Teoría de Colas (Líneas de Espera)

Teoría de Colas
(Líneas de Espera)
Administración de la Producción
3C T
Las colas…
Las colas son frecuentes en nuestra vida
cotidiana:
En un banco
En un restaurante de comidas rápidas
Al matricular en la universidad
Los autos en un lava carro.
En un supermercado.
En una estación de combustible
En un estadio deportivo
Las colas…
En general, a nadie le gusta esperar
Cuando la paciencia llega a su límite, la gente
se va a otro lugar.
Sin embargo, un servicio muy rápido tendría
un costo muy elevado
Es necesario encontrar un balance adecuado
Esto es la relación positiva de Beneficio/costo.
Teoría de Colas
Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en
una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos para
las líneas de esperas. Estos modelos se usarán para
responder preguntas como las siguientes:
1. Cuánto tiempo está ocioso cada servidor?
2. Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?
3. Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la
cola?
4. Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera
de un cliente?
5. Cuál es la distribución de probabilidad de la cantidad de
clientes presentes en la cola?
6. Cuál es el costo de operación para el sistema actual?
Teoría de Colas
Una cola es una línea de espera.
La teoría de colas es un conjunto de modelos
matemáticos que describen sistemas de líneas de
espera particulares.
El objetivo es encontrar el estado estable del
sistema y determinar una capacidad de servicio
apropiada
Teoría de Colas
Existen muchos sistemas de colas distintos
Algunos modelos son muy especiales
Otros se ajustan a modelos más generales
Se estudiarán algunos modelos comunes
Otros se pueden tratar a través de la simulación
Sistemas de Colas: modelo básico
Un sistema de colas puede dividirse en dos
componentes principales:
La cola
La instalación donde se presta el servicio.
Los clientes o llegadas ocurren en forma
individual para recibir el servicio
Sistemas de Colas: modelo básico
Los clientes o llegadas pueden ser:
Personas
Automóviles
Máquinas que requieren reparación
Documentos
Entre muchos otros tipos de artículos
Sistemas de Colas: modelo básico
Si cuando el cliente llega no hay nadie en la
cola, pasa de una vez a recibir el servicio.
Caso contrario, se incorpora a la cola.
Es importante señalar que la cola no incluye a
quien está recibiendo el servicio.
Sistemas de Colas: modelo básico
Las llegadas van a la instalación de servicio de
acuerdo con la disciplina de la cola.
Generalmente ésta es primero en llegar,
primero en ser servido (FIFO)
Pero pueden haber otras reglas o colas con
prioridades, ultima en llegar primero en ser
servido (LIFO), SIRO, se atiende primero a
aquel que requiera más corto
Sistemas de colas: modelo básico
Sistema de colas
Llegadas
Cola
Disciplina
de la cola
Instalación Salidas
del
servicio
Estructuras típicas de un sistema de colas:
una línea, un servidor
Sistema de colas
Llegadas
Cola
Servidor
Salidas
Estructuras típicas de un sistema de colas:
una línea, múltiples servidores
Sistema de colas
Servidor
Llegadas
Cola
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Salidas
Estructuras típicas de colas: varias líneas,
múltiples servidores
Sistema de colas
Cola
Llegadas
Cola
Cola
Servidor
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Salidas
Estructuras típicas de colas:
una línea, servidores secuenciales
Sistema de colas
Llegadas
Cola
Servidor
Cola
Servidor
Salidas
Costos de un sistema de colas
1.
Costo de espera: Es el costo para el cliente
al esperar
Representa el costo de oportunidad del
tiempo perdido
Un sistema con un bajo costo de espera es
una fuente importante de competitividad
Costos de un sistema de colas
2.
Costo de servicio: Es el costo de operación
del servicio brindado
Es más fácil de estimar
El objetivo de un sistema de colas
es encontrar el sistema del costo
total mínimo
Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo que transcurre entre dos llegadas
sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo
entre llegadas
El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable
El número esperado de llegadas por unidad de
tiempo se llama tasa media de llegadas (λ)
Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo esperado entre llegadas es 1/λ
Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es λ
= 20 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado entre llegadas es
1/λ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
λ : tasa media de
llegadas
e = 2,7182818…
P(k ) =
k −λ
λe
k!
