EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 1 RADICALES Y LOGARITMOS 1 Calcula las siguientes operaciones, expresando el resultado con el menor número de radicales: 10 2 a) —— 5 b) 3 3 16 : 2 c) 27 — —53— — 5 d) 2 : 24 5 5 20 27 5 27 4 2 c) 9 3 53 5 5 35 b) 16 d) 2 : 2 : 2 8 2 22 12 20 2 10 a) 5 5 3 2 3 4 3 3 5 5 4 7 4 7 a) (2 ) a) (2 ) 3 4 5 3 3 4 4 21 2 25 2 7 b) ( 32 ) b) ( 32 ) 3 3 f) —14— : 2000 e) 33 317 320 35 f) 1 1 14 : 2000 8000 20 3 3 4 4 4 3 3 3 7 37 221 33 210 6 c) 2 c) 2 2 2 3 3 18 18 6 3 Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles. 3 a) 23 35 57 b) 5 b12 c7 a a) 28 35 57 24 32 53 35 b) 5 b12 c7 a b4 c2 a2 c a 3 Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles. 2 3 23 a) 2 3 5 5 5 26 312 —2— 50 6 5 12 2 20 5 b) 2 4 2 2 2 2 2 8 2 4 28 45 —— 83 8 2 b) 4 4 5 8 10 4 3 4 9 2 4 9 Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica. 23 34 c) —— 5 a) 23 35 27 ab3 — d) —2 c a) 23 35 27 26 310 27 213 310 23 34 c) 5 4 d) 511 2 —1— 30 3 3 3 ab a aba a bc c bc c bc 3 4 21 b) 35 7 3 72 3 76 3 a —— bc b) 35 7 3 72 4 6 5 4 317 33 Calcula las siguientes operaciones, extrayendo el máximo número de factores. a) 5 4 4 e) 2 511 2 1 30 3 3 2 6 3 3 3 4 3 3 Realiza las operaciones indicadas. 3 4 6 a) a3 a5 a2 a) a3 a5 a8 a9 a10 a27 a9 a2 b) 3 4 4 23 7 3 6 6 37 25 7 b) 12 12 12 29 21 3 12 12 314 210 72 12 12 4 219 7 3 72 4 23 ——7 3 3 6 37 25 —— 7 3 10 29 312 511 2 2 32 58 53 310 5 3 7 Realiza las operaciones indicadas. 3 x2y7 xy b) —— 6 11 8 x y 4 23 3 a) — 3 2 32 4 3 3 2 a) 3 32 2 29 33 24 38 6 6 b) c) 3 3 3 3 3 3 5 2 4 5 2 4 25 5 3 12 x2y7 xy 6 11 8 y x 4 3 3 12 3 8 c) 4 4 14 y x3y3 x 6 11 8 y x 4 5 10 20 4 14 6 y9 4 x 10 7 Realiza las siguientes operaciones. a) 3 3 200 8 5 2 d) 24 2 6 3 32 —58— e) 50 3 b) 2 5 6 25 3 c) 5a2 80a 2 20a 4 a) 200 2 2 5 2 10 2 7 2 8 5 2 3 6 b) 2 5 25 f) 10 18 72 — —— — 4 25 3 3 5 0,003 0,024 58 25 5 12 5 32 5 3 3 3 3 3 c) 5a2 80a 2 20a 4 a 5 4a 5 2a2 5 (2a2 3a) 5 d) 24 2 6 3 32 2 3 2 6 3 4 2 3 2 4 3 e) 50 3 3 3 3 3 18 3 6 47 5 2 2 2 2 7225 4 2 5 10 3 3 2 3 1 3 5 3 f) 10 0,024 5 0,003 10 10 3 5 10 3 2 3 9 Racionaliza las siguientes fracciones. 3 a) —— 2 12 — c) — 7 25 2 e) —— 3 5 2 b) —— 5 6 40 — d) — 4 217 29 — f) — 6 211 3 32 32 a) 2 2 2 2 7 12 12 22 12 22 c) 622 7 7 7 5 5 2 2 2 2 2 2 235 30 e) 3 5 3 5 3 5 1 5 2 26 6 b) 56 56 15 40 40 23 5 23 40 23 d) 4 4 5 2 4 217 220 29 29 2 219 f) 6 6 4 211 212 4 7 4 7 4 4 4 4 6 10 Extrae de la raíz todos los factores posibles. a) a) 5 5 23 b) 4 3 c) x12y54 —1— z 00 23 b) ——4 3 320 210 —— 56 x12y54 x2y10 5 2 4 1 xy 00 20 z z 6 320 210 23 