Tema 5. Oscilaciones de sistemas con un grado de libertad

Tema 5. Oscilaciones de sistemas con un
grado de libertad
Introducción
• Estudiamos las propiedades que debe tener un sistema para que se produzcan
oscilaciones en él. La primera propiedad es la existencia de un punto de equilibrio
estable. Sólo cuando el sistema es desplazado de esta posición de equilibrio, exhibe
características oscilatorias. Este desplazamiento genera en el sistema una fuerza
restauradora, y aparecen vibraciones alrededor del punto de equilibrio.
• La existencia de tal posición de equilibrio nos da una referencia respecto a la
cual podemos medir el desplazamiento del sistema cuando se encuentra en
movimiento. De esta forma, las ecuaciones del movimiento y la energía del sistema
se expresan de la forma más sencilla.
• Tenemos una segunda propiedad esencial. Cuando un sistema vibratorio se
desplaza de la posición de equilibrio, la fuerza restauradora le obliga a moverse de
nuevo hacia la posición de equilibrio. La inercia del sistema (masa, momento de
inercia) hace que el sistema sobrepase el punto de equilibrio, y así realice la segunda
parte de la oscilación.
• Por otro lado, la fricción puede ser responsable de la ausencia de movimientos
oscilatorios. Por tanto, para la existencia de movimientos oscilatorios, la fricción no
debe ser muy grande. Dicho de otra forma, la fracción de energía perdida por
rozamiento no debe ser muy grande.
Clasificación de las oscilaciones
• Respecto a la duración en el tiempo,
Oscilación Transitoria: Desde el momento inicial t = 0 , hasta que se alcanza la
forma A cos (ω t + δ )
Oscilación Permanente: Si se ha alcanzado la forma A cos (ω t + δ ) y ésta perdura
en el tiempo.
• Respecto a la existencia de una fuerza exterior,
Oscilación Forzada: Hay una fuerza exterior sobre el sistema.
Oscilación Libre: No actúa ninguna fuerza exterior sobre el sistema.
• Respecto al efecto del rozamiento,
Oscilación Amortiguada: El sistema sufre una fuerza de rozamiento, en dirección
contraria a su movimiento.
Oscilación no Amortiguada: La fuerza de rozamiento es despreciable.
• Respecto al período del movimiento,
Oscilación Periódica: El sistema repite su estado de movimiento (misma posición y
velocidad) cada intervalo de tiempo T .
Oscilación no Periódica: No se produce esta repetición temporal del estado del
sistema. ( T = 0 )
• Respecto a la dependencia temporal de las variables del sistema,
Oscilación Armónica: La dependencia temporal de las variables del sistema
(posición y velocidad) es de la forma sin (ω t + δ ) , cos (ω t + δ ) .
Oscilación no Armónica: La dependencia temporal no es armónica.
Primera parte: Oscilaciones libres
1. Movimiento armónico simple (MAS)
• La ecuación del movimiento es de la forma
d 2s
+ ω 2s = 0
2
dt
La variable s representa una coordenada del sistema en movimiento. Puede ser la
coordenada x (elongación de un muelle), un ángulo α (ángulo de giro de un
péndulo). Representa el desplazamiento del sistema respecto de su posición de
equilibrio s = 0 , ( x = 0, α = 0 ) .
• La solución más general de la ecuación del movimiento es
s = A cos (ω t + φ )
donde definimos las cantidades:
q
q
A amplitud del movimiento. El sistema se mueve entre los límites
−A≤ s≤ A
ω frecuencia angular del movimiento, medida en rad/s. También se
llama frecuencia natural del sistema.
q
ω t + φ fase instantánea del sistema
q
φ fase inicial en t = 0
Las variables A, φ dependen del estado inicial del sistema (posición y velocidad en
t = 0 ). La variable ω depende de las características físicas del sistema (masa,
momento de inercia, constante del muelle, gravedad,..)