Ejemplo: Consumo de cerveza
La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el
restaurante Dick sigue una distribución de
Poisson, con un promedio de 30 cervezas por
hora.
1. Estime la probabilidad de que se pidan
exactamente 60 cervezas entre las 10 y 12 de la
noche.
2. Encuentre la de media y desviación estándar de
cervezas pedidas entre las 9 PM y 1 AM.
3. Determine la probabilidad de que el tiempo entre
dos pedidos consecutivos está entre 1 y 3
minutos.
Solució
Solución: (1)
La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y
las 12 de la noche, se acerca a una distribución
de Poisson con parámetro 2(30)=60. (2 son
dos horas entre las 10 y las 12) y 30 cervezas
que es el promedio por hora. Por lo que la
probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las
10 y las 12 es:
P (k ) =
λk e −λ
k!
=
60
e − 60
= 0 . 05143174
60 !
60
Se puede usar la función de excel.
POISSON(60,60,FALSO)= 0.05143174= 5.1%
Solució
Solución…(2 y 3)
Resulta que λ=30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Por
tanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es
4(30)= 120. La desviación estándar en ese período es
(120)1/2 =10.95
Sea X el tiempo (en minutos) entre los pedidos sucesivos
de cervezas. El número de promedio de pedidos por
minutos es exponencial con parámetros o razón 30/60 =
0.5 (treinta cervezas en 60 minutos). Cervezas por
minutos. Por lo tanto la función de densidad de la
probabilidad del tiempo que transcurre entre pedidos de
a(t ) = λe − λt = 0.5e −0.5t
cervezas
(dado que la tasa de
llegada para una cola M/M/1). Entonces.
P(1 ≤ X ≤ 3) = ∫ (0.5e
3
1
−0.5t
0.5 −0.5t 3
)dt =
e
= −e−1.5 + e−0.5 = 0.38
1
− 0.5
Sistemas de colas: Las llegadas
Además es necesario estimar la distribución de
probabilidad de los tiempos entre llegadas
Generalmente se supone una distribución
exponencial (M).
Esto depende del comportamiento de las
llegadas.
Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
La forma algebraica de la distribución
exponencial es:
P (tiempo de servicio ≤ t ) = 1 − e
− µt
Donde t representa una cantidad expresada en
unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)
Sistemas de Colas: Las llegadas –
Distribució
Distribución exponencial
P(t)
0
Media
Tiempo
Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
La distribución exponencial supone una mayor
probabilidad para tiempos entre llegadas
pequeños
En general, se considera que las llegadas son
aleatorias
La última llegada no influye en la probabilidad de
llegada de la siguiente
Sistemas de colas: Las llegadas Distribució
Distribución de Poisson
Es una distribución discreta empleada con mucha
frecuencia para describir el patrón de las llegadas
a un sistema de colas.
Para tasas medias de llegadas pequeñas es
asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima
a la binomial para tasas de llegadas altas.
Sistemas de colas: Las llegadas Distribució
Distribución de Poisson
Su forma algebraica es:
P(k ) =
k −λ
λe
k!
Donde:
P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de
tiempo
λ : tasa media de llegadas
e = 2,7182818…
Sistemas de colas: Las llegadas Distribución de Poisson
P
0
Llegadas por unidad de tiempo
Sistemas de colas: La cola
El número de clientes en la cola es el número
de clientes que esperan el servicio.
El número de clientes en el sistema es el
número de clientes que esperan en la cola más
el número de clientes que actualmente reciben
el servicio.
Sistemas de Colas: La cola
La capacidad de la cola es el número máximo
de clientes que pueden estar en la misma.
Generalmente se supone que la cola es infinita.
Aunque también la cola puede ser finita.
