Leyes de Bernoulli

Tema: Fluidos
Eje temático: Física. Mecánica - Fluidos
Contenido: Leyes de Bernoulli; Roce y velocidad límite; Presión
sanguínea.
Hidrodinámica
En este capítulo estudiaremos lo que sucede cuando los fluidos se mueven
en relación a un conducto y cuando un objeto se mueve en relación a ellos.
El personaje central de esta apasionante historia es Daniel Bernoulli, cuyo
perfil podemos ver en el recuadro de la figura 80.
Las leyes de Bernoulli
A continuación se propone una serie de observaciones y experimentos
simples de realizar.
a) Al soplar por encima de una hoja de papel dispuesto horizontalmente
bajo la boca, como se indica en la figura 81, el papel se levanta. Una
variante de este experimento consiste en soplar por el espacio que hay
entre dos globos ligeramente separados. Como lo indica la figura 82, los
globos se juntan.
b) Si se sopla por una pajilla doblada sobre una abertura de modo que
funcione como atomizador, tal como se ilustra en la figura 83, el agua
asciende por la pajilla vertical inmersa en ella.
c) Si se afirma con un dedo una pelota de pimpón en un embudo
(preferiblemente transparente) y justo cuando soples fuertemente por el
vástago del embudo se saca el dedo, la pelotita, en vez de caer, se
mantiene dentro del embudo, como muestra la figura 84.
d) Con un secador de pelo se puede mantener flotando en el aire una
pelotita de pimpón del modo que se ilustra en la figura 85. Cuando la pelota
está en equilibrio, al mover el chorro de aire de un lado a otro, la pelota
sigue al chorro y continúa en equilibrio. Si se inclina un poco el chorro de
aire, constatarás que tampoco cae.
e) Cuando uno camina por la orilla de una carretera y pasa un bus o un
camión muy grande y muy rápido, ¿qué se siente? Una fuerza empujará
hacia la carretera y uno puede caer sobre ella, especialmente si se va en
bicicleta.
f) Al acercar una pelota que cuelga de un hilo al chorro de agua que sale de
una llave se observa que la pelota puede mantenerse en equilibrio en la
posición que se indica en la figura 86; es decir, parece que el flujo de agua
y la pelota se atraen.
Todas estas situaciones tienen algo en común: fluidos en rápido
movimiento. ¿Qué ocurre con la velocidad de un fluido que se mueve por un
tubo en que cambia su sección, por ejemplo, al pasar de una cañería gruesa
a otra más delgada?
La figura 87 ilustra bien esta idea. Si presionamos de igual manera el pistón
de dos jeringas idénticas, una sin aguja y otra con aguja, podremos
apreciar que el líquido sale mucho más veloz en el segundo caso; es decir,
cuando la sección del conducto es menor. En realidad, la rapidez v con que
se mueve el fluido es inversamente proporcional a la sección A de la
cañería. Ello ocurre igual con el agua que fluye por un río o canal, que se
mueve más rápido en los lugares en que éste es más angosto o menos
profundo. Este fue el primer descubrimiento de Bernoulli, el cual puede
expresarse diciendo que:
V · A = constante [7]
Supongamos que un flujo de agua viaja con una rapidez de 50 cm/s por una
cañería de sección 6 cm2, según se indica en la figura 88. Si la cañería se
hace más angosta, de modo que su sección se reduce a 2 cm2, ¿con qué
rapidez se moverá en esta zona?
Aplicando la relación [7] tenemos que:
V · (2 cm2) = (50 cm/s) · (6 cm2),
de donde se tiene que:
v = 150 cm/s
¿Cuántos litros de agua atraviesan la sección de la cañería en cada zona
durante un cierto tiempo, por ejemplo en 10 segundos? En la zona más
gruesa el volumen de agua que cruzará la sección será:
500 cm · 6 cm = 3.000 cm3 = 3 litros.
En la zona más delgada será:
1.500 cm · 2 cm = 3.000 cm3 = 3 litros.
Como se ve, el volumen de agua que atraviesa ambas secciones es el
mismo, lo cual es lógico, pues en otro caso significaría que cierta cantidad
de agua se está perdiendo o está surgiendo de la nada.
Otra manera de visualizar esto es considerando un tubo como el de la figura
89, con dos medidores de presión como los que se usan para medir la
presión de los neumáticos de los automóviles, semejantes al representado
en la Figura 89(a); o del cual salen tubos verticales, como en 89(b); o
conectados a manómetros de mercurio. Al circular un fluido por él, la
presión será mayor en el tubo de mayor sección.
