EJERCICIOS DE ESTAD´ISTICA

EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA
1o GRADO DE FARMACIA
CURSO 2011 - 2012
1. EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1.- Se le ha tomado la temperatura corporal a un grupo de pacientes afectados de gripe, con los resultados
siguientes:
Temperatura o C
37
37,2
37,5
38
38,1
38,5
39
No de pacientes
1
5
15
6
10
5
2
Calcule:
a) Media aritmética.
b) Moda y mediana.
c) Coeficiente de variación de Pearson.
2.- Un ecólogo está interesado en el tamaño de la hoja de una determinada especie vegetal. Para ello
recoge una muestra con los siguientes resultados:
Longitud (cm)
2,5
3,2
4
5,5
5,8
6,1
2
4
9
6
6
3
Número de hojas
Determine los valores de:
a) Primer y tercer cuartiles.
b) Moda y mediana.
c) Percentiles 42 y 86.
3.- La siguiente distribución de frecuencias se refiere a las edades de los empleados de una empresa
Intervalos
16
22
28
34
40
46
52
58
64
-
Frecuencias
22
28
34
40
46
52
58
64
70
11
15
32
28
16
25
14
10
6
Calcule:
a) Media aritmética, intervalo mediano, mediana, intervalo modal, cuartiles de primer y tercer orden,
percentiles 32 y 81.
b) Desviación tı́pica, coeficiente de variación de Pearson y recorrido semiintercuartı́lico.
c) Dibuje el histograma correspondiente y comente, a partir de él, la forma de esta distribución de datos.
4.- Dadas las observaciones siguientes:
11
15
19
23
13
25
26
20
27
20
24
22
20
10
28
27
33
29
15
29
29
26
25
20
21
16
18
31
27
20
a) Agrupe los datos en cinco intervalos de longitud constante, comenzando por el valor 10.
b) Utilizando los intervalos anteriores, calcule: media, intervalo mediano, mediana, intervalo modal,
cuartiles de primer y tercer orden y el percentil 82.
c) Calcule: desviación tı́pica, coeficiente de variación y recorrido intercuartı́lico.
5.- En un estudio acerca del comportamiento de la mosca del vinagre Drosophila melanogaster, un biólogo
midió el tiempo en segundos que una mosca pasaba aseándose en un determinado periodo de 6 minutos
de duración. Los tiempos de aseo observados para 20 moscas distintas fueron:
34, 24, 10, 16, 52, 76, 33, 31, 46, 24, 18, 26, 57, 32, 25, 48, 22, 48, 29, 19
a) Construya un diagrama de tallo y hojas para este conjunto de datos. Comente, a partir de su forma,
la posible simetrı́a y normalidad de la distribución de los datos.
b) Calcule el valor del coeficiente de variación de Pearson.
6.- Se ha estudiado en cierto desierto, el número de seres vivos por km2 , eligiendo aleatoriamente 20 áreas
de 1 km2 . Los datos obtenidos fueron:
17 18 21 21 21 24 24 25 29 29 29 29 31 31 33 33 33 41 41 49
Dibuje el diagrama de cajas y coméntelo. Indique si hay algún dato atı́pico.
7.- Se ha desarrollado una nueva vacuna contra la difteria para aplicarla a niños. El nivel de protección
estándar obtenido por las antiguas vacunas era de 1 µg/ml, un mes después de la inmunización. Después
de un mes, se han obtenido estos datos del nivel de protección de la nueva vacuna:
12,5
13,3
13,8
14,1
13,0
14,6
13,5
13,1
13,2
12,1
12,2
13,7
13,4
13,4
14,0
12,8
13,6
12,6
13,3
12,7
a) Construya un diagrama de tallo y hojas doble para estos datos.
b) ¿Se sorprenderı́a si le dijeran que X, el nivel de protección transcurrido un mes de la nueva vacuna,
tiene una distribución en forma de campana?
c) Mediante la inspección del diagrama de tallos y hojas, haga un cálculo aproximado del nivel de
protección medio utilizando la nueva vacuna. ¿Se sorprenderı́a si le dijeran que la nueva vacuna tiende a
proporcionar un mayor nivel de protección que la estándar?
8.- Las edades de un grupo de 15 personas son:
47, 52, 52, 57, 58, 58, 60, 65, 66, 66, 71, 71, 72, 73, 96
Construya el diagrama de cajas e identifique, si existen, los datos atı́picos.
