POLOS Y CEROS EN EL PLANO s Manipulando polos y ceros de

POLOS Y CEROS EN EL PLANO s
Manipulando polos y ceros de función en plano s puede diseñarse un
circuito con una determinada Z ó Y.
Ejemplo: red entre dos etapas de un amplificador.
I que fluye de la 1ª a través de esta red produce U aplicada a la 2ª
(corriente de entrada a la 2ª despreciable)
Se busca igual amplificación desde frecuencia 0 hasta límite superior
(impedancia inter-etapa debe ser igual a todas las frecuencias).
La inevitable C entre etapas resulta:
Z(s)= 1/sC (polo en origen)
( c ) sería el
perfil a lo
largo de ω
de una hoja
de fina goma
sobre s
Característica de lZl es incompatible con el objetivo.
¿Cómo modificarla?¿Cómo mover este polo?
C tiene impedancia infinito a f=0 pero R no. Se prueba con R en paralelo con C.
Z ( s) =
1
1
+ sC
R
=
1
1
C s+ 1
RC
polo en s1=-1/RC
El plano por ω no corta en infinito la banda de goma. El polo sólo produce
impedancia finita en f=0 y a frecuencias superiores el decrecimiento es más
suave.
Para compensar decrecimiento→¿polo 2ºcuadrante(e inevitable conjugado)?
Sugiere circuito RLC. Se prueba con L en paralelo con C y R.
Estos polos se acercan o alejan
al eje verical variando R y hacia
arriba o abajo ajustando L.
Pero se introdujo un cero en el
origen (porque ωL resulta cero a
corriente continua, f=0).
Una alternativa es poner R en
serie con L.
El cero ya no está en el origen
sino en –R/L.
Al estar a la izquierda de los
polos, el efecto de depresión
resulta leve al hacer sección de
Z(s) a lo largo del eje ω.
El límite superior de la banda de impedancia relativamente constante
es algo superior a la frecuencia natural de la red inter-etapa.
Valores numéricos didácticos para figura (k): L=2H, C=2F, R=1 ohm
Resulta: so=-1/2
s1,2= ¼ (-1+-j SQRT3)
Se puede aplanar más la característica agregando otro capacitor, separado
del anterior para crear nuevo polo.
CAMBIO DE ESCALA
La síntesis como mostrada, resalta el valor de la técnica de ESCALADO.
Permite diseñar con la característica apropiada pero dimensiones
incorrectas, y luego adaptarlas.
En nuestro ejemplo puede adaptarse tanto impedancia como frecuencia.
CAMBIO DE ESCALA DE IMPEDANCIA
Los elementos tienen impedancias R, sL, 1/sC y cualquier impedancia
de red será su combinación lineal. O sea que si se multiplican todas las
R, L y 1/C por la misma constante el efecto será multiplicar la
impedancia Z(s) por esa constante.
Multiplicando cada R y L por un factor m y dividiendo cada C por m:
Z(s)→mZ(s)
P.ej. Si se multiplican por 2 los elementos de la fig.(j) los polos y ceros no
cambian, pero el eje vertical de fig (l) queda multiplicado por 2.
CAMBIO DE ESCALA DE FRECUENCIA
Si se quiere cambiar la frecuencia en factor n, como los elementos tienen
impedancias R, jωL, 1/jωC se multiplica la frecuencia por n, L y C se
dividen por n y los valores de R quedan iguales. Las impedancias que tenía
cada elemento a la frecuencia ω no varía pero queda a una frecuencia nω.
Si en la fig (j) se divide por 2 cada L y cada C las escalas de las
componentes real e imaginaria de s1 y s2 en (k) se duplicarían y al dividir
por 2 L y C las impedancias se mantienen, pero al doble de la frecuencia.
RESUMEN EN NOTACION FUNCIONAL
Escalado de impedancia:
C 