Sistemas de Colas: La cola
La disciplina de la cola se refiere al orden en que
se seleccionan los miembros de la cola para
comenzar el servicio
La más común es (FIFO)PEPS: primero en llegar,
primero en servicio
Puede darse: selección aleatoria, prioridades,
(LIFO)UEPS, entre otras.
Sistemas de Colas: El servicio
El servicio puede ser brindado por un servidor
o por servidores múltiples.
El tiempo de servicio varía de cliente a cliente.
El tiempo esperado de servicio depende de la
tasa media de servicio (µ).
Sistemas de Colas: El servicio
El tiempo esperado de servicio equivale a 1/µ
Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de
25 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/µ
= 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos.
Sistemas de Colas: El servicio
Es necesario seleccionar una distribución de
probabilidad para los tiempos de servicio.
Hay dos distribuciones que representarían puntos
extremos:
La distribución exponencial (σ=media)
Tiempos de servicio constantes (σ=0)
Sistemas de Colas: El servicio
Una distribución intermedia es la distribución
Erlang
Esta distribución posee un parámetro de forma k
que determina su desviación estándar:
1
σ =
media
k
Sistemas de Colas: El servicio
Si k = 1, entonces la distribución Erlang es
igual a la exponencial.
Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es
igual a la distribución degenerada con tiempos
constantes.
La forma de la distribución Erlang varía de
acuerdo con k.
Sistemas de Colas: El servicio
P(t)
k=∞
k=8
k=2
k=1
0
Media
Tiempo
Sistemas de Colas: Distribució
Distribución Erlang
Distribución
Constante
Desviación estándar
0
Erlang, k = 1
media
Erlang, k = 2
1 / 2 media
Erlang, k = 4
1/2 media
Erlang, k = 8
1 / 8 media
Erlang, k = 16
1/4 media
Erlang, cualquier k
1 / k media
Sistemas de Colas: Identificación
Notación de Kendall: A/B/c
La notación de Kendall, caracteriza un sistema de línea de espera
en el cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que
está libre uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el
primer cliente en la cola entre al servicio, y así sucesivamente.
A: Distribución de tiempos entre llegadas
B: Distribución de tiempos de servicio
M: distribución exponencial
D: distribución degenerada
Ek: distribución Erlang
c: Número de servidores
Estado del sistema de Colas
En principio el sistema está en un estado inicial.
Se supone que el sistema de colas llega a una
condición de estado estable (nivel normal de
operación).
Existen otras condiciones anormales (horas pico,
etc.).
Lo que interesa es el estado estable.
Desempeño del sistema de Colas
Para evaluar el desempeño se busca conocer
dos factores principales:
1.
El número de clientes que esperan en la
cola.
2.
El tiempo que los clientes esperan en la
cola y en el sistema.
Medidas del desempeñ
desempeño del sistema
de colas
1.
Número esperado de clientes en la cola Lq
2.
Número esperado de clientes en el sistema Ls
3.
Tiempo esperado de espera en la cola Wq
4.
Tiempo esperado de espera en el sistema Ws
5.
Número promedio de clientes que atenderá el
servidor W.
Medidas del desempeñ
desempeño del sistema de colas:
fórmulas generales
Ws = Wq +
1
µ
Ls = λW s
Lq = λ W q
λ
Ls = Lq +
µ
W =
L
λ
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
Suponga una estación de servicio a la cual
llegan en promedio 45 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a
60 clientes por hora.
Se sabe que los clientes esperan en promedio
3 minutos en la cola.
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
La tasa media de llegadas λ es 45 clientes por
hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto
La tasa media de servicio
µ es 60 clientes por
hora o 60/60 = 1 cliente por minuto
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
Wq = 3 min
1
1
Ws = Wq + = 3 + = 4 min
µ
1
Ls = λWs = 0.75 × 4 = 3 clientes
Lq = λWq = 0.75 × 3 = 2.25 clientes
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejercicio
Suponga un restaurante de comidas rápidas al
cual llegan en promedio 100 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a
150 clientes por hora.
Se sabe que los clientes esperan en promedio 2
minutos en la cola.