33 2 6 2 4 24 6 2 4 24 3 3 2 3 2 3 22 6 4 5 3 5 35 35 3 6 45 64 3 182 3 3 12 3 210 24 34 3 2 3 24 3 22 34 c) 3 45 64 3 —— 182 12 11 Realiza las operaciones indicadas. a3 a — b) — 3 2 a 4 8 6 9 35 2 8 6 a) 5 36 2 a) 5 9 15 8 51 36 2 35 2 31 236 320 2 338 2 b) a3 a 3 a2 c) 2 4 3 4 24 c) 2 24 12 a9a6 12 a7 a8 3 8 23 2 324 12 Calcula las siguientes operaciones. a) 32 72 42 1 b) —— 20 2 45 4 75 a) 32 72 42 (3 7 4)2 02 0 1 1 b) 20 75 445 2 25 53 4 35 115 53 2 13 Expresa como un único radical: a) 56 45 d) — 3 b) 23 72 e) 3 4 2 2 6 c) 3 5 3 5 f) —— 3 4 3 6 a) 56 52 6 45 d) 15 3 b) 23 72 146 142 6 e) 4 23 27 2 2 2 f) 3 5 3 4 3 4 12 6 c) 3 3 3 5 6 30 12 6 33 5 42 14 Racionaliza las siguientes fracciones. 3 a) —— 7 3 c) 2 —— 2 3 2 2 b) —— 3 2 d) 5 —— 8 22 3(7 3) 3 3(7 3) 3(7 3) a) 7 3 4 7 3 (7 3)(7 3) 2(3 2) 2 6 4 b) 6 2 32 ( 3 2 )( 3 2 ) 3 2 2(23 2) 2 2(23 2) 23 2 c) 4 3 2 5 (2 3 2 )(2 3 2 ) 23 2 5(8 22) 5 5(8 22) d) 56 (8 22)(8 22) 8 22 3 4 3 15 Utiliza la definición y las propiedades de los logaritmos para: a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 log 25 b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 0,301. a) log 40 log 25 log (40 25) log 1000 3 b) log 8 log 23 3 log 2 3 0,301 0,903 16 Calcula los siguientes logaritmos. a) log 10 000 c) log2 256 b) log3 81 d) log3 243 a) log 10 000 log 104 4 c) log2 256 log2 28 8 b) log3 81 log3 34 4 d) log3 243 log3 35 5 17 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 0,25 c) log4 2 b) log 0,001 d) log9 27 1 1 a) log2 0,25 log2 log2 2 log2 22 2 4 2 1 1 b) log 0,001 log log 3 log 103 3 1000 10 1 1 1 c) 4 22 ⇒ 2 4 4 2 ⇒ log4 2 log4 4 2 2 1 2 d) 9 32 ⇒ 3 9 9 ; 2 1 3 27 33 9 3 2 9 3 3 2 log9 27 log9 9 2 18 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 0,125 d) log 0,000 01 g) log16 64 b) log3 0,333… 2 c) log3 —— 54 e) log16 2 h) log8 4 f) log64 2 i) log4 2 1 a) log2 0,125 log2 log2 23 3 8 6 1 f) log64 2 log64 64 6 1 b) log3 0,333… log3 log3 31 1 3 4 3 4 g) log16 64 log16 26 log16 (16 )6 log16 16 2 2 1 1 c) log3 log3 log3 3 log3 33 3 54 27 3 3 2 h) log8 4 log8 22 log8 (8)2 log8 8 3 3 d) log 0,00001 log 105 5 i) 6 2 1 1 4 1 4 e) log16 2 log16 16 log16 16 4 4 1 log4 2 log4 4 log4 4 4 4 19 Conociendo los valores aproximados de log 2 0,301 y log 3 0,477, calcula los siguientes usando las propiedades de los logaritmos. a) log 24 b) log 5 a) log 24 log (23 3) log 23 log 3 3 log 2 log 3 3 0,301 0,477 1,38 10 b) log 5 log log 10 log 2 1 0,301 0,699 2 20 Calcula los siguientes logaritmos usando los datos del ejercicio resuelto anterior. a) log 36 9 d) log —— 24 g) log 75 b) log 