Un conjunto infinito no numerable

Un conjunto infinito no numerable
Nota: En estas páginas escribimos un esbozo de la demostración de Georg Cantor de la
existencia de un conjunto no numerable. El texto pretende simplemente ilustrar la idea de
la demostración; para que les resulte más sencilla de leer sugerimos fuertemente armarse de
las herramientas necesarias: un lápiz y un papel.
El conjunto que Cantor propuso como ejemplo de conjunto infinito no numerable puede
verse como el conjunto de todas las sucesiones infinitas (o ‘listas numerables’) de ceros y
unos:
C = {(an )n ⊂ {0, 1}},
esto es, todas las listas del tipo 000000000..., 00010011000..., 110100100...que se pudieran
construir.
Si este conjunto fuera numerable habrı́a un modo de “etiquetar” cada una de esas listas
infinitas. Suponiendo que ası́ fuera, las etiquetamos y las ponemos en orden según la numeración que le hayamos dado. Por ejemplo: 1)000000000...2) 000100110... 3) 111100100...,etc.
Y ahora viene lo realmente genial: la construcción de una lista de ceros y unos que no
está entre las que etiquetamos, contradiciendo ası́ que TODAS las listas estaban etiquetadas:
En el primer lugar de la lista se debe decidir si poner un 0 o un 1. Para esta decisión
se observa la lista etiquetada con el número 1. Si en el primer lugar hay un 1, se pone en
la nueva lista un 0 y si por el contrario, hay un 0, se pone un 1. Para el segundo lugar de
la lista nueva se debe decidir igualmente si poner 0 o 1. Ahora se observa el segundo lugar
de la lista etiquetada con el número 2 y, como antes, si hay un 0 se pone un 1 y si hay un
1 se pone un 0. Para el tercer lugar se observa el tercer lugar de la lista con la etiqueta 3
y se escoge 0 o 1 según la regla descrita anteriormente. Ası́ sucesivamente, para un lugar
cualquiera n, se observa el lugar n de la lista etiquetada con el número n y se pone 0 si habı́a
un 1 y se pone 1 si habı́a un 0.
Ahora sólo queda comprobar que a esta lista nueva ¡no le tocó etiqueta! En efecto: si
le hubiera tocado la etiqueta con el número 325 por ejemplo, ¿qué cifra habrı́a en el lugar
325: 0 ó 1? Según la regla anterior, tendrı́amos que fijarnos en el lugar 325 de la lista 325,
que es ella misma. En ese lugar debı́a haber exactamente lo contrario a lo que habı́a, lo que
claramente resulta imposible. Algo análogo sucederı́a si en vez de la etiqueta 325 le hubiera
correspondido cualquier otra.
En conclusión, ese conjunto infinito no puede ser numerado. Es razonable además asociarle un número infinito más grande que ℵ0 , puesto que nos es fácil encontrar adentro del
1
conjunto otros que sı́ son numerables (por ejemplo, el conjunto de listas 100000..., 010000...,
001000..., 000100... etc., que solito se invita a ser numerarado).
El siguiente cuadro muestra un ejemplo de la construcción descrita antes en general.
Está en rojo el dı́gito de cada lista numerada en el que hay que fijarse para construir la
“nueva lista”
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Lista número 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ......
Lista número 2
0
0
0
1
0
0
1
1
0 ......
Lista número 3
1
1
1
1
0
0
1
0
0 ......
Lista número 4
1
0
1
1
1
0
1
0
1 ......
Lista número 5
0
1
0
1
0
0
0
0
0 ......
Lista número 6
0
..
.
0
..
.
0
..
.
1
..
.
0
..
.
1
..
.
1
..
.
0
..
.
0 ......
..
.
..
.
En este caso la construcción descrita para la nueva lista establece que ésta debe empezar
con los siguientes 6 dı́gitos:
Lista nueva 1 1 0 0 1 0 . . .
que corresponden justamente a intercambiar 0 por 1 y 1 por 0 los dı́gitos en rojo. Podemos
argumentar fácilmente que esta nueva lista no es ninguna de las 6 que aparecen en la tabla,
porque tiene siempre al menos un dı́gito distinto a cada una de ellas (hay que fijarse en el
dı́gito rojo).
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