3 Curvas alabeadas. Solución de los ejerci

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Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.
1. Se considera el conjunto
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − y + z = x3 − y 2 + z 2 = 0}.
Encontrar los puntos singulares de la curva C.
Solución: Llamemos f1 (x, y, z) = x2 − y + z y f2 (x, y, z) = x3 − y 2 + z 2 .
Buscamos los puntos P = (x, y, z) pertenecientes a la curva C que verifiquen
que
!
∂f1
∂f1
∂f1
(P
)
(P
)
(P
)
∂x
∂y
∂z
6= 2.
rango ∂f
∂f2
∂f2
2
(P
)
(P
)
(P )
∂x
∂y
∂z
Se tiene que
∂f1
(P )
∂x
∂f2
(P )
∂x
∂f1
(P )
∂y
∂f2
(P )
∂y
∂f1
(P )
∂z
∂f2
(P )
∂z
!
=
2x −1 1
3x2 −2y 2z
Si el determinante de la matriz que forman las dos últimas columnas no es
0, entonces el rango de la matriz es dos y podrı́amos eliminar todos esos
puntos del estudio de puntos singulares. Este determinante es 0 cuando
(−1) ∗ 2z − (−2y) ∗ 1 = −2z + 2y = 0, es decir, cuando z = y. Por tanto,
todos los puntos P = (x, y, z) verificando que x 6= y no podrı́an ser puntos
singulares en la curva. Restringimos nuestro estudio al conjunto de puntos
en C dados por P = (x, y, y). La matriz anterior para estos puntos queda
de la siguiente forma:
2x −1 1
3x2 −2y 2y
Esta matriz no tendrá rango 2 sólo cuando el determinante de la matriz
formada por las dos primeras columnas sea 0, es decir, cuando −4xy +3x2 =
0. Esto ocurre, bien cuando x = 0 o bien cuando −4y + 3x = 0.
Si y = z = 43 x, para que el punto P = (x, 34 x, 43 x) fuera un punto de la
curva, deberı́a verificar sus ecuaciones, luego debe ser
3
3
x2 − x + x = 0
4
4
3
3
x3 − ( x)2 + ( x)2 = 0,
4
4
y
1
o, lo que es lo mismo, x = 0. Como estamos estudiando el caso y = z = 34 x,
este conjunto se reduce al punto (0, 0, 0) ∈ C.
Para el caso x = 0, el rango de la matriz
0 −1 1
0 −2y 2y
es siempre 1, por lo que todos los puntos de la forma (0, y, y) para cualquier
y ∈ R serán puntos singulares. Es inmediato comprobar que estos puntos
pertenecen a la curva.
En conclusión, los puntos {(0, y, y) : y ∈ R} son puntos singulares de la
curva C.
2. Calcular la longitud del arco entre los puntos α(0) y α(2) de la curva
α(t) = (t2 , t2 , t2 ). Comprobar que no es una curva regular y calcular
la recta tangente a dicha curva en el punto (1, 1, 1).
Solución: El vector velocidad asociado a la parametrización del enunciado viene dado por α0 (t) = (2t, 2t, 2t) para cada t ∈ R. De aquı́ queda
claro que para t = 0, esta curva tiene α0 (0) = (0, 0, 0), por lo que no es una
curva regular. La recta tangente a la curva en (1, 1, 1) = α(1) viene dada
por la parametrización
(x, y, z) = α(1) + sα0 (1),
es decir,
x = 1 + 2s
y = 1 + 2s
z = 1 + 2s,
s ∈ R es una parametrización de la recta tangente a la curva en α(1) =
(1, 1, 1).
La longitud de arco entre α(0) y α(2) viene dado por
Z 2 √
Z 2
Z 2√
√
0
2
12t dt =
2 3tdt = 4 3.
L=
kα (t)k dt =
0
0
0
3. Determinar el triedro de Frenet de la curva y = x2 − 1, z = x en el
punto P = (1, 0, 1). Comprobar que la curvatura es constante en todos
los puntos de la curva alabeada. Interpretar el valor de la torsión en
todo punto de la curva.
2
Solución: Una parametrización de la curva viene dada por α(t) =
(t, t2 − 1, t), t ∈ R. El punto del enunciado es α(1) = (1, 0, 1). Se tiene que
α0 (t) = (1, 2t, 1), por lo que el vector tangente en un punto cualquiera de la
curva es
Tα (t) = √
1
2t
1
1
(1, 2t, 1) = ( √
,√
,√
).
2
2
2
2 + 4t
2 + 4t
2 + 4t
2 + 4t2
Para calcular el vector normal, necesitamos el valor de α00 (t) = (0, 2, 0) para
todo t ∈ R. Por tanto, el vector binormal vendrá dado por el vector de
norma 1 con la siguiente dirección
x y z 1 2t 1 = (−2, 0, 2).
