Relaciones para medir y descubrir

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
67
4
Relaciones para medir y descubrir1
José Miguel Vargas

Resumen
Se sugieren cuatro experimentos de medición para descubrir π y
su relación con la circunferencia. No obstante la aparente simplicidad de
los temas abordados, se trata de dejar entrever preguntas cuyas respuestas normalmente se tienen por garantidas casi por convención. Al mismo
tiempo, se ensayan los métodos de la probabilidad y estadística en el
arte de medir.
Tres experimentos simples en trigonometría
Ángulos en radianes
Para medir un ángulo arbitrario en determinado sistema de medición, se establece el valor de una vuelta y se reparte proporcionalmente para cualquier otra porción de vuelta. Por ejemplo, si el sistema en
cuestión es el sexagesimal, un ángulo de una vuelta, digamos en el sentido anti horario, se le asigna 360º y a media vuelta 180º. Más ejemplos
tontos de esta forma de medir se aprecian en la siguiente tabla:
1
Extracto de los talleres desarrollados en el Encuentro Nacional de Educación,
organizado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (Córdoba), Argentina,
en septiembre de 2006.
68
Capítulo 4
Ángulo en vueltas
Medida sexagesimal del ángulo
1
2
1/2
1/4
1/3
1/6
1/8
360º
720º
180º
90º
120º
60º
45º
Otro sistema de medición surge de asignar a un ángulo de una
vuelta en el sentido anti-horario la longitud del círculo de radio uno.
Habría que medir muy bien ese número para poder usarlo en aplicaciones que requieran gran precisión. El problema surge cuando dos personas distintas deciden medir el círculo de radio uno con distintos unos
patrones. Para una persona, el “uno” podría ser un metro y para otra el
“uno” podría ser una yarda (0.9144m.) Podría suceder en principio que
las longitudes de esos círculos unitarios respecto de cada radio “uno”
sean distintas; sin embargo, ocurre un milagro: la proporción que mide
cuántas veces el radio de cualquier círculo está contenido en su perímetro es siempre la misma. El siguiente experimento tiene por objeto proveer evidencia empírica en tal sentido.
Ejercicio 1: Junte no menos de diez objetos circulares, como
platos de té, café, postre, platos playos platos hondos, bandejas circulares, moldes de torta o pizza, y mida su diámetro (y su radio dividiendo
por dos) y perímetro con la mayor precisión de la que sea capaz. Realice una tabla con todas sus mediciones; esa tabla debería verse así:
CÍRCULO
Jarro
Tapa olla
Plato de té
Plato de café
Plato de postre
Plato hondo
Plato playo
Molde de pizza
…
DIÁMETRO
10 cm
26,4 cm
PERÍMETRO
31 cm
83 cm
PERÍM./DIÁM.
3,1000
3,1439
20,8 cm
64 cm
3,0769
33,5 cm
106 cm
3,1642
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Luego realice una gráfica de la relación entre el perímetro y el
radio; es decir, grafique los pares (diámetro ,perímetro) muy prolijamente sobre papel milimetrado o cuadriculado. Conteste las siguientes
preguntas.
1. Vea si la disposición de los puntos graficados le
sugieren alguna curva que modele la relación entre el perímetro y el radio de un círculo cualquiera. ¿Cuál es esa relación?
2. ¿Qué observa en la columna de los cocientes entre
perímetro y radio? ¿Cuál es la relación con la respuesta a la
pregunta del punto anterior?
3. Las constantes que surjan del modelo son importantes; para medirlas, experimente con círculos cada vez mayores.¿Puede calcular el perímetro de un círculo de gran radio
usando el modelo obtenido anteriormente? Provea de un ejemplo.
4. Investigue qué ocurre cuando se realizan nuevas
gráficas de la relación entre el perímetro y el radio cuando se
usan o bien círculos más grandes o las mediciones se hacen cada vez con mayor precisión. (Usted debería observar que la
dispersión de la nube de puntos es menor a medida que las mediciones son cada vez de mayor precisión; algo similar ocurre
cuando los círculos que se toman son de grandes radios: esto
hace que el error relativo disminuya haciendo que la nube de
punto tenga menor dispersión.)
Si usted dispone de una planilla de cálculo, todas las cuentas y
gráficos, con línea de tendencia y coeficiente r2 incluidos, se realizan de
manera automática, con la ventaja de mejorar notablemente la predicción del verdadero valor del cociente entre el perímetro y el diámetro.
Para mis mediciones, las cosas salieron como se pueden apreciar en la
Figura Nº 1:
70
Capítulo 4
Perímetro = 3,1394 × Diámetro
r2 = 0,996
Figura Nº 01: Línea de tendencia para la relación entre
diámetros y perímetros
El experimento anterior sugiere un número nuevo que resulta de
dividir el perímetro de cualquier círculo por su radio.
Definición 1: Para cualquier círculo, el cociente entre el perímetro y su radio se denota 2π.