Calcule las medidas de desempeño del sistema.
Probabilidades como medidas del
desempeñ
desempeño
Beneficios:
Permiten evaluar escenarios
Permite establecer metas
Notación:
P(n) : probabilidad de tener n clientes en el
sistema
P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un cliente no
espere en el sistema más de t horas.
Factor de utilización del sistema:
Dada la tasa media de llegadas λ y la tasa media
de servicio µ, se define el factor de utilización del
sistema ρ.
Generalmente se requiere que ρ < 1
Su fórmula, con un servidor y con s servidores,
respectivamente, es:
λ
ρ=
µ
λ
ρ=
sµ
Factor de utilización del sistema ejemplo
Con base en los datos del ejemplo anterior, λ
= 0.75, µ = 1
El factor de utilización del sistema si se
mantuviera un servidor es
ρ = λ/µ = 0.75/1 = 0.75 = 75%
Con dos servidores (s = 2):
ρ = λ/sµ = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%
Modelos de una cola y un servidor
M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y
tiempos de servicio exponenciales
M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución general de
tiempos de servicio
M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución degenerada de
tiempos de servicio
M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de tiempos
de servicio
Modelo M/M/1
Ls =
λ
λ
Lq =
µ (µ − λ )
2
λ−µ
Lq
λ
=
Wq =
µ (µ − λ ) λ
1
Ws =
µ −λ
Pn = (1 − ρ ) ρ
P (Ws > t ) = e
n
− µ (1− ρ ) t
P ( Ls > n) = ρ
n +1
P(Wq > t ) = ρe
t ≥ 0, ρ < 1
− µ (1− ρ ) t
Modelo M/M/1:
ejemplo 1
Un lavadero de autos puede atender un auto cada 5
minutos siendo la tasa media de llegadas es de 9
autos por hora.
Obtenga los indicadores de desempeño de acuerdo
con el modelo M/M/1
Obtener además la probabilidad de tener 0 clientes
en el sistema, la probabilidad de tener una cola de
más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más
de 30 min. en la cola y en el sistema.
Modelo M/M/1:
Ejemplo 1
9
λ = 9, µ = 12, ρ = = 0.75
12
Ls =
λ
λ−µ
= 3 clientes
λ2
Lq =
= 2.25 clientes
µ (µ − λ )
1
Ws =
= 0.33 hrs = 20 min
µ −λ
λ
Wq =
= 0.25 hrs = 15 min
µ (µ − λ )
P0 = (1 − ρ ) ρ 0 = 0.25
P ( Ls > 3) = ρ 3+1 = 0.32
P (Ws > 30 / 60) = e − µ (1− ρ ) t = 0.22
P (Wq > 30 / 60) = ρe − µ (1− ρ ) t = 0.17
Modelo M/M/1
Ejemplo 2
Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con
un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda
del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por
cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas
y los tiempos de servicios son exponenciales. Calcular:
1. Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?
2. Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola
del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo
atendido, no está en la cola esperando)
3. Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el
estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio).
4. Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?
Solución:
De acuerdo con los datos, estamos trabajando con
sistema de colas M/M/1 para lo cual λ=10 automóviles
por hora y µ=15 automóviles por hora.
10 2
ρ= =
15 3
2 1
por
lo
tanto
π
=
1
−
ρ
=
1
−
=
1.
el cajero estará ocioso un
0
3 3
tercio del tiempo.
2. Determinar
clientes.
L
q
=
ρ
1 −
2
ρ
=
 2 


 3 
2
1 −
3
2
4
3
=
3. Estimamos W, pero necesitamos obtener L.
L
=
ρ
1 −
ρ
=
2
3
1 −
2
3
=
2
clientes
W
=
L
λ
=
2
10
=
1
horas
5
Solución:
4. Si el cajero siempre estuviera ocupado,
atendería un promedio de µ=15 clientes por
hora. Según la solución encontrada en (1) el
cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto
dentro de cada hora, el cajero atenderá un
promedio de (2/3)(15)= 10 clientes.