0 2 0 Es decir,
1
−1
Bα (t) = ( √ , 0, √ ), t ∈ R.
2
2
El vector normal viene definido por
x
y
z
−1
1
√
√
= ( √ −t , √ −1 , √ −t ).
0
Nα (t) = Bα (t)×Tα (t) = 2
2
1 + 2t2
1 + 2t2
1 + 2t2
√ 1 2 √ 2t 2 √ 1 2 2+4t
2+4t
2+4t
Para el valor t = 1, se tiene que el triedro intrı́nseco viene dado por
−1 −1 −1 −2
−2
1 2 1
{(1, 0, 1), {( √ , √ , √ ), ( √ , √ , √ ), ( √ , 0, √ )}}.
6 6 6
3 3 3
8
8
La curvatura viene dada por κ(t) = kα00 (t)k = 4, por lo que es constante
en el tiempo. La torsión es nula en todo punto por lo que se deduce que la
curva está contenida en un plano de R3 .
4. Hallar el triedro intrı́nseco de la curva α(t) = (sin(t), cos(t), sin(t)).
Solución: Un procedimiento similar al del ejercicio 3. permite deducir
que el triedro viene dado por
{α(t), {Tα (t), Nα (t), Bα (t)}},
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siendo
− sin(t)
cos(t)
cos(t)
,p
,p
),
Tα (t) = ( p
cos2 (t) + 1
cos2 (t) + 1
cos2 (t) + 1
− sin(t)
− sin(t)
Nα (t) = ( p
, 0, p
),
2
2 sin (t)
2 sin2 (t)
1
−1
Bα (t) = ( √ , 0, √ ).
2
2
5. Hallar los planos normal, rectificante y osculador para la curva α(t) =
(1, t, t2 ), en el punto (1, 1, 1).
Solución:
Derivando se tiene que α0 (t) = (0, 1, 2t), luego
Tα (t) = (0, √
1
2t
,√
).
1 + 4t2
1 + 4t2
También, α00 (t) = (0, 0, 2), luego un vector proporcional a Bα (t) será
x y z 0 1 2t = (2, 0, 0).
0 0 2 De aquı́ que Bα (t) = (1, 0, 0).
Por último,
x
y
0
Nα (t) = 1
0 √ 1 2
1+4t
z
0
√ 2t
1+4t2
= (0, √ −2t , √ 1
).
1 + 4t2
1 + 4t2
Para t = 1 se tiene que α(1) = (1, 1, 1) que es el punto que queremos
−2 √1
estudiar. En él se tiene que Tα (1) = (0, √15 , √25 ), Nα (1) = ((0, √
, 5 )) y
5
Bα (1) = (1, 0, 0). El plano osculador es
x−1 y−1 z−1 0
1
2 = 0,
0
−2
1 es decir, el plano x = 1. En forma paramétrica viene dado por (x, y, z) =
(1, 1, 1) + (0, 1, 2)t + (0, −2, 1)s, con s y t parámetros reales. Para obtener
4
el plano normal, se hacen los mismos cálculos con los vectores normal y
binormal. Se obtiene el plano y +2z = 3. El plano rectificante está generado
por los vectores tangente y binormal. Su ecuación es 2y + z = 3, sin más
que seguir el procedimiento anterior.
6. Calcular la curvatura y la torsión de la curva de los ejercicios 4. y 5.
y comprobar que se cumplen las fórmulas de Frenet.
Solución: Es claro que la torsión en ambos casos será cero puesto que
las dos curvas están contenidas en el plano x = z y x = 1 respectivamente.
Vamos a realizar los cálculos para comprobarlo. Para el ejercicio 4., se tiene
que
q
κα (t) = kα00 (t)k =
1 + sin2 (t),
mientras que
+
√
√
1 − 2 cos(t)
−1 1 − 2 cos(t)
1
p 2 , 0,
p 2 ) = 0.
( √ , 0, √ ), (
2
2
2
2
sin (t)
sin (t)
*
τα (t) = hBα (t), Nα0 (t)i =
Para el ejercicio 5., se tiene que κα (t) = 2 y τα (t) = 0.
3.1
Otros ejercicios propuestos:
1. Dada la curva α(t) = (t, t2 , t3 ), se pide determinar:
• la ecuación de la recta tangente en el punto t = 1.
• los planos osculador, normal y rectificante en dicho punto.
2. Dada la hélice α(t) = (a cos t, a sin t, bt), a, b > 0 fijos y t ∈ R, se
pide calcular el triedro intrı́nseco, la curvatura, la torsión y el plano
osculador en todo punto de la hélice.
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