A esta altura se deben algunas advertencias. La definición anterior no tiene una base firme porque sólo se ha provisto de una tenue evidencia de la existencia del número 2π. No hemos hecho ningún esfuerzo
teórico para verificar que ese número existe más allá de todo experimento
y que en realidad es la razón esencial detrás de lo observado en la tabla y
las gráficas. Por ahora simplemente creeremos en nuestras mediciones y
supondremos que en verdad 2π realmente existe. Dicho esto, una vuelta o
un ángulo de una vuelta en sentido anti-horario mide en radianes 2π.
Otros ángulos fáciles se desprenden igual que antes:
Ángulo en
vueltas
Medida sexagesimal
del ángulo
Medida en radianes
del ángulo
1
2
1/2
1/4
1/3
1/6
1/8
360º
720º
180º
90º
120º
60º
45º
2π
4π
π
π/2
2π/3
π/3
π/4
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Ejercicio 2: Mostrar que el mismo resultado se obtiene cuando
se considera un ángulo arbitrario en vez de uno de una vuelta. Realice
el mismo experimento pero midiendo las diferentes longitudes de arco
sobre distintos radios para un mismo ángulo. Realice las correspondientes mediciones, tabúlelas, y represente gráficamente la relación
entre la longitud del arco y el radio. Pregunta: ¿Porqué se espera que
el cociente long. de arco sobre radio sea exactamente la porción que el
ángulo en cuestión es respecto de una vuelta?
Ejercicio 3: Pruebe que el teorema que subyace al experimento
anterior es exactamente equivalente al siguiente hecho: Si se multiplica
el perímetro P de un círculo de radio r por un factor positivo cualquiera
ρ y se construye otro círculo con el nuevo perímetroρP, entonces el
nuevo círculo tiene radio ρr. O lo que es lo mismo: Si se multiplica el
radio r de un círculo con perímetro P por un factor positivo cualquiera
ρ, entonces el círculo de radio ρ r tiene perímetro ρP.
Las funciones trigonométricas empíricamente
El siguiente experimento invita a descubrir las razones trigonométricas a través de mediciones de laboratorio. Lo primero es proveerse
de cartulina gruesa y de una guillotina o tijera filosa. Hay que construir
no menos de diez triángulos rectángulos semejantes; esto es, triángulos
todos de la misma forma pero de distinto tamaño y con un ángulo de un
cuarto de vuelta (o 90º o π/2). Esto se puede lograr haciendo un solo
gran triángulo rectángulo y marcar en él nueve (o más) paralelas a uno
de los catetos. Esto debería verse como en la Figura Nº 2:
β
b7
h3
b8
b 10
b4
α
a5
Figura Nº 02: Familia de triángulos semejantes
72
Capítulo 4
Mida ahora con la mayor precisión posible los varios ai, bi y hi
(a mayor tamaño de triángulos es más fácil obtener mediciones con menos error). Si sus triángulos caben en una hoja común A4, tal vez la
mejor forma de medirlos es usando un compás de puntas secas y un
escalímetro milimetrado. Con esos valores complete la siguiente tabla.
(Los valores que se presentan aquí corresponden a las medidas sobre los
triángulos de la Figura Nº 2 tomadas con compás de puntas secas en
centímetros).
Triángulo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Adyacente Opuesto Hipotenusa
b/a
b/h
a/h
a
b
h
1,79
0,92
2,0126
0,5140 0,4571 0,8894
2,13
1,1
2,3973
0,5164 0,4588 0,8885
3,55
1,79
3,9758
0,5042 0,4502 0,8929
4,25
2,14
4,7584
0,5035 0,4497 0,8931
5,31
2,65
5,9345
0,4991 0,4465 0,8947
6,56
3,3
7,3433
0,5030 0,4493 0,8933
7,4
3,72
8,2824
0,5027 0,4491 0,8934
9,17
4,56
10,2412
0,4973 0,4452 0,8954
9,52
4,79
10,6571
0,5032 0,4494 0,8933
10,57
5,3
11,8243
0,5014 0,4482 0,8939
Ejercicio 4: En papel milimetrado o en una hoja cuadriculada y
trabajando con lápiz fino, realice una gráfica de las relaciones que
fueron tabuladas arriba. En cada caso en uno de los ejes debe tener una
de las medidas y en el otro otra de las medidas. Esto hace en total tres
gráficas: a vs. h, b vs. h, b vs. a.
1. Mire detenidamente las gráficas obtenidas:¿Qué
observa? ¿Ve alguna relación entre las variables? Interprete en
términos de la tabla de arriba.
2. Si asume que esencialmente las columnas de los
cocientes entre las mediciones son constantes, tal como lo sugieren las gráficas ¿Qué significado le asignaría a ese fenómeno? ¿Las proporciones obtenidas dependen de cada triángulo
en particular de la familia medida, o depende sólo de la forma,
y así sólo del ángulo α (o β)?
