Notas sobre Espacios Vectoriales

Espacios vectoriales
Natalia Boal
Marı́a Luisa Sein-Echaluce
Universidad de Zaragoza
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Concepto de espacio vectorial y propiedades
1.1
Definición
Se llama espacio vectorial sobre K (IR o C a toda terna (V, +, ·K ) donde
V es un conjunto, (+) : V × V −→ V una operación interna y (·K ) : K ×
V −→ V operación externa con dominio de operadores en K verificando las
propiedades:
• (V, +) es grupo conmutativo.
– asociativa ∀v1 , v2 , v3 ∈ V , (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 )
– existencia elemento neutro ∃ e ∈ V 3 ∀v ∈ V
v+e = e+v = v
Nota: e se denota como 0V
– existencia elemento simétrico ∀v ∈ V , ∃ v 0 ∈ V 3 v + v 0 =
v 0 + v = 0V
Nota: v 0 se denota como −v
– conmutativa ∀ v1 , v2 ∈ V , v1 + v2 = v2 + v1
• ∀λ ∈ K ∀v1 , v2 ∈ V λ(v1 + v2 ) = λv1 + λv2
• ∀λ1 , λ2 ∈ K ∀v ∈ V (λ1 + λ2 )v = λ1 v + λ2 v
• ∀λ1 , λ2 ∈ K ∀v ∈ V (λ1 λ2 )v = λ1 (λ2 v)
• ∀v ∈ V 1K v = v
Los elementos de V se llaman vectores y los de K se llaman escalares.
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1.2
Propiedades
Dado V espacio vectorial sobre K
1. λ0V = 0V ∀λ ∈ K
2. 0K v = 0V ∀v ∈ V
3. λ(−v) = −λv ∀λ ∈ K, ∀v ∈ V
4. λv = 0V =⇒ λ = 0K ∨ v = 0V
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Subespacios vectoriales
2.1
Definición
Sea (V, +, ·K ) espacio vectorial sobre K. S ⊆ V S 6= ∅ se dice subespacio
vectorial de V si tiene estructura de espacio vectorial sobre K con las mismas
leyes que V . Notación: S ≤ V
2.2
Caracterización de subespacio vectorial
Dado (V, +, ·K ) espacio vectorial sobre K.
S 6= ∅ ∧ S ⊆ V es subespacio vectorial de V ⇐⇒
1. ∀v1 , v2 ∈ S , v1 − v2 ∈ S
2. ∀t ∈ K , ∀v ∈ S, t · v ∈ S
2.3
Propiedades
1. S, T ⊆ V S + T = {v ∈ V / ∃vS ∈ S ∧ ∃vT ∈ T 3 v = vS + vT }.
S, T ≤ V =⇒ S + T es el menor subespacio vectorial que contiene a S
y a T y se llama subespacio suma.
2. S, T ⊆ V S ∩ T = {v ∈ V / v ∈ S ∧ v ∈ T }.
S, T ≤ V =⇒ S ∩ T es el mayor subespacio vectorial contenido en S y
en T y se llama subespacio intersección.
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3. S, T ⊆ V S ∪ T = {v ∈ V / v ∈ S ∨ v ∈ T }.
S, T ≤ V 6=⇒ S ∪ T ≤ V .
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Suma directa
3.1
Definición
Sea V espacio vectorial sobre un cuerpo K. Dados n subespacios de V ,
S1 , S2 , · · · , Sn se dice que su suma es directa y se representa por
S = S1 ⊕ S2 ⊕ · · · ⊕ Sn
si verifica:
∀v ∈ S, ∃|vi ∈ Si , 3 v = v1 + · · · + vn
3.2
Propiedades
Sea V espacio vectorial sobre un cuerpo K y S1 , · · · , Sn ≤ V
1. S = S1 ⊕ S2 ⊕ · · · ⊕ Sn ⇐⇒ (0V = a1 + · · · + an =⇒ ai = 0V ,
i = 1, · · · , n)
2. S = S1 ⊕ S2 ⊕ · · · ⊕ Sn =⇒ Si ∩ Sj = {0V } si i 6= j.
Nota: El recı́proco no es cierto siempre.
3. S = S1 ⊕ S2 ⇐⇒ S1 ∩ S2 = {0V }
3.3
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre K cuerpo. S, T ≤ V se dicen subespacios
suplementarios respecto de V si S ⊕ T = V
3
4
Dependencia lineal
4.1
Definición
Sea V e.v. sobre K cuerpo. Dado un conjunto de ı́ndices I (finito o no) se
llama familia de vectores de V a toda aplicación
F : I −→ V
i 7→ vi
Notación: F = {v1 , v2 , · · ·}.
4.2
Definición
Dada una familia de vectores {vi }i∈I de V , se llama combinación lineal de
{vi }i∈I a todo vector
v =
λi vi , λi ∈ K, ∀i ∈ I
i∈I
.
4.3
X
Definición
Dada una familia de vectores {vi }i∈I de V , se llama clausura lineal de {vi }i∈I al conjunto formado por todas sus combinaciones lineales, que
denotaremos por:
K < {vi }i∈I >
