condiciones de kuhn y tucker aplicaciones a la economia y al
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CONDICIONES DE KUHN Y TUCKER
APLICACIONES
A LA ECONOMIA
Y AL MERCADO DE CAPITALES
Bernardello, Alicia Blanca y Vicario, Aldo Omar
Departamento de Matemática
Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires
Octubre de 2000
1
CONSIDERACIONES PREVIAS
Combinación convexa de vectores
Sea V = { Rn; ⊕; R; • } un espacio vectorial
de n-ésima
dimensión sobre R, siendo ⊕ la suma usual de vectores y • el
producto de un vector por un escalar real.
Y sea S ={ v(1); v(2); v(3);......; v(m)} ⊂ V, se dice que el vector w ∈
V es combinación lineal de los vectores de S ⇔ ∃ ki ∈ R con 1 ≤
m
i ≤ m ∧ i ∈ N / w = ∑ k i v (i )
i =1
Cuando ki ∈ [0; 1]
y
m
∑k
i =1
i
= 1 dicha combinación lineal se
llama combinación convexa.
Conjunto convexo
Un conjunto X ⊂ Rn se llama convexo, si para cualquier par de
elementos x(1); x(2) ∈ X la combinación convexa definida por
ellos está incluida en X:
λ x(1) + ( 1 -λ) x(2) ⊂ X siendo λ ∈ [0; 1]
2
Función convexa
Sea f : X → R con X ⊂ Rn convexo, f es una función convexa
⇔ ∀ x(1); x(2) ∈ X ∧ λ ∈ [0; 1]:
f[λ x(1) + ( 1 - λ) x(2) ] ≤ λ f(x(1)) + ( 1 - λ) f(x(2))
f es estrictamente convexa ⇔ ∀ x(1); x(2) ∈ X ∧ λ ∈ [0; 1]:
f[λ x(1) + ( 1 - λ) x(2) ] < λ f(x(1)) + ( 1 - λ) f(x(2))
Función cóncava
Sea f : X → R con X ⊂ Rn convexo, f es una función cóncava
⇔ ∀ x(1); x(2) ∈ X ∧ λ ∈ [0; 1]:
f[λ x(1) + ( 1 - λ) x(2) ] ≥ λ f(x(1)) + ( 1 - λ) f(x(2))
f es estrictamente cóncava ⇔ ∀ x(1); x(2) ∈ X ∧ λ ∈ [0; 1]:
f[λ x(1) + ( 1 - λ) x(2) ] > λ f(x(1)) + ( 1 - λ) f(x(2))
Como consecuencia de las definiciones se puede probar que:
1) Teorema: a) (función lineal) Si f(x) con x ∈ Rn es una
función lineal, entonces es una función cóncava así como
una función convexa, pero no estrictamente.
3
2) Teorema: b) (función opuesta) Si f(x) con x ∈ Rn es una
función cóncava, entonces –f(x)es una función convexa, y
viceversa.
Análogamente: Si f(x) con x ∈ Rn es una función
estrictamente cóncava, entonces
–f(x)es una función estrictamente convexa, y viceversa.
3) Teorema: c) (suma de funciones). Si f(x) y g(x) son ambas
cóncavas (convexas), entonces f(x) + g(x) es también una
función cóncava (convexa). Si f(x) y g(x) son ambas
cóncavas (convexas), y además una de ellas o las dos son
estrictamente cóncavas (estrictamente convexas) entonces
f(x) + g(x) es también una función estrictamente cóncava
(estrictamente convexa).
Las definiciones anteriores sobre concavidad y convexidad no
utilizan
las
derivadas,
y
por
tanto,
no
requieren
la
diferenciabilidad.
Si la función es diferenciable, la concavidad y la convexidad
pueden también definirse en términos de sus derivadas
primeras:
4
Una función f(x) con x ∈ Rn es una función cóncava
(convexa), si, para cualquier punto dado x(1) = ( x1(1); x2(1);
x3(1);....... xn(1)) y para cualquier otro punto .
x(2) = ( x1(2); x2(2); x3(2);....... xn(2)) del dominio de la función
n
≤
∂f
( 2)
(1)
f ( x ( 2 ) ) f ( x (1) ) + ∑
( xi − xi )
i =1 ∂x i x (1)
≥
Una función dos veces continuamente diferenciable z = f(x) con
x ∈ Rn es cóncava (convexa) ⇔ d2z es en todo punto
semidefinida negativa (positiva)1.
Dicha
función
es
estrictamente
cóncava
(convexa)
si
(condición suficiente) d2z es en todo punto definida negativa
(positiva).
1
Sentido amplio – Ver “Condición de segundo orden en la optimización libre y sujeta a
restricciones de igualdad”(Bernardello,A;Vicario, Aldo O.,septiembre de 1999)
5
Funciones cuasicóncavas- cuasiconvexas
Una función f es cuasicóncava (cuasiconvexa) si, ∀ x(1) ≠ x(2) ∈
X dominio convexo de f ∧ λ ∈ [0; 1]:
≥ f ( x (1) )
f ( x ( 2 ) ) ≥ f ( x (1) ) ⇒ f λx (1) + (1 − λ )) x ( 2 )
( 2)
≤ f ( x )
[
]
Y lo será de manera estricta si las dos desigualdades débiles
de la derecha se sustituyen por desigualdades estrictas
> f (x(1))
< f (x(2))
Se pueden probar los siguientes teoremas:
a) función opuesta : Si f(x) es cuasicóncava (estrictamente
cuasicóncava) entonces
– f(x) es cuasiconvexa ( estrictamente cuasiconvexa).
b) Cualquier función cóncava (convexa) es cuasicóncava
(cuasiconvexa),
pero
el
recíproco
no
es
cierto.
Análogamente: Cualquier función estrictamente cóncava
(estrictamente convexa) es estrictamente cuasicóncava
(estrictamente cuasiconvexa), pero el recíproco no es
cierto.
6
c) Si f(x) es una función lineal, entonces es cuasicóncava así
como cuasiconvexa.
Observación
En el caso de funciones cóncavas y convexas las únicas que
pertenecen a ambas clases son las lineales.
En el caso de funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas,
aparte de las lineales, existen otras, como por ejemplo y = x2
para x ≥ 0 que es cuasicóncava y cuasiconvexa a la vez.
Funciones diferenciables:
Una función diferenciable f(x) con x ∈ Rn es cuasicóncava
(cuasiconvexa)
si ∀ x(1) ≠ x(2) ∈ X dominio de f
n ∂f
( 2)
(1)
∑
( xi − x i )
i =1 ∂xi x (1)
f ( x ( 2 ) ) ≥ f ( x (1) ) ⇒ n
≥0
∂f ( x ( 2) − x (1) )
i
i
∑
i =1 ∂xi x ( 2 )
Para la cuasiconcavidad y cuasiconvexidad estrictas la
desigualdad de la derecha tendrá que ser sustituída por la
desigualdad estricta > 0
7
Si la función es dos veces continuamente diferenciable, la
cuasiconcavidad y cuasiconvexidad , en el ortante no
negativo, pueden verificarse estudiando el signo de los
siguientes menores principales de la matriz hessiana :
0 f1 f2 .....fn
f1 f11 f12 ..... f1n
f2 f21 f22 ..... f2n
........................
fn fn1 fn2 ..... fnn
∆2 = 0 f1
f1 f11
∆3 =
0 f1 f2
f1 f11 f12
f2 f21 f22
......... ∆n =
0 f1 f2 .....fn
f1 f11 f12 ..... f1n
f2 f21 f22 ..... f2n
.........................
fn fn1 fn2 ..... fnn
Mientras la concavidad (convexidad) de una función sobre un
dominio convexo puede extenderse siempre a la concavidad
(convexidad) sobre el espacio total, con la cuasiconcavidad y
la cuasiconvexidad esto no es posible. Las condiciones que se
dan a continuación son las que exponen Kenneth J.Arrow y
8
Alain
C.
Enthoven
en
su
trabajo
Programación
Cuasicóncava, y son válidas en el ortante no negativo.