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
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A modo de ejemplo (véase la Figura Nº 3), los datos de arriba se
cargaron en una planilla de cálculo y se aproximaron los puntos de la
relación por una línea de regresión. Su pendiente da una estimación
mejorada del cociente -en este caso- b/a.
b = 0,5016 × a
r2 = 0,998
Figura Nº 03: Línea de tendencia para la relación entre b y a
Ejercicio 5: Realice de nuevo el experimento anterior pero ahora
con una nueva familia de triángulos rectángulos semejantes (figura Nº
2 ); por ejemplo, puede hacerse de una familia de diez triángulos semejantes rectángulos con α=60º. Esto permite estimar empíricamente a 3
como la tangente de 60º al estimar la pendiente de los puntos correspondientes a la gráfica de b vs. a. Y hágase las mismas preguntas que antes.
La belleza del experimento reside en el hecho que la familia de triángulos
rectángulos con α=60º es constructible sólo con regla y compás: luego, 3 lo es. El experimento sugiere una forma empírica de estimar su
valor.
Figura Nº 04: Triángulos rectángulos con α = 60º
74
Capítulo 4
Las medidas que surgen de la familia en la figura Nº 4 se codificaron en la siguiente tabla:
Triángulo
1
2
3
4
5
6
7
Opuesto
1,68
2,36
3,36
4,73
5,19
7,11
10,38
Adyacente
0,97
1,36
1,93
2,74
3
4,11
6
tanα ≈ b/a
1,731958763
1,735294118
1,740932642
1,726277372
1,73
1,729927007
1,73
Con el objeto de exprimirle sólo un dígito más a las mediciones,
calculamos en una hoja de cálculo la línea de tendencia (Figura Nº 5):
b = 1,73003 × a
r2 = 0,9999
Figura Nº 05: Mediciones y tendencia para la tan(60º) = 3
Compare el valor de la pendiente 1,73003 con el valor de calculadora 3 = 1,73205081. El error es inferior a dos milésimas, y esto a
partir de mediciones sobre el papel. De haberse usado una familia de
triángulos diez veces mayor, midiendo con la misma precisión, se habrían obtenido cuatro dígitos exactos.
Ejercicio 6: 5 es constructible con regla y compás como la
hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 1 y 2. Construya una
familia de tales triángulos semejantes de distintos tamaños. Tabule las
medidas de la familia, calcule la línea de tendencia y estime con dos
dígitos a 5 .
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
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Los experimentos anteriores sugieren algo nuevo e importante
(Teorema): No importa el tamaño de un triángulo rectángulo a los fines
de calcular los cocientes entre las medidas de sus lados, sólo importa su
forma, la cual depende a su vez exclusivamente del ángulo α. Este
hecho teórico nos permite definir los denominados cocientes trigonométricos para un ángulo α (o β) dado a partir de un triángulo rectángulo de
cualquier tamaño basta que tenga a α por uno de sus ángulos.
β
h
b
90º
α
a
Figura Nº 06: Triángulo abh
Definición 2: [Funciones trigonométricas] Sea abh un triángulo rectángulo con ángulos α=ah, β=hb y 90º=ba (fig. 6). El seno de α
es la razón b/h. El coseno de α es la razón a/h. Estas relaciones se denotan sen(α) y cos(α) respectivamente. Las restantes razones trigonométricas tienen estos nombres: tan(α)= b/a, cot(α)= a/b, sec(α)= a/h,
csc(α)= b/h.
Relacionando el perímetro del círculo con su área
Nuestro primer experimento aporta evidencia contundente de
que existe una relación lineal entre el perímetro de un círculo y su radio:
Perímetro = π × Diámetro
Este experimento no constituye una demostración de la existencia de π . π mismo, en cualquiera de las versiones de su definiciones
formales, es un número real definido a través de un proceso de límite.
Los procesos de límite están en la esencia de los números reales. Tal
vez, el siguiente experimento eche luz en la naturaleza de π como límite
de sucesiones de números constructibles (es decir, construíbles con regla
y compás, por ejemplo). De paso vincularemos las conocidas relaciones:
76
Capítulo 4
Perímetro = π × Diámetro
Área = π × Radio2
El experimento es totalmente manual, pero entraña una idea abstracta de cómo aproximar el área del círculo por el área de polígonos
inscriptos en la circunferencia.