• Otras variables que podemos definir en un MAS son:
q
q
T período del movimiento. Tiempo que transcurre entre dos estados
idénticos de movimiento del sistema. El sistema tiene la misma posición s
2π
y la misma velocidad ds . Se cumple T =
dt
ω
ν frecuencia del movimiento. El sistema realiza un ciclo de su
movimiento en un tiempo T . La frecuencia ν es el número de ciclos que
1 ω
realiza el sistema en la unidad de tiempo. Por tanto, ν = =
T 2π
• De la solución general, obtenemos la velocidad y aceleración del sistema
ds
v=
= − Aω sin (ω t + φ )
dt
d 2s
a = 2 = − Aω 2 cos (ω t + φ ) = −ω 2 s
dt
Vemos por tanto, que en un MAS la fuerza restauradora
F = ma = − mω 2 s
está dirigida hacia el punto de equilibrio s = 0 , ya que F es positiva cuando s < 0 , y
es negativa cuando s > 0 . En general, la fuerza restauradora tendrá la expresión
F = − ks , donde k será la constante de recuperación del sistema.
2. Energía en un MAS
• La energía cinética del sistema es
2
1  ds  1
Ec = m   = mA2ω 2 sin 2 (ω t + φ )
2  dt 
2
Es la energía que posee el sistema debido a su movimiento.
• Como hemos visto, la fuerza restauradora del sistema es
F = ma = − mω 2 s
De aquí, la energía potencial del sistema, debida a su posición, resulta ser
∫
s
∫
s
1
sds = mω 2 s 2
2
0
0
donde hemos tomado como referencia el cero de la energía potencial en el punto de
equilibrio s = 0 .
Introduciendo la dependencia temporal de s, obtenemos
1
E p = mA2ω 2 cos2 (ω t + φ )
2
Ep = −
Fds =mω
2
• La energía total del sistema es
1
1
E = Ec + E p = mA2ω 2 sin2 (ω t + φ ) + mA2ω 2 cos 2 (ω t + φ )
2
2
1
= mA2ω 2
2
El sistema es conservativo ya que la energía se conserva constante durante el
movimiento.
3. Determinación de ω para un MAS
• La frecuencia angular ω depende de las características físicas del sistema,
como la masa, la constante de recuperación, etc. Un método directo para hallar ω
es hallar la ecuación del movimiento e identificar ω 2 como el coeficiente de la
variable s .
• Otro método alternativo, para sistemas de un grado de libertad en los que sea
difícil determinar la ecuación del movimiento, es el método de Rayleigh, o método
de las energías. Consta de dos partes importantes. La primera es la suposición de que
el movimiento es armónico simple, con la posición
s = A cos (ω t + φ )
y la velocidad
ds
v=
= − Aω sin (ω t + φ )
dt
En segundo lugar, la suma de las energías cinética y potencial es una constante,
como hemos visto. Ya que el movimiento es oscilatorio, esto supone que en la
posición extrema s = ± A , el sistema llega al reposo, y entonces toda la energía es
potencial. Al pasar por la posición de equilibrio, la energía potencial es cero, y toda
la energía es cinética. La conservación de la energía requiere que el cambio en la
energía cinética sea igual, y de signo contrario, al cambio en la energía potencial.
Por tanto, la energía potencial máxima (cuando s = ± A ) debe ser igual a la energía
cinética máxima (cuando s = 0 ). Entonces, si k es la constante recuperadora del
sistema, tenemos la igualdad
1 2 1
kA = mω 2 A2
2
2
y de aquí, despejamos la frecuencia angular de vibración del sistema
k
m
El método de Rayleigh no sólo da el resultado exacto cuando el sistema sea
conservativo, sino que puede servir también para obtener las frecuencias naturales
en forma aproximada para sistemas en los que no pueda ignorarse el calor y la
fricción (sistemas no conservativos).
En un sistema con un solo grado de libertad, la energía sólo involucra dicha
coordenada. Si el sistema tiene varios grados de libertad, los métodos de energía
todavía son válidos, y utilizan las matrices para ordenar la multiplicidad de términos.
Por último, destacar que el cálculo de energías hecho aquí sirve como introducción
ω=
para el método generalizado de Lagrange, donde el llamado Lagrangiano es función
de las energías cinética y potencial, y la ecuación de movimiento equivale a exigir
que dicho Lagrangiano haga mínima la integral Acción, función de las coordenadas
del sistema y del tiempo.
