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Curso de Mecánica Cuántica
2015
Instituto de Física
Facultad de Ciencias
Práctico 8
Ejercicio 1 .- Usar el principio variacional para estimar el estado fundamental
del oscilador armónico tridimensional, ensayando la función de onda N eα r .
Ejercicio 2.- Usar el principio variacional para estimar el estado fundamental
2
p
4
+λ x . Compare sus resultados con el
del oscilador anarmónico, H=
2m
2 2/3
ℏ
1/3
resultado exacto, E 0=1,060λ
. Sugerencia: Ensayar la solución con
2m
una gaussiana.
( )
Ejercicio 3.Considere los estados normalizados |υ1› y |υ2› de masa m1 y m2, que representan a los neutrinos
que se propagan libremente en el vacío (llamados autoestados de masa). Los neutrinos se producen
y se aniquilan por interacciones débiles en estados |υe› y |υµ› correspondientes a neutrinos del
electrón y del muón (llamados autoestados de sabor). Los estados |υ1› y |υ2› se obtienen en función
de los anteriores por una transformación unitaria definida por un ángulo θ de acuerdo a:
|υ1›= cos θ |υe›+sen θ |υµ›
|υ2›= -sen θ |υe›+cos θ |υµ›
Considere que los neutrinos |υ1› y |υ2› se propagan con un momento p, ultrarelativistas.
a. Escriba los primeros términos de la energía en función del impulso p = |p|.
b. Escriba el hamiltoniano libre para neutrinos |υ1› y |υ2› de impulso p, y muestre que se puede
escribir como H = α I + ω σ3 , siendo I la matriz identidad 2x2 y σ3 la tercera matriz de Pauli.
Muestre que a primer orden α = E y ω = (m12 - m22) / 4E.
c. Muestre que el hamiltoniano en la base |υe› y |υµ› es H' = α I + ω n · σ , y calcule el vector n.
d. Suponga que en t=0 un neutrino tipo |υe› es creado. Calcule la probabilidad Pt (υe →υµ) a tiempo t.
Escriba esta probabilidad en función de la distancia L recorrida por los neutrinos en ese tiempo.
e. Muestre que para que P sea diferente de cero los neutrinos tienen ángulo de mezcla no nulo y
masas diferentes.
[ tenga en cuenta que exp ( - i (α I + ω n · σ) t) = exp(- i α I) · exp( - i ω n · σ t) = exp(- i α) · ( I
cos ωt - i n · σ sen ωt) ]
Ejercicio 4.- Si la forma general de acoplamiento espín-órbita para una
partícula de masa m espín S moviéndose en un potencial V(r) es
1 ⃗ ⃗ 1 d V(r )
H S0 =
S⋅L
, cuál será el efecto de ese acople en el espectro de
r dr
2 m 2 c2
un oscilador armónico tridimensional?
(Observación : El espectro de un oscilador armónico está dado por
ℏ ω (2 nr +l +3 /2), con nr=0,1,2,3 … y l es el momento angular orbital)
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Ejercicio 5.- Calcule el espectro de energía de los estados con n = 2 para el
átomo de hidrógeno real, ignorando la estructura hiperfina. ¿Cómo cambia el
espectro si el átomo se coloca en un campo magnético de 2.5T?
Ejercicio 6.- Calcule el efecto Stark de primer orden para el estado n = 3 del
átomo de hidrógeno. Para hacerlo construya las combinaciones lineales
correctas de los estados, y deje expresado en función de las integrales (sin
calcular su valor).
Ejercicio 7.- Probar que el operador intercambio P12 es hermítico.
Ejercicio 8.-¿Cuál es la energía más baja para un conjunto de 24 electrones en
una caja cúbica? ¿Cuál sería si no existiese el principio de exclusión?
Ejercicio 9.-Considere dos electrones no interactuantes en un pozo infinito de
potencial unidimensional. ¿Cuál será el estado fundamental si los dos
electrones tienen el mismo estado de espín?
Ejercicio 10.- Considere dos electrones en el mismo estado de espín, que
interactúan con un potencial dado por:
V (∣x 1 x 2∣)= V 0, si ∣x 1 x 2∣⩽a ,
y V (∣x 1 x 2∣)=0, en cualquier otro caso.
¿Cuál es la energía más baja del sistema de dos electrones asumiendo que el
momento total de ambos electrones es cero? Suponga que el potencial es lo
suficientemente profundo como para tener más de un estado ligado.
Ejercicio 11.a)Considere el átomo de helio en la aproximación en la cuál la repulción
electrón -electrón es despreciada. ¿Cuál es la función de onda del estado
fundamental del ortohelio (espín 1)? ¿Cuál es la desgeneración en esta
aproximación?
b)Escriba y simplifique la expresión del cambio de energía debido a la
repulsión entre electrones, usando la teoría de perturbaciones a primer orden
(no resuelva las integrales). ¿Cambiará esto la desgeneración calculada en la
parte anterior? Estime el orden en que los diferentes niveles ocurren.
c) Considere el nivel más bajo del ortohelio hallado en las dos partes
anteriores. Estime el momento magnético de dichos estados.
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Ejercicio 12.- Considere dos partículas idénticas de espín ½, en un potencial
de oscilador armónico, de forma que el Hamiltoniano es
2
2
p1
p2 1
2
2
H=
+
+ m ω ( r⃗1 r⃗2) . Suponga que el sistema de dos partículas tiene
2m 2m 2
momento cero en su centro de masa y que ambas partículas se hallan en
estados de momento angular l=0.
a) Escriba la función de onda del estado fundamental, incluyendo el estado de
espín.
b) Escriba a función de onda de los primeros estados excitados en los estados
de espín simplete y triplete.
c) Suponga que hay una interacción de corto rango entre las partículas, que en
l estado con l=0 se puede aproximar por Cδ(r)/r2. Calcular el efecto de esta
perturbación de los estados obtenidos en (b).
Ejercicio 13.
Un átomo de hidrógeno se encuentra en un campo eléctrico externo que
apunta en la dirección z y tiene magnitud E(t) dada por:
E(t)=0 para t<0 y E(t)=E0 e-γt para t>0.
Si incialmente el átomo está en el estado base, calcule la probabilidad de que
haga una transición al estado 2 p cuando t va a infinito.
Ejercicio 14.
Considere una partícula en un pozo infinito con V(x)=0 para 0<x<a y
V(x)=infinito fuera del intervalo [0,a]. El potencial en el rango 0<x<a cambia
por un término aditivo:
V1(x)= λ(x-a/2) sin(ωt)
a. Calcule la probabilidad que una partícula en el estado base (n=1) haga una
transición al primer estado exitado (n=2)
b. Cuál es la probabilidad que haga una transición al segundo estado exitado ?
c. Qué sucede con estos resultados cuando ω tiende a cero?
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