
c) 200
b)-1.000.000
c)
e) 
e) -27
3
16
1
e)
64
e) 6
e) 243
d) 3
d) 8
e) 2
13) E
14) D
15) C
16) A
17) D
18) C
19) A
20) D
(10)