Haga un círculo de en cartón de 10cm o 15cm, o más si puede,
de diámetro. Recórtelo en mitades por un diámetro lo más exacto que se
pueda y colóquelos así:
D
O
Ahora corte las mitades en cuartos y colóquelos así:
O'
O
D'
D
Corte nuevamente los cuartos en octavos y dispóngalos como
antes:
O'
O
D'
D
Otro corte más pone a prueba el filo de la tijera que esté usando
y la cosa se pone dramática:
O'
O
D'
D
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
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Algunas observaciones caben a esta altura:
1. El proceso puede continuarse ad infinitum, hasta que el círculo se convierte, en el límite, en un rectángulo de base π×R y altura R, donde R es el radio del círculo en cuestión. (Ejercicio:
encuentre la relación entre la altura del rectángulo OO´DD´ y el
radio del círculo). Así se obtiene la relación:
Área = π × R × R = R × Semiperímetro
2. La diagramación de los cortes se pueden realizar con regla y
compás (porque siempre es posible bisectar un ángulo con regla
y compás.) Esto hace al proceso medible empíricamente en cada
paso. En particular el área del círculo es estimable por mediciones totalmente empíricas.
3. En cada paso, las líneas OD y O´D´ se corresponden a las bases de los triángulos isósceles inscriptos en cada porción de círculo y OO´, y DD´, se corresponden a un radio. Si esta inscripción se visualiza en el círculo mismo, se obtiene un polígono
regular inscripto en el círculo (Figura Nº 11) cuya área aproxima πR2.
b
α
R
Figura Nº 11: Aproximación por un polígono regular inscripto
Estimando el error
Estamos interesados en estimar cuánto de menos tiene el área
del polígono inscripto respecto del área del círculo. Queremos que esta
78
Capítulo 4
estimación esté al alcance de alguien que realiza el experimento con
regla compás y tijeras.
Empezamos calculando el área del polígono regular de n lados,
basándonos en la Figura Nº 11. En ella podemos ver que el área del
polígono es la suma de las áreas de los n triángulos isósceles congruentes en que podemos dividirlo. Por ello:
Área (Polígono) = n × Área (Triángulo)
Área (Polígono) = n ×
Base
×h
2
Donde h es la altura de cada uno de los n triángulos congruentes. Si llamamos b a la mitad de la base de cada uno de los triángulos:
Área (Polígono) = n × b × h
A su vez, a partir de la Figura Nº 11, también podemos notar que:
Área (Polígono) = n × R sen(α) × R cos(α)
Área (Polígono) = n × R2 sen(α) cos(α)
Aplicando relaciones trigonométricas:
Área (Polígono) = n ×
R2
× sen(2α)
2
2π
n
π
y
puede escribirse como
, reemplazando
2π
2
n
n
en la expresión anterior:
Pero 2α=
 2π 
sen

 n  × π × R2
Área (Polígono) =
2π
n
O bien:
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
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 2π 
sen

n 

Área (Polígono) =
× Área (Círculo)
2π
n
Esta cuenta muestra que las dos áreas difieren en el factor
sen([(2π)/n])/([(2π)/n]). El siguiente lema muestra que este factor tiende
a uno cuando la cantidad n de lados del polígono tiende a ∞.
Lema 1
sen(θ )
θ
→ 1 cuando θ → 0
Demostración
Este hecho se desprende de la desigualdad:
sen θ ≤ θ ≤ tan θ , si 0< θ ≤ π / 2 (1)
donde θ está medido en radianes y cuya justificación geométrica
se evidencia en la figura Nº 12 (esto es como barrer el polvo debajo de
la alfombra porque lo que queremos probar es equivalente a la verificación de esta desigualdad).
Tθ
1
θ
Sθ
(0,0)
Figura Nº 12: Desigualdad para sen θ
80
Capítulo 4
Esto muestra que sen θ → 0, si θ → 0+. En particular, como:
cos θ = 1 − sen 2θ ,
también se sigue que cos θ → 1, si θ → 0+.
De la desigualdad (1) de arriba, por un pasaje de términos, se
tiene que:
cosθ ≤
senθ
θ
≤ 1 , si 0< θ ≤ π / 2 (2)
que, cuando θ → 0+, se obtiene:
sen(θ )
θ
→1
Listo el lema.
1 vuelta
→ 0,
n
cuando n → ∞ . Pero más importante es que, multiplicando (2) por π R2
y de (1), se sigue:
En
nuestra
aproximación
poligonal, θ = 2α =
Área (Círculo) × cos(2 α ) ≤ Área (Polígono) ≤ Área (Círculo)
En particular, el error de aproximación es por defecto y el error
relativo en valor absoluto es inferior a cos(2 α ):
Error relativo =
Área(Círculo) − Área( Polígono)
= 1 − cos(2α )
Área(Círculo)
No es difícil estimar el error relativo: acordamos en llamar b a la
mitad de la base de uno de los triángulos isósceles inscriptos de la poligonal. Entonces:
1 − cos(2α ) = 2 sen 2 (α )
1 − cos(2α ) = 2
b2
R2
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
81
2
 Perímetro 


2
n
 = 2π
1 − cos(2α ) ≤ 
2R 2
n2
1 − cos( 2α ) ≤
2 × (3,2) 2 20,48
=
n2
n2
1 − cos(2α ) ≤
20,48
n2
Esto muestra, por ejemplo, que cuando se hacen cuatro cortes,
como en el caso de arriba, el error relativo es inferior a 0.08 (8 por ciento), con cuatro cortes n = 24. Si el radio del disco fuese de 10cm, con 8
cortes el error absoluto es inferior a 1/10 cm2 en más de 300cm2.