Condición necesaria de
Condición suficiente de
cuasiconcavidad cuasiconvexidad cuasiconcavidad cuasiconvexidad
∆2
≤0
≤0
<0
<0
∆3
≥0
≤0
>0
<0
∆4
≤0
≤0
<0
<0
∆5
≥0
≤0
>0
<0
∆i
≤ 0 si i es par
< 0 si i es par
≥ 0 si i es impar
> 0 si i es impar
∆n
≤0
<0
CONDICIONES DE KUHN-TUCKER
Un problema de programación no lineal suficientemente
general es el siguiente:
max. f(x1; x2;.......xn) s.a. g(1) (x1; x2;.......xn) ≤ c1
g(m) (x1; x2;.......xn) ≤ cm
(I)
9
El conjunto de vectores x ∈ Rn que verifican todas las
restricciones se llama conjunto admisible o factible
Cabe señalar que:
Minimizar f(x) es equivalente a maximizar -f(x)
La desigualdad de la forma gj(x) ≥ cj se
puede escribir
como -gj(x) ≤-cj
Una igualdad gj(x) = cj es equivalente a dos desigualdades
de la forma
g j ( x) ≤ c j
j
g ( x) ≥ c j
ó
g j ( x) ≤ c j
j
− g ( x) ≤ −c j
Así los problemas de optimización restringida se pueden
expresar, en general, de la forma (I).
Suponiendo que x* = (x*1; x*2;.....x*n) resuelve el problema (I),
entonces o bien gj(x*) < cj en cuyo caso se dice que la
restricción gj(x*) ≤ cj está inactiva o no saturada, o bien gj(x*) =
cj en cuyo caso se dice que la restricción gj(x*) ≤ cj está activa
o saturada en x*.
10
Cualificación de restricciones (C.R.)
Tienen como cometido eliminar situaciones anómalas que
provocan contraejemplos a las condiciones de Kuhn- Tucker.
Kuhn y Tucker plantearon para la demostración del teorema
condiciones que no son
sencillas de verificar.
2Pero
imponiendo algunas hipótesis adicionales a las funciones gj(x)
con 1 ≤ j ≤ m, se puede detectar rápidamente su vigencia por
conducto de criterios operativos, a saber:
Si todas las restricciones son funciones lineales, i.e
si cada gj(x)
con 1 ≤ j ≤ m
es lineal, se cumple la
cualificación de restricciones.
Si cada restricción es una función de clase C1 (función
diferenciable) y convexa, y existe un punto x*perteneciente
al conjunto factible en el cual todas las restricciones son
inactivas, i.e
gj(x*) < 0
con 1 ≤ j ≤ m
se cumple la cualificación de restricciones (condición de
Slater).
Para su enunciación ver, por ejemplo, Alpha Chiang; Fernandez Pol, Jorge
Eduardo; Uribe, Diego Escobar
2
11
Si
cada
función
de
restricción
es
diferenciable,
cuasiconvexa, existe un punto x* perteneciente al conjunto
factible tal que
gj(x*) < 0
con 1 ≤ j ≤ m
y si además para cada j
-
o bien gj(x) es convexa
-
o bien para cada x* perteneciente al conjunto
factible
→
∇ gj(x*) ≠ 0
3
entonces se cumple la cualificación de restricciones.
Las funciones gj(x)
con 1 ≤ j ≤ m correspondientes a las
restricciones que están activas en x* tienen gradiente en x*
que son linealmente independientes.
Es de destacar que esta condición es semejante a la condición
exigida al problema de optimización sujeta a condiciones de
igualdad4.
3 Sea f(x) con x ∈ Rn se llama gradiente de f al vector en el que las componentes
son las derivadas parciales de f , y evaluado en
x0
∂f ∂f
∂f
;.........
...
∇f ( x 0 ) = ;
∂x n x 0
∂x1 x 0 ∂x 2 x 0
ver condición de primer orden en optimización restringida en: “Condición de
segundo orden en la optimización libre y sujeto a restricciones de igualdad (Pag.21
y 22) presentado en las XIV Jornadas- Bernardello, Alicia y Vicario, Aldo.
Septiembre de 1999
4
12
La cualificación de restricciones es una restricción
impuesta a las restricciones aún cuando no es una limitación
concerniente al conjunto factible.
Es decir que dadas dos restricciones distintas entre sí, puede
ocurrir que a pesar de que ambas generan el mismo conjunto
factible, una satisface la cualificación y la otra no. Como por
ejemplo:
x1 ≥ 0
y
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
1-x1-x2 ≥ 0
x2 ≥ 0
g(1-x1-x2)3 ≥ 0
(1)
(2)
definen el mismo conjunto factible.
(1) satisface la C.R. (cualificación de restricciones) por ser las
restricciones lineales, pero
(2) por ejemplo en el punto x1 = ½ y x2 =1/2
− 3(1 − x1 − x 2 ) 2
0
= (linealmente dependiente)
∇g =
2
− 3(1 − x1 − x 2 ) (1 / 2;1 / 2) 0
no la satisface.
La función objetivo no tiene nada que ver con esta hipótesis
de regularidad denominada C.R.
13
No es necesario que se cumplan todas las condiciones arriba
expuestas, solo basta con una de ellas. Además estas no son
equivalentes entre sí.
Condiciones necesarias de Kuhn-Tucker
Suponiendo que x ( 0) = ( x1( 0) ; x 2( 0 ) ;........x n( 0 ) ) resuelve el problema
max. f ( x)
s. a. g j (x) ≤ c j con 1 ≤ j ≤ m ∧ x ∈ R n
no
estando
acotada la cantidad de restricciones y donde f(x) y gj(x) con
1 ≤ j ≤ m son funciones continuamente diferenciables.
Suponiendo
que
se
verifica
la
cualificación
de
las
restricciones. Entonces,existen unos únicos números λ1;
λ2;.........λm tales que
a)
∂f ( x ( 0 ) ) m
∂g j
− ∑λj
= 0 con 1 ≤ i ≤ n
∂xi
∂xi
j =1
b)
g j ( x ( 0) ) ≤ 0 ∧
λ j ≥ 0 ∧ λ j g j ( x ( 0) ) = 0 con 1 ≤ j ≤ m
Si se escribe la función de Lagrange
m
[
L( x; λ ) = f ( x) + ∑ λ j c j − g j ( x)
]
j =1
Las condiciones de Kuhn y Tucker se pueden expresar:
14
a)
b)
∂L
= 0 1≤ i ≤ n
∂xi
∂L
≥0
∂λ j
λj ≥ 0
λj
∂L
=0
∂λ j
1≤ j≤ m
(II)
Condiciones de no negatividad para las variables
Es frecuente que las variables que aparecen en los problemas
económicos de optimización sean no negativas por su propia
naturaleza.
Para introducir estas restricciones a la formulación (I), xi ≥ 0
se puede representar por gm+1(x) = -xi ≤ 0 y se introduce un
multiplicador de Lagrange adicional para ella.
Sin
embargo
para
no
tener
que
manejar
demasiados
multiplicadores de Lagrange, se formulan las condiciones
necesarias de solución de los problemas de programación no
lineal con restricciones de no negatividad de las variables de
una manera ligeramente distinta.