9.- Al examinar 158 casos de parálisis de Bell se anotaron las diferentes terapias seguidas por estos
pacientes, resultando el conjunto de datos:
C, DQ, ET, NT, OT
(C: corticoides; DQ: descompresión quirúrgica; ET: electroterapia; NT: ningún tratamiento; OT: otras
modalidades).
Tratamiento
C DQ ET NT OT
o
N de pacientes 73 36
19
21
9
a) Obtenga la tabla de frecuencias e indique qué porcentaje de pacientes toma corticoides.
b) Construya el diagrama de sectores.
2. EJERCICIOS DE REGRESIÓN LINEAL
1.- Durante una hora se administra por perfusión endovenosa continua un medicamento. Al finalizar
la perfusión se determinan las concentraciones plasmáticas de medicamento y los resultados son los
siguientes:
Tiempo (h)
Concentración (µg/ml)
1
1, 5
2
3
6
15
11, 8
11, 0
10, 9
10, 1
9, 6
5, 7
a) Dibuje el diagrama de dispersión (nube de puntos) de los datos anteriores.
b) Determine, a partir de la forma de la nube, si el modelo de regresión lineal es adecuado. En
caso positivo, dé la expresión matemática que relaciona la concentración con el tiempo.
c) Estime el valor de la concentración a las 9 horas.
d) Calcule el coeficiente de correlación e interprételo.
2.- Se ha medido el aclaramiento de creatinina en pacientes tratados con captopril tras la suspensión
del tratamiento con diálisis, resultando los siguientes datos:
Dı́as tras la diálisis
1
5
10
15
20
25
35
Creatinina (mg/dl)
5, 7
5, 2
4, 8
4, 5
4, 2
4, 0
3, 8
a) Halle la expresión de la ecuación lineal que mejor exprese la variación de la creatinina, en
función de los dias transcurridos tras la diálisis.
b) Calcule el coeficiente de correlación y estime a partir de su valor el grado de bondad del
ajuste.
c) ¿En qué porcentaje la variación de la creatinina es explicada por el tiempo transcurrido desde
la diálisis?
d) Si un individuo presenta 4,1 mg/dl de creatinina, ¿cuánto tiempo es de esperar que haya
transcurrido desde la suspensión de la diálisis?
3.- En un ensayo clı́nico realizado tras el posible efecto hipotensor de un fármaco, se evalúa la
tensión arterial diastólica (TAD) en condiciones basales (X), y tras 4 semanas de tratamiento (Y),
en un total de 10 pacientes hipertensos. Se obtienen los siguientes valores de TAD:
X
95
100
102
104
100
98
96
100
110
99
Y
85
94
84
88
85
92
76
90
102
89
a) Utilizando el método de los mı́nimos cuadrados, obtenga la ecuación de la recta que expresa
la TAD tras el tratamiento en función de la TAD basal
b) ¿Cuál es el valor de TAD esperado tras el tratamiento en un paciente que presentó una TAD
basal de 95 mm de Hg? ¿Cuánto vale el residuo de esta estimación?
4.- Se realiza un estudio para estimar la correlación entre la variable aleatoria X: valor de un cierto
ı́ndice de obesidad para cada individuo, y la variable aleatoria Y : tasa metabólica en reposo de
cada individuo. Se mide cada variable sobre 43 sujetos elegidos y se obtienen los siguientes valores:
P
P
P
x = 1482, 5
y = 10719
xy = 379207, 5
P 2
P 2
x = 53515, 25
y = 2736063
a) Obtenga la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X y estime la tasa metabólica en
reposo para un individuo cuyo ı́ndice de obesidad es de 50.
b) Calcule el coeficiente de correlación e interprételo.
5.- Se han realizado 9 tomas de presión intracraneal en animales de laboratorio, por un método
estándar directo y por una nueva técnica experimental indirecta, obteniéndose los resultados siguientes, en mm de Hg:
X
Y
9
6
12
10
28
27
72
67
30
25
38
35
76
75
26
27
52
53
a) Halle la ecuación lineal que exprese la relación existente entre las presiones intracraneales,
determinadas por los dos métodos.
b) ¿Qué tanto por ciento de la variabilidad de Y es explicada por la regresión?
6.- Se quiere estudiar la asociación entre el consumo de sal (en gramos) y la tensión arterial (en
mm de Hg). A una serie de voluntarios se les administra distintas dosis de sal en su dieta y se mide
su tensión arterial un tiempo después.
X (sal)
Y (tensión)
1,8
2,2
3,5
4,0
4,3
5,0
100
98
110
110
112
120
a) Compruebe la idoneidad del modelo lineal de regresión.
b) Obtenga la recta de regresión que exprese la tensión arterial en función de la cantidad de sal
ingerida.
c) Prediga la tensión arterial de un individuo cuya dieta contiene 2,7 g de sal.
3. EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
1.- La probabilidad de que una mujer viva dentro de 30 años es 0,25 y la probabilidad de que viva su hijo es
0,9. Calcule la probabilidad de que al cabo de ese tiempo:
a) Ambos vivan.
b) Sólo viva la madre.
c) Sólo viva el hijo.
d) Al menos viva uno de los dos.
2.- Los quinientos individuos de una muestra se distribuyen en vacunados y no vacunados, y enfermos y no
enfermos, de acuerdo con la tabla:
Vacunados
No Vacunados
Total
Enfermos
42
96
138
No enfermos
243
119
362
Total
285
215
500
Si se elige un individuo de la muestra al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo o haya sido vacunado?
b) Si el individuo elegido está enfermo, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido vacunado?
3.- Sean dos sucesos A y B de los que se sabe que P (A) = 1/2, P (A ∪ B) = 3/4 y P (B) = 5/8. Calcule:
a)
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
P (A ∪ B)
P (B ∩ A)
b) ¿Son independientes los sucesos A y B? Justifı́quelo.
4.- De un grupo de niños considerados de alto riesgo, el 60% tiene bronquitis, el 70% tiene infección de
garganta y el 40% tiene ambas dolencias. Se escoge un niño al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga bronquitis o infección de garganta?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga bronquitis y no tenga infección de garganta?
c) Si tiene los bronquitis, ¿cuál es la probabilidad de que tenga infección de garganta?
d) Si tiene infección de garganta, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga bronquitis?
5.- Los resultados de un estudio realizado en mil mujeres se recogen en la tabla siguiente:
Clasificación OMS
Normal
Osteopenia
Osteoporosis
Total
Menopausia
No
Si
189
280
108
359
6
58
303
697
Se elige una mujer al azar. Calcule la probabilidad de que:
a) Tenga osteopenia o tenga osteoporosis.
Total
469
467
64
100
c) Tenga osteoporosis o menopausia.
c) Pueda clasificarse como “normal”.
d) Siendo menopáusica, tenga osteoporosis.
¿Son independientes los sucesos “tener menopausia” y “tener osteoporosis”?
6.- En un estudio sobre alcohólicos se informa de que el 40% de los mismos tiene padre alcohólico y el 6%,
madre alcohólica. El 42% tiene al menos uno de los padres alcohólicos. Cuál es la probabilidad de que
elegido uno al azar:
a) Tenga el padre y la madre alcohólicos.
b) Tenga madre alcohólica si lo es el padre.
c) Tenga la madre alcohólica pero no el padre alcohólico.
d) Tenga la madre alcohólica si el padre no es alcohólico.
7.- De los sucesos dependientes A y B, se sabe que P (A ∩ B) = 0, 2; P (B|A) = 0, 5; P (A|B) = 0, 4. Calcule:
a) P (A), P (B) y P (A ∪ B).
b) P (A ∩ B) y P (A ∪ B).
8.- Un laboratorio farmacéutico proyecta fabricar un fármaco, del cual ya existen en el mercado dos marcas
A y B. Se sabe que a la hora de comprar ese fármaco la marca A es elegida por el 30% de los consumidores,
la marca B por el 50% y el 10% compran A y B.
Para decidir si compensa el nuevo proyecto el laboratorio necesita conocer, para un comprador elegido al
azar, la probabilidad de que:
a) Compre al menos una de las dos marcas, A o B.
b) No compre ni A ni B.
c) Compre A, supuesto que también compra B.
d) No compre A, supuesto que tampoco compra B.
9.- El 1% de los individuos de una determinada población padece cierta enfermedad. Una prueba para
diagnosticarla da positiva en el 90% de los que la padecen y en el 5% de los que no la padecen. Se elige al
azar un individuo de la población:
a) Si se le somete a la prueba de diagnóstico, calcule la probabilidad de que ésta sea positiva.
b) Supuesto que la prueba ha sido positiva, halle la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad.
c) Si se obtienen del individuo dos muestras de sangre y se aplica a ambas la prueba de diagnóstico
independientemente, calcule la probabilidad de que las dos den el mismo resultado.
10.- El 20% de los fármacos depositados en el almacen de un laboratorio están en el lı́mite de su caducidad.