Ejercicio 1: Asumiendo que π ≤ 3.2, calcule la cantidad de cortes necesarios para tener un error relativo inferior a 0.0001. Estime el
error (absoluto) en tal caso para π .
Estimando π con el azar
Existe otro punto de vista radicalmente distinto que permite estimar el área de un círculo y, a través de ésta, π: usando números aleatorios. La forma de hacerlo es una variante de lo que se conoce como el
método de Monte Carlo. Como lo que sigue hace uso de breves conocimientos sobre probabilidad, antes calcularemos en algunos ejemplos
simples algunas probabilidades al tiempo que repasamos sus propiedades más elementales.
Ejemplo 1: [Lanzamiento de un dado] Cuando se arroja un dado honesto, de manera honesta, se tienen seis alternativas igualmente
probables por resultado, a saber: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Como todas son
igualmente probables se asignan probabilidades mediante la fórmula:
Prob(Evento) =
Casos favorables
Casos posibles
82
Capítulo 4
Así, por ejemplo, la probabilidad de obtener un seis en un lanzamiento es 1/6. Lo mismo con cualquier otro número del dado. Otro: el
evento “sale par” es {2,4,6} y su probabilidad es:
Prob(Sale par) = Prob({2,4,6}) = Prob(2) + Prob(4) + Prob(6)
Prob(Sale par) =
1 1 1 1
+ + =
6 6 6 2
Igualmente, Prob(Sale impar) = 1/2.
Ejemplo 2:[Lanzamiento de un dado y una moneda] Imagine el
experimento que consiste en lanzar un dado y una moneda honestos, de
manera honesta. Los posibles resultados pueden codificarse en forma
de pares, una coordenada representando el resultado de la moneda y la
otra coordenada expresando el resultado del dado. Cara o seca para la
moneda, 1, 2, 3, 4, 5 o 6 para el dado; en total 12 resultados igualmente
probables, cada uno con probabilidad de ocurrencia 1/12. Observe que
1/12=1/2×1/6. Esto se debe a que el resultado en la moneda no influye
en el resultado del dado; hecho éste que se conoce como independencia
estadística del evento “sale cara en la moneda” (y no me importa qué
en el dado) del evento “sale 3 (por ejemplo)” en el dado (y no me importa qué en la moneda). Por ejemplo:
Prob(Sale cara en la moneda) = Prob({(cara 1),…,(cara 6)})
Prob(Sale cara en la moneda) =
1
1
1
1
1
1 1
+ + + + +
=
12 12 12 12 12 12 2
Como ambos eventos son estadísticamente independientes uno
del otro, porque cara en la moneda no hace ni más ni menos probable
el evento par en el dado, la probabilidad de obtener cara en la moneda
y par en el dado es:
Prob(Sale cara en la moneda y par en el dado) = Prob(Sale cara en la
moneda) × Prob(Sale par en el dado)
Prob(Sale cara en la moneda y par en el dado) =
1 1 1
× =
2 2 4
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
83
Ejemplo 3: [Extracción aleatoria de un número de un intervalo]
Los dos casos anteriores son ejemplos de experimentos con una cantidad finita de resultados posibles, y como todos eran igualmente probables, la fórmula que se usó para asignar probabilidades es:
Prob(Evento) =
Casos favorables
Casos posibles
En cambio, existen experimentos en los cuales los resultados
posibles son una multitud infinita. Tal es el caso del experimento que
consiste en la extracción aleatoria de un número entre el cero y el uno.
En este caso los resultados posibles son cualquier x real entre 0 y 1,
incluidos el 0 y el 1. La diferencia esencial radica que la probabilidad
de extraer un número prefijado x0 de antemano es cero. Sin embargo la
probabilidad de extraer un número x entre 1/2 y 1, es 1/2:
1 
Long . de  ,1

1 
2  = 1
Prob  x ∈  ,1  =
 2   Long . de [0,1] 2

Y, por ejemplo,
1 1 
Long . de  , 


1
1


3 2 = 1
Prob  x ∈  ,   =
6
Long . de [0,1]
3 2 

Esta forma de asignar probabilidades se puede generalizar un
poco más: si E es un evento contenido en el intervalo [0,1] que consiste
de una unión disjunta de intervalos, todos incluidos en el [0,1], entonces la probabilidad de que E salga es:
Prob (x ∈ E ) =
Long . de E
= suma de las longitudes de los inLong . de [0,1]
tervalos que componen E
Así por ejemplo la probabilidad de extraer un número x al azar
entre 0 y 1/4, o entre 3/4 y 1, es 1/4+1/4=1/2.