15
En efecto, considerando por ejemplo el siguiente problema:
max. f ( x, y ) s.a. g (1) ( x; y ) ≤ c ∧
x≥0
∧
y≥0
condiciones de no negatividad
introduciendo las funciones g(2)(x;y) = -x
y
g(3)(x,y) = -y
con lo que las restricciones quedarán:
g(1)(x;y) ≤ 0
g(2)(x;y) ≤ 0
g(3)(x;y) ≤ 0
entonces:
L(x; y; λ1; λ2; λ3) = f(x;y) + λ1 [c - g(1)(x;y)] + λ2 (0 + x) + λ3 (0 + y)
Las condiciones de Kuhn-Tucker son:
∂L ∂f
∂g (1)
=
− λ1
+ λ2 = 0
∂x ∂x
∂x
(a)
∂L ∂f
∂g (1)
=
− λ1
+ λ3 = 0
∂y ∂y
∂y
(b)
∂L
= c - g(1)(x;y) ≥ 0
∂λ1
16
λ1 ≥ 0
λ1 [c - g(1)(x;y)] = 0
(c)
∂L
=x ≥ 0
∂λ 2
λ2 ≥ 0
x λ2 = 0
(d)
λ3 ≥ 0
y λ3 = 0
(e)
∂L
=y ≥ 0
∂λ3
de (a) se obtiene
∂f
∂g (1)
− λ1
- λ2 =
∂x
∂x
(a1)
de (d)
λ2 ≥ 0
x λ2 = 0
(d1)
es decir que (a) y (d) equivalen conjuntamente a
∂f
∂g (1)
− λ1
≤0
∂x
∂x
y,
x ≥ 0 por condición de no negatividad
∂f
∂g (1)
− λ1
∂x
∂x
x = 0
por (a1) y (d1)
de (b)
- λ3 =
∂g (1)
∂f
− λ1
∂y
∂y
(b1)
17
de (e)
λ3 ≥ 0
y λ3 = 0
(e1)
es decir que (b) y (e) equivalen conjuntamente a
∂f
∂g (1)
≤0
− λ1
∂y
∂y
y,
y ≥ 0 por condición de no negatividad
∂f
∂g (1)
− λ1
∂y
∂y
y = 0
por (b1) y (e1)
Es decir que si se incluyen las condiciones de no negatividad
de las variables, las condiciones necesarias de Kuhn y Tucker
utilizando el Lagrangeano según (II) para el problema
max . f ( x)
→
s. a. g j (x) ≤ c j con 1 ≤ j ≤ m ∧ x ≥ 0 ∧ x ∈ R n
m
[
L = f ( x) + ∑ λ j c j − g j ( x)
]
j =1
serán:
suponiendo que x(0) ∈ Rn resuelve el problema siendo la
función
objetivo
continuamente
y
las
diferenciables
restricciones
y
suponiendo
funciones
que
se
verifica la cualificación de restricciones entonces existen
unos únicos números λ1; λ2;.........λm tales que
18
∂L
≤0
∂xi x ( 0 )
a)
∂L
∂λ j
b)
≥0
x
xi ≥ 0
xi
λj ≥ 0
λj
(0)
∂L
=0
∂xi x ( 0 )
∂L
∂λ j
=0
x
1≤ i ≤ n
con 1 ≤ j ≤ m
(0)
Condiciones suficientes de Kuhn-Tucker
Considerando el problema de programación no lineal
max. f (x)
→
s.a. g j (x) ≤ c j con1 ≤ j ≤ m ∧ x ≥ 0 ∧ x∈R n m > = ó <
n
donde la función objetivo y las restricciones son
continuamente diferenciables, f es cóncava
y las
restricciones son convexas. Suponiendo que existen λ j
con 1 ≤ j ≤ m
y un vector factible x(0) tales que:
a)
∂L
=0
∂xi x ( 0 )
b)
∂L
∂λ j
≥0
x(0)
1≤ i ≤ n
λj ≥ 0
λj
∂L
∂λ j
=0
con 1 ≤ j ≤ m
x(0)
19
Si se agregan las condiciones de no negatividad de las
variables a) sería:
∂L
≤0
∂xi x ( 0 )
xi ≥ 0
xi
∂L
=0
∂xi x ( 0 )
1≤ i ≤ n
Entonces x(0) resuelve el problema.
Si además se verifica la cualificación de restricciones las
condiciones son necesarias y suficientes, y si la función
objetivo es estrictamente cóncava se puede asegurar que el
máximo global es único
Observación:
Para minimizar basta utilizar lo indicado en consideraciones
previas es decir
min. f ( x)
→
s. a. g j (x) ≥ c j con 1 ≤ j ≤ m ∧ x ≥ 0 ∧ x ∈ R n
equivale a
max. - f ( x)
20
→
s. a. - g j (x) ≤ −c j con 1 ≤ j ≤ m ∧ x ≥ 0 ∧ x ∈ R n
Condiciones necesarias y suficientes en programación
cuasicóncava (Arrow- Enthoven)
Sea el problema
→
s. a. g j (x) ≤ c j con 1 ≤ j ≤ m ∧ x ≥ 0 ∧ x ∈ R n
max. f ( x)
donde
la
función
objetivo
y
las
restricciones
son
continuamente diferenciables. Suponiendo que existen
números λ j con 1 ≤ j ≤ m y un vector x(0) ∈ Rn tales que:
a) x(0) es factible y se verifican:
∂L
≤0
∂xi x ( 0 )
b)
∂L
∂λ j
c)
d)
≥0
x
xi ≥ 0
λj ≥ 0
xi
∂L
=0
∂xi x (0)
λ j ∂L
(0)
∂λ j
con 1 ≤ i ≤ n
=0
x
con 1 ≤ j ≤ m
(0)
f(x) es cuasicóncava y gj(x) es cuasiconvexa para 1 ≤ j
≤ m en el ortante no negativo
e) Se satisface una cualquiera de las siguientes:
e-i
∂f
< 0 para al menos una variable xi
∂xi x ( 0 )
e-ii ∂f
∂x
i
x(0 )
> 0 para alguna variable xi que pueda tomar
21
un valor positivo sin violar las restricciones (xi en este
caso es llamada en la literatura del tema como variable
relevante)5
→
e-iii ∇f ( x (0) ) ≠ 0 , y la función es dos veces diferenciable en
un entorno de x(0)
e-iv f(x) es cóncava
Entonces en x(0) la función se maximiza.
Es decir si además de verificarse a, b, c, d y e se satisface la
cualificación de restricciones, entonces las condiciones de
Kuhn y Tucker son necesarias y suficientes.
La cuasiconcavidad no implica que las condiciones de KuhnTucker sean suficientes para tener un máximo global. ArrowEnthoven dieron el siguiente ejemplo:
Max. f(x) = (x – 1)3
s.a. 2 – x ≥ 0 ∧
x≥0
Analizando f(x) = (x – 1)3 en el cuadrante positivo
5
dado el conjunto de restricciones C = {
g j (x) ≥ 0 con 1 ≤ j ≤ m ∧ x ∈ Ω n }
( Ω es el ortante no negativo de Rn) se dice que la variable xi es variable relevante si
n
existe un x en C tal que xi > 0
22
f’(x) = 3 (x – 1)2; f”(x) = 6 (x – 1) B =
0
3( x − 1) 2
3( x − 1) 2
6( x − 1)
= -9(x-
1)4 < 0
⇒ condición suficiente de cuasiconcavidad y la restricción es
lineal (cóncava entonces cuasicóncava)
L = (x – 1)3+ λ (2 – 2 x)
a)
∂L
= 3 (x – 1)2 – 2 λ ≤ 0
∂x
b)
∂L
= 2 – 2x ≥ 0
∂λ
x ≥0
λ≥0
x.[ 3 (x – 1)2 – 2 λ] = 0
λ (2 – 2x) = 0
En x = 1 y λ = 0 se cumple a) y b) y se cumple la cualificación
de restricciones ( la restricción es lineal) pero no se satisface
ninguna de las condiciones e. En efecto, al ser f’(1) = 0, no se
cumple ni e-i, ni e-ii, ni eiii, y como la función f no es cóncava
tampoco e-iv. El óptimo se encuentra en x = 2 y λ = 3 donde
se satisface a), b) y c) y e-ii o e-iii, es decir que las condiciones
de Kuhn y Tucker son necesarias y suficientes
23
Procedimiento para hallar todos los candidatos a óptimo
1- Hallar todos los puntos factibles donde se satisface la
cualificación de restricciones y las condiciones de Kuhn y
Tucker
2- Hallar todos los puntos factibles en los que la cualificación
de restricciones falla
Si se sabe que el problema tiene solución los pasos 1 y 2
darán todos los posibles candidatos a solución.