Modelo M/M/1:
Ejemplo 3
Suponga que todos los automovilistas acuden a la estación
de servicio cuando sus tanques están por la mitad. En el
momento actual llega un promedio de 7.5 clientes por hora
a una estación que tiene un solo surtidor. Se requiere un
promedio de 4 minutos para servir a un automóvil. Suponga
que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios
son exponenciales.
1. Calcule L y W para los condiciones actuales.
2. Suponga
que hay un déficit de abastecimiento de
combustible y que hay demanda creciente. Para modelar
este fenómeno, suponga que todos los automovilistas
compran ahora combustible cuando sus tanques tienen ¾
de la capacidad. Como cada dueño pone ahora menos
combustible en el tanque cada vez que acude a la estación,
supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce
a 3 minutos y un tercio. Qué tanto afectan a L y W la nueva
demanda?
Solución:
Tenemos un sistema M/M/1 con λ= 7.5
automóviles por hora y µ=15 (60/4) automóviles
por hora.
7.5
ρ=
= 0.50
Por lo tanto
tiempo que la
15
bomba pasa ocupada.
L=
ρ
0.50
=
=1
1− ρ 1− 0.50
(cantidad de clientes
promedio presente en el sistema de colas).
W=
L
λ
=
1
= 0.13 horas
7 .5
(Tiempo previsto que un
cliente pasa en el sistema de cola).
Por tanto bajo estas circunstancia todo está bajo
control.
Solución.
λ=2*(7.5)= 15 automóviles por hora
Esto se infiere por que cada dueño llenará su
tanque dos veces) . Ahora
µ=
60
≈ 18
3.333
Entonces.
ρ=
15 5
=
18 6
5/ 6
ρ
L=
=
=5
1− ρ 1− 5 / 6
L
automóviles
5 1
W = = = hora = 20 min
λ 15 3
Modelo M/M/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos en sus 5
cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente
cada 3 minutos.
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/M/1.
Además calcular la probabilidad de tener 2
clientes en el sistema, la probabilidad de tener
una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de
esperar más de 10 min. en la cola
Modelo M/G/1
λσ +ρ
Lq =
2(1 − ρ )
2
L s = Lq + ρ
W s = Wq +
1
Wq =
2
Lq
µ
λ
P0 = 1 − ρ
Pw = ρ
ρ <1
2
Modelo M/G/1: ejemplo
Un lavadero de autos puede atender un auto cada
5 min. y la tasa media de llegadas es de 9
autos/hora, σ = 2 min.
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/G/1
Además la probabilidad de tener 0 clientes en el
sistema y la probabilidad de que un cliente tenga
que esperar por el servicio
Modelo M/G/1: ejemplo
Ls = Lq + ρ = 1.31 + .75 = 2.06 clientes
λσ +ρ
Lq =
= 1.31clientes
2(1 − ρ )
2
2
Ws = Wq +
Wq =
Lq
λ
2
1
µ
= 0.228 hrs = 13.7 min
= 0.145 hrs = 8.7 min
P0 = 1 − ρ = 0.25
Pw = ρ = 0.75
Modelo M/G/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80 clientes
por hora que son atendidos en sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente
cada 3 minutos. Suponga σ = 5 min
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/G/1
Además la probabilidad de tener 0 clientes en el
sistema y la probabilidad de que un cliente tenga
que esperar por el servicio
Modelo M/D/1
Ls = λWs
Ws = Wq +
Lq =
1
µ
ρ <1
ρ
2
2(1 − ρ )
Lq
Wq =
λ
Modelo M/D/1: ejemplo
Un lavadero de automotores puede atender un
auto cada 5 min.
La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/D/1
Modelo M/D/1: ejemplo
Ls = λWs = 1.875 clientes
ρ
Lq =
2
= 1.125 clientes
2(1 − ρ )
1
Ws = Wq + = 0.21 hrs = 12.5 min
µ
Wq =
Lq
λ
= 0.125 hrs = 7.5 min
Modelo M/D/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80 clientes
por hora que son atendidos en sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente
cada 3 minutos.