84
Capítulo 4
Ejercicio 1: Se extrae un número al azar entre – 1 y 5, de manera imparcial y honesta.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado esté entre 0 y 1?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado esté entre – 1 y 0
o entre 2 y 3?
Leyes de la probabilidad
Calcular probabilidades es muy similar a calcular áreas, ambos
comparten ciertas leyes:
1. Las probabilidades son siempre mayores o iguales a cero.
Son, además, menores o iguales a uno.
2. Si A y B son eventos disjuntos, entonces:
Prob(A ∪ B) = Prob(A) + Prob(B);
y si A no es disjunto de B, entonces:
Prob(A ∪ B) = Prob(A) + Prob(B) – Prob(A ∩ B)
donde el tercer término tiene un fin correctivo: para que el área de
A ∩ B no se cuente dos veces.
3. Si X denota el conjunto de todos los resultados posibles del
experimento, entonces Prob(X)=1.
4. Si A es un evento cualquiera incluido en X, entonces:
A ∪ (X − A ) =X
y
Prob(A) + Prob(X – A) = Prob(A ∪ (X – A)) = Prob(X) = 1
de donde Prob(X – A) = 1 – Prob(A); esto es, la probabilidad de eventos
complementarios son complementarias.
Ley de los grandes números
Supóngase ahora que el experimento nuevamente consiste en
extraer un número aleatorio del intervalo [1,2]. Los posibles resultados
son todos los números reales entre 0 y 2, incluidos el 0 y el 2. Entonces,
por ejemplo:
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
Prob (x ∈ [0,1]) =
85
Long . de [0,1] 1
=
Long . de [0,2] 2
Supóngase ahora que el experimento se realiza n veces de manera independiente una de otra. Los resultados son números x1,...,xn en el
intervalo [0,2]. La pregunta es ¿cuántos números entre éstos se esperan
estén en el intervalo [0,1]? La respuesta es justamente la que se espera
intuitivamente: Si se extraen n números al azar entre 0 y 2, debe haber
aproximadamente n/2 entre 0 y 1 (y n/2 entre 1 y 2). Esto es realmente
así y es un caso especial de la denominada Ley de los grandes números:
Si n es grande, y mientras más lo sea mejor, la cantidad de casos entre
0 y 1 dividido n aproxima la probabilidad teórica 1/2 de que x ∈ [0,1];
en símbolos:
Prob(x ∈ [0,1]) ≈
Cantidad de xi ´s en [0,1]
n
Así, por ejemplo, si se lanza un millón de veces una moneda
honesta, de manera honesta, ha de esperarse que aproximadamente medio millón de veces salga “cara”, y medio millón de veces salga “seca”.
No es imposible tener 20.000 caras y 980.000 secas en un millón de
lanzamientos: es que ese resultado es tan, pero tan improbable, que es
casi cero.
Esta forma de pensar es extremadamente poderosa y puede
usarse al revés: Imagine dos jugadores, “La casa” y un “Jugador”. La
casa escoge un intervalo [a,b] secreto, que no revela al Jugador, que está
incluido en el intervalo [0,2]. Cuando se extrae un número x al azar en
[0,2], La casa le dice al Jugador si x está o no en el intervalo [a,b], pero
nada más. ¿Podría el Jugador realizar un experimento que le permita
medir aproximadamente la longitud del intervalo [a,b], sin saber de antemano qué son a y b?
La respuesta es tan simple como asombrosa: Extráiganse un
número n de números al azar del intervalo [0,2], La casa dice cuáles
están entre a y b, entonces por la Ley de los grandes números se debe
tener:
86
Capítulo 4
Prob (x ∈ [a, b]) =
Long . de [a, b] Cantidad de casos en [a, b]
≈
Long . de [0,2]
n
y por lo tanto:
Long. de [a,b] ≈ 2
Cantidad de casos en [0,1]
n
estima la longitud del intervalo desconocido. El lado derecho de
la última igualdad se denomina estimador del lado izquierdo.
Clave en el proceso de estimación es la extracción al azar de los
n números entre 0 y 2. Es lo que se denomina “muestreo”, y requiere de
la generación de números aleatorios. En general la generación de números aleatorios es no trivial, pero existen programas que generan
“buenos números aleatorios” o bien hay tablas que han sido generadas
por procedimientos confiables.
A modo de ejemplo, la siguiente tabla ha sido generada desde
una planilla de cálculo mediante la función aleatorio(), que extrae un
número aleatorio entre cero y uno. (Los resultados se multiplicaron por
dos para tener números aleatorios entre cero y dos, en vez de entre cero
y uno.)