• Un tercer método, el método funcional, es muy útil en sistemas con dos
grados de libertad. Determina ω 2 utilizando la forma funcional
fuerza restauradora (en módulo)
ω2 =
masa × distancia
donde la distancia recorrida mide el desplazamiento respecto del punto de equilibrio
necesario para que la fuerza restauradora tenga el valor dado en el numerador. Como
ejemplo general,
F = ks
y
ks k
ω2 = =
ms m
que coincide con el resultado anterior.
4. Potencia desarrollada en un MAS
• Un concepto muy importante en los movimientos oscilatorios es el de
potencia. La potencia es la razón de transferencia de energía al sistema, por unidad
de tiempo. Si el movimiento es periódico, como lo es el MAS, sólo es útil estudiar la
potencia media, promediada sobre un período de oscilación. Nos da la transferencia
de energía sobre un período. Si sobre el sistema actúa la fuerza F , la potencia
instantánea en el tiempo t , suministrada al sistema, es
Pins = F v
y la potencia media es, por definición,
1
P=
T
∫
T
F vdt
0
Si P > 0 , el sistema gana energía en cada ciclo, y si P < 0 el sistema cede energía
en cada ciclo.
• Para el MAS,
s = A cos (ω t + φ )
F = -ks
ds
v=
= − Aω sen (ω t + φ )
dt
con lo cual
∫
T
1
P = kω A2 sen (ω t + φ ) cos (ω t + φ ) dt = 0
T
0
ya que el valor medio en un período del producto de la función seno por la función
coseno es cero. Por tanto, no hay transferencia de energía, y la energía se conserva.
5. Sistemas sencillos con oscilaciones libres
I. MUELLE SIMPLE
k
m
equilibrio
x
• La única fuerza que actúa sobre la masa m es la debida al muelle. Un muelle
simple es un sistema elástico que obedece a la ley de Hooke: la fuerza restauradora
es proporcional al desplazamiento respecto del punto de equilibrio. La coordenada
que define al sistema es x , el desplazamiento respecto al equilibrio, con lo cual
F = − kx
2
• La aceleración de la masa m es a = d x
dt 2
, y la ley de Newton, F = ma , se
lee
d 2x
= − kx
dt 2
que es la ecuación de movimiento de un MAS
d 2x k
+ x=0
dt 2 m
con la frecuencia angular
m
ω=
k
m
• La solución de la ecuación del movimiento es
x = A cos (ω t + φ )
y el sistema es conservativo, la energía es constante y vale
1
1
E = kA2 = mω 2 A2
2
2
siendo A la amplitud del movimiento.
II. PÉNDULO SIMPLE
O
α
L
T
mg
Fc
• La masa m realiza una rotación respecto al punto de suspensión, fijo en O. La
coordenada del sistema es α , el ángulo respecto de la vertical. Las fuerzas que
actúan sobre m son la gravedad en la vertical hacia abajo, la tensión T del hilo y la
fuerza centrífuga Fc debida a la rotación, en la dirección radial desde O hacia
afuera. El momento de fuerzas respecto al punto O es
M = − mgL sin α − TL sin0 + Fc L sin0
= −mgL sin α
siendo L la longitud de la cuerda que une el punto O con la masa m . El signo
menos en la ecuación anterior indica que el momento de fuerzas tiende a disminuir
el ángulo de giro α .
• Si consideramos que el ángulo α es pequeño, esto es,
α ( rad ) << 1
podemos utilizar la aproximación
sinα ≈ α
con lo cual, el momento de fuerzas es proporcional al ángulo de giro
M = −mgLα
La ecuación de movimiento se obtiene de la segunda ley de Newton para la rotación
respecto a un punto fijo,
d 2α
M =I 2
dt
siendo I el momento de inercia de m respecto a O,
I = mL2
Llegamos a la ecuación de movimiento
d 2α
− mgLα = mL2 2
dt
ecuación de un MAS,
d 2α g
+ α=0
dt 2 L
con frecuencia angular,
ω=
g
L
• La solución general es
α = A cos (ω t + φ )
siendo A la amplitud angular del giro, esto es, el ángulo α varía entre los valores
A y −A.
