paradojas de la física

Miscelánea de Curiosidades de la Física (I)
P
aradoja es un conflicto entre una predicción teórica y el fenómeno real.
Las paradojas se sitúan en la frontera entre la capacidad de razonamiento y por tanto, puede
constituir un recurso didáctico muy eficaz porque.
a) Despierta la curiosidad en los alumnos aumentando la receptividad en las ideas claves en
que se apoya la solución.
b) Las paradojas surgen de una generalización abusiva o por imprecisión de algún concepto físico o de alguna ley. La solución permite fijar con más claridad los límites de estos conceptos
y leyes.
c) Al aclarar a paradoja se produce una sensación de progreso en el alumno clara y estimulante.
d) Al plantear una paradoja en clave se produce con facilidad un diálogo entre profesor y alumnos.
e) El planteamiento de paradojas permite introducir en el alumno el concepto de método científico enseñándole a construir sus propias conclusiones a la vez que descubre cómo el avance
de la ciencia no ha sido más que una sucesión ininterrumpida de paradojas resueltas.
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ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA VELOCIDAD
Velocidad relativa
Imaginemos que algún pícaro montara una agencia de viajes y vendiera billetes para viajar a
más de 1.300 km/h ofreciendo como medio de transporte...la propia rotación de la Tierra, seguramente
sería acusado de estafa pero desde el punto de vista de la Física no habría cometido ninguna falsedad.
Nosotros (suponemos una latitud de 38º, la de Alicante) nos movemos sobre un gigantesco tiovivo que da una vuelta completa cada 23h 56m.
Pero, ¿cuándo nos movemos más rápido, de día o de noche?
La Tierra además de girar sobre su eje se traslada
alrededor del Sol con una velocidad media de 107.200 km/h. De
día las dos velocidades se restan y por la noche las velocidades
se suman (ver dibujo). Por eso la diferencia llega a ser de 2.650
km/h en la latitud de Alicante más rápidos en la medianoche
que al mediodía.
Pero, ¿podemos adelantar al Sol?. Es decir, desde la Tierra podemos dejar atrás al Sol en su
movimiento aparente a través del cielo?
Claro. Si viajamos a bordo de un avión lo suficientemente rápido que lleve una velocidad superior
a la velocidad lineal de la Tierra en ese punto. Por ejemplo, los pasajeros de un avión que saliera de Alicante y viajara hacia el Oeste sobre el mismo paralelo con una velocidad de 1.324 km/h respecto del
suelo verían al Sol fijo en el cielo durante todo el recorrido. Al llegar al aeropuerto de destino comprobarían que la hora del aeropuerto es la misma que la que marcaban los relojes de "El Altet" cuando iniciaPág 2
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ron el vuelo aunque en su reloj hayan transcurrido 6 horas. Es como si el tiempo se hubiera congelado.
Esa velocidad necesaria para "congelar" al Sol en el firmamento depende de la latitud, siendo máxima en
el ecuador y mínima (nula) en los polos.
¿Y la Luna?
Como la velocidad angular de la Luna es 29,5 veces menor que la Tierra, mientras la Tierra da
29,5 vueltas (transcurren 29,5 días), la Luna da 1 vuelta. Eso significa que desplazándonos con una velocidad 29,5 veces inferior a la calculada en el caso anterior podemos "detener" la posición de la Luna en
el cielo.
1.324 km / h
 45 km / h
29,5
Por ejemplo, los pasajeros de un barco que hace 25 nudos desplazándose sobre un mismo paralelo comprobarían que la Luna ocupa la misma posición sobre el firmamento a lo largo de todo el viaje.
En una rueda de una bicicleta, por ejemplo, ¿se mueven todos sus puntos con igual velocidad?
Los puntos de la parte superior de la
rueda se mueven más rápidamente que los
de la parte inferior porque aunque todos los
puntos giran con igual velocidad sin embargo aquí se combinan dos movimientos;
uno el de giro de la rueda y otro el de
avance de la bicicleta respecto del suelo. Y
los puntos superiores se desplazan respecto
del suelo con mayor velocidad. Es como si instantáneamente todos los puntos de la rueda giraran en
torno al punto B que es el eje instantáneo de rotación.
Tomamos el tren de Alicante a Madrid. ¿Existe alguna parte del tren que se mueva en dirección
contraria, esto es, de Madrid hacia Alicante?
Los puntos del reborde de la rueda tienen velocidad negativa
y justo el punto de apoyo lleva velocidad nula. Esa velocidad negativa dura una fracción de segundo