Todo lo anterior es igualmente válido para un gas, aunque los efectos
térmicos y las turbulencias que se producen ya no son despreciables, como
ocurre con la mayoría de los líquidos
Si dos cañerías de distinta sección se encuentran a alturas distintas, la
descripción del movimiento de un fluido a través de ellas es más compleja,
pues influye la presión hidrostática, y su análisis debe considerar la ley de
conservación de la energía mecánica. La expresión matemática que describe
esta situación es conocida como ecuación de Bernoulli.
Ella puede deducirse a partir del análisis de la figura 90.
La parte inferior del tubo posee una sección A1 y se encuentra a una altura
h1 de cierto nivel. La parte más elevada del tubo está a una altura h2 y tiene
una sección A2. El fluido está retenido por pistones en ambos extremos y se
puede iniciar su movimiento aplicando una fuerza F1 en el pistón inferior,
forzando un desplazamiento del pistón superior, donde la fuerza será F2.
Estas fuerzas, en función de las presiones, deben ser:
F1 = P1A1 y F2 = P2A2,
y el trabajo realizado por ellas:
T1 = P1A1d1 y T2 = - P2A2d2;
en que d1 y d2 son los desplazamientos de los pistones. Como el volumen es
V = A·d (iguales en la parte angosta y en la ancha), podemos escribir:
T1 = P1V y T2 = - P2V,
luego, el trabajo total realizado por estas fuerzas debe ser:
T = (P1 - P2)V. [8]
Por otra parte, si m es la masa de líquido desplazado (igual arriba que
abajo), la variación de energía cinética,
1 ⎞
⎛
⎜ EC = mv ⎟
2 ⎠
⎝
2
debe ser:
∆E c =
1 2 1 2
mv 2 − mv1 [9]
2
2
donde v2 y v1 son las velocidades con que se mueve el fluido en la parte alta
y baja, respectivamente. Por último, el cambio de energía potencial
gravitatoria (EP = mgh) es:
∆E = mgh2 − mgh1
[10]
Entonces, considerando la ley de conservación de la energía mecánica
tenemos que:
T = ∆Ec + ∆Ep
Reemplazando
aquí
[8],
[9]
y
[10]
queda:
Si dividimos esta expresión por V, teniendo en cuenta [1]; es decir, que la
densidad
del
líquido
es
D=
m
,
v
tenemos:
Llevando todos los términos con subíndice 1 al primer miembro y los con
subíndice 2 al segundo, nos queda:
[11]
o bien, podemos decir que: P +
1
Dv 2 + Dgh = cons tan te [12]
2
Esta es la ecuación de Bernoulli. Si consideramos que el líquido posee la
misma densidad D en todas partes, que la aceleración de gravedad g y que
la diferencia de altura h se conservan en todo momento; entonces, si
cambia P, debe también cambiar v, de tal manera que si una aumenta la
otra disminuye.
Si aplicamos esto, entonces los experimentos señalados en las figuras 81
a 86 encuentran una fácil explicación. Por ejemplo, al soplar encima de un
papel, el aire en movimiento aplica en esa cara una presión menor a la que
el aire en reposo aplica sobre la otra cara, por lo que la fuerza resultante
sobre la hoja de papel estará dirigida hacia arriba, haciendo que el papel se
eleve. Lo mismo ocurre con los globos: la presión del aire en la superficie de
los globos donde está en movimiento es menor que en las restantes,
produciendo sobre ellos la fuerza que los junta. Por otra parte, si soplamos
el extremo superior de un tubo sumergido en un líquido, la presión en este
también será menor que la presión atmosférica normal y el líquido dentro
de él ascenderá. Además, si soplamos alrededor de una pelota, las zonas de
esta por donde el aire circula más rápidamente ejercerán sobre ella una
presión inferior que en las otras. Por ejemplo, en el caso de la pelota que se
aproxima al chorro de agua, la zona en que el agua se mueve recibirá una
presión menor que del otro lado y en consecuencia la fuerza total sobre ella
estará dirigida hacia el chorro de agua. Lo mismo explica el caso del
secador de pelo.
Lo que ocurre cuando hay un fuerte viento es que, contrariamente a lo que
podría pensarse, la presión atmosférica es menor que la normal. Esta es la
explicación de por qué tornados y huracanes quiebran los vidrios de los
ventanales hacia fuera, abren las puertas también hacia fuera y levantan las
techumbres, tal como se ilustra en la figura 91.
En juegos de pelota, como el tenis o el fútbol, hay un efecto considerado
comúnmente curioso que encuentra aquí su explicación: nos referimos al
“chanfle”. Este efecto se consigue haciendo girar la pelota sobre sí misma
mientras se desplaza. La diferente rapidez de ciertas partes de la pelota
respecto del aire circundante produce presiones diferentes, lo cual tiene
como consecuencia la acción de una fuerza que implica una desviación en la
trayectoria rectilínea que tendría si no girase. La figura 92 ilustra el efecto.