• Es útil reconsiderar la conservación de la energía en este caso, ya que la
ecuación de movimiento corresponde a una rotación, y no a una traslación como en
el caso general. La velocidad de giro de la masa m es
dx d ( Lα )
dα
v=
=
=L
dt
dt
dt
siendo x la longitud sobre el arco de radio L . Con esto, la energía cinética se
escribe
2
1
1
 dα  1 2 2 2 2
Ec = mv 2 = mL2 
 = mL ω A sin (ω t + φ )
2
2
 dt  2
Tomando como cero de energía potencial el punto más bajo de la trayectoria, la
energía potencial de la masa m es
E p = mgh
siendo h la altura desde el punto más bajo,
h = L − L cos α
• Cuando α ( rad ) << 1 , la aproximación válida para cosα es
1
cos α ≈ 1 − α 2
2
con lo cual, en esta aproximación la altura h es
1
h = L (1 − cos α ) ≈ Lα 2
2
y la energía potencial queda
1
E p = mgLα 2
2
Introduciendo la dependencia temporal del ángulo de giro α ( t ) , la energía potencial
es
1
E p = mgLA2 cos2 (ω t + φ )
2
Teniendo en cuenta el valor de la frecuencia angular del movimiento, llegamos a la
conservación de la energía total de la masa m
1
1
E = Ec + E p = mgLA2 sin 2 (ω t + φ ) + mgLA2 cos2 (ω t + φ )
2
2
1
1
= mgLA2 = mL2ω 2 A2
2
2
III. PÉNDULO FÍSICO
O
α
a
cm
mg
• O es el punto fijo de suspensión, respecto al cual gira el cuerpo de masa m .
α es el ángulo de giro respecto a la vertical. El momento de la fuerza de la gravedad
respecto al punto O es
M = −mga sin α
siendo a la distancia de O al centro de masa del cuerpo. La ecuación de movimiento
para la rotación respecto al punto fijo O es
d 2α
M = IO 2
dt
donde IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del punto O. Puede
utilizarse, si es conveniente, el teorema de Steiner para calcular IO
IO = Icm + ma 2
donde I cm es el momento de inercia del cuerpo respecto de un eje que pasa por su
centro de masa y es perpendicular al plano que define el movimiento.
• La ecuación de movimiento es
d 2α
− mga sin α = I O 2
dt
y con la aproximación de ángulos pequeños, sinα ≈ α , obtenemos la ecuación de un
MAS,
d 2α mga
+
α =0
dt 2
IO
con frecuencia angular
ω=
mga
IO
• La solución general es, de nuevo
α = A cos (ω t + φ )
y la energía total de la masa m se conserva, con el valor
1
1
E = I Oω 2 A2 = mgaA2
2
2
IV. MAS BAJO POTENCIAL V (x ) GENERAL
• Para que un potencial V ( x ) admita un MAS alrededor del punto x = x0 , debe
ocurrir necesariamente que
a) V ( x ) tiene un punto de equilibrio local en x = x0 . Esto es, x = x0 es
mínimo local de V ( x )
V ' ( x0 ) = 0
V '' ( x0 ) > 0
b) Los desplazamientos respecto al punto de equilibrio x = x0 deben ser
pequeños. Esto es, la distancia al punto de equilibrio x − x0 es pequeña
frente a ambos valores x , x0 .