Después de evaluar f en todos esos candidatos, se pueden
tomar el (o los) que maximizan f
El paso 2 se debe realizar ya que para que las condiciones de
Kuhn
y
Tucker
sean
necesarias
se
debe
verificar
la
cualificación de restricciones, entonces x(0) puede ser una
solución del problema sin verificar las condiciones de Kuhn y
Tucker.
Es necesario evitar el error de que al encontrar un único
candidato a solución x(0) a partir de las condiciones de Kuhn y
Tucker
en
el
que
se
comprueba
la
cualificación
restricciones suponer que se alcanzó la solución ya que el
24
de
óptimo puede encontrarse en otros puntos factibles donde
falla la cualificación de restricciones.
Observación:
En
los
modelos
funciones
económicos
dependientes
de
aparecen
variables
frecuentemente
discretas
y,
en
consecuencia, no diferenciables.
Si un problema de programación no lineal resulta ser no
diferenciable, las técnicas expuestas hasta ahora no son
aplicables. Así, es necesario encontrar otros métodos que
faciliten la solución de este tipo de problemas, métodos que
también, por otra parte, son válidos para resolver problemas
diferenciables.
Para ello es necesario definir el punto silla del Lagrangeano y
ver su relación con la solución, tema que no trataremos en
este trabajo.
Caso en que las condiciones de Kuhn y Tucker son
necesarias pero un punto que las satisface no es el óptimo
Sea max. z = x2 + y2 – 8
s. a.
x ≤ 1 ; -y ≤ 0; x2 + y2 ≤ 4
L = x2 + y2 – 8 + λ1(1 – x) + λ2 y + λ3 (4- x2 – y2)
25
∂L
= 2 x - λ1 – 2 λ3 x = 0
∂x
∂L
= 2 y + λ2 – 2 λ3 y = 0
∂y
∂L
=1–x≥0
∂λ1
∂L
=y≥0
∂λ 2
λ1 ≥ 0
λ2 ≥ 0
∂L
= 4 – x2 – y2 ≥ 0
∂λ3
λ1 (1 – x) = 0
λ2 y = 0
λ3 ≥ 0
λ3 (4 – x2 – y2 ) = 0
El punto x = 1 y = 0 es regular ya que satura la 1° y la 2°
restricción y los gradientes ∇g(1)(1;0) = ( 1;0)
y
∇g(2)(1;0) =
(0; -1) son linealmente independientes, (verificala cualificación
de restricciones).
Además x = 1; y = 0; λ1 = 0; λ2 = 0; λ3 = 0 verifica las
condiciones de Kuhn y Tucker, pero si se toman puntos
próximos a éste por ejemplo (1; h) con h > 0 y pequeño, que
satisface las condiciones de Kuhn y Tucker, resulta que f(1;h)
= 1 + h2 – 8 = h2 – 7 pero f(1;0) = -7 por lo tanto f (1;h) ≥ f(1;0)
por lo que (1;0) no es máximo local.
26
Obsérvese que la función objetivo es convexa y no cóncava
como se exige para que las condiciones de Kuhn y Tucker
sean suficientes.
Caso
en
que
no
se
satisface
la
cualificación
de
restricciones por lo que las condiciones de Kuhn y Tucker
no son necesarias
Max. z = x y
s. a.
g(x;y) = (x + y – 2)2 ≤ 0
Como (x + y – 2)2 es no negativa, la restricción es equivalente
a x + y – 2 = 0. Entonces puede plantearse como un problema
de optimización sujeta a condiciones de igualdad. Es decir:
L = x y + λ (2 – x – y)
∂L
= y-λ=0
∂x
∂L
= x-λ=0
∂y
∂L
=2–x–y=0
∂λ
la solución de este sistema es x = 1; y = 1; λ = 1
27
Planteando las condiciones de Kuhn y Tucker para el
problema con la restricción original
L = x y + λ [-( x + y - 2)2]
∂L
= y – 2 λ (x + y - 2) = 0
∂x
∂L
= x – 2 λ (x + y - 2) = 0
∂y
∂L
= -(x + y - 2)2 ≥ 0
∂λ
λ≥0
En el óptimo del problema x = 1
- λ (x + y - 2)2 = 0
y = 1 se obtiene la
contradicción 1 = 0 en cada caso.
Nótese que el ∇g(1)(1;1) = (0;0) que no es un vector linealmente
independiente, es decir que (1;1) no es un punto regular. La
cualificación de restricciones falla en (1;1). Las condiciones de
Kuhn y Tucker fallan en (1;1) no obstante ser este punto el
máximo que resuelve el problema.
Por otro lado la función objetivo es cuasicóncava. En efecto
analizando
28
z = x y en el ortante positivo:
0
B = y
x
x
0 1 ;
1 0
y
0
y
y
= −y2 < 0
0
∀y > 0; |B| = 2 x y > 0
∀x,y > 0
la restricción g = ( x + y – 2)2 es convexa (cuasiconvexa)
En efecto su matriz hessiana
2 2
H =
2 2
2 > 0 y |H| = 0
es semidefinida positiva
Podría pensarse en utilizar el Teorema de Arrow- Enthoven
pero no se cumplen las condiciones de Kuhn y Tucker por lo
que no se puede emplear las condiciones suficientes.
Ejemplo de condiciones necesarias y suficientes
Max. f(x;y) = - 8 x2 – 10 y2 + 12 x y – 50 x + 80 y
s. a. g(1)(x;y) = x + y ≤ 1
g(2)(x;y) = 8 x + y2 ≤ 2
x ≥0;
y≥0
L = - 8 x2 – 10 y2 + 12 x y – 50 x + 80 y + λ1(1 – x - y) +
+ λ2 (2- 8 x2 – y2)
29
∂L
= - 16 x + 12 y – 50 - λ1 – 16 λ2 x ≤ 0
∂x
∂L
= -20 y + 12 x + 80 - λ1 – 2 λ2 y ≤ 0
∂y
x ≥0
x
∂L
=0
∂x
y≥0
y
∂L
=0
∂y
∂L
=1–x–y≥0
∂λ1
λ1 ≥ 0
λ1 (1 – x - y) = 0
∂L
= 2 – 8 x2 – y2 ≥ 0
∂λ 2
λ2 ≥ 0
λ2 (2 – 8 x2 – y2 ) = 0
La función objetivo es cóncava ya que la matriz hessiana
− 16 12
H =
12 − 20
-16 < 0
y
|H| > 0 es definida negativa
entonces la función es cóncava en sentido estricto
Las restricciones:
g(1) es lineal cóncava-convexa
g(2) es convexa (suma de funciones convexas)
se cumple la cualificación de restricciones ya que existe ( x ; y )
= (0,1 ; 0,1) admisible en el que:
30
g(1) (0,1 ; 0,1) < 0
(condición de Slater)
g(2) (0,1 ; 0,1) < 0
entonces las condiciones de Kuhn y Tucker son necesarias y
suficientes.
El punto que las satisface es x = 0; y = 1; λ1 = 60; λ2 = 0
En efecto
∂L
(0;1) = -98
∂x
x ≥0
x
∂L
=0
∂x
∂L
(0;1) = 0
∂y
y≥0
y
∂L
=0
∂y
z(0;1) = 70
Aplicación de las condiciones de Kuhn y Tucker al
problema
estandar
en
teoría
de
la
demanda
del
consumidor
Max. U(x)
s. a. p1x1 + p2x2 + p3x3 +.............+pnxn ≤ I
donde U es la función utilidad
31
x ∈ Xn espacio de bienes definido en Ωn ⊂ Rn
pi es el precio del bien xi
1≤i≤n
pi > 0
I es el ingreso del consumidor
Suponiendo
que
U
es
continuamente
diferenciable
y
cuasicóncava. Las condiciones de Kuhn y Tucker son:
L = U(x) + λ ( I - p1x1 - p2x2 - p3x3 -.............-pnxn)
a)
∂L ∂U
=
− λpi ≤ 0
∂xi ∂xi
b)
n
∂L
= I − ∑ pi xi ≥ 0
∂λ
i =1
xi ≥ 0
λ≥0
∂U
xi
− λpi = 0 con 1 ≤ i ≤ n
∂xi
n
i =1
λ I − ∑ p i xi = 0
Suponiendo que x(0) ∈ Xn verifica a) y b) y suponiendo que no
todas las
∂U
son cero, o sea que se supone que para algún
∂xi x ( 0 )
bien no existe saciedad, (condición e-iv de Arrow-Enthoven), y
teniendo en cuenta que la función objetivo es cuasicóncava y
la restricción es lineal, se dan las condiciones suficientes de
óptimo.
