Problemas 1 a 3

Problema 1
Sea el puente de la Figura 1 consistente en una sección cajón de hormigón armado simplemente apoyado
en sus extremos y que apoya al centro sobre una columna circular empotrada en la base. La columna está
empotrada en la base de fundación y en el tablero. Los apoyos en los extremos del puente, dos en cada
extremo, consisten en dispositivos de neopreno ubicados en correspondencia con las caras laterales de la
viga cajón, que se comportan en forma aproximada como si fueran apoyos deslizantes en el sentido
longitudinal y transversal del puente.
Vista general del problema
Sección cajón
φ=1.40
7.00m
30.00 m
30.00 m
Modelo - Vista longitudinal
3.00
0.25
0.30
1.30
0.30
0.20
Sección en apoyo lateral
0.25
0.30
1.30
0.30
0.20
3.00
Modelo- Sección en apoyo lateral
φ=1.40
Secciones en Columna Central (se observa el empotramiento superior de la columna)
Empotramiento inferior en Columna Central
Figura 1. Puente de sección cajón
Datos del problema:
Sección cajón del tablero: b = 3 m; h = 1.30 m ; espesor de las almas: ta = 0.30 m, espesor de la losa
del tablero ts = 0.25 m, y del fondo del cajón: ti = 0.20 m.
Columna: circular de 1.40 m de diámetro. Altura de la columna: H = 7 m
Hormigón del tablero: H38, Módulo elástico: E = 21000 [σ’k]1/2
El hormigón se considerará en estado elástico y sin fisuras
La luz libre de cada tramo del puente es: L = 30 m
Hormigón de la columna: H38. Se considerará al hormigón fisurado asignando un módulo elástico igual
al 50% del hormigón no fisurado. La columna encuentra al fondo de la viga cajón del tablero a través de
un capitel cilíndrico de 1.80 m de diámetro y 0.30 m de altura. La viga cajón está provista de un diafragma
de hormigón armado en correspondencia con el apoyo de la columna cuyo espesor es de 0.40 m.
Se considera que la columna está rígidamente empotrada en la base.
Se pide calcular la frecuencia fundamental del puente en la dirección transversal y en la dirección
longitudinal considerando al conjunto como un sistema de un grado de libertad dinámico.
Solución
Datos particulares del problema
E = 4.09 x 106 t/m2 (sin fisuras), y E’ = 2.04 x 106 t/m2 (con fisuras);
G = 1.71 x 106 t/m2 (sin fisuras)
Cálculo de la rigidez
Rigidez en la dirección transversal:
La rigidez en la dirección horizontal transversal al eje del puente se origina en la rigidez de la columna
que está empotrada rígidamente en su base y elásticamente en el tablero. Sin embargo el extremo superior
de la columna, empotrado en el tablero, se comporta como un apoyo deslizante en el sentido horizontal
con una cierta rigidez rotacional provista por la rigidez torsional de los dos tramos del tablero.
La rigidez rotacional Kθ es igual a la suma de la rigidez torsional de cada tramo del tablero, es decir que:
Kθ = 2 G J / L
El módulo de corte G = E [2 (1 + ν)] , donde el módulo de Poisson se adopta ν = 0.20.
El valor de J para una sección hueca está dado por la expresión:
J = 4 A2 / [ 2 h/ta + b/ti + b/ts] = 1.71 m4
Donde A es el área encerrada por la línea media de las paredes de la sección cajón, es decir A = b. h, y ta,
ti y ts son los espesores de las almas y de las losas inferior y superior de la sección cajón, respectivamente.
Con los datos propuestos resulta Kθ = 1.95 x 105 t.m / rad
El momento de inercia de la columna es: Ic = π r4 / 4 = 0.189 m4
La Figura 2 presenta el modelo de cálculo para determinar la rigidez transversal Kt.
El capitel de la columna no será considerado a los efectos del cálculo de la rigidez de la misma, y el
diafragma de la viga cajón en la sección central será considerado como infinitamente rígido.