V (x )
V' (x0) = 0
V (x0 )
V' '( x0) > 0
x0
x
• La ecuación de movimiento para un sistema en un potencial general V ( x ) se
sigue de la segunda ley de Newton, F = ma , donde F = −
por el potencial, y a =
dV
es la fuerza generada
dx
d 2x
es la aceleración del sistema. Por tanto, la ecuación del
dt 2
movimiento es
dV
d 2x
−
=m 2
dx
dt
• Si se cumplen las hipótesis a) y b), podemos desarrollar la función potencial
en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio, manteniendo sólo el término de
orden dos en la diferencia x − x0 , puesto que es pequeña. Obtenemos, cerca del
punto de equilibrio,
1
2
V ( x ) ≈ V ( x0 ) + V ' ( x0 )( x − x0 ) + V '' ( x0 )( x − x0 )
2
1
2
= V ( x0 ) + V '' ( x0 )( x − x0 )
2
V (x )
1
V ( x0 ) + V ' ' ( x0 )( x − x0 )2
2
V ( x0 )
x
x0
y de aquí,
F = −V '' ( x0 )( x − x0 )
proporcional a la distancia al punto de equilibrio. Definiendo esa distancia como la
variable s , la fuerza restauradora es
F = − ks
donde la constante recuperadora vale, en este caso,
k = V '' ( x0 )
• Obtenemos así la ecuación de movimiento de un MAS, para la variable s
d 2s
m 2 = − ks
dt
con frecuencia angular
ω=
y solución general
o mejor,
V '' ( x0 )
k
=
m
m
s = A cos (ω t + φ )
x = x0 + A cos (ω t + φ )
oscilación de amplitud A, respecto al punto de equilibrio x = x0 .
Nota: El movimiento será un MAS cuando la separación del punto de equilibrio sea
pequeña. La condición matemática que debe satisfacerse es que los términos que no
hemos tenido en cuenta en el desarrollo de Taylor deben ser despreciables frente al
término cuadrático en el desplazamiento ( x − x0 ) . En particular, para el primer
término despreciado, se debe satisfacer
1
1
2
3
V ' ' ( x0 )( x − x0 ) >> V ' ' ' ( x0 )( x − x0 )
2
6
y de aquí, el desplazamiento respecto al punto de equilibrio debe estar acotado por
(x − x0 ) << 3 VV'''''((xx0 ))
0
V. OBJETO FLOTANTE
E
equilibrio
mg
• Cuando un objeto de masa m se introduce en un líquido y flota, se establece
un equilibrio entre el peso del cuerpo y el empuje Eeq del fluido sobre el cuerpo,
dado por
Eeq = ( masa líquido desalojado ) g
La ecuación de equilibrio es
Eeq = mg
• Si ahora se desplaza el cuerpo de esta posición de equilibrio, surge una fuerza
restauradora igual al aumento o disminución del peso del líquido desalojado,
respecto a su valor en el equilibrio:
(
)
F = mg − E = mg − Eeq + E ' = − E '
donde E ' es el exceso o defecto del empuje debido al líquido desplazado respecto al
equilibrio.
E' = E + ∆mliq g
equilibrio
y
mg
• Supongamos que el cuerpo tiene una sección A y se introduce una distancia
y respecto de la posición de equilibrio. La fuerza que sufre el cuerpo es
F =−∆ mliq g
donde
∆mliq = ρ gAy
es el exceso de líquido desalojado, y ρ es la densidad del líquido. La ecuación del
2
movimiento se obtiene de la segunda ley de Newton, F = ma , donde a = d y
dt 2
es
la aceleración vertical que sufre el cuerpo. Obtenemos
d 2y
m 2 = − ρ gAy
dt
que corresponde a un MAS,
d 2 y ρ gA
+
y=0
dt 2
m
con frecuencia angular
ω=
ρ gA
m
• Aquí m es la masa del cuerpo en movimiento, y puede expresarse como
m = ρc AL
siendo ρc la densidad del cuerpo sumergido, y L su dimensión vertical. Con esto, la
frecuencia angular tiene la expresión
ρ g
ω=
ρc L
VI. TUBO EN U
• Tenemos una columna de un determinado líquido, de sección A y longitud
total L . Desplazamos la columna una distancia y respecto de su posición de
equilibrio. Estudiamos el movimiento subsiguiente, en particular, la aparición de una
fuerza restauradora con la expresión general F = − ks .