32
n
Entonces a) implica que λ > 0 y así ∑ pi xi = I por b). Por lo
i =1
tanto, se gasta todo el presupuesto y x(0) ∈ Xn resuelve el
problema
Utilización en programación lineal
Suponiendo el problema:
w;x ∈ Rn
Min. wTx
s.a. A x ≥ b
x ≥ 0 A ∈ Rmxn b ∈ Rm
que se convierte en el problema:
Max. - wTx
Rmxn
w;x ∈ Rn
s.a.
-Ax≤-b
x≥0
A∈
b ∈ Rm
L = - wTx + λT (- b + A x )
En este problema se dan las condiciones necesarias y
suficientes de Kuhn y Tucker pues la función objetivo es
lineal y las restricciones también:
a)
∂L
= - wT + λT A ≤ 0
∂x
→
x ≥ 0
ó
b)
∂L
=-b+Ax ≥0
∂λ
→
λ ≥ 0
- wTx + λT A x = 0
wTx = xT AT λ
(1)
λT (- b + A x) = 0
ó bT λ = xT AT λ
(2)
33
Suponiendo que existe un vector y ∈ Ωn tal que:
ATy ≤ w (3)
⇒ xT AT y ≤ xT w (4)
bT y - bT λ = bT y - xT AT λ
de (2)
bT y - bT λ ≤ xT AT y - xT AT λ ≤ 0
ya que de (1) xT AT λ = wTx = xT w
y de (4) xT AT y ≤ xT w
Es decir
xT (AT y - AT λ) ≤ 0
Por lo tanto bTy toma su máximo bajo (3) en y = λ
Y además vale
bT y = bT λ = xT AT λ = wTx
Se concluye entonces que si Min. wTx s.a. A x ≥ b x ≥ 0
tiene solución, entonces Max. bT y s.a. A y ≤ w tiene solución
y los valores mínimo y máximo de las funciones objetivos
coinciden (Teorema débil de la dualidad)
34
Programación cuadrática
Consideremos el caso de maximizar una forma cuadrática
(como función objetivo) sujeta a restricciones lineales:
Máx. f(x) = cT x – ½ xT Q x s.a. g(j)(x) ≤ bj que equivale a A x ≤
b (por ser
restricciones
lineales) ∧ x ≥ 0
donde:
c1
x1
b1
a11.............a1n
q11.........q1n
c2
x2
b2
a21.............a2n
q21.........q2n
c=
x=
cn
b=
xn
A=
bm
Q=
am1............amn
qn1.........qnn
la matriz Q es simétrica semidefinida positiva, lo que asegura
que la función objetivo sea una función cóncava6.
Las condiciones de Kuhn y Tucker son necesarias y
suficientes
cuando
en
el
problema
de
programación
matemática se maximiza una función cóncava y la región de
factibilidad es un conjunto convexo, como en este caso.
6
ver Anexo II
35
Algoritmo de Wolfe
Consiste en aplicar las condiciones de Kuhn y Tucker al
problema
de
programación
cuadrática,
reduciendo
el
problema a otro de programación lineal.
∇ (cT x – ½ xT Q x) -
m
∑ ∇g
j =1
( j)
λ j + β = 0 (1)
→
→
β≥0
xi ≥ 0
b- A x ≥ 0
(2)
βx = 0
→
λ (b - Ax) = 0
λj ≥ 0
(2’)
siendo
β1
0
β =
#
0
0
β2
#
0
0
..... 0
..... #
..... β n
λ1
0
λ=
#
0
.....
y
como ∇ (cT x – ½ xT Q x) = c – Q x
y
0
..... 0
..... #
..... λ n
0
.....
λ2
#
0
m
∑ ∇g
j =1
( j)
λ j = ATλ
sustituyendo en (1)
c – Q x – AT λ + β = 0
de (2) A x ≤ b
⇒ Q x + AT λ - β = c
que puede ser expresada como igualdad
utilizando un conjunto de variables de holgura (slacks)
36
s1
s
s= 2
#
sm
Ax+s=b
→
siendo λ s = 0
por (2’)
Analizando esta última relación:
λ>0
⇒
s=0 ⇒ Ax=b
λ =0
⇒
s≥0 ⇒ Ax≥b
Entonces las condiciones quedan:
Q x + AT λ - β = c (5)
xi ≥ 0
Ax+s=b
El
sistema
→
→
β≥0
βx = 0
λj ≥ 0
λ s=0
anterior
→
puede
ser
resuelto
(3)
s≥0
(4)
utilizando
programación lineal, lo que es básicamente el algoritmo de
Wolfe
Destaquemos que por (3) xi y βj no deben formar parte de la
solución factible básica al mismo tiempo, y que por (4) λj y sj
37
tampoco deben formar parte de la solución factible básica al
mismo tiempo.
La solución factible básica inicial no se obtiene fácilmente.
Sin
embargo,
si
definimos
un
conjunto
de
variables
artificiales zi con 1 ≤ i ≤ n y si definimos una matriz.
c1
0
C=
#
0
0
c2
#
0
0
..... 0
..... #
..... c n
.....
podemos reestructurar la ecuación (5) de la siguiente forma:
Q x + AT λ - β + C z = c
Destaquemos que la solución factible básica inicial será
entonces zi = 1.
Como las variables zi son variables artificiales podemos crear
una función objetivo que las incluya y como las queremos
eliminar de nuestra solución factible básica inicial, entonces
minimizaremos dicha función.
Entonces nuestro problema quedará definido de la siguiente
manera:
38
Min
W =
n
∑z
i =1
xi ≥ 0
→
→
βx = 0
β≥0
A
λj ≥ 0
Q x + AT λ - β + C z = c
s.a.
i
→
λ s=0
x
+
s
=
b
s.a.
8
s≥0
Ejemplo:
Max. f(x) = 10 x1 + 20 x2 + x1 x2 – 2 x12 – 2 x22
– x2 ≥ 0
0 –
x1 – x2 ≥ 0
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
en forma matricial:
x
max. f(x) = [10 20] 1 x2
½ [x1
4 − 1 x1
0 1 x1 8
x2 ]
s.a.
≤
− 1 4 x 2
1 1 x 2 10
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Aplicando el algoritmo de Wolfe se reduce a resolver:
39
z
Min. W = [1 1] 1
z2
4 − 1 x1
− 1 4 x +
2
s.a.:
0 1 λ1 β 1
10 0
1 1 λ - β + 0 20
2 2
z1
10
z = 20
2
0 1 x1 s1 8
1 1 x + s = 10
2 2
s
[λ1
λ2 ] 1 = 0
s
[β 1
β2 ] 1 = 0
x
2
x
2
Que se puede resolver mediante el método simplex teniendo
en cuenta durante la resolución que λi y si no pueden formar
parte simultáneamente de la base y que βi
y
xi tampoco
pueden formar parte simultáneamente de la base.