La probabilidad de que un fármaco de este tipo produzca los efectos deseados es del 40%, y la de que los
produzca un fármaco que no está en dicho lı́mite es del 80%.
a) Se toma al azar un fármaco del almacen. Calcule la probabilidad de que produzca los efectos deseados.
b) Si un fármaco elegido al azar no produce los efectos deseados, ¿cuál es la probabilidad de que no se
encuentre en el lı́mite de su caducidad?
4. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS
1.- Una asociación de cardiologı́a afirma que solo el 10% de los adultos mayores de 30 años
logran completar una prueba de esfuerzo fı́sico especialmente diseñada para ellos. Se toman
al azar cuatro personas mayores de 30 años y se someten a la prueba de esfuerzo. Calcule la
probabilidad de que:
a) Dos personas pasen la prueba.
b) Ninguna persona pase la prueba.
c) Una sola persona no pase la prueba.
d) Más de una pero menos de cuatro personas pasen la prueba.
e) Una o más pero tres o menos, no pasen la prueba.
Si se toma una muestra de 50 personas, cuál es la probabilidad de que al menos dos personas
pasen la prueba.
2.- La diabetes mellitus tipo 1 y la enfermedad celı́aca (EC) son alteraciones crónicas que
comparten susceptibilidad genética, presencia de anticuerpos órgano especı́ficos e influencia
de factores ambientales. Un estudio sobre este tipo de pacientes dio como resultado que el
6,4% de los diabéticos tienen EC. Se desea saber:
a) Si se eligen ocho diabéticos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que más de uno de ellos
sea celı́aco?
b) Si se eligen cinco diabéticos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente el primero
y el último sean celı́acos y los demás no?
3.- Al secuenciar una proteı́na sintetizada “in vitro” se encuentra que está compuesta de alanina y leucina. Sabiendo que la alanina supone el 60% de los aminoácidos que la componen,
cuál es la probabilidad de que:
a) Al menos cuatro de los cinco primeros aminoácidos de la cadena sean leucina.
b) Exactamente tres de los cinco primeros aminoácidos de la cadena sean alanina.
4.- Se supone que la probabilidad de tener un hijo albino en matrimonios normales portadores
del gen para el albinismo es 1/4. Calcule la probabilidad de que en una de estas familias,
compuesta por cinco hijo:
a) Ninguno sea albino.
b) Al menos uno sea albino.
c) Exactamente el primero y el tercero sean albinos y los demás no.
d) No más de dos sean albinos.
5.- Una determinada planta nuclear desprende una cantidad detectable de gases radiactivos,
un promedio de dos veces al mes.
a) Halle la probabilidad de que no se produzcan tales emisiones durante un perı́odo de tres
meses.
b) Halle la probabilidad de que haya, como máximo, cuatro de tales emisiones durante ese
perı́odo.
c) ¿Cuál es el número esperado de emisiones durante tres meses? Si han sido detectadas 12
o más emisiones, ¿puede pensarse que habrı́a que dudar del promedio de dos al mes?
6.- Tras una serie de análisis se determinó que el número medio por cm3 de una cierta especie
de bacterias contenidas en el agua de un embalse es de 4.
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de bacterias de esa especie en una
gota de agua que mide 1/10 cm3?
b) ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar ninguna bacteria de esa especie en una gota de
agua?
c) ¿Y la de encontrar al menos 2 bacterias?
7.- La probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es de 0,001. Determine la probabilidad de que de un total de 2000 individuos
tengan reacción:
a) Exactamente tres.
b) Más de dos individuos..
8.- Un agente de seguros vende pólizas individuales contra cierto tipo de accidentes. Una
encuesta estima que a lo largo de un año cada persona tiene una posibilidad de cada mil de
ser vı́ctima de un accidente del tipo que cubre la póliza y que el agente podrá vender una
media de cuatro mil pólizas de seguros de este tipo al año. Se pide:
a) Probabilidad de que el número de accidentes no pase de cuatro.
b) Número de accidentes esperados por año.
c) Probabilidad de que ocurran más de dos accidentes por año.
d) Probabilidad de que ocurran doce accidentes por año.
5. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS
1.- Una especie de ranas pone entre 0 y 100 huevos en cada “puesta”. Se tiene una población
de 380 ranas hembras y se sabe que la puesta de huevos sigue una distribución normal de
media 55 y desviación tı́pica 10.
a) Calcule la probabilidad de que una rana ponga más de 50 huevos.
b) ¿Cuántas ranas de las 380 cabe esperar que pongan entre 65 y 80 huevos?
c) Si se decide seleccionar al 5% de las ranas más ponedoras para la investigación, ¿cuál es
el mı́nimo número de huevos que debe poner una rana para ser seleccionada?