1,8851
0,8516
0,0254
0,9423
0,0211
0,1149
1,1052
0,5160
0,8395
0,7263
1,3534
0,6141
1,7950
1,3080
0,3635
1,7368
1,8152
1,9525
0,2677
0,8366
0,3101
1,8706
0,4048
0,2765
1,7485
0,1010
1,1237
0,1780
0,7613
0,3855
1,8306
1,2149
0,9612
0,3744
1,2868
1,3386
0,1999
1,8245
0,4070
0,1859
1,5865
1,3198
1,5035
0,3369
0,5171
1,8644
1,0356
0,7614
0,8064
1,8637
1,7926
1,2533
0,6026
0,3709
1,4997
1,1733
0,6904
1,7119
0,7237
0,2082
1,3025
0,0863
0,7777
0,2244
0,8995
0,1434
1,8425
0,9504
0,3266
1,5753
0,5926
1,3045
1,5550
0,8741
0,2505
1,8209
0,3790
0,1986
0,9867
1,8862
0,5227
1,9905
1,6837
1,1281
0,4005
1,0398
0,4859
1,1669
0,6594
1,8749
0,1325
0,7110
1,2311
1,2442
1,9202
1,4144
0,9217
1,4426
1,1281
1,5861
0,0141
0,1660
0,3513
0,8176
0,8335
0,6962
0,0050
1,3150
0,4346
1,1930
1,1835
0,8705
1,0065
0,3870
1,8978
0,5012
1,3923
1,6092
1,7827
1,4916
1,7175
1,6394
1,5762
1,8116
0,3160
1,9978
0,8578
1,5135
0,4873
1,4578
0,9435
0,5751
0,1712
0,0551
1,2202
0,3958
0,8283
1,1048
0,2538
1,1614
0,1784
1,8173
1,1285
0,2726
0,5808
1,8441
1,2816
1,7476
0,7574
1,1130
0,1573
1,2677
1,0364
0,5265
1,8966
1,5383
0,1462
0,8616
1,7899
1,5567
0,8165
1,6296
1,6437
1,2770
1,8749
1,7020
0,3638
0,4111
1,6449
0,9897
0,4454
1,7572
1,0168
0,6621
0,1696
1,6773
0,9828
0,7431
1,0307
0,4709
0,4607
1,5195
0,7972
1,1685
0,8261
0,7371
1,2810
1,4713
1,5135
0,4074
0,1845
0,6818
1,2609
1,2660
0,4491
0,1942
1,0275
1,4128
1,4824
0,7231
1,1917
0,5463
0,7245
1,7690
1,1857
0,2724
1,2942
1,6877
1,6820
1,7908
0,9577
0,6054
0,6288
0,2275
1,4822
1,6828
1,5839
1,7453
0,0738
0,3413
0,3256
0,4050
0,0127
0,5844
0,1865
0,5693
0,7683
0,6763
0,6122
0,4996
0,7514
1,1040
0,6615
0,3163
1,3299
0,8226
1,0937
0,2296
1,1186
0,3079
0,4227
1,3721
1,9577
1,5593
0,8029
1,2917
0,0605
1,3977
1,3016
0,3677
0,0084
0,7770
1,1820
0,8291
0,2206
1,3637
0,0715
1,4952
1,1197
1,8377
1,7083
0,2748
1,1253
0,5840
0,1049
0,4368
1,0481
1,4577
0,3030
0,9820
0,7183
1,3415
1,2424
0,4097
0,3124
0,2707
1,4783
0,3244
0,7622
1,8203
1,5386
1,5465
1,1105
0,8345
0,4744
0,9115
0,6333
1,7590
0,2054
1,4139
0,1874
1,9096
0,4340
1,0576
0,0519
1,7378
1,6504
0,7416
1,0741
1,7887
0,9063
0,2233
0,6239
1,0403
1,7256
0,1315
0,1668
1,4919
1,8492
1,5364
0,4093
1,7679
1,4840
0,5178
1,3345
0,5091
1,8221
0,9883
1,1826
0,4802
1,7409
1,1483
1,2177
1,4312
1,1746
0,2550
1,6188
1,2448
1,0802
1,1939
1,2645
1,9452
1,1434
1,6018
0,3814
0,9335
0,3735
1,6271
0,8764
0,5344
1,5755
0,1887
0,1227
1,1276
1,7343
0,5787
0,1634
1,0911
0,7973
0,6834
0,9682
0,0065
0,7911
1,5226
1,5358
1,8054
1,8676
0,9030
0,5163
0,3368
1,8057
1,4961
1,2813
0,8433
1,8239
0,4036
0,1375
1,5752
1,5595
1,0453
0,1234
0,7336
0,9724
1,6643
1,6941
1,0691
0,7379
1,9387
1,9732
0,0294
1,1802
0,2964
1,1415
1,8871
0,4085
1,6225
0,3713
1,6381
1,5824
0,7230
1,6298
1,2535
1,7019
0,2087
0,2887
1,0393
0,7107
0,1406
0,9476
0,5301
0,1188
1,2878
0,4020
0,0987
0,1880
0,9215
0,0595
1,6124
0,0907
1,2944
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
87
Ahora la podemos usar para jugar. Supóngase que La casa eligió
a = 0.26 y b = 1.84. En la tabla de arriba, entre los cien primeros números aleatorios, hay 81 casos entre a y b, que predice un valor para b – a
de 2×81/100 = 1.62. El verdadero valor de b – a es 1.58.