Problema de selección de la cartera de valores
Bajo ciertos supuestos sobre el comportamiento del inversor
Markowitz7 supuso que la función de utilidad del individuo es
U=f[E(RP);σ(RP)]
con
7
∂U
>0
∂E (RP )
y
∂U
>0
∂σ (RP )
Markowitz, Portfolio Selection, marzo de 1952 reproducido en Teoría de la Financiación
de la Empresa recopilación de J. Fred Weston y Donald H. Woods, editorial Gustavo Gilli
S.A., Barcelona, 1970
40
donde:
E(RP) es el valor esperado de la rentabilidad del portafolio
σ( RP) es el desvío estandar de la rentabilidad del portafolio
Y suponiendo que cuenta con P unidades monetarias para
invertir en un conjunto de n acciones desea saber cuánto le
conviene invertir en cada acción (wi = proporción de P
invertida en la acción i)
Entonces se plantea el problema:
min V(R P )
n
s.a. E(R P ) = ∑ wi Ri
i =1
con wi ≥ 0
Donde V(RP) = [w1
n
∧ ∑ wi = 1
i =1
1≤i≤n ∧ i∈N
w2 " wn ]
σ 11 σ 12 " σ 1n w1
σ
21 σ 22 " σ 2 n w2
#
#
# #
σ n1 σ n 2 " σ nn wn
Donde σ ij es la covarianza del rendimiento de la acción i con
la j ( si i = j σ ii es la varianza de la acción i).
41
Se puede demostrar que la función V(RP) es semidefinida
positiva (concepto amplio) y al ser las restricciones lineales se
puede resolver por programación cuadrática.
Haciendo depender el valor de la función objetivo de E*(RP) y
aplicando lo demostrado en Anexo I y considerando que al ser
V(RP) convexa8 y la restricción E(RP)
cóncava (por ser una
función lineal),
v[E(R p )] = MinV ( R p ) tal que∑ wi Ri = E * ( RP ), con
con wi ≥ 0
n
∑w
i =1
i
= 1
1≤i≤n ∧ i∈N
E ∗ ( RP )
*
el valor óptimo v[E (RP)] de
1
que asigna a cada vector
V(RP), será convexa.
Obteniéndose la frontera eficiente en el espacio E(RP); σ( RP),
donde:
σ( RP) =
8
V ( RP )
9
ver Anexo II
v[E(RP)] es no decreciente en la variable E(RP), ya que si ésta crece (baja) y la otra
restricción permanece fija, la exigencia de una mayor rentabilidad del portafolio, hará que
el riesgo medido por v[E(RP)] aumente (disminuya)
42
9
Gráficamente:
σ( RP)
E(RP)
o como más frecuentemente se presenta
E(RP)
σ( RP)
Observación:
El problema de selección de la cartera de valores, si se levanta
el supuesto de que las ponderaciones sean no negativas (wi ≥
0) lo que implica desde el punto de vista financiero aceptar
“venta descubierta” (en inglés: “short sale”)10, se puede
10
significa venta de un título del cual no se es propietario
43
resolver por optimización clásica (Maximización sujeta a
restricciones de igualdad)11
ANEXO I
Propiedades de la función valor:
El valor de la función objetivo f(x) depende de c = (c1; c2;
c3;.....;cm)
La función definida por: v(c) = max { f(x) sujeta a gj(x) ≤ cj con
1 ≤ j ≤ m ∧ j ∈ N ∧ x ∈ Rn}
asigna a cada vector c el valor óptimo v(c) de f y se llama
función valor para el problema.
Si f(x) es cóncava y g(1)(x); g(2)(x);.......... g(m)(x) son todas
convexas entonces v(c) es cóncava.
En efecto, designemos con x(c) a una solución óptima del
problema cuando el vector de los miembros de la derecha
de las desigualdades es c = (c1; c2; c3;.....;cm).
11
Para un tratamiento del tema ver “Selección de Inversiones” Messuti y otros cap 5 y 12
44
Sean c(1) y c(2) dos vectores arbitrarios de miembros de la
derecha, entonces:
v(c(1)) = f[x(c(1))]
con gj[x(c(1))] ≤ cj y
y
v(c(2)) = f[x(c(2))],
gj[x(c(2))] ≤ cj
con 1 ≤ j ≤ m ∧ j ∈ N
y sea λ ∈ [0; 1] correspondiente al vector ( 1 -λ) c(1) + λ c(2) hay
una solución óptima x[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)] para la cual
v[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)] = f { x[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)]}
Anotando x = ( 1 -λ) x(c(1)) + λ x(c(1))
La convexidad de gj implica que para 1 ≤ j ≤ m ∧ j ∈ N
gj(x) ≤ ( 1 -λ) gj [x(c(1))] + λ gj [x(c(2))] ≤ ( 1 -λ) cj(1) + λ cj(2)
donde la última desigualdad se deduce del hecho de que los
dos vectores x(c(1)) y x(c(2)) sean factibles.
Así x es factible para el problema cuyo miembro de la derecha
es el vector
( 1 -λ) c(1) + λ c(2) .
45
x = [( 1 -λ) c(1) + λ c(2)]
Por definición
es óptimo de este
problema. Por lo tanto:
f(x) ≤ f{x[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)]} = v[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)]
(a)
además la concavidad de f implica que
f(x) ≥ ( 1 -λ) f [x(c(1))] + λ f [x(c(2))] = ( 1 -λ) v(c(1)) + λ v(c(2))
(b)
de (a) y (b) se deduce que:
v[( 1 -λ) c(1) + λ c(2)] ≥ ( 1 -λ) v(c(1)) + λ v(c(2))
que responde a la definición de concavidad de v.
Para
v(c)
=
min
{
f(x)
sujeta
a
gj(x)
≤
cj
con 1 ≤ j ≤ m ∧ j ∈ N ∧ x ∈ Rn}
con f(x) convexa y g1(x); g2(x);..........gm(x) todas cóncavas, de
forma similar, se puede demostrar que la función valor v(c) es
convexa.
•
v(c) es no decreciente en cada variable cj con 1 ≤ j ≤ m ya
que si cj crece y todas las otras variables están fijas, el
conjunto factible se agranda. Por lo tanto v(c) no puede
decrecer
46
ANEXO II
Una forma cuadrática semidefinida positiva (negativa), es una
función convexa (cóncava) sobre Rn.
Se demostrará esta propiedad para una forma cuadrática
semidefinida positiva.
Sea f(x) = xT A x ≥ 0 para todo x distinto del vector nulo con
x∈ Rn y nAn simétrica.
Tomando dos puntos cualesquiera x(1) y x(2) y sea z = [( 1 -λ)
x(1) + λ x(2)]
con λ ∈ [0; 1] .
Por definición de función convexa hay que demostrar que:
zT A z ≤ ( 1 -λ) x(1)T A x(1) + λ x(2)TA x(2)
por definición de z
zT A z = [( 1 -λ) x(1) + λ x(2)]T A [( 1 -λ) x(1) + λ x(2)]
zT A z = [( 1 -λ) x(1) A + λ x(2) A]T [( 1 -λ) x(1) + λ x(2)]
zT A z = λ2 x(2)TA x(2)+ (1 -λ) λ x(1)TA x(2) + λ x(2)TA (1 -λ) x(1) +
+ (1 -λ)2 x(1)T A x(1)
47
zT A z = λ2 x(2)TA x(2) + λ x(1)TA x(2) - λ2 x(1)TA x(2) + λ x(2)TA x(1) - λ2 x(2)TA x(1) + x(1)TA x(1) - 2λ x(1)T A x(1) + λ2 x(1)TA x(1)
aplicando x(1)TA x(2) = [x(1)TA x(2)]T = x(2)TA x(1) en
el 4° término (♣)
zT A z = λ2 x(2)TA x(2) + λ x(1)TA x(2) - λ2 x(1)TA x(2) + λ x(1)TA x(2) - λ2 x(2)TA x(1) + x(1)T A x(1) - 2λ x(1)T A x(1) + λ2 x(1)TA x(1)
sumando el 2° y el 4° término
zT A z = λ2 x(2)TA x(2) + 2 λ x(1)TA x(2) - λ2 x(1)TA x(2) - λ2 x(2)TA x(1)
+ x(1)T A x(1)- 2λ x(1)T A x(1) + λ2 x(1)TA x(1)
zT A z = λ2 (x(2)TA x(2) - x(1)TA x(2) - x(2)TA x(1) + x(1)TA x(1)) +
+ 2 λ (x(1)TA x(2) - x(1)T A x(1)) + x(1)T A x(1)
zT A z = λ2 (x(2) - x(1))TA x(2) – (x(2) - x(1))TA x(1)) +
+ 2 λ x(1)TA (x(2)- x(1)) + x(1)T A x(1)
zT A z = λ2 (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1)) + 2 λ x(1)TA (x(2) - x(1)) +
+ x(1)T A x(1)
48
aplicando la propiedad (♣) en el 2° término
zT A z = λ2 (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1)) + 2 λ (x(2) - x(1))T A x(1) +
+ x(1)T A x(1)
como λ ∈ [0; 1] y xT A x ≥ 0 se deduce que
λ (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1)) ≥ λ2 (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1))
Entonces :
zT A z ≤ λ (x(2) - x(1))TA (x(2) – x(1)) + 2 λ (x(2) - x(1))T A x(1) +
+ x(1)T A x(1)
zT A z ≤ (λ x(2)T A - λ x(1)TA) (x(2) – x(1))+ 2 λ x(2)T A x(1)- 2λx(1)T A x(1) + x(1)T A x(1)
zT A z ≤ λ x(2)T A x(2) - λ x(2)T A x(1) - λ x(1)TA x(2) + λ x(1)TA x(1)+
+2λ x(2)T A x(1)
-
2 λ x(1)T A x(1) + x(1)T A x(1)
aplicando la propiedad (♣) en el 3° término:
zT A z ≤ λ x(2)T A x(2) - λ x(2)T A x(1) - λ x(2)TA x(1) + λ x(1)TA x(1) +
+ 2 λ x(2)T A x(1) - 2 λ x(1)T A x(1) + x(1)T A x(1)
49
cancelando 2°, 3° y 5° términos y sumando 4° y 6° términos
zT A z ≤ λ x(2)T A x(2) - λ x(1)T A x(1) + x(1)T A x(1)
zT A z ≤ λ x(2)T A x(2) + (1- λ) x(1)T A x(1)
que es lo que se quería demostrar.