y
y
2
equilibrio
y
• El incremento de energía potencial respecto de su posición de equilibrio es
igual al aumento de energía en el brazo izquierdo (donde aumenta la cantidad de
líquido una distancia y ), menos la disminución de energía en el brazo derecho
(donde disminuye la cantidad de líquido una distancia y ). Por tanto, respecto al
equilibrio
E p = E p ( izda ) − E p ( dcha )
• En el brazo izquierdo, la cantidad de líquido adicional respecto del equilibrio
es, y su centro de masa está situado una distancia y por encima del nivel de
2
equilibrio. Por tanto, con la fórmula usual de la energía potencial debida a la
gravedad, mgh , obtenemos
y 1
E p ( izda ) = ρ Ayg = ρ Agy2
2 2
• De forma análoga,
1
 y
E p ( dcha ) = ρ Ayg  −  = − ρ Agy 2
2
 2
con lo cual, la energía potencial del sistema desplazado del equilibrio, es
E p = ρ Agy 2
originándose la fuerza restauradora
dE p
Fy = −
= −2 ρ gAy
dy
• La masa en movimiento en cada instante es la masa total de la columna
m = ρ AL
2
y la aceleración de la columna en dirección vertical es a = d y
, con lo cual la
dt 2
segunda ley de Newton nos da la ecuación del movimiento en la forma
d 2y
ρ AL 2 = − 2 ρ gAy
dt
que corresponde a un MAS,
d 2 y 2g
+
y=0
dt 2
L
de frecuencia angular
ω=
2g
L
VII. CUERPO ELÁSTICO
• El alargamiento ∆L producido en un cuerpo elástico por una fuerza, es
proporcional a su longitud inicial L0 . La deformación, definida por el cociente,
∆L L − L0
=
L0
L0
es la misma para todo el cuerpo. La fuerza aplicada dividida por la sección A del
cuerpo se llama tensión.
• Si la deformación es muy pequeña,
∆L
<< 1
L0
se satisface la ley de Hooke de la elasticidad,
Tensión = −Y deformación
siendo Y el módulo de elasticidad de Young, con unidades de fuerza por unidad de
área (presión).
• Definiendo el alargamiento del cuerpo según la variable x = L − L0 , la fuerza
restauradora, debida a la deformación elástica del cuerpo, es
x
F = Tensión A = −YA
L0
y la ecuación de movimiento para el cuerpo es
d 2x
x
m 2 = −YA
dt
L0
en la dirección en que se produce el alargamiento. Esta ecuación corresponde a un
MAS,
d 2 x YA
+
x =0
dt 2 mL0
de frecuencia angular
YA
mL0
ω=
VIII. TORSIÓN DE HILOS
• En una torsión, si el ángulo girado es pequeño, el momento recuperador del
hilo es proporcional al ángulo girado y tiende a disminuirlo (tiene un signo negativo)
M = −Cθ
donde C es una constante recuperadora que depende del material con el que está
hecho el hilo. Unimos en el extremo del hilo un cuerpo de momento de inercia I , y
estudiamos el tipo de movimiento creado cuando giramos el sistema un ángulo θ .
O
θ
O
M = −Cθ
• Como el sistema es conservativo, la energía se conserva y la ecuación de
movimiento puede obtenerse de la condición de energía constante
dE
=0
dt
Para ello, debemos saber que la energía cinética corresponde a la energía cinética de
rotación de un cuerpo arbitrario con un punto fijo (el punto que une el cuerpo con el
hilo), por lo que se escribe
1  dθ 
Ec = I 
2  dt 
2
• Para estudiar la energía potencial debida al giro, imaginemos que el cuerpo ha
girado un ángulo θ , y que cada elemento del cuerpo situado a una distancia r del
punto fijo ha recorrido una distancia lineal x dada por x = rθ . Entonces, si F es la
fuerza recuperadora que genera el momento de fuerzas M , la energía potencial
debida al giro es
∫
x
∫
θ
∫
θ
∫
θ
1
Cθ dθ = Cθ 2
2
0
0
0
0
donde hemos identificado M con el momento de la fuerza recuperadora, M = Fr ,
ecuación válida para todos los puntos del cuerpo, independientemente del valor de
su distancia r al eje de giro.