Para calcular la rigidez Kt se impone un desplazamiento horizontal en la dirección transversal igual a la
unidad ut = 1 m y se determina el momento de empotramiento perfecto de la columna: M emp = 6 E’ Ic /
H2 = 47327 t.m
Este momento de empotramiento debe repartirse entre la rigidez flexional de la columna
Kc = 4 E’ Ic / H = 2.21 x 105 t.m / rad y Kθ = 1.95 x 105 t.m / rad. Es decir que el momento que
finalmente resulta en el extremo superior de la columna para el desplazamiento horizontal de 1 m es igual
a:
Mc = M emp Kc / (Kc + Kθ ) = 47327 x 2.21/(2.21 +1.95) = 25142 t.m y el
giro θ = M emp / (Kc + Kθ ) = 0.11 rad
La fuerza de corte necesaria en la columna para producir este momento Mc es:
Qt = 12 E’ Ic / H3 x 1 - 6 E’ Ic /H2 x θ = 8316 t
La rigidez final transversal Kt = Qt / 1 = 8316 t / m
Rigidez longitudinal
El procedimiento es similar al utilizado para determinar la rigidez Kt salvo que la restricción al giro en el
extremo superior de la columna está relacionado con la rigidez flexional del tablero Kφ que está dada por
la expresión:
Kφ = 2 x 3 E Iv / L = 2 x 3 x 4.09 x 106 x 0.695 / 30 = 5.69 x 105 t.m/rad
El valor de Iv es el que corresponde a una sección rectangular hueca, que es igual a la diferencia entre
dos secciones rectangulares, una exterior y otra interior. El valor aproximado de Iv (despreciando la
contribución de los voladizos a cada lado de la sección cajón) está dado por:
Iv = b’h’3 /12 – b* h*3 /12 =
3.3 x (1.525)3 /12 – 2.7 x (1.075)3 /12 =
= 0.695 m4
El giro φ del nudo central estará dado por:
Φ = M emp / (Kc + Kφ) = 0.0318 rad
La fuerza de corte Ql = 12 E’ Ic / H3 x 1 - 6 E’ Ic /H2 x Φ = 12017 t
La rigidez longitudinal Kl = Ql / 1 = 14397 t/m. Se puede apreciar que la rigidez Kl difiere poco de la
columna cuando el nudo superior tampoco gira: K = 12 E’ Iv / H3 = 13522 t/m
Cálculo de la masa
La masa del sistema equivalente es igual a la masa total del tablero más la mitad de la masa de la
columna. Por lo tanto:
Mtablero = 60 x 2.45 x (3.30 x 1.525 – 2.70 x 1.075 ) = 313 t
Mcolumna = 3.5 x 2.45 x 3.14 x 0.702 = 13.20 t
Mtotal = 326 t
Cálculo de la frecuencia
La frecuencia fundamental en la dirección transversal es:
ωt = [ 8316 / (326/9.80) ]1/2 = 15.8 rad / seg; Tt = 2 x 3.14 /15.8 = 0.4 s
Similarmente: ωl = [12017 / (326/9.80) ]1/2 = 19.0 rad / seg; Tl = 2 x 3.14/19 = 0.33 s
Problema 2:
Dado el puente de la Figura 2, cuyas dimensiones son iguales a las del Problema 1, calcular las
frecuencias naturales del puente en ambas direcciones horizontales suponiendo que la base de la columna
está articulada a la fundación con una rótula universal (articulación de giro libre tanto en la dirección
longitudinal como en la transversal)
Vista general del problema
Sección cajón
φ=1.40
7.00m
30.00 m
30.00 m
Modelo - Vista longitudinal
Articulación inferior en Columna Central
Problema 3
El puente del problema 1 está provisto de apoyos móviles en sus extremos que se apoyan sobre una
superficie recubierta de “teflón” que tiene un coeficiente de fricción en el contacto con acero µ = 0.04. El
peso que descarga sobre cada apoyo es el que corresponde al proceso constructivo, para lo cual se supone
que el tablero y la columna central serán construidos in-situ en forma simultánea sobre un encofrado
debidamente apuntalado. Por lo tanto, el peso que descarga sobre cada apoyo es el que corresponde a la
viga continua de dos tramos que constituye el tablero.
Se propone analizar la siguiente situación:
1) Utilizando el modelo de un grado de libertad dinámico del Problema 1, determinar la relación de
amortiguamiento crítico equivalente que introducen los apoyos de teflón. Nótese que si bien los
apoyos son deslizantes en ambas direcciones horizontales (longitudinal y transversal) con el
mismo coeficiente de fricción, la relación de amortiguamiento equivalente del sistema puede
adoptar valores diferentes según la dirección horizontal de que se trate.
2) Una manera de analizar el problema, es considerar que el sistema oscila armónicamente en
régimen permanente en la frecuencia circular del sistema no amortiguado. La función que
representa la disipación seca será supuesta en la forma de un diagrama rectangular como se indica
en la Figura 1. El amortiguador viscoso equivalente genera fuerzas disipativas “fD”que siguen una
ley elíptica como se indica en la Figura 2. El sistema viscoso equivalente se define como aquél
que disipa igual energía por cada ciclo a la frecuencia natural no amortiguada.
3) Otra manera de analizar el problema es alejar al sistema de su posición neutra de equilibro
desplazándolo en una dirección horizontal una magnitud unitaria “uo” y liberarlo permitiendo que
oscile alrededor de su posición de equilibrio.
Este tema puede ser analizado considerando que las fuerzas de fricción son constantes e
independientes de la velocidad instantánea del movimiento oscilatorio, pero que siempre se opone
a la velocidad, es decir que el signo de las fuerzas es siempre opuesto a la velocidad. Para resolver
este problema es necesario tener en cuenta que a pesar de la disipación de energía por fricción
seca que es de naturaleza no-lineal, mientras la velocidad no cambia de signo el sistema de
comporta como lineal, y por lo tanto se puede aplicar el principio de superposición y la integral de
Duhamel. Se pide determinar al menos un ciclo de oscilación completo, y sobre la base de la
relación entre el segundo pico del desplazamiento “u(t)” y el desplazamiento inicial “uo” se estime
la relación de amortiguamiento a través de la expresión del “decremento logarítmico”.
4) Es interesante señalar que la relación de amortiguamiento crítico para ambas formas de
determinarla es función de la amplitud del desplazamiento máximo “uo”, y de la magnitud del
desplazamiento que provocaría la fuerza de fricción aplicada en forma estática: us = fD / K .
5) Se pide determinar la relación de amortiguamiento viscoso equivalente del sistema por ambos
procedimientos de estimación (apartados 2) y 3) para una relación r = us / uo que toma los
siguientes valores: 0.02, 0.05, 0.10 y 0.20, y comentar los resultados que se obtienen.