El razonamiento para una forma cuadrática semidefinida
negativa es análogo.
50
Función convexa
Sea f : X → R con X ⊂ Rn convexo, f es una función convexa
⇔ ∀ x(1); x(2) ∈ X ∧ λ ∈ [0; 1]:
f[λx(1)+(1 - λ)x(2)] ≤ λ f(x(1)) + (1 - λ) f(x(2))
f es estrictamente convexa ⇔ ∀ x(1); x(2) ∈ X ∧ λ ∈ [0; 1]
f[λx(1)+(1 - λ)x(2)] < λ f(x(1)) + (1 - λ) f(x(2))
Función cóncava
Sea f : X → R con X ⊂ Rn convexo, f es una función cóncava
⇔ ∀ x(1); x(2) ∈ X ∧ λ ∈ [0; 1]:
f[λ x(1)+(1 - λ)x(2) ] ≥ λ f(x(1))+(1 - λ) f(x(2))
f es estrictamente cóncava ⇔ ∀ x(1); x(2) ∈ X ∧ λ ∈ [0; 1]:
f[λx(1)+(1 - λ) x(2) ] > λ f(x(1))+(1 - λ) f(x(2))
Funciones cuasicóncavas- cuasiconvexas
Una función f es cuasicóncava (cuasiconvexa) si, ∀ x(1) ≠ x(2) ∈
X dominio convexo de f ∧ λ ∈ [0; 1]:
≥ f (x(1) )
f (x ) ≥ f (x ) ⇒ f λ.x + (1− λ)).x
(2)
≤ f (x )
(2)
(1)
[
(1)
(2)
]
Y lo será de manera estricta si las dos desigualdades débiles
de la derecha se sustituyen por desigualdades estrictas
> f (x(1))
< f (x(2))
51
Una función diferenciable f(x) con x ∈ Rn es cuasicóncava
(cuasiconvexa)
si ∀ x(1) ≠ x(2) ∈ X dominio de f:
n ∂f
( 2)
(1)
(
)
x
x
−
∑
i
i
i =1 ∂xi x (1)
( 2)
(1)
f (x ) ≥ f (x ) ⇒ n
≥0
f
∂
(
2
)
(
1
)
( xi − xi )
∑
x
∂
i =1 i x ( 2 )
Para la cuasiconcavidad y cuasiconvexidad estrictas la
desigualdad de la derecha tendrá que ser sustituída por la
desigualdad estricta “ > 0 ”
Si la función es dos veces continuamente diferenciable, la
cuasiconcavidad y cuasiconvexidad, en el ortante no negativo,
pueden verificarse estudiando el signo de los siguientes
menores principales de la matriz hessiana :
0 f1 f2 .....fn
f1 f11 f12 ..... f1n
f2 f21 f22 ..... f2n
........................
fn fn1 fn2 ..... fnn
52
∆2 = 0 f1
∆3= 0 f1 f2
f1 f11
f1 f11 f12
f1 f11 f12 ..f1n
f2 f21 f22
f2 f21 f22..f2n
...
∆n =
0 f1 f2 ...fn
....................
fn fn1 fn2.. fnn
Condiciones de Arrow-Enthoven
Son válidas en el ortante no negativo.
Condición necesaria
cuasiconcavidad
cuasiconvexidad
Condición suficiente
cuasiconca-
cuasicon-
vidad
vexidad
∆2
≤0
≤0
∆3
≥0
≤0
>0
<0
∆4
≤0
≤0
<0
<0
∆5
≥0
≤0
>0
<0
∆i
≤0
<0
<0
si i es par
si i es par
≥0
>0
si i es impar
∆n
<0
si i es impar
≤0
<0
53
Cualificación de restricciones (C.R.)
La C.R. se cumple:
Si todas las restricciones son funciones lineales
Si cada restricción es una función diferenciable y convexa,
y existe un punto x* perteneciente al conjunto factible en el
cual todas las restricciones son inactivas:
gj(x*) < 0 con 1 ≤ j ≤ m
Si
cada
función
(condición de Slater)
de
restricción
es
diferenciable,
cuasiconvexa, existe un punto x* perteneciente al conjunto
factible tal que
gj(x*) < 0
con 1 ≤ j ≤ m
y si además para cada j
-
o bien gj(x) es convexa
-
o bien para cada x*
→
∇ gj(x*) ≠ 0
entonces se cumple la C.R.
Las funciones gj(x) correspondientes a las restricciones que
están activas en x* tienen gradientes en x* que son
linealmente independientes.
La cualificación de restricciones es una restricción impuesta a
las
restricciones
aún
cuando
concerniente al conjunto factible.
54
no
es
una
limitación
Condiciones necesarias de Kuhn-Tucker
Suponiendo
x ( 0 ) = ( x 1( 0 ) ; x 2( 0 ) ;........ x n( 0 ) )
que
resuelve
el
problema:
max. f (x)
s.a. g j (x)≤ cj con1 ≤ j ≤ m ∧ x∈Rn
no estando acotada la cantidad de restricciones y donde f(x) y
gj(x) son funciones continuamente diferenciables. Suponiendo
que se verifica la C.R. Entonces,existen unos únicos números
λ1; λ2; ......... λm tales que:
a)
∂f ( x ( 0 ) ) m
∂g j
− ∑λj
= 0 con 1 ≤ i ≤ n
∂xi
∂xi
j =1
b)
gj (x(0)) ≤0 ∧ λj ≥0 ∧ λj gj (x(0)) =0 con1≤ j ≤m
Si se incluyen las condiciones de no negatividad
max. f (x)
→
s.a. gj(x)≤ cj con 1≤ j ≤ m ∧ x≥ 0 ∧ x∈Rn
m
[
L = f ( x) + ∑ λ j c j − g j ( x)
]
j =1
Serán:
Suponiendo que x(0) ∈ Rn resuelve el problema siendo la función
objetivo
y
las
restricciones
funciones
continuamente
diferenciables y suponiendo que se verifica la cualificación de
restricciones
entonces
existen
unos
únicos
números
λ1;
λ2;.........λm tales que
55
a)
∂L
≤0
∂xi x ( 0 )
xi ≥ 0
b)
∂L
≥0
∂λ j ( 0 )
x
λj ≥ 0
xi
∂L
=0
∂xi x ( 0 )
λj
∂L
=0
∂λ j ( 0 )
x
Condiciones suficientes de Kuhn y Tucker
Considerando el problema de programación no lineal
max. f (x)
Donde
la
s.a. g j (x) ≤ c j
función
→
con 1 ≤ j ≤ m ∧ x ≥ 0 ∧ x∈Rn
objetivo
y
las
restricciones
son
continuamente diferenciables, f es cóncava y las restricciones
son convexas. Suponiendo que existen
λj
Y un vector factible x(0) tales que:
a)
∂L
=0
∂xi x ( 0 )
b)
∂L
∂λ j
56
≥0
x
(0)
1≤ i ≤ n
λj ≥ 0
λj
∂L
∂λ j
=0
x
(0)
con 1 ≤ j ≤ m
Si se agregan las condiciones de no negatividad
a)
∂L
≤0
∂xi x ( 0 )
xi ≥ 0
xi
∂L
=0
∂xi x ( 0 )
Entonces x(0) resuelve el problema.