Z  mR, mL, , s  = mZ ( R, L, C , s )
m 

Escalado de frecuencia:
 L C

Z  R, , , ns  = Z ( R, L, C , s )
 n n

Escalado combinado:
m C


Z  mR, L,
, ns  = mZ ( R, L, C , s )
n mn


APLICACION
Un probable caso de dos pares de polos y un cero.
La forma de la intersección de la lámina elástica depende de muchos
factores.
Daría lugar a una amplificación relativamente uniforme en una banda
de frecuencias, decayendo rápidamente para superiores e inferiores.
TRANSMISION: IMPEDANCIA IMAGEN
Limitaremos la explicación a redes simétricas.
Si se caracteriza una red de dos puertos por parámetros A, B, C, D y por ser
simétrica A=D:
V1= A V2 + B I2
I1 = C V2 + D I2
La impedancia de entrada es
Z1 = V1/I1
La impedancia externa conectada a la salida
Z2 = V2/I2
El valor de Z1 depende de Z2 y cambiar Z2 modifica Z1.
La Z2 que produce Z1=Z2 se llama impedancia imagen y se designa Z0.
Para una red terminada en su impedancia imagen: Z1=Z2=Z0
Puede obtenerse a partir de los parámetros A,B,C:
Z1 =
V 1 AV 2 + BI 2 AZ 2 I 2 + BI 2 AZ 2 + B
=
=
=
I1 CV 2 + AI 2 CZ 2 I 2 + AI 2 CZ 2 + A
Para la impedancia imagen:
Resolviendo para Z0:
Z0 =
Z0 =
AZ 0 + B
CZ 0 + A
B
C
Suele expresarse también en términos de la impedancia de cortocircuito
(Z1cc) y de la impedancia de circuito abierto (Z1ab):
Z 0 = Z1ab.Z1cc
FUNCION TRANSFERENCIA IMAGEN
Cuando una red simétrica de dos puertos termina en su impedancia
imagen, se simplifican muchas relaciones. Como:
I2=V2/Z0
y
V1=A V2 + B V2/Z0
Dividiendo por V2 y sustituyendo hallamos la función transferencia:
V1
= A + BC
V2
Como BC=AD-1 y D=A resulta BC=A2-1
V1
= A + A2 − 1
V2
Hacemos dos cambios basados en fórmulas de trigonometría hiperbólica:
senhx = cosh 2 x − 1
e x = cosh x + senhx
Se introduce un símbolo arbitrario γ(gama) definido por:
cosh γ = A
Con lo cual
senhγ =
A2 − 1
Sustituyendo:
V1
= cosh γ + senhγ
V2
V1
= eγ
V2
FILTROS ELECTRICOS
Según American Standards Association (ASA): es una red selectiva que
transmite libremente ondas eléctricas con frecuencias dentro de una o más
bandas y que atenúa sustancialmente ondas de otras frecuencias.
Los circuitos resonantes podrían clasificarse como filtros con gran selectividad:,
lo que es bueno p.ej. para extraer una frecuencia de radio del poblado “eter”
pero indeseable cuando quiere transmitirse una banda de frecuencias más altas.
La excesiva selectividad por ejemplo puede reducir la fidelidad en la
reproducción de música.
FILTRO IDEAL
Se muestra como red de 2 puertos entre fuente de impedancia RF y carga RL
Transmite libremente
frecuencias en su banda de
paso y bloquea las
frecuencias en su banda de
atenuación.
El filtro ideal estaría compuesto de elementos reactivos, para no disipar la
energía que se quiere transmitir a la carga.
La señal transmitida por un filtro ideal debería recibirse sin distorsión.
Esto requiere las relaciones de fase adecuadas entre sus armónicas.
Altamente importante para transmisión de imágenes, no para sonido pues
el oído no distingue la fase relativa de componentes de onda.
DISEÑO EN BASE A PERDIDA DE INSERCION
´V2: tensión en la carga con el filtro
V0: la tensión en la carga antes de insertar el filtro, con la misma E
Relación de inserción de tensiones = V2/V0
Relación de inserción de potencias= (V2/V0)2
En filtro ideal V2/V0 debería ser 1 en en la banda de pase y lo más pequeño
posible en la banda de atenuación.
Se muestra curva ideal y real de filtro pasabajos y probables polos y ceros:
El diseño
depende
fuertemente
de RF y RL y
se simplifica
si pueden
tomarse
iguales a la
impedancia
imagen.
DISEÑO PARA ATENUACION IMAGEN
Es un método simple.
Si el filtro termina en su impedancia imagen Z0:
La caída de
tensión de
inserción será
igual a la
atenuación del
filtro
V1=V0 y
V2/V1=V2/V0
Se trabaja con la función transferencia imagen: V1/V2=eγ
Es la recíproca de la mostrada en la figura.
Si pensamos en lV2/V1l como superficie sobre el plano s la curva es el perfil a lo
largo del eje ω.
La característica del filtro ideal puede conseguirse si se asume que la red del
filtro no termina en una impedancia fija sino en una impedancia imagen Z0 que
varía con la frecuencia.
Es irreal porque requeriría cambiar la impedancia para cada frecuencia pero
facilita el tratamiento matemático y puede verse cómo no se aparta demasiado
de la realidad (ver Skilling, Electrical Engineering Circuits, Cap 19).
La lámina de goma que
daría lugar a la forma
deseada:
Se demuestra que puede llegarse a este tipo de relaciones mediante el
uso de redes T ó π:
Era:
V1
= A + A2 − 1
V2
Para los circuitos T y π y sustituyendo por los valores de la figura:
1
1 2
A = 1 + ZY = 1 + s LC
2
2
y reemplazando:
1
V1
1
= (1 + s 2 LC ) + (1 + s 2 LC ) 2 − 1
2
V2
2
que si se designa como ωc2=4/LC
V 1  
s2
s  
1+ 2 +
=
V 2  
ωC ωC  


ω2
ω 
V 1 
= 1− 2 + j
ωc
ωc 
V 2 
2
y reemplazando s por jω:
2
Donde para valores de ω menores que ωC el radical es real y V1/V2 es un
complejo con módulo:
V 1 
=
V2 

2
 ω 

ω
1 − 2  + 2 = 1
 ω  ω 
C 
C


2
2
o sea que para esas frecuencias lV2l = lV1l
Esta será la banda de pase y será un filtro pasabajos con frecuencia de
corte ωc.
A frecuencias superiores, el radical es raíz de un número
negativo→IMAGINARIO
Es el rango de frecuencias de la banda de atenuación, V1/V2 es un número
real mayor que 1 por lo que V2 es menor que V1 y opuesto en fase.