El caso más espectacular es el del ala de un avión. La figura 93 ilustra la
particular forma del corte de un ala típica. La gracia de su diseño consiste
en obligar al aire a circular con mayor rapidez por la parte superior que por
la inferior, lo que se consigue haciendo que, en el mismo tiempo, el aire
deba recorrer una distancia mayor. Al ser la rapidez del aire mayor por
arriba que por debajo del ala, la presión que actúa arriba es inferior a la que
actúa abajo y, en consecuencia, aparece una fuerza total sobre el ala
dirigida hacia arriba. Cuando esta fuerza total sobre las alas, debida a esta
diferencia de presión, es mayor que el peso del avión, este se empieza a
elevar.
La figura 94 ilustra un experimento que puedes realizar con el propósito de
verificar lo anterior. La idea es hacer un ala con papel corriente que,
colgada de un dinamómetro por medio de hilos, la expongas a la corriente
de un ventilador. Luego compara lo que marca el dinamómetro cuando el
ventilador no funciona, con lo que marca cuando gira con diferentes
velocidades.
Si bien en primera instancia el principio de Bernoulli explica bastante bien el
comportamiento de un ala de avión, el vuelo de estas máquinas es un
fenómeno bastante más complejo debido a que en el aire se producen
torbellinos que este principio no considera.
Apliquemos la ley de Bernoulli a un problema numérico. Suponiendo un
estanque muy grande, lleno de algún líquido, por ejemplo agua, que sale
por un agujero situado en su parte inferior, como se indica en la figura 95.
¿Con qué rapidez sale el líquido?
Solución:
Si el estanque es muy grande, la rapidez con que desciende el nivel
superior del líquido puede considerarse nula; es decir, v1 = 0. Si h1 es la
distancia ente la superficie del líquido y el agujero, donde h2 = 0, y
consideramos otra aproximación razonable: que la presión en la parte
superior del líquido es la misma que a la salida del agujero, es decir, la
presión atmosférica, P1 = P2, entonces al reemplazar todos estos valores en
[11], encontramos que:
,
de donde despejando v2, que es lo que queremos conocer, obtenemos:
.
De acuerdo con este resultado, la rapidez con que sale el líquido no
depende de la densidad del líquido del que se trate, ni de la forma del
recipiente, ni del volumen de líquido; depende solo del desnivel h, y sale
con la misma rapidez que adquiere un objeto que cae libremente desde la
altura h.
Roce y velocidad límite
Compara la rapidez con que caen en el aire diferentes objetos; por ejemplo,
dos hojas de papel iguales, pero estando una estirada y la otra arrugada
conformando una pelota. O, como lo hiciera Galileo, la caída de una pluma
con la de un martillo. Compara también la rapidez de caída de una moneda
en el aire y en el agua. ¿Cómo explicas las diferencias que se observan?
Si no existiera el aire o el agua, es decir, en el vacío, papeles arrugados o
estirados, plumas, martillos y monedas, dejados caer simultáneamente
desde alturas iguales, tendrían en todo momento la misma rapidez y
experimentarían todos la misma aceleración constante, del orden de 10
m/s2 aquí, en la superficie terrestre. En un homenaje rendido a Galileo
Galilei, el astronauta David Scott estando en la Luna dejó caer
simultáneamente una pluma y un martillo frente a las cámaras de
televisión. Como en nuestro satélite no hay atmósfera, se pudo apreciar que
ambos objetos caían uno junto al otro. El video de este experimento puedes
verlo en Internet en la dirección
http://www.lpi.usra.edu/expmoon/Apollo15/A15_surfops.html.
Evidentemente, es el fluido el que aplica sobre ellos una fuerza que los
frena, es el roce que se origina en la superficie del cuerpo que se mueve y
el medio en que lo hace. Esta fuerza se opone al movimiento y depende
principalmente de la rapidez, de la forma del cuerpo que se mueve y del
fluido. Se trata de una fuerza aproximadamente proporcional a la rapidez.
Por lo tanto, cualquier cuerpo que se deje caer desde el reposo, inicialmente
aumentará su rapidez y también la magnitud de esta fuerza. Si el tiempo de
caída es suficientemente largo, esta fuerza se hará igual al peso, y la fuerza
neta será cero desde ese momento en adelante, por lo tanto, continuará
moviéndose con velocidad constante. Esta velocidad se denomina velocidad
límite o terminal. El gráfico de la figura 96 ilustra la situación descrita. En
éste se puede ver cómo la rapidez de un cuerpo que se mueve en un fluido
depende del tiempo de caída.