Nota K < {vi }i∈I > es subespacio vectorial de V .
4.4
Definición
Dos familias de vectores de V , {vi }i∈I y {wj }j∈J (I 6= J en general) son
familias equivalentes si
K < {vi }i∈I > = K < {wj }j∈J >
4
4.5
Definición
Una familia de vectores {vi }i∈I de V , se dice familia libre si
X
λi vi = 0V =⇒ λi = 0K , ∀i ∈ I
i∈I
Se dice que los vectores son linealmente independientes.
4.6
Definición
Una familia de vectores {vi }i∈I de V , se dice familia ligada si
X
λi vi = 0V =⇒ ∃j ∈ I 3 λj 6= 0K
i∈I
Se dice que los vectores son linealmente dependientes.
4.7
Definición
Se llama rango de una familia de vectores de V al número de vectores linealmente independientes.
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Base de un espacio vectorial
Sea V espacio vectorial sobre un cuerpo K
5.1
Definición
Una familia de vectores {vi }i∈I de V , se llama sistema generador de V si
K < {vi }i∈I > = V
5.2
Definición
Un espacio vectorial V se dice finito si posee al menos un sistema generador
formado por un número finito de elementos.
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5.3
Definición
Se llama base de un espacio vectorial V a todo sistema generador cuyos
vectores son linealmente independientes.
5.4
Propiedades
1. Una familia de vectores de V es base de V ⇐⇒ es libre maximal.
2. Una familia de vectores de V es base de V ⇐⇒ es sistema generador
minimal.
3. Toda familia libre de vectores de V puede completarse hasta obtener
una base de V .
4. Todas las bases de un espacio vectorial finito tienen el mismo número
de elementos.
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Dimensión
6.1
Definición
Si V es un espacio vectorial, se llama dimensión de V al número de elementos
de sus bases.
Si V no es finito, se dice que es de dimensión infinita.
6.2
Propiedades
Generalmente consideramos que V es espacio vectorial de dimensión finita
1. Si S ≤ V =⇒ dim S ≤ dim V
2. Si S ≤ V, dim S = dim V =⇒ S = V
3. S, T ≤ V,
dim (S + T ) = dim S + dim T − dim(S ∩ T )
(Fórmula de dimensiones)
4. S, T ≤ V, dim (S ⊕ T ) = dim S + dim T
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5. S × T = {(vs , vt ) ∈ V × V / vs ∈ S ∧ vt ∈ T }
Si S, T ≤ V, dim (S × T ) = dim S + dim T
6.3
Proposición
V espacio vectorial de dimensión n. Dada una base {v1 , · · · , vn } de V se
verifica
n
∀v ∈ V ∃|(λ1 , · · · , λn ) ∈ K n 3 v =
X
λ i vi
i=1
6.4
Definición
V espacio vectorial de dimensión n y {v1 , · · · , vn } una base dada en V .
Dado v ∈ V se llaman coordenadas del vector v respecto de la base {vi } a los
P
únicos escalares λi ∈ K, i = 1, · · · , n tal que v = ni=1 λi vi
6.5
Cambio de base
Sean {v1 , · · · , vn } y {ṽ1 , · · · , ṽn } dos bases de V .
Como los vectores ṽi están en V , tendrán unas coordenadas respecto de
la base {vi }, es decir
ṽ1 = λ11 v1 + · · · + λn1 vn
..
.
ṽn = λ1n v1 + · · · + λnn vn
Es decir, se tiene:

( ṽ1
| · · · | ṽn ) = ( v1
λ11
 ..
| · · · | vn )  .
λn1
|
|

λ1n
.. 
. 
| ··· |
|
| λnn
En forma matricial
(ṽj )t = (vi )t P
siendo P la matriz regular cuyas columna i-ésima está formada por las coordenadas de ṽi respecto de la base {vi }ni=1 y que se denomina matriz de cambio
de base.
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6.6
Cambio de coordenadas
Sea v ∈ V .
X = (x1 , · · · , xn )t coordenadas de v respecto de la base {vi }
X̃ = (x̃1 , · · · , x̃n )t coordenadas de v respecto de la base {ṽj }
Luego:
v = x1 v1 + · · · + xn vn = (vi )t X
v = x̃1 ṽ1 + · · · + x̃n ṽn = (ṽi )t X̃ = (vi )t P X̃
=⇒ X = P X̃
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