Maquetación 175

aletos
MECÁNICA
Física para Ciencias e Ingeniería
CINEMÁTICA
1
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Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta. Su aceleración viene dada por a = 32–4v.
Las magnitudes están medidas en el S.I. de unidades.
Las condiciones iniciales son: Para t =0 , x = 0 y v = 4 m/s.
Calcúlese:
a) v en función de t.
b) x en función de t.
c) x en función de v.
SOLUCIÓN:
a) Puesto que el movimiento es rectilíneo, la aceleración dada es la aceleración tangencial, que se define como
a = at =
dv
dt
[1]
Sustituyendo a por la expresión dada en el enunciado,
dv
= 32 − 4v
dt
Ordenando términos y agrupando variables,
dv
= dt
32 − 4v
[2]
expresión que se puede escribir en la forma,
1 −4dv
− ×
= dt
4 32 − 4v
[3]
Integrando en forma indefinida,
1
− ln (32 − 4v) = t +C 1
[4]
4
La constante de integración C1 se calcula teniendo en cuenta las condiciones iniciales establecidas en el enunciado: Para t = 0, es v = 4 m/s. Sustituyendo valores:
1
1
1
C 1 = − ln 16 = − ln 24 = − × 4 × ln 2 = − ln 2
[5]
4
4
4
Sustituyendo [5] en [4],
1
− ln (32 − 4v) = t − ln 2
4
[6]
Operando y agrupando términos se obtiene:
v = 8 − 4 e −4t
[7]
b) Para calcular x en función de t, basta recordar que, por definición, es:
v=
dx
dt
[8]
e igualando los segundos miembros de [7] y [8].
dx
= 8 − 4 e −4t
dt
[9]
de donde, despejando dx e integrando en forma indefinida, se obtiene:
1
dt = 8t −4 (− e −4t ) = 8t +e −4t +C 2
[10]
4
La constante de integración C2 se calcula teniendo en cuenta las condiciones iniciales establecidas en el enunciado: Para t = 0, es x = 0. Sustituyendo valores y despejando C2:
x = ∫ (8 − 4 e −4t )dt =
∫ 8dt −4 ∫ e
−4t
C 2 = −1
Sustituyendo [11] en [10],
[11]
2
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Física para Ciencias e Ingeniería
[12]
x = 8t +e −4t −1
c) Para calcular x en función de v podemos multiplicar y dividir por dx el tercer miembro de [1] y asociar términos en la forma siguiente:
dv dx dx dv
dv
=
=v
dt dx dt dx
dx
Sustituyendo a por la expresión dada en el enunciado,
dv
v
= 32 − 4v
dx
Ordenando términos y agrupando variables,
v
dx =
dv
32 − 4v
a=
[13]
[14]
[15]
Para descomponer la fracción del segundo miembro basta efectuar la división del numerador por el denominador:
1
8
v
=− +
4 −4v + 32
32 − 4v
[16]
 1
8 
dx = − +
dv
 4 −4v + 32 
[17]
Sustituyendo [16] en [15],
Integrando [17] en forma indefinida,
x=
 1
2

1
∫ − 4 + −v + 8 dv = − 4 v + 2− ln (−v + 8) +C


[18]
1
La constante de integración se calcula teniendo en cuenta las condiciones iniciales.
Para x = 0, es v = 4 m/s, y sustituyendo en [18],
1
0 = − × 4 + 2 − ln (−4 + 8) +C 1
4
[19]
C 1 = 1+ 2 ln 4 = 1+ 2 ln 22 = 1+ 4 ln 2
[20]
1
x = − v − 2 ln (−v + 8)+1+ 4 ln 2
4
[21]
De donde,
Sustituyendo [20] en [18], se obtiene:
que puede expresarse en la forma,
2
 22 
1
4 −v
4 −v
24
4 −v
4 −v
22
x = − v +1− 2 ln (−v + 8)+ 4 ln 2 =
− ln (8 −v)2 + ln 24 =
+ ln
=
+
ln
=
+
2
ln


 8 −v 
4
4
4
4
4
8 −v
(8 −v)2
O bien,
x=
4 −v
4
4 −v
8 −v
+ 2 ln
=
− 2 ln
4
8 −v
4
4
Se puede comprobar fácilmente que se cumplen las condiciones establecidas en el enunciado.
[22]