Una buena descripción matemática de esta situación, considerando la
segunda ley de Newton, consiste en escribir:
F ⋅ γ ⋅ v = ma [13]
Donde F = mg es el peso del cuerpo de masa m, a su aceleración y γ una
constante. La aceleración a se reduce desde un valor máximo (la
aceleración de gravedad g) hasta hacerse cero. Su valor corresponde a la
pendiente de la curva del gráfico (figura 96) para cada instante de tiempo.
La constante γ, que debe ser positiva para que la expresión tenga sentido,
depende tanto de la forma, posición y material del cuerpo que cae, como
del medio en que cae. La velocidad límite es v = F
γ , pues corresponde a la
que adquiere el cuerpo cuando su aceleración es nula. ¿Qué unidades debe
tener γ?
Esto se puede estudiar en forma experimental y cuantitativamente
analizando el movimiento de una bolita de acero que cae dentro de un
frasco largo y lleno de aceite (figura 97). Bastará una regla larga y un
cronómetro para obtener los datos.
Hay algunas circunstancias en que este efecto es de gran importancia. Por
ejemplo, cuando llueve, gracias al roce con el aire, las gotas de agua
alcanzan rápidamente la velocidad límite, la cual afortunadamente es
bastante pequeña. Si no fuera así, se convertirían en peligrosos proyectiles
que atentarían contra nuestras vidas. Esto es también importante para los
paracaidistas, quienes, antes de abrir el paracaídas, alcanzan velocidades límites del orden de los 100 km/h, pudiendo disfrutar de la caída durante
varios minutos, aunque pueden variar su rapidez cambiando la posición de
su cuerpo.
Cuando la superficie que enfrenta el aire aumenta, por ejemplo cuando se
ponen en posición horizontal con los brazos extendidos, la velocidad límite
será menor, fenómeno que conocen muy bien los murciélagos. Los
paracaidistas que poseen mayor masa tardan más tiempo en alcanzar la
velocidad límite y ella es mayor, por cuanto, para hacer piruetas mientras
caen (figura 98) y descender todos juntos, deben poner sus cuerpos en
distintas posiciones. Cuando abren el paracaídas la fuerza de roce se
incrementa significativamente y la velocidad límite se reduce a unos 15 o 20
km/h, lo cual permite un aterrizaje seguro.
Presión sanguínea
Una de las primeras cosas que hace el médico cuando nos examina es
medir nuestra “presión arterial”. Si todo está bien, informa que tenemos
“120/80”. ¿De qué presión se trata? ¿Cómo se mide? ¿Qué significan los
valores que informa? ¿Por que simultáneamente se usa un estetoscopio?
Las características
relevante tema de
esenciales para la
sistema circulatorio
y función del sistema circulatorio sanguíneo es un
estudio de la Biología, ya que dichas funciones son
vida y la salud. Aquí estudiaremos los aspectos del
que tienen que ver con la Física.
Lo primero que se debe considerar es que nuestro corazón (figura 99) es
una compleja bomba que impulsa mecánicamente la sangre por arterias,
venas y capilares. Este bombeo es variable en intensidad y a ello se debe
nuestro “pulso”; pero a medida que la sangre circula, la corriente sanguínea
se va haciendo más uniforme y es prácticamente continua cuando regresa
al corazón. Por otra parte, este flujo, cumpliendo la ley de Bernoulli, se
mueve más rápido mientras menor es el diámetro de las venas. La
excepción son los capilares. La presión sanguínea también depende de la
altura respecto de nuestro corazón. Por esta razón se ha convenido en
medirla siempre en el mismo lugar, en el brazo y en la posición que se
indica en la figura 100; es decir, a la misma altura del corazón. En este
bombeo se denomina sistólica a la presión máxima y diastólica a la mínima.
Al decir “120/80”, el 120 corresponde a la sistólica y 80 a la diastólica. Su
unidad, rara vez mencionada por los médicos, es el torr o mm de Hg.
Suelen decir también 12/8, correspondiendo a cm de Hg.
La
presión
sanguínea
se
mide
con
un
instrumento
llamado
esfigmomanómetro, que consiste en una manga que se le enrolla a la
persona en el brazo y que se infla con una pequeña bomba manual y un
manómetro de mercurio que mide la presión de aire dentro de la manga. El
estetoscopio permite al médico oír el momento en que deja de circular
sangre por el brazo.
El procedimiento es el siguiente: se infla la manga hasta que deja de
circular sangre por la arteria branquial, y la presión medida en esa
circunstancia corresponde a la sistólica o alta. Al abrir la válvula de la
manga y dejar salir el aire de ella, se restablece el flujo sanguíneo y la
presión medida en ese momento es la diastólica o mínima.