64 e) log 20 h) log 0,2 2 c) log —— 3 f) log 150 i) log 0,8333… a) log 36 log (22 32) log 22 log 32 2 log 2 2 log 3 2 0,301 2 0,477 1,556 b) log 64 log 26 6 log 2 6 0,301 1,806 2 c) log log 2 log 3 0,176 3 9 3 d) log log log 3 3 log 2 0,426 24 8 e) log 20 log (2 10) log 2 log 10 0,301 1 1,301 3 100 f) log 150 log log 3 log 100 log 2 2,176 2 3 100 g) log 75 log log 3 log 100 2 log 2 1,875 4 2 h) log 0,2 log log 2 log 10 0,301 1 0,699 10 5 10 i) log 0,8333… log log log 10 log 12 1 (2 log 2 log 3) 0,079 6 12 21 Emplea la fórmula del cambio de base y los datos del ejercicio 49 para calcular los siguientes logaritmos. a) log3 2 c) log3 32 e) log2 30 b) log2 9 d) log2 10 f) log8 2 log 2 0,301 a) log3 2 0,631 log 3 0,477 log 9 log 32 2 log 3 2 0,477 b) log2 9 3,169 log 2 log 2 log 2 0,301 log 32 5 log 2 c) log3 32 3,155 log 3 log 3 log 10 1 d) log2 10 3,322 log 2 0,301 log 30 log 3 log 10 e) log2 30 4,907 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 1 f) log8 2 3 log 8 log 2 3 log 2 3 22 Calcula las siguientes operaciones. a) log3 7 log7 3 c) log7 (log3 (log2 8)) b) log3 5 log5 9 d) log4 (log2 (log3 (10 log 10))) log 7 log 3 a) log3 7 log7 3 1 log 3 log 7 log 5 log 9 log 32 2 log 3 b) log3 5 log5 9 2 log 3 log 5 log 3 log 3 c) log7 (log3 (log2 8)) log7 (log3 (log2 23)) log7 (log3 3) log7 1 0 d) log4 (log2 (log3 (10 log 10))) log4 (log2 (log39)) log4 (log2 2) log4 1 0 23 Sabiendo los valores de log a 0,5 y log b 0,3, calcula log Usando las propiedades de los logaritmos, log 3 a2 b ——. 10 3 a2 b 1 a2 b 1 log (log (a2 b) log 10) 10 3 10 3 1 1 (log a2 log b 1) (2 log a log b 1) 3 3 Se sustituyen los valores dados. log 3 a2 b 1 1 (2 0,5 0,3 1) 0,3 0,1 10 3 3 Con los datos anteriores, calcula el logaritmo: a log — —. 100b3 1 a 1 1 log 3 log a log 100b3 log a 2 (log 100 log b3) log a 2 3 log b 0,5 2 3 0,3 2,65 100b 2 2 24 Calcula los siguientes logaritmos. a) log 100 000 b) log5 625 c) log7 343 a) log 100 000 log 105 5 b) log5 625 log5 54 4 c) log7 343 log7 73 3 a) log2 0,125 c) log81 3 e) log1000 10 3 b) log4 —— 48 d) log25 5 f) log1000 100 25 Calcula los siguientes logaritmos. 1 a) log2 0,125 log2 log2 23 3 8 1 d) log25 5 log25 25 2 3 1 b) log4 log4 log4 42 2 48 16 3 1 e) log1000 10 log1000 1000 3 4 1 c) log81 3 log81 81 4 3 2 f) log1000 100 log1000 102 log1000 1000 2 3 26 Expresa estos logaritmos como sumas y diferencias. 25 34 b) log —— 76 a) log (25 37)4 a) log (25 37)4 log (220 328) log 220 log 328 20 log 2 28 log 3 25 34 b) log log (25 34) log 76 5 log 2 4 log 3 6 log 7 76 c) log 4 1 a 1 a log log a log b b 2 b 4 c) log a —— b