2.- En la observación del número de glóbulos rojos (en millones) de los habitantes de una
gran ciudad se observó que seguı́an aproximadamente una distribución normal de media 4,5
y desviación tı́pica 0,5. Se pide:
a) Probabilidad de que un habitante tomado al azar tenga más de cinco millones de glóbulos
rojos.
b) Tanto por ciento de habitantes con menos de 3,75 millones.
c) Número mı́nimo de glóbulos rojos del 20 por ciento más alto de la ciudad.
d) Número máximo de glóbulos rojos del 10 por ciento más bajo de la ciudad.
3.- Un biólogo comprobó que la probabilidad de que al inyectar a una rata un determinado
producto sobreviviera después de una semana era de 0,5. Si el biólogo inyecta el producto a
un lote de cien ratas, se pide calcular la probabilidad de que vivan:
a) Más de sesenta y cinco.
b) Entre cuarenta y sesenta.
c) Menos de treinta.
d) Más de cuarenta y cinco. ¿Qué significa esta probabilidad?
4.- En una cierta prueba, el 35 por ciento de la población examinada obtuvo una nota superior
a 6; el 25 por ciento, entre 4 y 6, y el 40 por ciento, inferior a 4. Suponiendo que las notas
siguen una distribución normal, halle la nota media y la desviación tı́pica. ¿Qué porcentaje
de la población tiene una nota que se diferencie de la media en menos de dos unidades?
5.- ¿Cuál serı́a la probabilidad de que en 1000 tiradas de un dado salga el número 5, más de
150 veces y menos de 200?
6.- El diámetro de una válvula cardı́aca en una especie animal se distribuye normalmente
con media de 3,5 mm y una desviación tı́pica de 0,04 mm.
a) ¿Cuál es la proporción de válvulas con un diámetro mayor de 3,425?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una válvula tenga un diámetro entre 3,4 y 3,6 mm?
c) ¿Cuál es el valor del diámetro mı́nimo por debajo del cual se encuentra el 20 por ciento
de las válvulas?
7.- Durante cierta epidemia de gripe, enferma el 30% de la población. En un aula con 120
estudiantes, cuál es la probabilidad de que:
a) Al menos 40 estudiantes padezcan la enfermedad.
b) Haya exactamente 50 estudiantes con gripe.
8.- Se fumiga una plantación de zanahorias con un producto tóxico. Se sabe que la cantidad
de producto que absorbe una zanahoria (en mg) es una variable aleatoria con distribución
normal de media 4 y desviación tı́pica 1,5. Se considera que una zanahoria está contaminada
si ha absorbido más de 6 mg del producto tóxico.
a) Calcule la probabilidad de que una zanahoria seleccionada al azar haya sido contaminada
en el proceso de fumigación.
b) Si se seleccionan al azar 5 zanahorias, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de
ellas estén contaminadas?
6. EJERCICIOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO
1.a) En una determinada marca de cigarrillos se efectúa un experimento para comprobar
el contenido en alquitrán; a tal fin se prueban veinte cigarrillos elegidos al azar de lotes
diferentes. Se encuentran los siguientes datos muestrales para el contenido de alquitrán:
x0 = 22 mg
s0 = 4 mg
Encuentre un intervalo de confianza del 90% para el contenido medio de alquitrán en un
cigarrillo de la citada marca.
b) Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital, con el fin de estudiar
una posible ampliación del mismo. Se tienen datos referidos a la estancia expresada en dı́as
de ochocientos pacientes, obteniéndose los siguientes resultados:
x = 8, 1 dı́as
s = 9 dı́as
Halle un intervalo de confianza del 95% para la estancia media.
2.- El porcentaje de calcio observado en dientes sanos de 10 individuos de una especie animal
es:
36,6
35,9
35,6
35,4
34,9
36,5
35,6
35,2
35,6
35,4
Se pide:
a) Intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje medio de calcio.
b) ¿Se podrı́a aceptar que el porcentaje medio de calcio es igual a 36?
c) Intervalo de confianza del 95 % para la varianza de dicho porcentaje.
d) ¿Se podrı́a aceptar que la varianza de dicho porcentaje es igual a 1,5?
3.- En una muestra de 28 virus se ha medido, mediante técnicas de microscopı́a electrónica,
el diámetro de la cápside, resultando, de media, 12500 Å con una desviación tı́pica de 2100
Å. El diámetro se distribuye normalmente con media y desviación tı́pica desconocidas
a) Dé una estimación puntual para la media y la varianza poblacionales.
b) Construya un intervalo de confianza del 95% para el tamaño medio del diámetro de la
cápside y otro para la desviación tipica.
