Problema 534. Sea ABC un triángulo y K su simediano, conocido

Problema 534. Sea ABC un triángulo y K su simediano, conocido también
por punto de Lemoine-Grebe del mismo. Si Λ(K) denota la suma de las distancias del punto simediano a los lados del triángulo, demostrar que Λ(K) ≤ 3r,
donde r es el radio de la circunferencia inscrita al mismo.
Nota. Este problema pretende continuar y profundizar con la lı́nea relativa a
los problemas 420 y 506 que propuso el mismo proponente en esta revista.
Propuesto por Vicente Vicario Garcı́a, I.E.S. El Sur, Huelva
Soluzione di Ercole Suppa. Siano D, E, F le tracce delle simmediane AK,
BK, CK sui lati BC, CA, AB rispettivamente, come indicato in figura.
A
E
F
B
K
C
H a Ka D
E’ noto1 che la simmediana uscente da un vertice divide il lato opposto in
due parti proporzionali ai quadrati dei lati dell’angolo. Pertanto:
AF
b2
= 2
FB
a
,
AE
c2
= 2
EC
a
(1)
Dal teorema di Van Aubel2 , tenendo conto delle formule (1), discende che:
AK
AF
AE
b2
c2
b2 + c2
=
+
= 2+ 2 =
KD
FB
EC
a
a
a2
(2)
Indicati con Ha e Ka i piedi delle perpendicolari condotte ripettivamente da
A e K sul lato BC, dato che i triangoli AHa D e KKa D sono simili, abbiamo:
AHa
AD
AK + KD
AK
b2 + c2
a2 + b2 + c2
=
=
=
+1=
+
1
=
KKa
KD
KD
KD
a2
a2
(3)
Pertanto, indicata con ∆ l’area del triangolo ABC, abbiamo:
KKa =
1 Vedere
2 Vedere
a2
a2
2∆
2a∆
·
AH
=
·
= 2
a
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2 a
a + b2 + c2
la soluzione del Problema 521
la soluzione del Problema 513
1
(4)
Usando la (4) e le analoghe relazioni per le distanze di K da AC e AB
otteniamo:
4s∆
∆(2a + 2b + 2c)
= 2
(5)
Λ(K) =
2
2
2
a +b +c
a + b2 + c2
dove con s abbiamo indicato il semiperimetro di ABC.
Dalla (5), tenendo conto della relazione ∆ = rs e della nota disuguaglianza
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 )
segue che:
(a + b + c)2
4s2 r
=
· r ≤ 3r
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
e la dimostrazione è completa.
Λ(K) =
2