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con
el modelo M/D/1
Modelo M/Ek/1
ρ (k + 1)
Lq =
2k (1 − ρ )
2
Ls = λWs
Ws = Wq +
1
µ
ρ <1
Wq =
Lq
λ
Modelo M/Ek/1: ejemplo
Un lavadero de autos puede atender un auto
cada 5 min.
La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.
Suponga σ = 3.5 min (aprox.)
Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/Ek/1
Modelo M/Ek/1: ejemplo
Ls = λWs = 2.437 clientes
ρ (k + 1)
Lq =
= 1.6875clientes
2k (1 − ρ )
2
Ws = Wq +
Wq =
Lq
λ
1
µ
= 0.2708hrs = 16.25 min
= 0.1875hrs = 11.25 min
Modelo M/Ek/1:
ejemplo
A un supermercado llegan en promedio 80 clientes
por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente
cada 3 minutos. Suponga k= 4
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con
el modelo M/Ek/1
Modelos de un servidor:
Comparativamente complete el cuadro
para los ejemplos del lavadero
Modelo
M/M/1
M/G/1
M/D/1
M/Ek/1
Ls
Ws
Lq
Wq
Modelos de varios servidores
M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y
tiempos de servicio exponenciales
M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución degenerada de
tiempos de servicio
M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de
tiempos de servicio
M/M/s, una línea de espera
P0 =
1
ρ  sµ 
ρ

 + ∑
s!  sµ − λ  n =0 n!
ρ s λµ
Lq =
P
2 0
( s − 1)!( sµ − λ )
Ws = Wq +
Pn =
ρn
s! s
n−s
s −1
s
1
µ
P0 , si n > k
n
λ
Ls = Lq +
µ
Pn =
ρ
n
n!
Wq =
P0 , si n ≤ k
1 s  sµ 
 P0
Pw = ρ 
s!  sµ − λ 
Lq
λ
M/M/s, una línea de espera
Si s = 2
Lq =
ρ
3
4−ρ
Si s = 3
Lq =
ρ
2
4
(3 − ρ )(6 − 4 ρ + ρ )
2
Análisis económico de líneas de espera
Costos
Costo total
Costo del servicio
Costo de espera
Tasa óptima
de servicio
Tasa de servicio
Aplicació
Aplicación Prá
Práctica con WinQSB
Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5
minutos por cliente siguiendo una distribución exponencial.
Los
clientes
llegan
a
este
almacén
siguiendo
una
distribución Poisson a razón de 30 por hora. Con esta
información calcular: A) La probabilidad de que el sistema
esté lleno, B) La intensidad de trafico.
Datos:
Numero de servidores = 2
λ=30 [cl/hr]
µ=1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]
El problema será del tipo M/M/2/FIFO/∞/∞
Solució
Solución:
Procedimiento
Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de
Colas (QA).
Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo
del que se conocen todos los datos. Este se llamará
Cajeras, eligiendo como unidad de tiempo “horas”:
Solució
Solución…
En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos
como se muestra:
Solució
Solución…
En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos
como se muestra:
Los valores de M, representan que es un valor infinito.
Solució
Solución…
Al presionar el icono
los resultados:
se verá la ventana de
Solució
Solución…
En Español
Para el Sistema: M/M/ de dos servidores
Promedio de cliente llegados por Hora λ=
Promedio de Servicio por servidor por Hora =
Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora =
Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora =
Tasa de ocupación del sistema
Número promedio de clientes en el sistema (L) =
Número promedio de clientes en la cola(Lq) =
Número promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) =
de Fórmula
30
40
30
30
37.50%
0.8727
0.1227
0.6
0.0291
Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) =
Horas
0.0041
Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) =
Horas
0.0200
Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) =
Horas
Probabilidad que todos los servidores estén ociosos (Po) =
45.45%
Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema está
ocupado(Pb) =
20.45%
Número promedio de clientes que no serán atendidos por el sistema por Hora =
0
Costo total del servidor ocupado por Hora =
$0
Costo total del servidor ocioso por Hora =
$0
Costo total clientes esperando por hora
$0
Costo total de clientes que inician servicio por Hora =
$0
Cosot total de clientes being balked per Hora =
$0
Total queue space cost per Hora =
$0
Costo total del sistema por Hora =
$0
Solució
Solución…
Adicionalmente podemos realizar los siguientes análisis:
Observar las probabilidades estimadas de que existan de
0 hasta 200 clientes en la cola:
Solució
Solución…
También podemos realizar una simulación del sistema:
Si presionamos
veremos la siguiente ventana:
En el que usaremos:
La semilla de aleatoriedad por defecto
Una disciplina de cola de tipo FIFO
(PEPS)
Un tiempo de simulación de cola
de 24 horas (1 día).