4.- En el estudio del cáncer de pulmón se considera que su tamaño es una variable aleatoria
con distribución aproximadamente normal. Una muestra de ocho pacientes afectados ha
dado, en centı́metros, los resultados siguientes:
7,5
2,5
9,0
6,5
3,3
6,5
1,5
6,5
a) Determine un intervalo de confianza del 95% para el tamaño medio de este tipo de cáncer.
b) Calcule un intervalo de confianza del 90% para la desviación tipica del tamaño.
5.- Se desea estimar la proporción de jóvenes que fuman regularmente. De 1000 jóvenes
entrevistados, 200 fumaban regularmente.
a) Calcule una estimación puntual para p.
b) Obtenga un intervalo de confianza del 99% para la proporción de jóvenes que fuman regularmente. ¿Le sorprenderı́a leer en un artı́culo que esta proporción es de 0,23? Justifı́quelo.
6.- Un avance en el tratamiento del acné es el fármaco ácido cis-13-retinoico. En un reciente
estudio, se probó este fármaco en 70 pacientes afectados de un acné bastante grave. En 60
de estos pacientes se produjo una limpieza radical de sus lesiones activas. Se pide:
a) Construya un intervalo de confianza del 99% para la proporción de pacientes sobre los
que el fármaco serı́a eficaz.
b) ¿Se podrı́a aceptar que el fármaco serı́a eficaz en el 98% de los pacientes sobre los que se
aplique?
c) ¿Qué tamaño deberı́a tener la muestra para que la proporción resultante de ella esté dentro
de una distancia de 0,04 de la verdadera proporción, p, con una confianza del 99%?
7.- Un laboratorio farmacéutico está interesado en comparar el tiempo que tarda en surtir
efecto un fármaco nuevo con el del fármaco que comercializa actualmente. Sobre dos muestras
independientes de 25 enfermos cada una, se estudia el tiempo que tardan en remitir los
sı́ntomas, resultando para el actual una media muestral de 18,21 horas con una cuasivarianza
muestral de 5,31 horas2 . Para el nuevo la media muestral ha sido de 16,82 horas, con una
cuasivarianza muestral de 4,05 horas2 .
Se supone que los tiempos de remisión de los sı́ntomas de ambos fármacos tienen distribuciones normales independientes.
a) Determine un intervalo de confianza para la diferencia de los tiempos medios de remisión
de los sı́ntomas, con un nivel de confianza del 95%.
b) ¿Es significativa la diferencia? Justifı́quelo.
8.- En un estudio de angina de pecho en ratas, se dividió aleatoriamente a 18 animales
afectados, en dos grupos de 9 individuos cada uno. A un grupo se le suministró un placebo y
al otro el fármaco experimental FL113. Después de un ejercicio controlado sobre una rueda
de andar, se determinó el tiempo de recuperación de cada rata. Se piensa que el FL113
reducirá el tiempo medio de recuperación. Se dispone de la siguiente información:
Placebo
x1 = 329 segundos
s1 = 45 segundos
n1 = 9
FL113
x2 = 238 segundos
s2 = 43 segundos
n2 = 9
a) Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los tiempos medios de
recuperación de las ratas que recibieron placebo y las que recibieron el FL113.
b) ¿Es cierta la suposición de que el FL113 reducirá el tiempo medio de recuperación?
Justifı́quelo.
9.- Se está haciendo un estudio sobre hipertensión. De una ciudad se toma una muestra
de trece pacientes y de otra ciudad se toma otra muestra de dieciséis pacientes. Los datos
obtenidos son los siguientes:
x1 = 166 mm.
x2 = 164,7 mm.
s1 = 28 mm.
s2 = 7 mm.
Determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias, bajo la hipótesis
de normalidad de los datos.
10.- Se inoculan dos organismos aislados durante dos epidemias distintas, a dos muestras
diferentes obtenidas de la misma población. A las dos semanas enferma el 68,5% de las 200
pruebas realizadas con el primer organismo, y el 65,3% de las 150 pruebas efectuadas para
el segundo caso.
Halle un intervalo de confianza del 95% de esta diferencia de proporciones encontradas.
11.- Se supone que en una determinada raza de ganado vacuno los terneros aumentan 12 kg
de peso por cada dos semanas, en los primeros meses de vida. Para comprobarlo se midió
el peso de ocho terneros al cumplir las cuatro semanas, y posteriormente dos semanas más
tarde, con el siguiente resultado:
Ternero
Peso (4 semanas)
Peso (6 semanas)
1
130
138
2
125
140
3
128
139
4
127
141
5
129
137
6
123
137
7
131
142
8
130
142
Compruebe si la suposición es cierta calculando un intervalo de confianza del 95% para la
diferencia media de peso. Se considera que el peso se distribuye de forma aproximadamente
normal.