Ejercicio 2: Usando la tabla de arriba, estime la longitud de ba
usando 200, 300, etc. entradas de la tabla. Observe si las estimaciones
mejoran. Organice un juego de dos jugadores usando cien entradas de
la tabla en el cual un jugador tiene que “adivinar” la longitud de un
intervalo, o unión de intervalos, que el otro jugador ha elegido sin revelarlo al primero.
Estimando π
Como en el caso de un intervalo, es posible asignar probabilidades en dos dimensiones usando áreas en vez de longitudes. Por ejemplo,
si el experimento consiste en extraer un punto (x,y) al azar de un cuadrado de lado dos, digamos [0,2]×[0,2] (producto cartesiano de dos intervalos,) entonces, por ejemplo, la probabilidad de extraer un punto en
la mitad derecha del cuadrado, esto es 1 ≤ x ≤ 2, es:
Prob (( x, y ) ∈ [1,2] × [1,2]) =
Área de la mitad derecha 1
=
Área del cuadrado
2
Si quisiéramos calcular la probabilidad de extraer un punto (x,y)
dentro del círculo de radio uno inscripto en el cuadrado de lado dos
(véase la Figura Nº 13), esa probabilidad es:
Figura Nº 13: Círculo inscripto
88
Capítulo 4
Prob (( x, y ) ∈ Círculo ) =
Área(Círculo)
π
=
Área(Cuadrado) 4
Un estimador de esta probabilidad teórica se logra usando la
Ley de los grandes números sobre x e y. En pasos,
1. Tómese una muestra aleatoria de n números en [0,2], digamos x1,...,xn.
2. Tómese otra muestra aleatoria de n números en [0,2], digamos
y1,...,yn.
3. Entonces (x1,y1),...,(xn,yn) constituye una muestra aleatoria del cuadrado [0,2]×[0,2].
4. Cuéntese cuántos pares caen dentro del círculo. (El test consiste en
calcular (xi – 1)2 + (yi – 1)2; si esa cuenta es menor o igual que uno, el
par (xi,yi) está en el círculo, caso contrario, no.)
5. Obtenga como estimador de π /4 al cociente:
Cantidad de pares en el círculo π
≈
n
4
Este procedimiento estima π . Una simulación con cien números
aleatorios en x e y, tomados por ejemplo de la tabla anterior, estima a π
por 3.148 (Otros valores obtenidos sobre mil puntos en una planilla de
cálculo, usando en cada celda el test
=SI((2*ALEATORIO()-1)^2+(2*ALEATORIO()-1)^2<1;1;0)
y la función =SUMA(A1:J100)/250 en otra celda, han fluctuado:
3,116, 3.04, 3.04, 3,164, etc.).
Reflexiones finales
Lo que precede es sólo una sugerencia. Intenta llamar la atención en dos aspectos, uno, que existe la posibilidad de utilizar simples
mediciones, posibles en el contexto de muchas aulas, para atraer la atención a preguntas sin las cuales π se tornaría una mera convención, ocultando así su naturaleza real. Y el otro aspecto, menos filosófico y más
didáctico, es que la interacción entre diversos temas es una estrategia
efectiva en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Los ejemplos trata-
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
89
dos indican así un posible camino que, por rechazo o aceptación, total o
parcial, invita a desarmar y recrear a medida de quien lo juzgue por
imperio de su ensayo.
La posibilidad de la experimentación a través de la medición es
una vía efectiva para interesar y llamar la atención de alumnos, que tal
vez por razones de carácter o intereses se encuentran menos predispuestos a la abstracción. Esta manera no hace sino ensayar una forma histórica de adquisición de conocimientos, y sugiere, a manera de conjetura,
la forma de los teoremas que subyacen en la evidencia empírica. Es, por
lo tanto, doblemente útil; lo es filosóficamente por servir de nexo entre
lo concreto, alcanzable desde la medición manual, y el realismo matemático, elusivo desde lo subjetivo; y lo es como estrategia didáctica al
presentarse como un juego, practicable desde lo individual y también
desde lo grupal por medio de la Estadística.
Bibliografía de consulta
Mosteller, F.; Kruskal, W.H.; Link, R.F.; Pieters, R.S. & Rising,
G.R. (eds.) (1973). Statistics by Example (Volume 1: Exploring Data,
Volume 2: Weighing Chances, Volume 3: Detecting Patterns, Volume
4: Finding Models) Addison-Wesley: Reading, MA. Mosteller, F. et al.
Statistics by Example.
90
Capítulo 4