El momento que iniciará la recolección
de datos
será a las cero horas.
La capacidad de la cola es infinita (M).
El máximo de número de recolecciones
de datos será infinito (M).
Solució
Solución…
• Si presionamos OK, se llevará adelante la simulación y
veremos los siguientes resultados de la actuación de la cola
durante 24 horas:
Solució
Solución…
• Las probabilidades estimadas para n clientes:
Solució
Solución…
• Otro de los análisis del que podemos disponer es
el de Análisis de sensibilidad.
•Si presionamos
podremos
observar la siguiente ventana:
Solució
Solución…
• Si realizamos un análisis de sensibilidad, seleccionando como
parámetro de análisis a la tasa de llegadas λ, haciendo que esta
cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el
modelo de aproximación G/G/s, podremos ver de que manera
reacciona el sistema:
•Podemos observar claramente de que la utilización del sistema va
en incremento en una proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a
los 70 [cl/hr], se da una utilización del 87.5% (Máxima utilización
posible), pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80
[cl/hr], el sistema se vuelve inestable, es decir el número de
servidores es insuficiente.
Solució
Solución…
También podemos ver el gráfico del análisis de sensibilidad de
un parámetro determinado en función del parámetro
analizado:
Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph
•Se abrirá la siguiente ventana:
En la que seleccionaremos como
variable independiente para el
gráfico a L (Número promedio de
clientes en el sistema), en función
de nuestro parámetro analizado (λ):
Solució
Solución…
En el que se puede ver un crecimiento exponencial.
Así sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los
parámetros, dependiendo que necesidades se tiene.
Solució
Solución…
• Otro análisis disponible es el de Análisis de Capacidad:
Como éste análisis se realiza a partir de costos, se asumirán
los siguientes costos
Costo de servidor ocupado por hora = 5 $
Costo de servidor ocioso por hora = 1 $
Costo por cliente
en espera = 0.5 $
Costo por cliente
servido por hora = 3 $
Costo por cliente
no atendido = 1 $
Costo unitario por
capacidad de cola = 3$
Solució
Solución…
Si se presiona
podremos observar la siguiente ventana:
En el que variaremos el número de servidores de 2
a 8, con un paso de 1, y en el que la capacidad de
la cola es Infinita, seleccionando la formula G/G/s
de aproximación.
Solució
Solución…
c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados será la siguiente:
2- Prá
Práctica con WinQSB
Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén
central. La mercadería que llega a este almacén es descargada
en turnos nocturnos. Los camiones que descargan llegan en
forma aleatoria siguiendo una Poisson a razón de dos camiones
por hora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por
hora siguiendo una distribución exponencial. Si el número de
trabajadores del equipo es incrementado, la razón de servicio se
incrementa en la misma proporción. Cada trabajador recibe 5$
por hora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener
el chofer esperando ser servido, se estima en 20 $ por hora. Se
desea determinar el tamaño del equipo que minimiza el costo
total.
Datos:
Numero de servidores = 2
λ=2 [cl/hr]
µ1= 3 [cl/hr], µ2= 4 [cl/hr], µ3= 5 [cl/hr]…………
El problema será del tipo M/M/1/FIFO/∞/∞
CS = 5 [$/hr]
CE = 20 [$/hr]