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Representación gráfica del movimiento de un punto de la periferia de la rueda de la bicicleta y del
reborde de la rueda de un tren.
Un objeto lanzado desde un vehículo en marcha lleva la misma velocidad del vehículo desde el
que ha sido lanzado. De ahí el peligro y la consiguiente prohibición de arrojar objetos desde la ventanilla
de un tren o autobús.
De igual forma, si lanzamos una piedra sobre un vehículo que circula a gran velocidad es como
si la piedra la hubiéramos arrojado con la misma velocidad del vehículo, con las graves consecuencias
que son de esperar.
Una aplicación del movimiento relativo es este curioso artilugio para poder escribir en un tren en
marcha. La tablilla y la mano participan del mismo
movimiento con lo cual aunque ambos se muevan
como lo hacen solidarios el efecto es como si estuvieran fijos y la mano puede escribir correctamente sin
verse sometida a los saltos y vibraciones del tren.
Existe la anécdota de un aviador en la primera Guerra Mundial que al notar una mosca cerca de
su cara la agarró con la mano y cuál no fue su sorpresa al comprobar que se trataba de una bala de fusil
que alguien había disparado contra él. Aunque la anécdota parece increíble y propia de la fantasía pudiera muy bien ser cierta. Pues al ser disparada la velocidad de una bala es de unos 800/900 km/h pero
por efecto de la resistencia del aire va frenando su velocidad y al final su velocidad es de unos 40 m/seg,
velocidad del mismo orden que un aeroplano de aquellos tiempos. Si la dirección del proyectil y del avión
son coincidentes y sus velocidades iguales, el efecto es como si el proyectil estuviera en reposo respecto
del avión.
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¿Participa la atmósfera del movimiento
de giro de la Tierra?.
Si ascendemos en globo, ¿podríamos
ver la Tierra pasando bajo nuestros pies?.
Si fuera así. ¡Cuidado con el viento!. Un
motorista que circula a 200 km/h necesita un
buen caso protector para que su cuello no sufra
a consecuencia de la fuerza del viento. La velocidad del viento en el caso de un huracán es de
unos 140 km/h. ¿Qué decir de los 1.320 km/h con que el viento azotaría el rostro del aeronauta de no
participar del movimiento de giro de nuestro planeta?.
Existe una curiosa aplicación a nivel puramente teórico mediante plataformas móviles para coger
el tren en marcha. Es decir por aplicación de la relatividad de los movimientos poder acceder al tren sin
que este se detenga, ahorrándonos así el coste energético que supone frenar y acelerar un tren.
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Movimiento circular
El columpio del diablo. Una atracción de feria con truco.
El columpio no se mueve de su posición. Es la habitación
la que da vueltas en torno a los "pasajeros".
Pero...¿cómo descubrir el fraude?
No se caen los objetos. Puede ser debido a la fuerza centrípeta, al igual como un cubo lleno de agua al hacerlo girar verticalmente el agua no se derrama.
La plomada marca la vertical. Si la velocidad de giro es la
adecuada la plomada marcaría la vertical hacia nuestro suelo
aunque estemos cabeza abajo.
La solución es utilizar un dinamómetro del cual pende una pesa de 1 kg por ejemplo. Si nosotros
giráramos el dinamómetro marcaría un valor diferente cuando estuviéramos cabeza abajo (menos) que
en posición normal (más). Si al comenzar la atracción el dinamómetro no experimenta variación en su
medida es señal inequívoca de que estamos en reposo respecto del suelo.
Una aplicación interesante del movimiento circular es cuando lo aplicamos a los líquidos. Por
ejemplo un recipiente con agua, al girar adopta un perfil parabólico. En cada punto, la superficie (el perfil)
es perpendicular a la resultante del peso y la fuerza centrípeta. Un cuerpo pesado, una bolita, una gotita
de agua se mantiene fija mientras dura el giro. Podemos utilizar este efecto para la fabricación de espejos en los telescopios reflectores utilizando mercurio
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Algunos ejemplos de curiosos efectos como consecuencia del movimiento de giro
Nuestra apreciación de la realidad cambia por efecto de las fuerzas de inercia inherentes al movimiento circular como se aprecia en los dibujos de abajo.
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¿Cómo podemos medir la velocidad de una bala?
Sabiendo la velocidad angular y el ángulo  puede determinarse la velocidad del proyectil.
t
e
v
t