12.- El tratamiento anticoagulante por vı́a oral se realiza con dicumarı́nicos. Se midió
el porcentaje de nivel de protrombina (que determina el grado de coagulación) a nueve
pacientes, antes y después del tratamiento con dicho fármaco y se obtuvieron los siguientes
resultados:
Antes
95 85 77 100 92 67 81 94 99
Después 40 37 28 49
37 21 45 52 37
a) Calcule un intervalo del 95% para la diferencia entre los porcentajes medios de actividad
de protrombina antes y después del tratamiento.
b) ¿Se puede afirmar que con este tratamiento el porcentaje medio puede llegar a disminuir
en 53 puntos?
c) ¿Cuántos pacientes deben ser estudiados para que la amplitud del intervalo de confianza
se reduzca a la tercera parte?
13.- Se sospecha que la concentración de sulfonato de perfluorooctano (PFOS) en la sangre
de las personas de una cierta región está aumentando con el tiempo. A ocho personas del
lugar, elegidas aleatoriamente, se les midió la concentración de PFOS en el plasma en 1979
y en 1986, con los siguientes resultados:
Sujeto
1
2
3
4
5
6
7
8
PFOS (ng/mL) 1979
28,2
31,6
30,1
27,9
28,8
30,1
32,1
30,9
PFOS (ng/mL) 1986
30,6
31,9
32,8
30,8
33,7
29,8
33,6
30,4
Suponiendo que la concentración de sulfonato de perfluorooctano (PFOS) en la sangre tiene
una distribución normal, se pide:
a) Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las concentraciones
medias de PFOS en sangre entre 1986 y 1979.
b) ¿Serı́a admisible afirmar, al nivel de confianza anterior, que la concentracion de PFOS en
sangre ha aumentado en el perı́odo de tiempo estudiado? Justifı́quelo.
7. EJERCICIOS DE CONTRASTES DE HIPÓTESIS
1.- Un fabricante garantiza a un laboratorio farmacéutico que sus máquinas producen comprimidos con un diámetro medio de 13 mm y una desviación tı́pica de 0,6 mm. Una muestra
de 100 unidades dio como media de los diámetros 13,12 mm. ¿Cabe esperar, a partir de este
dato, que el fabricante dice la verdad, a un nivel de significación del 5%?
2.- Normalmente las hojas de la mimosa púdica son horizontales. Si se toca ligeramente una
de ellas, las hojas se pliegan. Se afirma que el tiempo medio de contacto hasta el cierre
completo es de 2,5 segundos.
Se realiza un experimento midiendo el tiempo transcurrido, en segundos, entre el contacto
y el cierre completo con los siguientes resultados
3,0
2,9
2,8
2,7
2,6
2,4
2,5
2,4
2,6
2,7
¿Puede aceptarse la hipótesis del enunciado con un nivel de significación de 0,10?
3.- Un fármaco alivia cierta dolencia en el 60% de los casos. Se toma una muestra de 144
personas que sufren esa dolencia y se les hace tomar un nuevo fármaco, encontrando alivio
100 de ellas. ¿Se puede afirmar al nivel del 5% que el nuevo medicamento es más efectivo
que el antiguo?
4.- Un microbiólogo quiere obtener placas para preparaciones microscópicas de espesor uniforme. Un proveedor afirma que sus placas tienen una varianza menor de 0,0158 micron 2.
Utilizando un micrómetro sensible, el laboratorio toma al azar una muestra de 30 placas con
una cuasivarianza muestral resultante de s2 = 0, 0213 micron2. ¿Es compatible con dicho
resultado la pretensión del proveedor a un nivel de significación del 5%?
5.- El contenido medio en proteı́nas del tejido muscular estriado en un análisis de 25 animales
de cierta raza de ganado vacuno es de 14 g por cada 100 g de tejido, con una cuasidesviación
tı́pica de 2 g, mientras que para el mismo número de animales de otra raza es de 14,5 g con
una cuasidesviación tı́pica de 3 g. Compruebe si las varianzas son iguales con una confianza
del 95%, suponiendo que la distribución del contenido en proteı́nas es aproximadamente
normal.
6.- En la leucemia mieloblástica, usualmente se trata al paciente intensamente con quimioterapia en el momento del diagnóstico. Esto ha producido una tasa de remisión del 70%.