Ep = −
Fdx = −
Frdθ = −
Mdθ =
• Por tanto, de la conservación de la energía obtenemos la ecuación del
movimiento
d  1 &2 1

Iθ + Cθ 2  = 0

dt  2
2

I
d 2θ
+ Cθ = 0
dt 2
que corresponde a un MAS,
d 2θ C
+ θ =0
dt 2
I
con frecuencia angular
ω=
C
I
IX. MUELLE DE AIRE
• En el equilibrio, el peso del pistón mg compensa la fuerza ejercida por el gas
debido a su presión, pA , siendo A el área del pistón.
m
pA
equilibrio
mg
La condición de equilibrio es
mg = pA
• Si ahora subimos el pistón una distancia vertical y , al aumentar el volumen
ocupado por el gas, disminuye su presión.
y
m
(p + ∆p )A
mg
Así, la fuerza ejercida por el gas ya no compensa el peso del pistón, y se genera una
fuerza neta restauradora hacia abajo, de valor
F = ( p + ∆p ) A − mg = ∆p A
siendo ∆p la variación de presión del gas al aumentar su volumen V .
• Como el gas es ideal,
pV = cte
de donde deducimos que la variación de presión, al variar el volumen, es
∆V
∆p = − p
V
• El incremento de volumen al mover el pistón es ∆V = Ay , siendo V = AL el
volumen total del gas encerrado por el pistón en el estado de equilibrio. La presión
p corresponde al valor del equilibrio p = mg . Por tanto, el incremento de presión
A
resulta
mg y
A L
y de aquí, obtenemos la fuerza restauradora
y
F = − mg
L
∆p = −
2
• La aceleración vertical del pistón de masa m es a = d y
dt 2
y la ecuación de
movimiento para el pistón es
d 2y
y
m 2 = − mg
dt
L
que corresponde a un MAS,
d2y g
+ y=0
dt 2 L
de frecuencia angular
ω=
g
L
6. Asociación de muelles
I. EN SERIE
k1
equilibrio
x1
F1 = F2
k2
equilibrio
x2
m
• Unimos dos muelles, y calculamos la constante recuperadora efectiva del
muelle compuesto. Si el muelle 1 se alarga una distancia x1 y el muelle 2 una
distancia x2 , la distancia que se alarga el muelle compuesto es x = x1 + x2 . Como
los muelles están unidos entre sí, la fuerza que ejercen sobre el cuerpo y entre ellos
es la misma,
F = F1 = F2
Con esto, la constante recuperadora efectiva es, por definición,
F
F
k= =
x x1 + x2
de donde obtenemos la ley de asociación de muelles en serie,
1 x1 x2 1 1
= + = +
k F1 F2 k1 k2
II. EN PARALELO
k1
equilibrio
k2
x
x
m
• Ahora, el desplazamiento los dos muelles es el mismo x1 = x2 = x , y la fuerza
sobre el cuerpo es suma de las fuerzas producidas por cada muelle, F = F1 + F2 . La
ley de asociación de muelles en paralelo es
F F F
k = = 1 + 2 = k1 + k 2
x
x
x
7. Asociación de hilos
I. EN SERIE
C1
M1 =M2
θ1
θ2
C2
O
O
θ = θ1 + θ 2
• El ángulo girado por el cuerpo es suma de los ángulos girados por los dos
hilos, θ = θ1 + θ2 y como los hilos están unidos entre sí, el momento de fuerza
generado por el giro es el mismo para los dos, M = M 1 = M 2 . Con esto, la constante
recuperadora para el sistema es
M
C=
θ
y de aquí, obtenemos la ley de asociación de hilos en serie
1 θ
θ
θ
1
1
=
= 1+ 2=
+
C M M M C1 C2
II. EN PARALELO
C1
θ
O
O
θ
C2
• Ahora, el ángulo girado es el mismo, θ = θ1 = θ 2 y el momento recuperador es
suma de los momentos generados por cada hilo, M = M1 + M2 . De aquí, obtenemos
la ley de asociación de hilos en paralelo
M M1 M 2
C=
=
+
= C1 + C2
θ
θ
θ