e 

v 
v
e ·

Problemas de Fuerzas
Arquímedes: "Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo". Pero esa frase ¿es realizable?.
Reflexionemos sobre sus implicaciones físicas.
Asignando a la Tierra una masa de
20
6·10
T y que Arquímedes puede ejercer una
fuerza de 60 kp = 0,06 T en el extremo de la
palanca.
F 1 ·d 1 = F 2 ·d 2
6 ·10 21
 10 23
0,06
Para equilibrar el peso de la Tierra el brazo de la palanca debe ser 1023 veces mayor que el
brazo que sostiene a la Tierra.
Entonces, para que la Tierra suba 1 cm Arquímedes debe desplazar hacia abajo el extremo de la
palanca 1023 cm = 1018 km.
¿Cuánto tiempo tardará Arquímedes en el proceso?
t
e
v
Si Arquímedes se moviera a la velocidad de la Luz, v = 3.105 km/seg tardaría.
t
1018 km
3 ·10 5 km / seg
 3,33 ·1012 seg = 100.000 años para levantar la Tierra 1 cm moviéndose a
la velocidad de la luz.
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Navegar en contra del viento
La fuerza que el viento
ejerce sobre la vela es siempre
perpendicular a ésta, pues al
descomponerse en las dos componentes normal y tangencial, la
tangencial
no
ejerce
ningún
efecto quedando la normal como
única componente útil.
F=T+Q
T no ejerce efecto alguno pues el efecto de rozamiento del
aire sobre la vela tangencialmente a ésta es despreciable. La vela se coloca en la dirección de la bisectriz del ángulo formado por la dirección del viento y el avance del barco.
Q=R+S
R se compensa con la resistencia del agua sobre la quilla y S provoca el avance. Suele avanzarse en zig-zag.
El vuelo de la cometa.
La fuerza del viento provoca la aparición de la
fuerza F perpendicular al plano de la cometa. Se descompone en sus direcciones normal (N) y tangencial (T).
F=N+T
N soporta el peso de la cometa y T tira de la cometa en contra nuestra. Al tirar de la cuerda hacia atrás,
disminuimos T y consecuentemente aumenta N. Por eso
sube la cometa.
Rozamiento y fórmula de Euler.
Con la ayuda de un noray puede ejercerse una gran fuerza
sobre una maroma con un esfuerzo insignificante aplicado en el otro
extremo.
La fórmula de Euler que nos da la tensión en el extremo de
un cable viene dada por la expresión.
T1  T2 ·e  
Siendo  el coeficiente de rozamiento de la cuerda con el
noray y  el ángulo en radianes en que la cuerda se enrolla al noray.
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Por ejemplo, si T 1 vale 5.000 kg, el coeficiente de rozamiento 0,25 y giramos dos vueltas la
cuerda = 3·2· radianes, el esfuerzo que debemos realizar en el otro extremo es de tan solo.
5.000  T2 ·e 0,25 · 3 · 2
T 2 = 44,9 kp
Colocamos un palo sobre dos dedos, al ir juntándolos al final coinciden en el c.d.g. del palo, independientemente de la posición inicial de los dedos. La presión es mayor sobre el dedo que está más cerca del c.d.g., por
tanto mayor será la fuerza de rozamiento y ese dedo permanecerá inmóvil
mientras el otro se mueve hasta que se aproxima más al c.d.g.. Ahora el primer dedo se desplazará acercándose al c.d.g. Así sucesivamente hasta llegar
a G.
Si lo hacemos con una escoba con una distribución de masas no constante, el resultado es el
mismo, obtenemos la posición del c.d.g. siguiendo el
mismo proceso indicado anteriormente.
Si ahora cortamos la escoba en dos mitades justo
por la posición del c.d.g y las pesamos, ¿pesarán igual?
La respuesta es que pesa más el trozo más corto.
La condición de equilibrio no es la igualdad de masas sino la igualdad de momentos, es decir, del producto
de la masa por la distancia y si la distancia es mayor, trozo
más largo, su masa es menor para que el producto sea
constante.
La resistencia del aire tiene efectos muy importantes en el lanzamiento de proyectiles frenándolos y disminuyendo considerablemente su alcance.
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El alcance máximo se alcanza con ángulos de tiro de 45º. Pero curiosamente cuando
la velocidad inicial es elevada con ángulos de tiros mayores la distancia recorrida aumenta considerablemente. El motivo es que al alcanzar
grandes alturas el proyectil se encuentra con una
atmósfera más enrarecida lo que disminuye considerablemente la resistencia y consecuentemente se produce un aumento inesperadamente brusco en
el alcance del proyectil.
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Atracción gravitatoria
Imaginemos que el Sol dejara de ejercer su atracción hacia la Tierra y quisiéramos compensar
esa fuerza con un cable imaginario de acero tendido entre el Sol y la Tierra...¿cuál debería ser la sección
de ese cable?
Consideramos que la resistencia a la tracción del cable es de  tracción = 100 kp/mm2
Bien, pues necesitaríamos un millón de millones de cables de acero de 5 m de diámetro cada
uno para compensar esa fuerza de atracción gravitatoria.
Y todo ese bosque de cables para desviar la Tierra...3 milímetros de su trayectoria cada segundo.
g  6,67 ·1011
e=
1,98 ·10 30
(149,6 ·10 9 ) 2
 5,92 ·10  3 m / seg 2
1 2 1
·gt  ·5,92 ·10  3 ·12  0,00296 m
2
2
Una curiosa utilización de la atracción gravitatoria es este tren subterráneo que se desplaza sin
consumir energía, suponiendo rozamientos nulos. El problema es que los pasajeros estarían sometidos a
una aceleración constante, primero positiva y luego negativa con los mareos que pudiera ocasionar
aparte del coste de perforar centenares de kilómetros de túnel. Sin embargo como proyecto original tiene
su belleza. La duración del viaje siempre es la misma independientemente de la longitud del trazado e
igual a 42 minutos y 16 segundos.
El dibujo de la izquierda debido a Newton, justifica el movimiento orbital como un movimiento de continua caída. Despreciando la
resistencia del aire la velocidad mínima necesaria es de unos 8 km/seg
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Un cuerpo cae durante el primer segundo.
1
·9,8 ·12  4,9 m
2
La velocidad tangencial debe ser tal que al cabo de 1 segundo
el proyectil caiga la distancia CB tal que se mantenga la misma distancia R respecto del centro.
AC =
OC 2  AO 2
AC =
(R  4,9) 2  R 2 = 7,894 km
Con una velocidad de 7,89 km/seg mantenemos la órbita en
ausencia de rozamientos.
Con 11,2 km/seg, órbita elíptica unida al campo gravitatorio terrestre y mayor de ella se produce
el escape y la órbita es parabólica.
¿Podría lanzarse un objeto a la Luna con un cañón suficientemente potente, tal como relata Julio
Verne en su conocida novela?.
La velocidad de escape es de 11 km/seg aunque el novelista considera 16 km/seg. El cañón medía 210 m de largo. Es decir hay que pasar de 0 a 16 km/seg en 210 metros. Eso supone una aceleración de.
a
v 2  v o2 16000 2