Probando un nuevo método de tratamiento se utilizaron 50 voluntarios. ¿Cuántos de los
pacientes deberı́an haber remitido para que los investigadores pudiesen afirmar al nivel de
significación 0, 025 que el nuevo método produce remisiones más altas que el antiguo?
7.- Se hizo un muestreo en dos municipios para averiguar su opinión sobre la fluoración del
agua potable antes de iniciar la campaña. Los resultados de estas encuestas (siendo p la
proporción favorable) fueron
n1 = 110
n2 = 75
Municipio 1
Municipio 2
p1 = 0, 52
p2 = 0, 55
¿Podrı́a afirmarse que los dos municipios tienen iguales proporciones de partidarios de la
fluoración?
8.- Una muestra de 200 bombillas de la marca A dio una vida media de funcionamiento de
2280 horas, con desviación tı́pica de 80 horas. Otra muestra de 180 bombillas de la marca
B dio de vida media 2320 horas, con desviación tı́pica 100 horas. ¿Se puede afirmar, al nivel
0,01, que es mayor la vida media de las bombillas de la marca B?
9.- Se desea averiguar si la aspirina y un producto de comparación son igualmente eficaces
para el alivio de los sı́ntomas de influenza. Se registran los tiempos, en minutos, desde la
toma de la medicina hasta cuando el paciente declara sentirse mejor, y los resultados son:
X 1 = 15, 2
X 2 = 13, 4
Aspirina
Producto de comparación
s1 = 8, 7
s2 = 6, 9
n1 = 10
n2 = 20
Contraste la hipótesis al nivel del 5%
10.- Las velocidades de difusión del bióxido de carbono a través de suelos de porosidades
diferentes son:
Suelo fino
Suelo poroso
20
19
27
30
22
32
23
28
23
15
28
26
23
35
26
18
22
25
26
35
20
19
22
Compruebe si puede afirmarse que son diferentes al nivel de significación del 5% (Se supone
que la distribución es normal).
11.- En un reciente estudio de lesiones de rodilla entre jugadores de fútbol que juegan sobre
césped, se compararon dos tipos de calzados. En 266 jugadores que calzaban zapatos de
fútbol multiabrazados, se presentaron 14 lesiones de rodilla. De 2055 jugadores que calzaban
botas de fútbol convencionales, se encontraron 162 de tales lesiones. ¿Se puede afirmar al
nivel del 0,05 que la probabilidad de sufrir una lesión de rodilla cuando se calzan botas
convencionales es más alta que la de sufrirla con zapatos multiabrazados? ¿Y al nivel de
0,01?
12.- Se ha realizado un estudio para comparar la concentración de plomo en el agua de dos
casas.Los datos de las muestras son:
Casa 1:
Casa 2:
n1 = 25
n2 = 25
X 1 = 390 ppb
X 2 = 10 ppb
s1 = 217, 5 ppb
s2 = 5 ppb
13.- Se efectúa un estudio sobre el color de los escarabajos tigre para conseguir pruebas que
apoyen el argumento de que la proporción de escarabajos negros puede variar de un lugar a
otro. En una muestra de 500 escarabajos capturados en una extensión próxima a Providence,
Rhode Island, 95 eran negros. Una captura de 112 escarabajos en Aqueduct, Nueva York,
contenı́a 17 individuos negros.
a) Plantee la hipótesis nula y la hipótesis alternativa del contraste de hipótesis adecuado.
b) Calcule el valor del estadı́stico del contraste.
c) Indique la conclusion del contraste, al nivel de significación del 5%.
14.- En un estudio para investigar el efecto del ejercicio fı́sico en el nivel de colesterol en
plasma, han participado once individuos. Previo al ejercicio, se tomaron muestras de sangre
para determinar el nivel del colesterol de cada participante. Después, los individuos fueron
sometidos a un programa de ejercicios que se centraba en carreras y marchas diarias. Al
final del periodo de ejercicios, se tomaron nuevamente muestras de sangre y se obtuvo una
segunda lectura del nivel de colesterol en plasma. Los resultados fueron los siguientes:
Individuo
1
Nivel previo (mg/dl)
182
Nivel posterior (mg/dl) 198
2
232
210
3
191
194
4
200
220
5
148
138
6
249
220
7
276
219
8
213
161
9
241
210
10
480
313
11
262
226
¿Se puede concluir de los datos anteriores, al nivel de significación del 5%, que el ejercicio
fı́sico rebaja el nivel de colesterol de quienes lo practican? Justifı́quelo.