Si además se verifica la C.R. las condiciones son necesarias y
suficientes,
y si la función objetivo es estrictamente cóncava se puede
asegurar que el máximo global es único.
Condiciones necesarias y suficientes en programación
cuasicóncava (Arrow- Enthoven)
Sea el problema
max. f ( x)
Donde
la
→
s. a. g j (x) ≤ c j con 1 ≤ j ≤ m ∧ x ≥ 0 ∧ x ∈ R n
función
continuamente
objetivo
diferenciables.
y
las
restricciones
Suponiendo
que
son
existen
números λ j y un vector x(0) ∈ Rn tales que:
57
a)
x(0) es factible y se verifican:
b)
∂L
≤0
∂xi x ( 0 )
∂L
∂λ j
c)
d)
xi ≥ 0
λj ≥ 0
≥0
x( 0)
xi
∂L
=0
∂xi x (0)
λj
∂L
=0
∂λ j ( 0 )
x
f(x) es cuasicóncava y gj(x) es cuasiconvexa en el ortante
no negativo
e) Se satisface una cualquiera de las siguientes:
e-i
∂f
< 0 para al menos una variable xi
∂xi x ( 0 )
e-ii
∂f
> 0 para alguna variable xi que pueda tomar un
∂xi x ( 0 )
valor positivo sin violar las restricciones (xi en este caso es
llamada en la literatura del tema como variable relevante).
e-iii ∇f ( x
(0)
→
) ≠ 0 , y la función es dos veces diferenciable en
un entorno de x(0)
e-iv f(x) es cóncava
Entonces en x(0) la función se maximiza.
58
Es decir si además de verificarse a, b, c, d y e se satisface la
C.R., entonces las condiciones de Kuhn y Tucker son
necesarias y suficientes.
Problema
estandar
en
teoría
de
la
demanda
del
consumidor
Max.U(x) s. a. p1x1 + p2x2 + p3x3 +......+pnxn ≤ I
Suponiendo
que
U
es
continuamente
diferenciable
y
cuasicóncava. Las condiciones de Kuhn y Tucker son:
L = U(x) + λ ( I - p1x1 - p2x2 - p3x3 -.............-pnxn)
a)
∂L ∂U
=
− λp i ≤ 0
∂xi ∂xi
b)
n
∂L
= I − ∑ p i xi ≥ 0
∂λ
i =1
xi ≥ 0
λ≥0
xi ∂U − λpi = 0
∂xi
n
i =1
λ I − ∑ p i xi = 0
Suponiendo que x(0) ∈ Xn verifica a) y b) y suponiendo que no
todas las
∂U
son cero, o sea que se supone que para algún
∂xi x ( 0 )
bien no existe saciedad, (condición e-iv de Arrow-Enthoven), y
teniendo en cuenta que la función objetivo es cuasicóncava y
59
la restricción es lineal, se dan las condiciones suficientes de
óptimo.
n
Entonces a) implica que λ > 0 y así
∑px
i
i =1
i
= I por b).
Por lo tanto, se gasta todo el presupuesto y x(0) ∈ Xn resuelve
el problema.
Programación cuadrática:
Máx. f(x) = cT x – ½ xT Q x
s.a. g(j)(x) ≤ bj
que equivale a A x ≤ b (por ser restricciones lineales) ∧ x ≥ 0
donde:
c1
x1
b1
a11.............a1n
q11.........q1n
c2
x2
b2
a21.............a2n
q21........q2n
c=
x=
cn
b=
xn
A=
bm
Q=
am1............amn
qn1........qnn
la matriz Q es simétrica semidefinida positiva, lo que asegura
que la función objetivo sea una función cóncava
Las condiciones de Kuhn y Tucker son necesarias y
suficientes
60
cuando
en
el
problema
de
programación
matemática se maximiza una función cóncava y la región
de factibilidad es un conjunto convexo, como en este caso.
Algoritmo de Wolfe
Consiste en aplicar las condiciones de Kuhn y Tucker al
problema
de
programación
cuadrática,
reduciendo
el
problema a otro de programación lineal.
En el proceso
Ax+s=b
→
siendo λ s = 0
Analizando esta última relación:
λ>0
⇒
s=0 ⇒ Ax=b
λ =0
⇒
s≥0 ⇒ Ax≥b
Entonces nuestro problema quedará definido de la siguiente
manera:
n
Min W =
∑z
i =1
s.a. Q x + AT λ - β + C z = c xi ≥ 0
→
λj ≥ 0 λ s = 0
i
→
βx = 0
→
β≥0
A x + s =b
s≥0
61
Destaquemos que por (3) xi y βj no deben formar parte de la
solución factible básica al mismo tiempo, y que por (4) λj y sj
tampoco deben formar parte de la solución factible básica al
mismo tiempo.
Problema de selección de la cartera de valores
Bajo ciertos supuestos sobre el comportamiento del inversor
Markowitz supuso que la función de utilidad del individuo es
U = f [E(RP);σ( RP)]
con
∂U
>0
∂E (R P )
∂U
>0
∂σ (RP )
y
Entonces se plantea el problema
n
min V(R P )
con wi ≥ 0
s.a. E(R P ) = ∑ wi Ri
i =1
n
∧ ∑ wi = 1
i =1
1≤i≤n ∧ i∈N
Donde
V(RP) = [w1
62
w2 " wn ]
σ 11 σ 12 " σ 1n w1
σ
21 σ 22 " σ 2 n w2
#
#
# #
σ n1 σ n 2 " σ nn wn
Se puede demostrar que la función V(RP) es semidefinida
positiva (concepto amplio) y al ser las restricciones lineales se
puede resolver por programación cuadrática.
y se obtienen los wi que se reemplazan en la función objetivo
para calcular V ( RP ) min
y también σ(RP)min =
V ( RP ) min (riesgo mínimo)
n
y en E(R P ) min = ∑ wi Ri
(el valor esperado del rendimiento
i =1
cuando el riesgo es mínimo)
Esto proporciona el punto [σ(RP)min; E(RP)min] en el gráfico
E(RP)
E(RP)min
σ(RP)min
σ(RP)
Ahora planteamos el problema de hallar
Min. V(RP)
63
n
s.a.
∑w R
i =1
i
n
i
= E*(RP) ∧ ∑ wi = 1
con wi ≥ 0
i =1
Con el parámetro E*(RP) > E(RP)min
Obteniéndose los wi correspondientes a cada valor de E*(RP),
que se reemplazan en la función objetivo para calcular los
respectivos V ( R P ) y también los respectivos σ(RP) =
V ( RP ) .
Esto proporciona otros puntos [σ(RP); E(RP)] en el gráfico que
conforman la frontera eficiente
E(RP)
E(RP)5
E(RP)4
E(RP)3
E(RP)2
E(RP)1
E(RP)min
σ(RP)
σ(RP)min σ1(RP) σ2(RP) σ3(RP) σ4(RP) σ5(RP)
64
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