 609.524 m / seg 2
2 ·e
2 ·210
Aproximadamente 62.000 veces la aceleración de la gravedad terrestre.
Eso significaría que todos los cuerpos "pesarían" 62.000 veces más que su peso habitual en la
Tierra.
Por ejemplo, el sombrero del viajero, suponiendo que pesara 240 gr, durante la aceleración
pesaría.
0,24 kg · 62000 = 15.000 kg = 15 Tm
Una fuerza de 15 Tm aplastaría al pobre viajero.
Una forma de disminuir la aceleración tan enorme sería aumentar la longitud del cañón. Si deseamos disminuirla hasta el valor normal de 9,8 m/seg2, su longitud debería ser de.
a
v 2  v o2 1600 2

 13.000 km ( El doble del radio terrestre)
2 ·a
2 ·9,8
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Si nos alejamos de la Tierra, la gravedad disminuye con
la distancia según la ley del inverso del cuadrado. Pero...¿y si
nos adentramos en el interior de la Tierra mediante un pozo suficientemente profundo?. También disminuye, a efectos de peso
sólo interviene la esfera de radio r. En el centro de la Tierra el
cuerpo se hace ingrávido.
Caída libre.
En un ascensor nuestro peso disminuye en el momento en que el ascensor cae con una cierta
aceleración. Nuestro peso disminuye según la expresión;
mg - ma
Si la aceleración de caída alcanza el valor g estaríamos ante el caso de caída libre y seríamos
ingrávidos
Experiencia de la balanza
Cuestiones de Óptica
El efecto Doppler consiste en el cambio de la longitud de onda de una señal sonora o luminosa
cuando el foco emisor se mueve con una velocidad v con relación a un observador.

'

1
v
c
Siendo  la longitud de la onda emitida por la fuente.
' la longitud de onda percibida por el observador
v la velocidad relativa emisor/observador
c la velocidad de la luz
Cuentan la anécdota de un físico al que pretendían multar por haberse saltado un semáforo en
rojo y quiso convencer al guardia de tráfico que al moverse hacia el semáforo, por efecto Doppler, la luz
roja se veía verde.
El guardia que era aficionado a la Física, sacó la libreta e hizo lo siguientes cálculos.
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 rojo = 6.300 nm = 5,3·10-6 m
 verde = 5.600 nm = 5,6·10-6 m
c = 300.000 km/seg = 3·108 m/seg
6,3 ·10 6
5,6 ·10
6
1
v
3 ·10 8
 6,3 ·10 6

v = 3·108 
 1 = 37.500 km/seg
6
 5,6 ·10

El guardia muy amablemente reconoció que el físico tenía razón y le quitó la multa...y a continuación le puso otra más cuantiosa por exceso de velocidad.
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